华师大版九年级上册数学ppt课件(第21章--二次根式).ppt

第二十一章第二十一章 二次根式二次根式21.1 21.1 二次根式二次根式1课堂讲解课堂讲解二次根式的定义、二次根式的定义、二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件 二次根式的性质：二次根式的性质：2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发射时就必人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发射时就必须达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度计算第须达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度计算第一宇宙速度的公式是：一宇宙速度的公式是：其中其中g为重力加速度，为重力加速度，R为地球半径为地球半径在第在第11章我章我们们学学习习了平方根和算了平方根和算术术平方根的意平方根的意义义，引引进进了一个了一个记记号号表示什么？表示什么？a应满应满足什么足什么条件？条件？1知识点知识点二次根式的定义二次根式的定义回回 顾顾当当a是正数时，是正数时，表示表示a的算术平方根，即正的算术平方根，即正数数a的正的平方根的正的平方根当当a是零时，是零时，等于等于0，它表示零的平方根，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根也叫做零的算术平方根当当a是负数时，是负数时，没有意义没有意义知知1 1导导 1.定义：形如定义：形如(a0)的式子叫做二次根式；其中的式子叫做二次根式；其中“”称为称为二次根号，二次根号，a称为被开方数称为被开方数(式式).2.要点精析：要点精析：(1)二次根式的定义是从代数式的结构形式上界定的，二次根式的定义是从代数式的结构形式上界定的，必须含有二次根号必须含有二次根号“”；“”的根指数为的根指数为2，即，即，“2”一般省略不写一般省略不写(2)被开方数被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子；但前可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子；但前提是提是a必须大于或等于必须大于或等于0.(3)形如形如(a0)的式子也是二次根式的式子也是二次根式知知1 1讲讲 例例1判断下列各式是否为二次根式，并说明理由判断下列各式是否为二次根式，并说明理由.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.知知1 1讲讲导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否 具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别识别知知1 1讲讲解：解：(1)的根指数是的根指数是3，不是二次根式不是二次根式(2)不论不论x为何值，都有为何值，都有x210，是二次根式是二次根式(3)当当5a0，即，即a0时，时，是二次根式；是二次根式；当当a0时，时，5a0，则，则不是二次根式不是二次根式不一定是二次根式不一定是二次根式(4)只能称为含有二次根式的代数式，只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式不能称为二次根式知知1 1讲讲(5)当当x3时，时，无意义，无意义，也无意义；也无意义；当当x3时，时，是二次根式是二次根式不一定是二次根式不一定是二次根式(6)当当a4，即，即a40时，时，是二次根式；是二次根式；当当a4时，时，(a4)20，不是二次根式不是二次根式不一定是二次根式不一定是二次根式 知知1 1讲讲(7)x22x2x22x11(x1)210，是二次根式是二次根式(8)|x|0，是二次根式是二次根式知知1 1讲讲总 结二次根式的识别方法：二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为含根号且根指数为2(通常省略不写通常省略不写)；(2)被开方数被开方数(式式)为非负数为非负数下列式子一定是二次根式的是下列式子一定是二次根式的是()A.B.C.D.下列式子不一定是二次根式的是下列式子不一定是二次根式的是()A.B.C.D.知知1 1练练 122知识点知识点二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件知知2 2讲讲1.