不等式-备战2021年高考数学（理）之纠错笔记系列（解析版）.pdf

专 题 0 7 不 等 式 易 错 点 1 忽 视 不 等 式 隐 含 条 件 致 误-侠 1 9 设/(x)=/+法，若 1/(-1)2,2/(1)4,!(11/(-2)的 取 值 范 围 是【错 解】由 2/(1)4 a-b 2得 2 a+b 4-得:3+得：-3,2-b l.2由 此 得 4+n(a+b),即 4-2Z=(m+)a+(-/n)b,于 是 得，解 得，.f(-2)=3n-m=-2 n=1/(-1)+/(1).又.T 0 7(l)0 2,2 0/(l),.5/3/(-1)+八 1)3 0,即 5W/(-2)W 10.解 法 二：由,f=a+b，得：=-/(T)/(-2)=4 a-2 6=3/(-I)+/(1).又：区 了(一 1)5 2,2 5/(1)=4,.5 4 3/(-1)+/(1)5 1 0,即 5W/(-2)4 0.1 a h 2解 法 三：由 题 意，得 4 一，确 定 的 平 面 区 域 如 图 中 阴 影 部 分 所 示.2 a+b 3 1当/(-2)=4-2/)过 点 A(-,-)时,取 得 最 小 值 4x-3 2 x 21=5；2 2当/(一 2)=4a-2b 过 点 8(3,1)时，取 得 最 大 值 4X3-2x1=10,.5W/(-2)V10.【答 案】5,10 易 错 点 击(1)此 类 问 题 的 一 般 解 法：先 建 立 待 求 整 体 与 已 知 范 围 的 整 体 的 关 系，最 后 通 过“一 次 性”使 用 不 等 式 的 运 算 求 得 整 体 范 围；(2)求 范 围 问 题 如 果 多 次 利 用 不 等 式 的 性 质 有 可 能 扩 大 变 量 取 值 范 围.*即 时 巩 固 1.己 知 实 数 x,V满 足-4 x-y 4-l,-l 4 x-y 5,则 9 x-y 的 取 值 范 围 是 A.-7,26 B.-1,20C.4,15 D.1,151【答 案】Bn-mX-3-，【解 析】解：令 加=x-y,=n-4/n则 z=9 x-y=-n-m,-4 m-m,3 3 3 3 3Q Q 4。Q X v-1 n 5 n 一,因 此 一 1 z=9 x-y=”m 2 0,故 选 B.3 3 3 3 3【名 师 点 睛】本 题 考 查 了 利 用 不 等 式 的 性 质，求 不 等 式 的 取 值 范 围 问 题，利 用 不 等 式 同 向 可 加 性 是 解 题 的 关 键.易 错 点 2 忽 略 不 等 式 性 质 成 立 的 条 件 _ 供 阚 分 影 若 Q vZ?,c vO,则 bc-3,贝 ijab；a b 若/?且 ZwN，则/bk；若 C Q Z?0,则 a b-.c-a c-b其 中 正 确 命 题 的 序 号 是.1 1 c C【错 解】。上,又 c0,则 上 上，故 正 确；当 ca00 知 c-ac-b0,；.0,故 c-a c-b，二，竺，故 不 正 确.故 填 二 ca c-b c-b【错 因 分 析】忽 略 了 不 等 式 性 质 成 立 的 条 件；中 的 推 论 显 然 不 正 确.【试 题 解 析】当 初。时，工 不 成 立，故 不 正 确；a b 当 cb不 成 立，故 不 正 确；当=1,6=-2,右 2时，命 题 不 成 立，故 不 正 确；由 ab0=0vc-a1 一“两 边 同 乘 以-!-，得 0 一 b 0,.一 也，故 正 确.故 填.c-a c-b c-b【答 案】,易 错 点 击 不 等 式 的 性 质 的 几 点 注 意 事 项(1)在 应 用 传 递 性 时，如 果 两 个 不 等 式 中 有 一 个 带 等 号 而 另 一 个 不 带 等 号，那 么 等 号 是 传 递 不 过 去 的.如 a0b,bac.快 速 找 到 最 大 值 点 或 最 小 值 点.（2）顶 点 代 入 法：依 约 束 条 件 画 出 可 行 域;解 方 程 组 得 出 可 行 域 各 顶 点 的 坐 标;分 别 计 算 出 各 顶 点 处 目 标 函 数 z ax+by的 值，经 比 较 后 得 出 z 的 最 大（小）值.求 解 时 需 要 注 意 以 下 几 点：（口）在 可 行 解 中，只 有 一 组（x,y）使 目 标 函 数 取 得 最 值 时，最 优 解 只 有.1个.如 边 界 为 实 线 的 可 行 域 当 目 标 函 数 对 应 的 直 线 不 与 边 界 平 行 时，会 在 某 个 顶 点 处 取 得 最 值.