届高三数学上学期第二次月考试题 理(PDF) 试题.pdf

第 1 页（共 4 页）奥宇学校 2018 届高三年级第 二 次月 考 数 学 试卷（理）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求 的（1）若集 合 A=x|x 1 0，B=x|x|2，则 集合 A B 等于（）（A）x|x 1（B）x|x 2 或 x 1（C）x|x 2 或 x 2（D）x|x 2 或 x 1（2）已知 实数 x，y 满足 约束条 件5003，xyxyx，则 z=2x+4y 的最小值 是（）（A）6（B）5（C）10（D）10（3）执 行如 图所 示的 程序 框图，若 输 入 n 的 值为 4，则输 出 s 的值为（）（A）4（B）6（C）7（D）11（4）下列 说法 错误 的是（）（A）命 题“若 x23x+2=0，则 x=1”的 逆否 命题 为：“若 x 1，则 x23x+2 0”（B）“x 1”是“|x|1”的充 分不 必要 条件（C）若 p 且 q 为 假命 题，则 p、q 均 为假 命题（D）命 题 p：“x R，使得 x2+x+10”，则p：“x R，均 有 x2+x+1 0”（5）若平 面向 量a=(1，2)与b 的 夹角 是 180，且|b|=3 5，则b 等于（）（A）(3，6)（B）(3，6)（C）(6，3)（D）(6，3)（6）若ABC 三 个内 角 A，B，C 的对 边分 别为 a，b，c，且 a=1，B=45，S ABC=2，第 2 页（共 4 页）PMDCBA则 sinA=（）（A）102（B）502（C）8282（D）101（7）用 mina，b 表示 a，b 两 数中 的最 小值 若 函数 f(x)=min|x|，|x+t|21恰有 三个零点，则 t 的 值为（）（A）2（B）2（C）2 或 2（D）1 或1（8）设 函数 f(x)在 R 上 存在导 数 f(x)，对任 意 的 x R，有 f(x)+f(x)=x2，且 在(0，+)上 f(x)x 若 f(2a)f(a)22a，则实 数 a 的 取 值范围 为（）（A）1，+)（B）(，1（C）(，2（D）2，+)二、填空题：本大题 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中 横线 上（9）已知 复数 z 1=1+2i，z 2=a i，若 z 1 z 2 是实 数，则实 数 a 的值 为（10）等差 数列a n 中，S10=120，那么 a2+a9 的值是（11）函数 f(x)=log 0.8(x22x 3)的单调 递 增 区间 是（12）如图，平 行四 边 形 ABCD 的两条 对角 线相 交 于点 M，点 P 是 MD 的中点.若|AB|=2，|AD|=1，且 BAD=60，则 AP CP（13）函数 f(x)=ex|x+1|的零 点个 数是（14）已知a，b0，且2a+1b=3，则ab+a 的最小 值为 第 3 页（共 4 页）三、解答题：本大题 共 6 题，共 80 分。解答应写出 文字说明，证明过程 或演 算步骤。（15）（本小题满分 13 分）已知函 数 f(x)=sin2x+3 sin xsin(x+2)（0）的最小正 周期 为（）求 的值；（）求函 数 f(x)在区 间2 03，上的取 值范 围（16）（本小题满分 13 分）已知数 列a n的前 n 项和 S n=n2+2n（）求数 列的 通项 公 式 a n；（）设1 2 2 3 3 4 11 1 1 1nnnTa a a a a a a a，求 T n（17）（本小题满分 13 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的对 边分 别为 a，b，c，且 4bsinA=7 a（）求 sinB 的值；（）若 a，b，c 成等 差数列，且 公差 大 于 0，求 cosA cosC 的值 第 4 页（共 4 页）（18）（本小题满分 13 分）已知函 数 f(x)=x+4 x+4，数列a n满 足：a 1=1，a n+1=f(a n)，nN*，数 列 b 1，b 2 b 1，b 3 b 2，b n b n1 是 首项 为 1，公比 为31的等比 数列（）求证：数 列na 为等 差数列；（）若 cn=na b n，求 数 列c n的前 n 项和 Sn（19）（本小题满分 14 分）设函 数 f(x)=lnx 21ax2bx（）令 F(x)=f(x)+21ax2+bx+xa（0 x 3），其图 象上任 意一点 P(x 0，y 0)处 切线 的斜率 k 21恒成 立，求实 数 a 的取值 范围；（）当 a=0，b=1 时，方程 f(x)=mx 在区间1，e2内有唯 一实 数解，求 实数 m 的取值范围（20）（本小题满分 14 分）设函 数 f(x)=x x1alnx（aR）（）当 a=2 时，求 f(x)的单调 区间；（）若 f(x)有两 个极 值 点 x 1 和 x 2，记 过 点 A(x 1，f(x 1)，B(x 2，f(x 2)的直 线的斜 率为k，问：是否 存在 a，使 得 k=2a？