二次根式有意义的条件是被开方数二次根式有意义的条件是被开方数(式式)为非负数；为非负数；2.反之也成立，即：反之也成立，即：有意义有意义a0.3.2二次根式无意义的条件是被开方数二次根式无意义的条件是被开方数(式式)为负数；为负数；4.反之也成立，即：反之也成立，即：无意义无意义a0.5.要点精析：要点精析：(1)如果一个式子含有多个二次根式，如果一个式子含有多个二次根式，那么那么6.它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；都必须是非负数；(2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数；分式的分母不等于数；分式的分母不等于0；(3)如果一个式子中含有零指数或负整数指数，那么它如果一个式子中含有零指数或负整数指数，那么它有意义的条件是：底数不为有意义的条件是：底数不为0.知知2 2讲讲例例2当当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？意义？(1)；(2)；(3)；(4)；知知2 2讲讲导引：要使二次根式有意义，则被开方数是非负数，导引：要使二次根式有意义，则被开方数是非负数，如果同时有分式，那么分式中的分母不能为零如果同时有分式，那么分式中的分母不能为零解：解：（1）欲使）欲使有意义，有意义，则必有则必有x3，且，且x5.（2）欲使）欲使有意义，则必有有意义，则必有x.知知2 2讲讲（3）欲使）欲使有意义，有意义，则必有则必有2x5.（4）欲使）欲使有意义，有意义，则必有则必有x4且且x2.知知2 2讲讲1x是怎是怎样样的的实实数数时时，下列二次根式有意，下列二次根式有意义义？（1）（2）（3）（4）若代数式若代数式在在实实数范数范围围内有意内有意义义，则则x的取的取值值范范围围是是()Ax2Bx2Cx2Dx2知知2 2练练 3函数函数中自中自变变量量x的取的取值值范范围围是是()Ax1Bx3Cx1且且x3Dx1知知2 2练练知知3 3讲讲3知识点知识点二次根式的性质：二次根式的性质：1.性质性质1：中中a0，0，即一个非负数的算术平，即一个非负数的算术平方根是方根是一个非负数；一个非负数；2.性质性质2：a(a0)，即一个非负数的算术平，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；方根的平方等于它本身；3.性质性质3：（1）思考：）思考：等于什么？等于什么？知知3 3讲讲我们不妨取我们不妨取a的一些值，如的一些值，如2、2、3、3等，分等，分别计算对应的的别计算对应的的值，看看有什么规律：值，看看有什么规律：（2）|a|即一个数的平方的算术平方即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值根等于它的绝对值这里这里a a的取值有没的取值有没有限制？取有限制？取a a的一的一些值，分别计算些值，分别计算 的值从中你的值从中你能发现什么？能发现什么？知知3 3讲讲4.要点精析：（要点精析：（1）具有双重非负性：具有双重非负性：a0;0.(2)与与的区别与联系：的区别与联系：区别：区别：取值范围不同：取值范围不同：中中a为全体实数，为全体实数，中中a0；运算顺序不同：运算顺序不同：是先平方后开方，是先平方后开方，是先开方后平方；是先开方后平方；运算结果不同：运算结果不同：|a|联系：联系：与与均为非负数，且当均为非负数，且当a0时，时，1要使等式要使等式成立，成立，则则x_当当1a2时时，代数式，代数式的的值值是是()A1B1C2a3D32a知知3 3练练 21.2 21.2 二次根式的乘除二次根式的乘除第第1 1课时课时 二次根式的二次根式的 乘法乘法第第2121章章 二次根式二次根式1课堂讲解课堂讲解二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则 积的算术平方根的性质积的算术平方根的性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升计算：计算：(1)(2)观察计算观察计算的结果，你的结果，你能发现什么能发现什么？试试 一一 试试1知识点知识点二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则思思 考考从计算的结果我们发现：从计算的结果我们发现：这是什么道理呢？这是什么道理呢？知知1 1导导 用计算器分用计算器分别计算一下，别计算一下，看看两者是看看两者是否相等，你否相等，你能说出道理能说出道理吗？吗？事实上，根据积的乘方法则，有事实上，根据积的乘方法则，有并且并且所以所以是是23的算术平方根，即的算术平方根，即知知1 1导导 1.