（）同 时 有 多 个 可 行 解 取 得 一 样 的 最 值 时，最 优 解 有 多 个.如 边 界 为 实 线 的 可 行 域，目 标 函 数 对 应 的 直 线 与 某 一 边 界 线 平 行 时，会 有 多 个 最 优 解.（）可 行 域 一 边 开 放 或 边 界 线 为 虚 线 均 可 导 致 目 标 函 数 找 不 到 相 应 的 最 值，此 时 也 就 不 存 在 最 优 解.四、基 本 不 等 式 1.利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 的 方 法 利 用 基 本 不 等 式，通 过 恒 等 变 形 及 配 凑，使“和”或“积”为 定 值.常 见 的 变 形 手 段 有 拆、并、配.（1）拆 裂 项 拆 项 对 分 子 的 次 数 不 低 于 分 母 次 数 的 分 式 进 行 整 式 分 离 分 离 成 整 式 与“真 分 式”的 和，再 根 据 分 式 中 分 母 的 情 况 对 整 式 进 行 拆 项，为 应 用 基 本 不 等 式 凑 定 积 创 造 条 件.（2）并 分 组 并 项 目 的 是 分 组 后 各 组 可 以 单 独 应 用 基 本 不 等 式，或 分 组 后 先 由 一 组 应 用 基 本 不 等 式，再 组 与 组 之 间 应 用 基 本 不 等 式 得 出 最 值.（3）配 配 式 配 系 数 有 时 为 了 挖 掘 出“积 或 和 为 定 值，常 常 需 要 根 据 题 设 条 件 采 取 合 理 配 式、配 系 数 的 方 法，使 配 式 与 待 求 式 相 乘 后 可 以 应 用 基 本 不 等 式 得 出 定 值，或 配 以 恰 当 的 系 数 后，使 积 式 中 的 各 项 之 和 为 定 值.注 意：基 本 不 等 式 涉 及 的 量 为 正 实 数，同 时 验 证 等 号 能 否 取 到.分 子、分 母 有 一 个 一 次，一 个 二 次 的 分 式 结 构 的 函 数 以 及 含 有 两 个 变 量 的 函 数，适 合 用 基 本 不 等 式 求 最 值.取 倒 数 以 应 用 基 本 不 等 式 是 对 分 式 函 数 求 最 值 的 一 种 常 见 方 法.2.有 关 函 数 最 值 的 实 际 问 题 的 解 题 技 巧（1）根 据 实 际 问 题 抽 象 出 函 数 的 解 析 式，再 利 用 基 本 不 等 式 求 得 函 数 的 最 值.(2)设 变 量 时 一 般 要 把 求 最 大 值 或 最 小 值 的 变 量 定 义 为 函 数.(3)解 应 用 题 时，一 定 要 注 意 变 量 的 实 际 意 义 及 其 取 值 范 围.(4)在 应 用 基 本 不 等 式 求 函 数 最 值 时，若 等 号 取 不 到，可 利 用 函 数 的 单 调 性 求 解.1.【2019年 高 考 全 国 I卷 理 数】已 知 集 合 用=x 4x2,N=x|x2 一%6。,则 M C N=A.%H X 3 B.XH X-2C.x|-2x2 D.x2x3【答 案】C【解 析】由 题 意 得 M=X|-4 X 2,N=X|X2-X-6 0=X|-2 X 3,则 A/p|N=x-2x1,0 c cb B.ac log(.b D.ba1 匕 1,0cl 知，ccb.故 本 选 项 错 误.对 于 B 中，由 0cbc 故 本 选 项 错 误.对 于 C 中,由 0cl知，log,a6l,OC1知，a1-则 皿-aCT“力 加 7，即 5优 次/.故 本 选 项 正 确.故 选：D.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 了 不 等 式 的 性 质 及 其 应 用，其 中 解 答 中 熟 记 不 等 式 的 基 本 性 质，合 理 准 确 推 算 是 解 答 的 关 键，着 重 考 查 了 推 理 与 运 算 能 力，属 于 基 础 题.4.关 于 X 的 不 等 式 向：2一 国+4。2 0 的 解 集 是(-8,+8),则 实 数 4 的 取 值 范 围 是 1,+0 04C.1,+a_ 2【答 案】D【解 析】不 等 式 以 2 一 国+4a之 0的 解 集 是(,+0,当 XH0 时，闫+&,1x1-1 I 因 为 1x1+4-4 当 且 仅 当 国=2 等 号 成 立 1%1所 以 ae故 选：D.5.任 意 正 数 x,不 等 式 arKf+i 恒 成 立，则 实 数。的 最 大 值 为 A.1 B.42C.2 D.2【答 案】c【解 析】.x 0.