若存在，求 出 a 的值，若不 存在，请 说明 理由；（）证明：nkkk211ln)1(222 n nn n（nN*，n2）第 5 页（共 4 页）数学试 卷（理）参考答案 一、选择题（1）D（2）B（3）C（4）C（5）A（6）A（7）D（8）B 二、填空题（9）21（10）24（11）(1，1（12）1625（13）2（14）2 三、解答题（15）解：（）f(x)=22 cos 1 x+23sin2 x 3 分=23sin2 x 21cos2 x+21=sin(2 x 6)+21 5 分 因为函 数 f(x)的最 小正 周 期为，且 0，所以22=，解得=1 7 分（）由（）得 f(x)=sin(2x 6)+21 8 分 因为 0 x 32，所以62x 667，9 分 所以21sin(2x 6)1，11 分 因此 0 sin(2x 6)+2123，即 f(x)的 取值 范围 为302，13 分（16）解：（）S n=n2+2n，第 6 页（共 4 页）当 n 2 时，121n n na S S n；4 分 当 n=1 时，a 1=S 1=3，2 1 1 3na 故 21nan，nN*7 分（）11 1 1 1 1()(2 1)(2 3)2 2 1 2 3nna a n n n n 1 2 2 3 3 4 11 1 1 1nnnTa a a a a a a a 1 1 1 1 1 1 1()2 3 5 5 7 2 1 2 3 nn 1 1 1()2 3 2 3 n 69nn 13 分（17）解：（）由 4bsinA=7 a，根 据正 弦定 理得 4sin Bsin A=7 sin A，所以 sin B=74 4 分（）由已 知和 正弦 定理 以及（）得 sin A+sin C=72 7 分 设 cosA cosC=x，22，得 22cos(A+C)=74+x2 9 分 又 ab c，A B C，所以 0B 90，cos A cos C，故 cos(A+C)=cos B=34 11 分 代入 式得 x2=74 因此 cosA cosC=72 13 分（18）解：（）f(x)=x+4 x+4=(x+2)2，第 7 页（共 4 页）a n+1=f(a n)=(na+2)2，1 分 即1 na na=2（nN*）3 分 数列na 是以1a=1 为首 项，公差 为 2 的 等差 数列 4 分（）由（）得：na=1+2(n1)=2n1，即 a n=(2n1)2（nN*）5 分 b 1=1，当 n 2 时，b n b n1=131n，b n=b 1+b 2 b 1+b 3 b 2+b n b n1=1+31+231+131n=23n311 因而 b n=23n311，nN*8 分 cn=na b n=(2n 1)23n311，9 分 Sn=c1+c2+cn=231+3+5+(2n1)(31+233+335+nn31 2)令 Tn=31+233+335+133 2nn+nn31 2 则31Tn=231+333+335+nn33 2+131 2nn，得 32Tn=1 3 231 2)313131(231 n nn1 131 2)311(3131 n nn Tn=1nn31 又 1+3+5+(2n1)=n2，Sn=23(n21+nn31)13 分 第 8 页（共 4 页）（19）解：（）F(x)=lnx+xa（0 x 3），则有 k=F(x 0)=200 xa x 21在(0，3上恒 成立 2 分 所以 a(21x 02+x 0)max 4 分 当 x 0=1 时，21x 02+x 0 取得最大值21 所以 a 21 6 分（）当 a=0，b=1 时，f(x)=lnx+x 7 分 由 f(x)=mx 得 lnx+x=mx 又 x 0，所以 m=1+xx ln，要使方 程 f(x)=mx 在区间1，e2上有 唯一 实数 解 9 分 只需 m=1+xx ln有唯一 实数 解 令 g(x)=1+xx ln（x 0），g(x)=2ln 1xx，由 g(x)0 得 0 x e；g(x)0，得 x e g(x)在 区间1，e上 是 增函数，在 区间e，e2上 是减函 数 12 分 g(1)=1，g(e2)=1+22lnee，g(e)=1+e1，m=1+e1或 1m 1+22e 14 分（20）解：（）当 a=2 时，f(x)=x x12lnx，f(x)的定义 域为(0，+)f(x)=1+21xx2=22)1(xx 0，故 f(x)在(0，+)上单 调递增 3 分 第 9 页（共 4 页）（）f(x)=1+21xxa=221xax x 当 a 2 时，f(x)0 恒成立，f(x)在(0，+)上单调 递增，故 f(x)无 极值；4 分 当 a 2 时，令 f(x)=0，得 x 1=242 a a，x 2=242 a a，当 0 x x 1 时，f(x)0；当 x 1 x x 2 时，f(x)0；当 x x 2 时，f(x)0，故 f(x)分 别在(0，x 1)，(x 2，+)上 单调 递增，在(x 1，x 2)上单 调递 减 a 2 时，f(x)有两 个极 值点 x 1 和 x 2，且 x 2 1 6 分 因为 f(x 1)f(x 2)=(x 1 x 2)+2 12 1x xx x a(lnx 1 lnx 2)，所以 k=2 12 1)()(x xx f x f=1+2 11x xa2 12 1ln lnx xx x 又由（）知，x 1x 2=1于是 k=2a 2 12 1ln lnx xx x 8 分 若存 在 a，使得 k=2a，则2 12 1ln lnx xx x=1 即 lnx 1 lnx 2=x 1 x 2 亦即 x 2 21x2lnx 2=0（x 2 1）（*）由（）知，函 数 f(x)=x x12lnx 在(0，+)上单 调 递增，而 x 2 1，所以 x 2 21x2lnx 2 1112ln1=0 这与（*）式矛盾 故不存 在 a，使 得 k=2a 10 分（）nkkk211ln=ln)1(5 4 3)1(3 2 1 nn=ln)1(2 n n，第 10 页（共 4 页）nkkk111ln)1(222 n nn n ln)1(2 n n)1(222 n nn n ln2)1(n n)1(222 n nn n，令 x=2)1(n n1，则 ln2)1(n n)1(222 n nn n lnx2xx 12x x12lnx 0 由（）知，x x12lnx 0 成立，所以nkkk211ln)1(222 n nn n 14 分