法则：一般地，有法则：一般地，有这就是说，两这就是说，两2.个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根根3.2.要点精析：要点精析：(1)法则中被开方数法则中被开方数a、b既可以是数，也可以既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负数；是代数式，但都必须是非负数；4.(2)当二次根式根号外有因数当二次根式根号外有因数(式式)时，可类比单项式乘单项式时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数的法则进行运算，即根号外因数(式式)之积作为根号外因数之积作为根号外因数(式式)，被开方数之积作为被开方数；，被开方数之积作为被开方数；5.(3)二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式；二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式；6.(4)如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数知知1 1讲讲3.拓展：拓展：(1)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即：即：(2)几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便知知1 1讲讲注注意意：在在上上式式中中，a a、b b都都表表示示非非负负数数.在在本本章章中中，如如果果没没有有特特别别说说明明，字字母母都都表表示示正正数数.例例1计算：计算：(1)(2)知知1 1讲讲解：解：例例2计算：计算：(1)(2)(3)(4)知知1 1讲讲导引：导引：(1)(2)两题直接利用公式两题直接利用公式计算；计算；(3)(4)两题要利用乘法交换律和结合律，将二两题要利用乘法交换律和结合律，将二次根式根号外的因数次根式根号外的因数(式式)和两个二次根式分别相乘，和两个二次根式分别相乘，同时注意确定积的符号同时注意确定积的符号知知1 1讲讲(1)(2)(3)(4)解：解：知知1 1讲讲总 结(1)两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方；的一定要开方；(2)当二次根式根号外有因数当二次根式根号外有因数(式式)时，可类比单项式时，可类比单项式相乘的法则进行运算，如相乘的法则进行运算，如（b0,d0）即将根号外的因数）即将根号外的因数(式式)a、c相乘，相乘，被开方数被开方数b、d相相乘乘1_2等式等式成立的条件是成立的条件是()3Ax1B1x14Cx1Dx1或或x1知知1 1练练 2知识点知识点积的算术平方根的性质积的算术平方根的性质知知2 2导导上面得到的等式上面得到的等式也可也可以写成以写成1.性质：性质：这就是说，这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积知知2 2讲讲2.要点精讲：要点精讲：（1）积的算术平方根的性质的实质是逆用）积的算术平方根的性质的实质是逆用3.二次根式的乘法法则，它对两个以上的积的算术平二次根式的乘法法则，它对两个以上的积的算术平方方4.根同样适用；根同样适用；5.（2）应用积的算术平方根的性质的前提条件是乘积中）应用积的算术平方根的性质的前提条件是乘积中的每的每6.个因数个因数(式式)必须是非负数；应用此性质的作用是化必须是非负数；应用此性质的作用是化简简7.二次根式；二次根式；8.（3）在进行化简运算时，先将被开方数进行因数）在进行化简运算时，先将被开方数进行因数(式式)分分解，解，9.然后将能开得尽方的因数然后将能开得尽方的因数(式式)开方后移到根号外开方后移到根号外 例例3 3 化简化简 使被开方数不含完全平方的因使被开方数不含完全平方的因数数.知知2 2讲讲解：解：这这里里，被被开开方方数数12223，含含有有完完全全平平方方的的因因数数22，通通常常可可根根据据积积的的算算术术平平方方根根的的性性质质，并并利利用用(a0)，将将这这个个因数因数“开方开方”出来出来 例例4化简：化简：知知2 2讲讲导引：二次根式乘法运算化简的目的：转化为没有二导引：二次根式乘法运算化简的目的：转化为没有二次根式的乘法运算，且将二次根式被开方数中次根式的乘法运算，且将二次根式被开方数中能开得尽方的因数能开得尽方的因数(式式)从根号中开出来从根号中开出来解：解：(1)方法一：方法一：方法二：方法二：知知2 2讲讲 知知2 2讲讲知知2 2讲讲总 结二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算过过程的程的实质实质是二次根式的乘法法是二次根式的乘法法则则的正用与逆用的一个的正用与逆用的一个综综合合过过程，程，它不它不仅仅是是简单简单地将两个被开方数相乘，而且更重要的是将地将两个被开方数相乘，而且更重要的是将所得的所得的积积化化简简，因此解形如，因此解形如的的过过程如下：程如下：方法一：方法一：方法二：方法二：当被开方数是数当被开方数是数时时，用方法二更，用方法二更简简便便 1下列下列计计算正确的是算正确的是()A.B.C.D.