飞 3=*X X又.天+1 2 2 了.工=2（当 且 仅 当 x=n x=l 取 到 等 号）,x v x x.a2.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 了 含 参 数 不 等 式 恒 成 立 时 参 数 的 取 值 范 围，常 用 的 方 法 有 分 离 参 数 法，再 结 合 基 本 不 等 式，转 化 成 求 最 值 的 问 题.6.2 0 1 9年 高 考 天 津 卷 理 数】设 变 量 苍 y 满 足 约 束 条 件 x+y 2(0,x-y+2 2 0,则 目 标 函 数 X.一 1,，一 1,z=-4 x+y 的 最 大 值 为 A.2 B.3C.5 D.6【答 案】C【解 析】已 知 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 中 的 阴 影 部 分.目 标 函 数 的 几 何 意 义 是 直 线 y=4 x+z 在 y 轴 上 的 截 距,故 目 标 函 数 在 点 A 处 取 得 最 大 值.由 vx-y+2=0,I，得 所 以 Z m,x=一 4 x(1)+1=5.故 选 C.【名 师 点 睛】线 性 规 划 问 题，首 一 先 明 确 可 行 域 对 应 的 是 封 闭 区 域 还 是 开 放 区 域，分 界 线 是 实 线 还 是 虚 线，其 次 确 定 目 标 函 数 的 几 何 意 义，是 求 直 线 的 截 距、两 点 间 距 离 的 平 方、直 线 的 斜 率、还 是 点 到 直 线 的 距 离 等 等，最 后 结 合 图 形 确 定 目 标 函 数 最 值 或 范 围.即：一 画，二 移，三 求.7.【2019年 高 考 全 国 II卷 理 数】若。冲，则 A.ln(a-b)0 B.3a0 D.|a|f t|【答 案】C【解 析】取。=2,b=l,满 足 a 8，ln(a-O)=O,知 A 错，排 除 A；因 为 9=3 30=3,知 B 错，排 除 B；取。=1,力=-2,满 足 1=时 b,所 以 a3，故 选 c.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 对 数 函 数 性 质、指 数 函 数 性 质、幕 函 数 性 质 及 绝 对 值 意 义，渗 透 了 逻 辑 推 理 和 运 算 能 力 素 养，利 用 特 殊 值 排 除 即 可 判 断.8.已 知 G(0,+8),若 m=+2,则 当 巴+2n2-2取 得 最 小 值 时,m+n=n 2 m nA.2 B.4C.6 D.8【答 案】C【解 析】因 为 m=%+2,所 以 nm=m+2小 巨+2几 2一 一 三=吐+2九 2一 2,下 面 只 需 求 2 m n 22 _ 2解+2彦 的 最 小 值 即 可.因 为 巾 九=m 4-2n 2v2匚 九,故 nm 8,又 三+2n2 mn=8,当 且 仅 当 m=2n=4时，等 号 成 立，此 时 加+=6.(x-y 2 4 09.设 实 数 x,y满 足 卜+2y-4 0,则/+y2的 最 小 值 为(x 0A.4 B.yC.m D.0【答 案】B 解 析】画 出 可 行 域 如 图 所 示，则 目 标 函 数/+y2的 几 何 意 义 是 可 行 域 内 的 点 到 原 点 距 离 的 平 方，所 以/+必 的 最 小 值 为 蓝，故 选 B.1x y 0 x-3y+2 0与 不 等 式-2y+m 0都 成 立，则 实 数 m的 x+y-6 0 B.m 1 D.m 3【答 案】B(x-y 0【解 析】由 题 意 作 出 k-3y+2 0所 表 示 的 平 面 区 域 如 图 中 阴 影 部 分 所 示,-2 y+(x+y 6 0m 0表 示 了 直 线 上 方 的 部 分,故 由?二 I 解 得 尸 3产 3,所 以 3-3x2+W0,解 得/3,(x-y故 选 B.x+2y 3 4 011.已 知 苍 满 足*x+3y-30,z=2x+y 的 最 大 值 为 加，若 正 数 a,人 满 足。+力=w,yWl1 4则 一+的 最 小 值 为 a b3A.9 B.-2【答 案】B由 z=2x+y 得 y=-2x+z,平 移 直 线 y=-2x+z,由 图 象 可 知 当 直 线 y=-2x+z经 过 点 A(3,0)时，直 线 y=-2x+z 的 截 距 最 大，此 时 z最 大.代 入 目 标 函 数 z=2x+y 得 z=2x3=6,即 加=6.1 4 1 1 4,1 b 4a、1/u c lb 4a、3则 a+b 6 l(l)(a+Z?)