新教材人教版高中物理选择性必修第一册第二章机械振动知识点考点重点难点提炼汇总.pdf

第 二 章 机械振动1简谐运动.-1-2.简谐运动的描述.-6-3.简谐运动的回复力和能量.-13-4.单摆.-20-5实验：用单摆测量重力加速度.-20-6 受迫振动 共振.-34-1简谐运动一、弹簧振子及其位移一时间图像1.弹簧振子(1)平衡位置：振子原来静止时的位置.(2)机械振动：我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动.(3)弹簧振子：它是小球和弹簧组成的系统的名称,是一个理想化模型.2.弹簧振子的位移一时间图像建立坐标系：以小球的平衡位置为坐标原点O,沿着它的振动方向建立坐标轴.小 球在平衡位置右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负.二、简谐运动及其图像如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x-f图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动.简谐运动是最基本的振 动.弹簧振子中小球的运动就是简谐运动.考点 弹簧振子Z 1.平衡位置：做往复运动的物体能够静止的位置.2.机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，是一种机械振动，简称振动.振动的轨迹可能是直线，也可能是曲线.3.弹簧振子(1)构造：用一根没有质量的弹簧一端固定，另一端连接一个可视为质点的小球.如右图所示.甲-51乙考点二 弹簧振子的位移一时间图像1.弹簧振子的位移(1)振子在某时刻的位移：从平衡位置指向振子在该时刻位置的有向线段.若规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正，则它在平衡位置左侧时位移为负.(2)振子在某段时间内的位移：由初位置指向末位置的有向线段.：XMN1A NCM A(3)振子在某时刻的位移与在某段时间内的位移的区别：振子在某时刻的位移方向总是背离平衡位置.如图所示，振子在A 4 之间振动，。为平衡位置，力时刻振子在M 点的位移为XM,f2时刻振子在N 点的位移为XN,而振子在f=/2力时间内的位移为XMN,方向如上图所示.2.弹簧振子的位移一时间图像(xr图像)(1)图像的建立：用横坐标表示物体运动的时间3纵坐标表示振动物体运动过程中相对平衡位置的位移X,建立坐标系，如右图所示.(2)图像的应用任一时刻质点离开平衡位置的位移：某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在的位置的坐标来表示.如图所示，在九时刻振子的位移为X I；以时刻振子的位移为一X 4.振子在两端点的位移最大（如上图中的心 芯时刻），在平衡位置的位移为零（如上图中的1 3时刻），此时位移即将改变方向.速度：跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴（也 称 为“一维坐标系”）上，速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反.如图所示，在x坐标轴上，设。点为平衡位置，A、8为位移最大处，则 在。点速度最大，在A、B两点速度为零.BOA x【例2】某一弹簧振子的振动图像如下图所示，则由图像分析在3 m和6 f o1 .如何利用弹簧振子的位移一时间图像分析振子的位移？2 .根据振子位移变化情况能分析出振子的速度方向吗？3 .位移一时间图像的斜率表示什么物理意义？4 .能根据位移一时间图像的斜率分析振子的速度方向吗？【解析】解法一：从图像上可以看出从3 r o到6和这段时间内振子的位移沿龙轴正向越来越大，因此振子是从平衡位置开始沿龙轴正方向运动，速度方向是沿x轴正方向，时刻速度方向沿x轴正方向.6 f o时刻振子到达最大位移处速度变为0.解法二：位移一时间图像的斜率表示运动物体的速度，故只栗找出3 f o和6砧时刻的斜率就可判断振子速度的方向.3 m时刻斜率是正的，故3 f o时刻振子速度方向沿X轴正方向.6%)时刻斜率是零，故6小时刻振子速度为0.考点三 简谐运动及其图像1.简谐运动如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x r图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫作简谐运动.(1)简谐运动是最基本的振动.(2)简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，应为变力作用下的非匀变速运动.2.简谐运动的图像图像的意义：如右图所示，简谐运动的x f图像描述的是做简谐运动的质点的位移随时间的变化规律，反映了振动质点各个时刻偏离平衡位置的位移.(1)图像反映的是做简谐运动的质点的位移随时间的变化规律，它不是质点的运动轨迹，简谐运动的图像和运动轨迹是完全不同的两个概念.例如，弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为直线，而它的振动图像却是正弦曲线.