计计算：算：知知2 2练练 1.运用二次根式的乘法法运用二次根式的乘法法则时则时注意被开方数都必注意被开方数都必须须是非是非负负数，数，否否则则公式不成立公式不成立2.逆用公式逆用公式时时必必须须将被开方数将被开方数(式式)进进行因数行因数(式式)分解，再分解，再进进行行计计算，将开得尽方的因数算，将开得尽方的因数(式式)移到根号外化移到根号外化简时简时注意注意题题目中目中隐隐含的条件含的条件3把根号外的因式移到根号内的方法：先要根据把根号外的因式移到根号内的方法：先要根据题题意确定根意确定根号外因式的符号，当根号外因式的符号号外因式的符号，当根号外因式的符号为为正正时时，直接平方后移，直接平方后移到根号内，当根号外因式的符号到根号内，当根号外因式的符号为负时为负时，只能将正因式平方后，只能将正因式平方后移到根号内，移到根号内，负负号留在根号外号留在根号外21.2 21.2 二次根式的乘除二次根式的乘除第第2 2课时课时 二次根式的二次根式的 除法除法第第2121章章 二次根式二次根式1课堂讲解课堂讲解二次根式的除法法则二次根式的除法法则 商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质 最简二次根式最简二次根式2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 两个二次根式相除，怎样进行运算呢？两个二次根式相除，怎样进行运算呢？商的算术平方根又等于什么？试参考上面商的算术平方根又等于什么？试参考上面 的研究，和同伴讨论，提出你的见解的研究，和同伴讨论，提出你的见解 讨论讨论1知识点知识点二次根式的除法法则二次根式的除法法则概概 括括一般的，有一般的，有_知知1 1导导这就是说，两个算术平方根的商，等于这就是说，两个算术平方根的商，等于_ 这里为什么要这里为什么要求求1.法法则则：一般地，有：一般地，有(a0，b0)这这就是就是说说，两个，两个算算术术平方根的商，等于它平方根的商，等于它们们被开方数的商的算被开方数的商的算术术平方根平方根2.2.要点精析：要点精析：(1)法法则则中的被开方数中的被开方数a、b既可以是数，也既可以是数，也可以是代数式，但都必可以是代数式，但都必须须是非是非负负的且的且b不不为为0；3.(2)当二次根式根号外有因数当二次根式根号外有因数(式式)时时，可，可类类比比单项单项式除以式除以单项单项式的法式的法则进则进行运算；将根号外因数行运算；将根号外因数(式式)之商作之商作为为根号外商的根号外商的因数因数(式式)；被开方数之商作；被开方数之商作为为被开方数被开方数4.易易错错警示：警示：(1)在在(a0，b0)中，特中，特别别注意注意b0，5.若若b0，则则代数式无意代数式无意义义；知知1 1讲讲(2)二次根式的运算结果要尽量化到最简；二次根式的运算结果要尽量化到最简；(3)如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数；如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数；以免出现类似以免出现类似这样的错误；这样的错误；(4)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算；也可以把除法运算转化为乘法运算来计计算；也可以把除法运算转化为乘法运算来计算算知知1 1讲讲 例例1计算：计算：(1)(2)知知1 1讲讲解：解：题题(2)也也可可先先将将分分子子化化简简为为从从而而容容易易算得算得结结果果例例2计算：计算：(1)(2)(3)(4)知知1 1讲讲导引：导引：(1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)(4)要注意根号外的因数与因数相除，同时要注意根号外的因数与因数相除，同时要注意结果的符号；要注意结果的符号；(3)进行计算时需先把带进行计算时需先把带分数化成假分数分数化成假分数知知1 1讲讲解：解：(1)(2)(3)(4)知知1 1讲讲归 纳利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数数的倒数”进行约分、化简进行约分、化简1计计算算的的结结果是果是_2成立的条件是成立的条件是()3Aa1Ba1且且a34Ca1Da3知知1 1练练 1.