=(1+4 H-1-)(5+2.)=一 a b 6 a b 6 a b 6、a b 2当 且 仅 当。=2,=4 时 取 等 号，故 选 B.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 线 性 规 划 以 及 基 本 不 等 式 的 应 用，利 用 目 标 函 数 的 几 何 意 义,结 合 数 形 结 合 的 数 学 思 想 是 解 决 此 类 问 题 的 基 本 方 法.首 先 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域，再 利 用 目 标 函 数 的 几 何 意 义，求 最 大 值 加，然 后 根 据 基 本 不 等 式 的 性 质 进 行 求 解 即 可.12.已 知 关 于 x 的 不 等 式 x2-4x+6a2vO(a0)的 解 集 为(无 知,则 xi+x2+三-的 最 小 值 是 xlx2A.在 B.-V33 3C.-V6 D.-V33 3【答 案】c【解 析】由 题 意 可 知 R/2 是 方 程 x2-4ax+642=0两 个 根，则 久 1+%2=4 Q I%2=6 Q2,所 以 刘+X2+三=4a+W 2 1 巫，当 且 仅 当 a=渔 时，等 号 成 立.ou 3 1213.若 函 数 y=京 2 _ 2 x+l 的 定 义 域 为 R,则 实 数 4 的 取 值 范 围 是.【答 案】1,-KO）【解 析】函 数 y=J 辰 2 一 2x+1 的 定 义 域 为 R,丘 2一 2%+1 i 0 对 任 意 x w R 恒 成 立，当 我=0 时，不 等 式 化 为 2 X+1 N 0,对 任 意 x e R 不 恒 成 立;当 时,kQ则 4A=4 4Z40，解 得&21,综 上，实 数 我 的 取 值 范 围 是 1,+8）.故 答 案 为 1,+8）.【名 师 点 睛】本 题 考 查 函 数 的 定 义 域 及 其 求 法，考 查 数 学 转 化 思 想 方 法 及 分 类 讨 论 的 数 学 思 想 方 法，是 中 档 题.X 1,14.实 数 满 足 能 说 明“若 z=x+y 的 最 大 值 是 4,则 x=l,y=3”为 假 命 题 x+y 1,【解 析】实 数 X,y满 足，yx,的 可 行 域 以 及 x+）=4 的 直 线 方 程 如 图.能 说 明“若 kx+yx+y）值 是（2,2）（线 段 8 C 上 的 点 均 符 合 题 意）.故 答 案 为：（2,2）（答 案 不 唯 一）.【名 师 点 睛】本 题 考 查 线 性 规 划 的 简 单 应 用，画 出 可 行 域 是 解 题 的 关 键.1 5.已 知 a是 任 意 实 数，则 关 于 久 的 不 等 式(a2-a+2017严 0,y 0,x+2 y=5,所 以 x+2 y=5N 2 d x.2 y,即，而*,0 与”生，当 且 仅 当 x=2y=3 时 取 等 号 成 立.2 8 2又 因 为 2而+贪 2 2 2而=4百，当 且 仅 当 2而=+，即 孙=3时 取 25(x+l)(2y+l)广 等 号，结 合 盯 可 知，孙 可 以 取 到 3,故 一 京 一 的 最 小 值 为 4百.为.【答 案】x|-l x 1,(a2-a+2 0 1 7)/(a2-a+2017严 3,即/2 x+3,解 得-1 x 0,y 0,x+2 y=5,则(x+l)(2y+l)的 最 小 值 为【答 案】4 G【解 析】方 法-：(x+l)(2y+l)2孙+2丁+元+1 2移+6/方 法 二：Y X。，y 0,x+2 y=5,0,(1+1+1)=2孙+皆 四=宇=2而+0 2 2 a=4 3J 孙 g J x y yxy当 且 仅 当 q=3 时 等 号 成 立,(x+l)(2y+l)广 故 的 最 小 值 为 4 6【名 师 点 睛】使 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时 一 定 要 验 证 等 号 是 否 能 够 成 立.17.己 知 m 0,n 0,若 2m=1-2%则 巨+二 的 最 小 值 为.m n【答 案】96解 析】因 为 2nl 4-2n=l,m 0,n 0,所 以+?=(+(2m+2n)=6(10+、+寿”6(10+2 96,当 且 仅 当？=当 即 m=i,n=|时，等 号 成 立./,%y+2 0,18.