(2)从图像能看出质点的位移随时间的变化是不均匀的，这是振子只受弹簧弹力的作用做变加速运动的体现.3 .简谐运动的特点简谐运动具有对称性：如图所示，物体在A与8间运动，。点为平衡位置，C和。两点关于。点对称，则有：I I I I I4 COD B(1)时间的对称tOB tB O tOA tA O,tOD=tDO=tOC=tCO，tDB =tB D=tCA=M C.(2)速度的对称物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反.物体经过关于。点对称的两点(如C、D两点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反.(3)位移的对称物体经过关于。点对称的两点，位移大小相等，方向相反，xc=w,用=-XB.【例 3】（多选）如图，是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移一时间图像，下列有关该图像的说法正确的是（）A.该图像的坐标原点建立在振子的平衡位置B.从图像可以看出振子在振动过程中是沿t轴方向移动的C.为了显示振子在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x 轴方向匀速运动D.图像中振子的疏密显示出相同时间内振子位置变化的快慢不同【审题指导】由图可直观地获得以下信息：。时刻振子的位置；振子的振动方向；底片的运动方向。轴负方向）；振子速度的变化情况等.【解析】由图像可知，。时刻振子位移为0,故位于平衡位置，选项A 正确；振子只在x 轴上振动，选项B 错误，C 正确；图像中两相邻振子之间的时间间隔相同，疏处说明其位置变化快，密处说明其位置变化慢，故选项D 正确.本题易误选B,初学者由于对图像意义理解不到位，常误认为振子沿f 轴方向移动.【答案】ACD辨析简谐运动的图像与质点的运动轨迹振动质点的运动轨迹是往复运动的一段线段，而简谐运动的图像是正弦或余弦曲线.简谐运动的位移一时间图像反映的是质点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律，简谐运动的图像并不是质点的运动轨迹，运动轨迹的长度也不是正弦或余弦图线拉开后的长度.在xf 图像上，质点在某时刻的位移，即为此时刻对应的纵坐标.质点在某段时间内的路程（轨迹的长度），需结合振动质点的实际运动轨迹进行计算.【典例】（多选）如图所示为获取弹簧振子的位移一时间图像的一种方法，改变纸带运动的速度，下列说法正确的是（）A.如果纸带不动，作出的振动图像仍然是正弦函数曲线B.如果纸带不动，作出的振动图像是一条线段C.图示时刻，振子正经过平衡位置向右运动D.若纸带运动的速度不恒定，则纸带上描出的仍然是简谐运动的图像【解析】当纸带不动时，描出的只是振子在平衡位置两侧往复运动的轨迹,即一条线段，选 项A错误，B正确；由振动图像可以看出，图示时刻振子正由平衡位置向右运动，选 项C正确；只有当纸带匀速运动时，运动时间才与纸带运动的位移成正比，振动图像才是正弦或余弦函数曲线，而简谐运动的图像一定是正弦或余弦函数曲线，故选项D错误.【答案】BC简谐运动图像表示振子对平衡位置的位移随时间变化的规律，横坐标表示时间，纵坐标表示振动物体对平衡位置的位移，振动图像是一条正(余)弦函数图像，是同一物体在不同时刻相对平衡位置的位移，而不是振动物体运动的轨迹.处理与图像有关的问题时，我们首先要从图像中获得有用信息，弄清这些信息之间有什么联系和区别，进而解题.2.简谐运动的描述一、描述简谐运动的物理量1.振幅振动物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离叫作振动的振幅.振幅是疝量，用A表示，单位是米(m).振幅是反映振动强弱的物理量，振幅越大表示振动越强.2.周期和频率做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫作振动的周期.单位时间内完成全振动的次数叫作振动的频率.周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量.它们的关系是T=17在国际单位制中,周期的单位是秒.频率的单位是赫兹,1 Hz=l s-1.3.相位用来描述周期性运动的物体在各个时刻所处的丕同状态的物理量.二、简谐运动的表达式简谐运动的正弦函数表达式可以写成x=A s in(w+0).其中人代表简谐运动的振幅；”叫作简谐运动的“圆频率”，它与周期的关系是。=爷2 7 r.它和周期、频率都表示简谐运动的快慢；皿土 代表简谐运动的相位，其中0称为初相位.考点一描在简谐运动的物理量1.振幅TT-L振动物体离开平衡位置的最大距离,叫做振动的振幅，用A表示.单位 卜在国际单位制中振，振幅的单位是米(m).幅表示振动强弱的物理量,对同一振动系 1 统,振幅越大,表示振动越强，振动系物理意乂文、统的能量也越大.B o q/I _I _ IA B O C说明：振幅的两倍(2 A)表示振动物体的运动范围，如上图所示.