性质：性质：这就是说，商的算术这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根算术平方根2.要点精析：要点精析：(1)商的算术平方根的性质的实质商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则；是逆用二次根式的除法法则；3.(2)应用商的算术平方根的前提条件是商中应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负数，除式是正数；被除式是非负数，除式是正数；4.(3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分母中的根号化去根式，将分母中的根号化去2知识点知识点商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质知知2 2导导知知2 2讲讲2.分母有理化：分母有理化：3.(1)定定义义：要化去分母中的根号，只要将分子、分母：要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘同乘4.以一个恰当的二次根式就可以了，通常以一个恰当的二次根式就可以了，通常这这种化种化简简过过程程5.称称为为分母有理化；分母有理化；6.(2)依据：分式的基本性依据：分式的基本性质质及及7.(3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式8.拓展：拓展：(1)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，9.如果它如果它们们的的积积不含有二次根式，那么不含有二次根式，那么这这两个代数式两个代数式互互为为10.有理化因式；有理化因式；(2)常用的有理化因式：常用的有理化因式：例例3化简化简使分母中不含二次根式，并且被开方使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母数中不含分母知知2 2讲讲解：解：这里，二次根式这里，二次根式 的被开方数中含有分的被开方数中含有分母，通常可利用分数母，通常可利用分数(或分式或分式)的基本性质将分的基本性质将分母母“配配”成完全平方，再成完全平方，再“开方开方”出来出来例例4将下列各式化简：将下列各式化简：知知2 2讲讲导引：导引：(1)先将带分数化为假分数，然后应用性质化简；先将带分数化为假分数，然后应用性质化简；(2)需要将分子、分母同时乘以需要将分子、分母同时乘以2，将分母化成一个，将分母化成一个完全平方数，然后应用性质化简；完全平方数，然后应用性质化简；(3)方法一，先用性质方法一，先用性质化简，再化简，再分母有理化；方法二，先将被开方数的分子、分母分母有理化；方法二，先将被开方数的分子、分母同乘以同乘以a，再应用，再应用进行化简进行化简解：解：知知2 2讲讲(3)方法一：方法一：方法二：方法二：知知2 2讲讲总 结利用商的算利用商的算术术平方根化平方根化简简二次根式的方法：二次根式的方法：（1）若被开方数的分母是一个完全平方数）若被开方数的分母是一个完全平方数(式式)，则则可以直接可以直接利用商的算利用商的算术术平方根的性平方根的性质质，先将分子、分母分，先将分子、分母分别别开平开平方，然后求商；方，然后求商；（2）若被开方数的分母不是完全平方数）若被开方数的分母不是完全平方数(式式)，可根据分式的，可根据分式的基本性基本性质质，先将分式的分子、分母同，先将分式的分子、分母同时时乘以一个不等于乘以一个不等于0的数或整式，使分母的数或整式，使分母变变成一个完全平方数成一个完全平方数(式式)，然后利用，然后利用商的算商的算术术平方根平方根进进行化行化简简 1下列各式下列各式计计算正确的是算正确的是()知知2 2练练 2下列下列结结果正确的有果正确的有()A1个个B2个个C3个个D4个个1.定义：二次根式被开方数中不含分母，并且被开方定义：二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数数中所有因数(或因式或因式)的幂的指数都小于的幂的指数都小于2，像，像这样这样的二次根式称为最简二次根式的二次根式称为最简二次根式要点精析：最简二次根式必须满足：要点精析：最简二次根式必须满足：(1)被开方数不被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数含分母，也就是被开方数必须是整数(式式)；(2)被开被开方数中每个因数方数中每个因数(式式)的指数都小于根指数的指数都小于根指数2；即每个因；即每个因数数(式式)的指数都是的指数都是1.3知识点知识点最简二次根式最简二次根式知知3 3讲讲知知3 3讲讲2.