已 知 实 数 x j 满 足 不 等 式 组 x+y 4 N 0,则 z=+户 10y+25的 最 大 值 为.v2x y 5 0,【答 案】65【解 析】作 出 不 等 式 组 所 表 示 的 可 行 域,如 图 中 阴 影 部 分 所 示，因 为 2+产 0),+25=。-0)2+65)2的 儿 何 意 义 表 示 可 行 域 中 的 点(X/)到 定 点 M(0,5)的 距 离 的 平 方.结 合 图 象 易 知 点。到 点 M 的 距 离 最 大，由 I：2；_ 得 C(7,9),则 zmax=(7-0)2+(9-5)2=65.L X-y u,(x-y-2 0,则 H 上 的 取 值 范 围 是.ly-2 0,所 以 当 部 最 大(小)值 时,例 最 小(大)值，由 图 可 知当(可)=(1,2)时,(r)max=2,同 时(1)min=5,所 以“max=e)max-(7)min=p当(X,y)=(3,1)时,()min=,l5J时（,）max=3,所 以 min=e）min-（）ma*=-,所 以 W 的 取 值 范 围 是 20.在 必 台。中，角 A 氏 C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,Z A B C=2Q0,N A 8 C 的 平 分 线 交 A C 于 点。，且 B O=1，则 4 a+c 的 最 小 值 为【答 案】9【解 析】由 题 意 可 知，5A1阮=5 9+ScD，由 角 平 分 线 性 质 和 三 角 形 面 积 公 式 得 tzcsin 120=a x 1 xsin60+cx 1 x sin60,化 简 得 ac=a+c,+工=1,2 2 2 a c因 此 4a+c=（4a+c）（+=5+生 之 5+2）.生=9,当 且 仅 当 c=2a=3a c）a c a c时 取 等 号，则 4a+c 的 最 小 值 为 9.【名 师 点 睛】在 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，要 特 别 注 意“拆、拼、凑 等 技 巧，使 其 满 足 基 本 不 等 式 中“正（即 条 件 要 求 中 字 母 为 正 数）、“定”（不 等 式 的 另 一 边 必 须 为 定 值）、“等”（等 号 取 得 的 条 件）的 条 件 才 能 应 用，否 则 会 出 现 错 误.2 1.【2019年 高 考 北 京 卷 理 数】李 明 自 主 创 业，在 网 上 经 营 一 家 水 果 店，销 售 的 水 果 中 有 草 莓、京 白 梨、西 瓜、桃，价 格 依 次 为 60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为 增 加 销 量，李 明 对 这 四 种 水 果 进 行 促 销：一 次 购 买 水 果 的 总 价 达 到 120元,顾 客 就 少 付 x 元.每 笔 订 单 顾 客 网 上 支 付 成 功 后，李 明 会 得 到 支 付 款 的 80%.当 x=10时，顾 客 一 次 购 买 草 莓 和 西 瓜 各 1盒，需 要 支 付 元；在 促 销 活 动 中，为 保 证 李 明 每 笔 订 单 得 到 的 金 额 均 不 低 于 促 销 前 总 价 的 七 折，则 x 的 最 大 值 为.【答 案】130；15.【解 析】（1）x=10,顾 客 一 次 购 买 草 莓 和 西 瓜 各 一 盒，需 要 支 付（60+80）-10=130元.（2）设 顾 客 一 次 购 买 水 果 的 促 销 前 总 价 为 y 元，120元 时，李 明 得 到 的 金 额 为 y x 8 0%,符 合 要 求 丁 2 1 2 0元 时,有（一%）*8 0%?/7 0%恒 成 立,即 8&7）2 7丁/4 2,即 8T j 5 元.所 以 x 的 最 大 值 为 15.名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 不 等 式 的 概 念 与 性 质、数 学 的 应 用 意 识、数 学 式 子 变 形 与 运 算 求 解 能 力,以 实 际 生 活 为 背 景，创 设 问 题 情 境，考 查 学 生 身 边 的 数 学，考 查 学 生 的 数 学 建 模 素 养.y x2 2.