振幅、位移和路程的关系振幅位移路程定义振动物体离开平衡位置的最大距离从平衡位置指向振子所在位置的有向线段运动轨迹的长度矢、标性标量矢量标量变化在稳定的振动系统中不发生变化大小和方向随时间做周期性变化随时间增加联系振幅等于最大位移的大小；振子在一个周期内的位移等于零，在一个周期内的路程等于4个振幅，在半个周期内的路程等于2个振幅(1)在一个稳定的振动系统中，振幅是不变的，它与振动系统的周期(频率)或质点的位移无关.(2)振幅是标量，它没有负值，也无方向，它等于振子最大位移的大小，却不是最大位移.2.全振动(1)如图，如果从振子向右通过。点的时刻开始计时，它将运动到M,然后向左 回 到 0,又 继 续 向 左 运 动 到 达,之后又向右回到。这样一个完整的振动过程称为一次全振动.QRoM7 ：；iv若 从 图 中 P o 点 向 右 运 动 开 始 计 时，经 历 的 一 次 全 振 动 应 为P o M f 尸 o f O f M O f Po.(2)全振动的等时性：不管以哪里作为开始研究的起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的.(3)对一次全振动的认识对做简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度判断：从物体经过某点时的特征物理量看，如果物体的位移和速度都回到原值(大小、方向与初始状态完全相同)，即物体完成了一次全振动.看物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的四倍.3.周期/n做简谐运动的物体完成一次全振动所需定乂”一要的时间叫作最切的周期，用T表示.周期周期的单位是秒(s).义意量周物陷的越.【拓展延伸】简谐运动的周期与什么因素有关？简谐运动的周期公式：7=2司,公式中m 为做简谐运动物体的质量，女为做简谐运动物体受到的合外力跟位移大小的比值.(特例：水平方向的弹簧振子，女指弹簧的劲度系数)4.频率(1)单位时间内完成全振动的次数，叫作振动的频率，用/表示.(2)单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹(Hz).（3）意义：频率是表示物体振动快慢的物理量.频率越大，表示振动得越快；频率越小，表示振动得越慢.（4）频率与周期的关系：T=j.（1）简谐运动的频率（周期）由振动系统本身的因素决定，与振幅和其他因素无关，因此又称固有频率（周期）.（2）简谐运动的频率不是用来描述振动物体某时刻运动快慢的物理量，而是用来描述完成一次全振动快慢的物理量.简谐运动的振幅和周期（频率）分别表示振动的强弱和快慢，各自是独立的，即振动的强弱与振动的快慢没有关系.或者说：周期（频率）与振幅无关.5.相位在物理学中，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态.【例 1】如右图所示，弹簧振子以0 为平衡位置在8 C 间做简谐运动，则（）.BA.从 B f 0 C为一次全振动B.从 O BfOf。为一次全振动C.从。一。一8 一0 一。为一次全振动D.从。-。-。-*3-。为一次全振动【审题指导】思路1：全振动的意义是什么？物体完成一次全振动时，一定回到了初位置,且以与原来相同的速度回到初位置.思 路 2：全振动中路程与振幅有固定关系，即一次全振动通过的路程是振幅的4倍.【解析】一次全振动不是必须从平衡位置开始计时，只要再次同向经过某一位置，就完成了一次全振动，运动时间就是一个周期，运动的路程为4个振幅.【答案】C考点二简谐运动的表达式1.简谐运动的表达式：x=A s i n(M+9).(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移，/表示振动的时间.(2)4表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅.(3)称为简谐运动的圆频率，它也表示做简谐运动的物体振动的快慢.。与2 7 r周期T及频率/的关系为。=竿=2班所以简谐运动的表达式也可写成：2兀x=A s i n(y v+s)或 x=A s i n(2 侬+s).(4加表示f=0时，简谐运动的质点所处的状态，称为初相位或初相.(5)(o f+s)代表了简谐运动的质点在f时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位.2.相位差(1)相位差是指两个相位之差，在实际应用中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，它反映出两个简谐运动的步调差异.设两频率相同的简谐运动的振动方程分别为x i=4 s i n(/+a)，X 2=A 2 s i n(t u/+夕2),它们的相位差0 =(0/+夕2)(3+夕1)=夕2 0 1.可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差.(2)若(p =(PB(pX 0,则称B的相位比A的相位超前夕或A的相位比B的相位落后。若(P=(PB(PAlsin(y/+9),可见回复力随时间按正弦规律变化.