已 知 实 数 X,y 满 足 x+3 y 4,则 z=|3 x+y|的 最 大 值 是.x N 2【答 案】8【解 析】由 约 束 条 件 可 知 可 行 域 为 图 中 阴 影 部 分 所 示：其 中 4（一 2,-2）,C（-2,2）乂 Z=与 营 l x 河，可 知 Z的 几 何 意 义 为 可 行 域 中 的 点 到 直 线 3x+y=0 距 离 的 而 倍 可 行 域 中 点 到 直 线 3x+y=0 距 离 最 大 的 点 为 A（-2,-2）.,3 x（2）-2|=8,故 填 8.【名 师 点 睛】本 题 考 查 利 用 线 性 规 划 求 解 最 值 的 问 题，关 键 是 能 够 明 确 目 标 函 数 所 表 示 的 几 何 意 义，利 用 数 形 结 合 来 进 行 求 解.4 0+b23.已 知。0/0,c0,若 点 P（。回 在 直 线 x+y+c=2 上,则+的 最 小 a+b c值 为.【答 案】2+2企【解 析】.P（a,b）在 x+y+c=2上,a+b+c=2+/?=2-c0,4 a+b 4 2-c 4 2.-+-=-+-=-+1,a+b c 2-c c 2-c c2-c=m设，则 加+=2,c=n4 2 4 2 m+n-1=-x2-c c m n 24 2、4-m n）c 2n t、c3+3+2m n当 m 2=2,即。=2夜 一 2时，“=”成 立，/.+-1 3+272-1=2+272,2 c c4 0+b即-+-的 最 小 值 为 2+2血，故 答 案 为 2+2夜.a+b c【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值，属 于 难 题.利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，一 定 要 正 确 理 解 和 掌 握“一 正，二 定，三 相 等”的 内 涵：一 正 是，首 先 要 判 断 参 数 是 否 为 正；二 定 是，其 次 要 看 和 或 积 是 否 为 定 值（和 定 积 最 大，积 定 和 最 小）：三 相 等 是，最 后 一 定 要 验 证 等 号 能 否 成 立（主 要 注 意 两 点，一 是 相 等 时 参 数 是 否 在 定 义 域 内，二 是 多 次 用 2或 4 时 等 号 能 否 同 时 成 立）.24.某 研 究 所 计 划 利 用 宇 宙 飞 船 进 行 新 产 品 搭 载 试 验，计 划 搭 载 若 干 件 新 产 品 A,B,该 研 究 所 要 根 据 产 品 的 研 制 成 本、产 品 重 量、搭 载 试 验 费 用 和 预 计 收 益 来 决 定 具 体 安 排，通 过 调 查 得 到 的 有 关 数 据 如 表：每 件 A 产 品 每 件 B 产 品 研 制 成 本、搭 载 试 验 费 用 之 和（万 元）20 30产 品 重 量（千 克）10 580 预 计 收 益（万 元）60已 知 研 制 成 本、搭 载 试 验 费 用 之 和 的 最 大 资 金 为 3 0 0万 元，最 大 搭 载 重 量 为 110千 克，则 如 何 安 排 这 两 种 产 品 进 行 搭 载,才 能 使 总 预 计 收 益 达 到 最 大，最 大 预 计 收 益 是 多 少？【答 案】9 6 0万 元【解 析】设 搭 载 A 产 品 x 件,B 产 品 y 件，则 预 计 收 益 z=80 x+6Qy,由 题 意 知,20 x+30y 300,10 x+5y110,x e N,*N,作 出 可 行 域 如 图 所 示.80 x+6Qy=0作 出 直 线/:80 x+60v=0并 平 移，由 图 形 知,当 直 线 经 过 点 M 时/取 得 最 大 值,20 x+30y=300,10 x+5y=110,x=9,、y=4,解 得 即 M9,4).所 以 Zmax=80 x9+60 x4=960（万 元），所 以 搭 载 9件 A 产 品,4件 B产 品,才 能 使 总 预 计 收 益 达 到 最 大，最 大 预 计 收 益 为 960万 元.专 题 0 8 立 体 几 何 易 错 点 1 对 空 间 几 何 体 的 结 构 认 识 不 准 确 致 错 供 阚 分 防 例 有 一 种 骰 子，每 一 面 上 都 有 一 个 英 文 字 母，如 图 是 从 3 个 不 同 的 角 度 看 同 一 粒 骰 子 的 情 形，请 画 出 骰 子 的 一 个 侧 面 展 开 图，并 根 据 展 开 图 说 明 字 母”对 面 的 字 母是.【错 解】P【错 因 分 析】空 间 想 象 能 力 差 而 乱 猜 一 气，实 际 上 可 以 动 手 制 作 模 型，通 过 折 叠 得 出 答 案.【试 题 解 析】将 原 正 方 体 外 面 朝 上 展 开，得 其 表 面 字 母 的 排 列 如 图 所 示，易 得 对 面 的 字 母 是。.【参 考 答 案】。易 错 点 击 1.对 于 平 面 图 形 折 叠 或 空 间 图 形 展 开 的 问 题，空 间 想 象 能 力 是 解 题 的 关 键，正 确 识 图 才 能 有 效 折 叠 平 面 图 形、展 开 空 间 图 形.而 对 于 简 单 几 何 体 的 展 开 图，可 以 通 过 制 作 模 型 来 解 答.2.关 于 空 间 几 何 体 的 结 构 特 征 问 题 的 注 意 事 项：(1)紧 扣 结 构 特 征 是 判 断 的 关 键，熟 悉 空 间 几 何 体 的 结 构 特 征，依 据 条 件 构 建 几 何 模 型，在 条 件 不 变 的 情 况 下，变 换 模 型 中 的 线 面 关 系 或 增 加 线、面 等 基 本 元 素，然 后 再 依 据 题 意 判 定.(2)通 过 举 反 例 对 结 构 特 征 进 行 辨 析，即 要 说 明 一 个 命 题 是 错 误 的，只 要 举 出 一 个 反 例 即 可.即 时 巩 固 1.已 知 某 圆 柱 的 底 面 周 长 为 1 2,高 为 2,矩 形 A B C D是 该 圆 柱 的 轴 截 面，则 在 此 圆 柱 侧 面 上，从 A 到 C 的 路 径 中，最 短 路 径 的 长 度 为A【答 案】A【解 析】圆 柱 的 侧 面 展 开 图 如 图，圆 柱 的 侧 面 展 开 图 是 矩 形，且 矩 形 的 长 为 1 2,宽 为 2,则 在 此 圆 柱 侧 面 上 从 A 到 C 的 最 短 路 彳 仝 为 线 段 A C.AC=+62=2 7 1 0故 选：A.独 易 错 点 2 不 能 正 确 画 出 三 视 图 或 还 原 几 何 体 而 致 错 例 2一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 的 直 观 图 可 以 是 V D7 V 37正 视 图 侧 视 图 俯 视 图【错 解】A 或 B 或 C【错 因 分 析】选 A,俯 视 图 判 断 出 错，从 俯 视 图 看、几 何 体 的 上、下 部 分 都 是 旋 转 体;选 B,下 部 分 几 何 体 判 断 出 错，误 把 旋 转 体 当 多 面 体：选 C,上 部 分 几 何 体 判 断 出 错，误 把 旋 转 体 当 多 面 体.【试 题 解 析】由 三 视 图 可 知 儿 何 体 上 部 是 一 个 圆 台，下 部 是 一 个 圆 柱，选 D.【参 考 答 案】D 易 错 点 击 1.当 已 知 三 视 图 去 还 原 成 几 何 体 时，要 充 分 关 注 图 形 中 关 键 点 的 投 影，先 从 俯 视 图 来 确 定 是 多 面 体 还 是 旋 转 体，再 从 正 视 图 和 侧 视 图 想 象 出 几 何 体 的 大 致 形 状，然 后 通 过 己 知 的 三 视 图 验 证 几 何 体 的 正 确 性，最 后 检 查 轮 廓 线 的 实 虚.2.三 视 图 问 题 的 常 见 类 型 及 解 题 策 略：(1)由 几 何 体 的 三 视 图 还 原 几 何 体 的 形 状.要 熟 悉 柱、锥、台、球 的 三 视 图，明 确 三 视 图 的 形 成 原 理，结 合 空 间 想 象 将 三 视 图 还 原 为 实 物 图.(2)由 几 何 体 的 直 观 图 求 三 视 图.注 意 正 视 图、侧 视 图 和 俯 视 图 的 观 察 方 向，注 意 看 到 的 部 分 用 实 线，不 能 看 到 的 部 分 用 虚 线 表 示.(3)由 几 何 体 的 部 分 视 图 画 出 剩 余 的 部 分 视 图.先 根 据 已 知 的 一 部 分 三 视 图，还 原、推 测 直 观 图 的 可 能 形 式，然 后 再 找 其 剩 下 部 分 三 视 图 的 可 能 形 式.当 然 作 为 选 择 题，也 可 将 选 项 逐 项 代 入，再 看 看 给 出 的 部 分 三 视 图 是 否 符 合.*即 时 巩 固 2.下 列 四 个 几 何 体 的 三 视 图 中，只 有 正 视 图 和 侧 视 图 相 同 的 几 何 体 是 正 方 体 A.C.F 四 校 稚【答 案】D【解 析】分 析 题 中 简 单 几 何 体 可 知，中 几 何 体 的 正 视 图 和 侧 视 图 相 同.故 选 D.