(5)回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力,还可以由某个力的分力提供.例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，机随M 一起振动，的回复力是静摩擦力.【拓展延伸】回复力为0 时，物体所受合力一定为0 吗？物体做简谐运动到平衡位置时，回复力为0,但合力可能不为0.例如：物体沿圆弧做简谐运动，如图所示.当小球运动到圆弧的最低点(平衡位置)时，回复力为0,小球所受的合力用来提供向心力，所以小球所受的合力不为0.4.简谐运动的动力学定义如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动.5.简谐运动的运动学特征由简谐运动的回复力尸=一 和牛顿第二定律，可得简谐运动的加速度a=A=一詈.此式表明加速度的大小与振动物体的位移成正比，方向始终与位移方向相反.(1)简谐运动是一种变加速度的往复运动.物体离开平衡位置的运动是加速度不断增大的减速运动，物体向着平衡位置的运动是加速度不断减小的加速运动.(2)回复力尸=一日和加速度。=一 靠 是简谐运动的动力学特征和运动学特征.一个物体是否做简谐运动，在它满足了在平衡位置附近做振动的运动特征后，就k看它是否满足F=kx或a=x.【例 11 弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中()A.振子所受的回复力逐渐增大B.振子的位移逐渐增大C.振子的速度逐渐减小D.振子的加速度逐渐减小【审题指导】1.简谐运动的回复力与位移有什么样的关系？2.简谐运动的回复力一定是振动物体所受合力吗？3.简谐运动过程中加速度与回复力有怎样的关系？4.简谐运动过程中振动物体的速度与加速度有怎样的联系？【解析】振子位移特指由平衡位置指向振动物体所在位置的位移，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小，而回复力与位移的大小成正比，故回复力也减小，所以A、B 错误；由牛顿第二定律a=A 得，加速度也减小，物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大，所以C 错误，D 正确.【答案】D考点二简谐运动的能量1.简谐运动的能量弹簧振子的振动过程是一个动能和势能不断转化的过程.如下图所示，水平弹簧振子在A 3 之间往复运动，它在一个周期内的能量转化过程：A-。弹力做正功，弹性势能转化为动能；0-8弹力做负功，动能转化为弹性势能；8一。弹力做正功，弹性势能转化为动能；0-A弹力做负功，动能转化为弹性势能.2.关于简谐运动能量的理解(1)若不考虑阻力，弹簧振子在振动过程中只有弹力做功，故在任意时刻的动能与势能之和不变，即机械能守恒.(2)简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量越大.在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，因此简谐运动又称等幅振动，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去.从能量转化角度分析，简谐运动没有考虑阻力做功的能量损耗.实际的运动会受到摩擦或空气阻力，但简谐运动中忽略了其他阻力，因此简谐运动是一种理想化的模型.(3)在一个振动周期内，动能和势能完成两次周期性变化.经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小.振子经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能.势能可以是重力势能，可以是弹性势能，也可以是重力势能和弹性势能之和(如沿竖直方向振动的弹簧振子)，我们规定以平衡位置为零势能位置.【例2】(多选)如右图所示，一弹簧振子在A、8间做简谐运动，平衡位置为0,已知振子的质量为M,若振子运动到8处时将一质量为机的物体放到M的上面，且 机 和M无相对运动而一起运动，下列叙述正确的是()A O BA.振幅不变B.振幅减小C.最大动能不变 D.最大动能减小【审题指导】1.做简谐运动的弹簧振子系统机械能守恒吗？2.质量为m的物体放在质量为M的振子上，在这个过程中有没有机械能损失？为什么？3.本题中如果质量为加的物体放在质量为M的振子上有相对滑动，系统的机械能有没有损失？为什么？【解析】振子运动到B点时速度恰为0,此时放上加，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不 变.因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误.【答案】AC考点三简谐运动中各物理量的变化规律如下图所示，振 子 以。为平衡位置在A 3之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：UUUUUUUUUUUUUUg）,故答案为D选项.!A开始触地（加速度为g,方向竖直向下）O平衡位置（速度最大为1，加速度为零）.4 （A点的对称位置，加速度为g,方向竖直向上，速度为卬8最低点（速度为零，加速度为ag,方向竖直向上）/,【答案】D本题巧妙之处在于找出了 A的对称点A,A 并不是运动的最低点，A、A两点速度、加速度对称，在A 点下面的8点为最低点，加速度最大，这样问题就迎刃而解.4.单摆5实验：用单摆测量重力加速度一 单 摆1.由细线和小球组成,如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球的质量相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略.忽略摆动过程中所受阻力的作用，是理想化模型.2.单摆的回复力(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力.(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力和它偏离平衡位置的位移大小成正也方向总是指向壬衡位置,即F一等(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动,其振动图像遵循正弦函数规律.二、单摆的周期1.荷兰物理学家惠里斯确定了计算单摆周期的公式7=尔/|，其中/表示摆长,1表示当地的重力加速度.由公式可以看出单摆的周期与摆球质量无关,在振幅较小时与振幅无关.2.由单摆周期公式T=27T 4可 得g=竽，只要测出单摆的摆长和周期,就可以求出当地的重力加速度.对点训练机械摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用，其走时快慢是由摆钟的周期决定的.如果有条件，可以拆开摆钟看看，在分析其原理后，说明如何调整其走时快慢.提示：机械摆钟工作是以钟摆完成一定数量的全振动，从而带动分针、时针转动实现的，因此摆钟振动的周期就反映了摆钟走时的快慢.钟摆振动的频率与时间有关，它振动的周期越长，在一定时间内全振动的次数就越少，摆钟显示的时间走得就越慢.因此，如果摆钟变快，其振动频率也加大，振动周期变小了，所以要恢复正常，应该增大其摆长；如果摆钟走时变慢，其振动频率也变小，振动周期变大了，所以要恢复正常，应该减小其摆长.三、用单摆测量重力加速度1.原理由丁=2八 得g=窄.所以,只要测出单摆的摆长和周期，就可计算出当地的重力加速度.2.器材铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m 左右)、刻度尺、游标卡尺.3 .实验步骤(1)让细线穿过球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆.(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.在单摆平衡位置处做上标记.(3)用刻度尺量出悬线长,用游标卡尺测出摆球的直径d,然后计算出悬点到球心的距离/=/+$即 为 摆 长.(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角度不大于5,再释放小球.当摆球摆动稳定以后，经过最低位置时，用停表开始计时，测量单摆全振动3 0 次(或5 0 次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期.(5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格.4.数据处理方法1：平均值法：将每次测出的周期T及测得的摆长/代入公式g=等，求出重力加速度的值，然后求g的平均值.方法2：图像法：对表格中列出的数据进行整理，以/为 纵轴，以/为横轴建立直角坐标系，作出TV图像，根据图像可以求得斜率左，则8=年.温馨提示：1.选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1 m,小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 c m.2 .摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度不大于5。.3 .摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆.4.计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测多次(如3 0 次或5 0 次)全振动的时间，用取平均值的办法求周期.考点一单摆1.定义：如右图所示，在一根长细线下悬挂一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆,它是实际摆的理想化模型.2.实际摆看成单摆的条件(1)悬线的形变量与悬线长度相比小得多.悬线的质量与摆球质量相比小得多.这时可把悬线看成是不可伸长且没有质量的细线.(2)摆球的大小与悬线长度相比小得多，这时可把摆球看成是没有大小只有质量的质点.【方法指导】理想模型法为了满足上述条件及尽量减小空气阻力的影响，组成单摆的摆球应选择质量大而体积小的球，线应尽量选择细而轻且弹性小的线.