易 错 点 3 空 间 几 何 体 的 直 观 图 与 原 图 面 积 之 间 的 关 系供 电 分 妍 例 3 如 图 是 水 平 放 置 的 平 面 图 形 的 直 观 图，则 原 平 面 图 形 的 面 积 为 3 0A.3 B.2C.6 D.372【错 解】B【错 因 分 析】错 解 中 把 直 观 图 认 为 是 原 平 面 图 形，则 平 面 图 形 的 面 积 为，x2 x3 xsin 4 5=逑.实 际 上，题 图 为 直 观 图，必 须 根 据 直 观 图 还 原 得 到 平 面 图 形，再 2 2利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 求 解.【试 题 解 析】原 平 面 图 形 如 图，即 R S O/8,其 中。4=OW=3,OB=2OB=4,故 原 平 面 图 形 的 面 积 为 l x 3 x 4=6,选 C.2【方 法 点 晴】本 题 主 要 考 查 了 平 面 图 形 的 直 观 图 及 其 原 图 形 与 直 观 图 面 积 之 间 的 关 系，属 于 基 础 题，解 答 关 键 是 牢 记 原 图 形 与 直 观 图 的 面 积 比 为 5=2逝.【参 考 答 案】C、易 错 点 击 1.斜 二 测 画 法 中 的“三 变”与“三 不 变”:坐 标 轴 的 夹 角 改 变“三 变，与 y轴 平 行 的 线 段 的 长 度 变 为 原 来 的 一 半；图 形 改 变 平 行 性 不 改 变，三 不 变，入 与 为 z轴 平 行 的 线 段 的 长 度 不 改 变.相 对 位 置 不 改 变 2.原 图 形 与 直 观 图 的 面 积 比 为=2&,即 原 图 面 积 是 直 观 图 面 积 的 2友 倍，直 观 图 面 S1 5积 是 原 图 面 积 的 尸=注 倍.2V2 4*即 时 巩 固 3.已 知 梯 形 ABCO是 直 角 梯 形，按 照 斜 二 测 画 法 画 出 它 的 直 观 图 ABC。（如 图 所 示）,其 中 AD=2,BC=4,AB=1,则 直 角 梯 形。C 边 的 长 度 是 A.亚 C.乖）【答 案】BB.2夜 D.2亚【解 析】由 直 观 图 作 出 梯 形 ABC。是 直 角 梯 形，如 图:按 照 斜 二 测 画 法 画，可 得 出 它 的 直 观 图 ABC。,AD=2,BC=4,AB=,：.直 角 梯 形 ABCD 中,A B B C,A D A D=2,BC=BC=A B=2AB=2,过。作。E _ L B C,交 B C于 E,则。石=4 8=2,6。=3。-4。=4一 2=2,/.直 角 梯 形 D C边 的 匕 度 为 V4+4=2J 5,故 选 B.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 斜 二 测 画 法 的 基 本 原 理 与 性 质，以 及 由 直 观 图 还 原 平 面 图 形,意 在 考 查 对 基 础 知 识 掌 握 的 熟 练 程 度，属 于 中 档 题.特 别 提 醒 本 题 容 易 忽 视 了 图 形 中 的 平 行 关 系，从 而 得 不 到 原 图 中 边 与 坐 标 轴 的 平 行 关 系，判 断 不 出 直 角 三 角 形 而 导 致 错 误.薪 心 易 错 点 4 空 间 几 何 体 的 表 面 积 或 体 积 计 算 不 全 致 错 例 4一 个 多 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 多 面 体 的 表 面 积 为 A.21+GC.21B.18+GD.18【错 解】B或 C或 D【错 因 分 析】由 三 视 图 可 知 原 几 何 体 应 该 是 一 个 正 方 体 截 取 两 个 全 等 的 小 正 三 棱 锥，B项 计 算 三 角 形 面 积 时 出 错；截 取 小 正 三 棱 锥，即 除 去 了 六 个 全 等 的 等 腰 直 角 三 角 形，但 C 项 忽 略 了 儿 何 体 多 了 两 个 等 边 三 角 形 面；由 三 视 图 可 知 原 几 何 体 应 该 是 一 个 正 方 体 截 取 两 个 全 等 的 小 正 三 棱 锥 的 组 合 体，D项 计 算 三 角 形 面 积 时 出 错，且 计 算 时 还 少 加 了 三 棱 锥 的 底 面.【试 题 解 析】由 三 视 图 可 知 原 几 何 体 如 图 所 示，是 一 个 正 方 体 截 取 两 个 全 等 的 小 正 三 棱 锥.正 方 体 的 表 面 积 为 5=2 4,两 个 全 等 的 三 棱 锥 是 以 正 方 体 的 相 对 顶 点 为 顶 点，侧 面 是 三 个 全 等