单摆是实际摆的理想化模型.3.摆长和最大偏角(1)摆长：摆球重心到摆动圆弧圆心的距离/=/o+R(其中/()为细线长，R为小球半径)(2)最大偏角：摆球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角为夕【例1】下图中的各种摆的模型，哪种或哪些是单摆？【审题指导】单摆是理想的模型，忽略绳子的质量和伸缩，忽略小球的直径.【解析】的悬绳是粗绳，绳的质量不可忽略，不是单摆；的悬绳是橡皮筋，伸缩不可忽略，不是单摆；的悬绳长度不是远大于球的直径，不是单摆；是单摆；的上端没有固定，也不是单摆.【答案】是单摆考点二单摆的回复力1.单摆的平衡位置如右图所示，摆球静止在。点时，悬线竖直下垂，摆球所受到的重力G与悬线的拉力/平衡，合力为零，小球保持静止，所以。点是单摆的平衡位置.2.单摆的回复力(1)如上图所示，摆球运动到某点P时，摆球受重力G和绳子拉力尸 两个力作用，将重力沿切向、径向正交分解，则绳子的拉力F 与重力的径向分量G i的合力提供了摆球做圆周运动所需要的向心力，而重力的切向分力F则提供了摆球振动所需要的回复力F=mgsinO.单摆的回复力不是由合力提供的.(2)单摆在摆角很小时做简谐运动设单摆的摆长为/,在最大偏角。很小的条件下，摆球对。点的位移x的大小与。角所对应的弧长OP、e角所对应的弦长OP都近似相等，即X=OP=OP,单摆做简谐运动是有条件的.0P若摆角。用弧度表示，则由数学关系知sin。心，=一 厂=木 则重力沿切向的尤分力 F=mgsm0mi，令 =等，则/=丘，因为F的方向与x方向相反，故 尸=一日.由此可见，单摆在摆角很小条件下的振动为简谐运动.3.单摆的振动图像我们已经知道，简谐运动的图像是正弦曲线（或余弦曲线），而在偏角很小的情况下，单摆做简谐运动，故它的振动图像也是正弦曲线（或余弦曲线）.4.理解单摆的受力和运动特点（1）摆球以悬挂点为圆心在竖直平面内沿圆弧做变速圆周运动，做圆周运动需要向心力，向心力由绳子的拉力与重力的径向分力的合力提供.（2）摆球以最低点为平衡位置做振动，做振动需要回复力，回复力由摆球重力的切向分力提供（或者说是由摆球所受合外力沿圆弧的切向分力提供）.（3）单摆的运动既有圆周运动，又有简谐运动（摆角很小的情况下）.单摆振动的平衡位置：回复力F为零，而合力不为零，此时合力提供摆球做圆周运动的向心力.单摆振动的最大位移处：向心力（F Gi）为零，而合力不为零，此时合力提供摆球振动的回复力.【例2】下列关于单摆的说法，正确的是（）A.单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为4 A为振幅），从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为一AB.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力C.单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零【审题指导】1.单摆的位移是怎样定义的？2.单摆的回复力是摆球的合力吗？3.弹簧振子经过平衡位置时加速度多大？4.单摆摆球经过平衡位置时摆球的加速度是零吗？【解析】简谐运动中的位移是以平衡位置为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A,在平衡位置时位移应为零，A错；摆球的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力（等于重力沿圆弧切线方向的分力）提供，合外力在摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点（振动的平衡位置）时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零（摆球在最高点时，向心力为零，回复力最大，合外力也不为零），B错,C正确；单摆经过平衡位置时所受合外力不为零，此时回复力为零，但向心力不为零，合外力刚好提供向心力，所以此时摆球加速度不为零，这与弹簧振子有所不同，弹簧振子经过平衡位置时，所受合外力为零，加速度为零，D错，故正确答案为c.【答案】C考点三单摆的周期1.定性实验探究如图所示：(1)单摆振动的周期和振幅无关单摆的等时性把悬挂在同一高度的两个相同的单摆的摆球拉到不同高度同时释放，使其做简谐运动.现象：摆球完成一次全振动所用时间相同.(2)单摆的周期与摆球质量无关摆长相同，将质量不同的摆球拉到同一高度同时释放，使其做简谐运动.现象：两摆球振动是同步的.(3)单摆振动的周期和摆长有关摆长不同，将质量相同的摆球拉到同一高度同时释放使其做简谐运动.现象：两摆球振动不同步，而且摆长越长，振动就越慢.结论：单摆的振动周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，与摆长有关.摆长越长，周期越大.2.定量实验探究单摆周期与摆长的关系(1)如图所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，于是做成了一个单摆.用停表测出单摆做3050次全振动的时间，计算出它的周期，并测出单摆的摆长(用刻度尺量出摆线长度，用游标卡尺测量摆球的直径，并算出半径，摆线长度与摆球半径之和就是单摆的摆长).(2)改变摆长，测量各组不同摆长、周期的数据，把它们填在表格中.(3)先通过估算，对周期7 与摆长/的定量关系作出猜测，如可能是N/、TJ/2,或 者人 也T山,然后按照猜测来确定纵坐标轴和横坐标轴.例如，如果我们通过简单的估算，认为很可能是T P,那么可以用纵坐标表示T,横坐标表示巴 作出图像.如果这样作出的图像确定是一条过原点的直线，说明的确有T8 弹的关系，否则再做其他尝试.结论：单摆振动的周期T与摆长的二次方根3成正比，即 人-3.3.单摆的周期公式由公式可知，单摆振动周期与振幅及摆球质量无关.荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆长的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根成反比，而跟摆球的质量和振幅无关.惠更斯确定了计算单摆周期的公式7=2口 .式中/为悬点到摆球球心的距离，g 为当地的重力加速度.【例 3】已知在单摆。完成10次全振动的时间内，单摆人完成了 6 次全振动，两单摆的摆长之差为1.6 m,则两单摆的摆长。与人分别为()A.4/=25 m,lb=0.9 m B.la=0.9 m,lb=2.5 mC.la=2A m,4=4.0 m D.=4.0m，lb=2A m【审题指导】由久b 相同时间内的全振动次数可求周期关系，由周期关系可得到摆长之比,结合题目给出的摆长之差就可解出摆长.【解析】设两单摆的周期分别为乙和,依题意知10Ta=6Tb,据T=2八g,可 知/=需，所以 lb=T 瑶=36 100,又 lbla=1.6 m,则 /a=0.9 m,lb=2,.5 m.地球上同一位置重力加速度相同，单摆的周期跟摆长的平方根成正比.【答案】B【例4】如图所示，光滑的半球壳半径为R,。点在球心。的正下方，一小球甲由距。点很近的A 点静止放开，RAOO)R(1)若另一小球乙从球心O处自由落下，求两球第一次到达。点的时间比；(2)若另一小球丙在。点正上方某处自由落下，为使其和甲球在O点相碰，小球应由多高处自由落下？【审题指导】1 .甲球从A点释放后做什么运动？2 .能否根据运动学知识求出甲球到达。点所用时间？3 .把甲球的运动看成类单摆，等效摆长是什么？【解析】(1)甲球沿圆弧做简谐运动，它第一次到达O处的时间为：乙球做自由落体运动，到达O处的时间为7 2.R=j g A,所 以 t2=、l飞t2=取n 4.(2)小球甲从A点由静止释放运动到O点的时间为，=孑(2-1)(=1,2,3,),由O点正上方自由落下的小球丙到达O点的时间也为t时两球才能在O点相碰,所以1)1 4 7c 2/?(2 n1 )2K2/?。=方-=(2-1)-=(=1,2,3,-)r (2 n l)2n2/?【答案】/兀4 1-一(=1,2,3,)【例5 用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示.(1)组装单摆时，应在下列器材中选用(选填选项前的字母).A.长度为1 m左右的细线B.长度为30 cm左右的细线C.直径为1.8 cm的塑料球D.直径为1.8 cm的铁球（2）测出悬点。到小球球心的距离（摆长江及单摆完成次全振动所用的时间t,则重力加速度g=（用L、，表示）.（3）下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理.组次123摆长L/cm80.0090.00100.0050次全振动时间t/s90.095.5100.5振动周期77s1.801.91重力加速度g/（m.s一2）9.749.73请计算出第3组实验中的T=s,g=m/s2.（4）用多组实验数据作出T2-L图像，也可以求出重力加速度g.已知三位同学作出的r-L图线的示意图如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，。和c都过原点,图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值.则相对于图线A下列分析正确的是（选填选项前的字母）.A.出现图线。的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长LB.出现图线c的原因可能是误将4 9次全振动记为50次C.图线c对应的g值小于图线人对应的g值（5）某同学在家里测重力加速度.他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图所示，由于家里只有一根量程为030 cm的刻度尺，于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点。到A点间的细线长度小于刻度尺量程.保持该标记以下的细线长度不变，通过改变0、A间细线长度以改变摆长.实验中，当。、A间细线的长度分别为/1/2时，测得相应单摆的周期为乃、乃.由此可得重力加速度g=（用 ll、T 1、72 表示）.【审题指导】(1)“用单摆测定重力加速度”的实验中，细线和小球的选材有什么要求？(2)已知摆长和完成次全振动的时间，如何根据实验原理求解重力加速度？(3)已知图表中给出的数据，思考如何求解振动周期和重力加速度？(4)根据重力加速度的求解公式，r-L图像的斜率和截距各代表什么物理意义？(5)单摆的实际摆长如何确定，能否列出两个方程组成方程组求解重力加速度？【解析】(1)组装单摆时，应 选 用1m左右的细线，摆球应选择体积小、密度大的球，选项A、D正确.(2)单摆的振动周期T=:“e-7 p 4n2L 4n2n2L根据 T=2TVI,仔 g=jo-p(3)73=2.01 S.7 4兀2乙根据 得 g=七9.76 m/s2.(4)根 据7=2仁/与 得/=生二心 即当L=0时，/=0.出现图线a的原因是Y g g计算摆长时，误将悬点0到小球上端的距离记为摆长，选 项A错 误.对 于 图 线c,其斜率%变小了，根据=系，可能是T变小了或L变大了.由段二人得8二*2,则%变 小，重力加速度g变大，选 项C错 误.选 项B中误将49次全振动记为50次，则周期T变小，选项B正确.(5)设A点到铁锁重心的距离为h根据单摆的周期公式T=2TTJ|,得Ti=/Z l+/()“2 +/0 、.4712aL，2)2勺7一,乃=2兀 y 一,联五以上两式，解 得 重 力 加 速 度 且=1_ 屋.4兀2 2乙【答案】(1)AD(3)2.01 9.76(4)B4兀2(/一(5)不 一 下用单摆测定重力加速度1.实验原理单摆在摆角很小时，由 单 摆 周 期 公 式 得8=竿.测得单摆的摆长/和振动周期T,就可以测出当地的重力加速度.对单摆周期公式T=2 A 的理解：(1)公式成立的条件是单摆的偏角不大于5.(2)在振幅较小的条件下，单摆的振动周期与单摆的振幅无关，与摆球的质量也无关.(3)周期公式中的摆长1是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不是摆线的长度.2.实验器材铁架台及铁夹、金属小球(最好上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺.3.实验步骤(1)做单摆：让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结.把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记.(2)测摆长:1=1 用毫米刻度尺量出悬线长/，如图甲所示.用游标卡尺测出摆球的直径比 如图乙所示.图甲 图乙(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足偏角小于5。，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，用秒表测量单摆完成30次(或50次)全振动的时间人计算出平均摆动一次的时间T=；,即为单摆的振动周期.4.求重力加速度：把测得的周期和摆长的数值代入公式，求出重力加速度g的值.5.多次测量求平均值改变摆长，重做几次实验.计算出每次实验的重力加速度.最后求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即可作为本地区的重力加速度.【拓展延伸】如果要求用图像法来测定重力加速度，那么应该如何建立坐标系？分别以/和尸为纵坐标和横坐标，作 出/=条 尸 的 图 像，它应该是过原点的一条直线，根据这条直线可以求出斜率3则重力加速度值g=47l2%.由于/T的图像不是直线，不便于进行数据处理，所以采用/一72的图像，目的是将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度.6.注意事项(1)细线的质量和弹性要小，如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1 m,小球要选用体积小、密度大的金属球，直径最好不超过2 cm.(2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象.(3)摆长是悬点到球心的距离，等于摆线长加上小球半径.(4)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小.(5)计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计，以后摆球从同一方向通过最低点时计数；要多测几次(如30次 或50次)全振动的时间，用取平均值的办法求周期.【拓展延伸】为什么摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆？如图所示，用细线悬吊小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，即细线所扫过的面为圆锥面，通常我们称为圆锥摆，实际上圆锥摆中小球的运动不是振动，是匀速圆周运动.设运动过程中细线与竖直方向夹角为区线长为/,则小球做圆周运动的半径r=lsin