将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：(1)“一分一分”，即利用因数，即利用因数(式式)分解的方法把被开方数分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数的分子、分母都化成质因数(式式)的幂的乘积形式；的幂的乘积形式；(2)“二移二移”，即把能开得尽方的因数，即把能开得尽方的因数(式式)用它的算术用它的算术平平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；上；(3)“三化三化”，即将分母有理化，即将分母有理化化去被开方数中的化去被开方数中的分母分母 例例5下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是是最最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由知知3 3讲讲导引：导引：根据最简二次根式的定义进行判断根据最简二次根式的定义进行判断解：解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母(2)是最简二次根式是最简二次根式(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有即含有分母分母)知知3 3讲讲（4）不是最简二次根式，因为被开方数）不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开中含有能开得尽方的因数得尽方的因数4，422.（5）不是最简二次根式，因为）不是最简二次根式，因为x36x29xx(x26x9)x(x3)2，被开方数中含有能开得尽方的因，被开方数中含有能开得尽方的因式式 知知3 3讲讲归 纳判断一个二次根式是最判断一个二次根式是最简简二次根式的方法：二次根式的方法：利用最利用最简简二次根式需要同二次根式需要同时满时满足的两个条件足的两个条件进进行判断：行判断：(1)被开方数不含分母，即被开方数必被开方数不含分母，即被开方数必须须是整数是整数(式式)；(2)被开方数不含能开得尽方的因数被开方数不含能开得尽方的因数(式式)，即被开方数中每个，即被开方数中每个因数因数(式式)的指数都小于根指数的指数都小于根指数2；另外；另外还还要具要具备备分母中不分母中不含二次根式含二次根式1下列式子下列式子为为最最简简二次根式的是二次根式的是()知知3 3练练 2计计算算:1.运用二次根式的除法法运用二次根式的除法法则时则时，一是注意成立的条件，一是注意成立的条件，二是二是结结果一定要化果一定要化为为最最简简二次根式或整式二次根式或整式2逆用二次根式的除法法逆用二次根式的除法法则时则时，一是注意成立的条件，一是注意成立的条件，二是注意二次根式有意二是注意二次根式有意义义的的隐隐含条件含条件3进进行二次根式混合运算行二次根式混合运算时时要注意运算要注意运算顺顺序序21.3 21.3 二次根式的加减二次根式的加减第第1 1课时课时 二次根式的二次根式的 加减加减第第2121章章 二次根式二次根式1课堂讲解课堂讲解同类二次根式同类二次根式 二次根式的加减法二次根式的加减法2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升计算：计算：（1）（2）试试 一一 试试联想整式加联想整式加减运算中的减运算中的合并同类项，合并同类项，你会做吗？你会做吗？1知识点知识点同类二次根式同类二次根式 概概 括括与整式中同类项相类似，我们把像与整式中同类项相类似，我们把像这样的几个二次根式，称为同类二次根式这样的几个二次根式，称为同类二次根式.也也是同类二次根式是同类二次根式知知1 1导导 要点精析：要点精析：(1)同类二次根式必须符合两个条件：同类二次根式必须符合两个条件：最简二次根式；最简二次根式；被开方数相同被开方数相同(2)判断是否为同类二次根式时，先将二次根式都化为判断是否为同类二次根式时，先将二次根式都化为最简二次根式，然后比较被开方数，它与根号前面最简二次根式，然后比较被开方数，它与根号前面的系数无关的系数无关知知1 1讲讲 例例1下面的二次根式中与下面的二次根式中与是同类二次根式的是同类二次根式的是是()知知1 1讲讲导引：将四个选项中的二次根式先分别化成最简二次导引：将四个选项中的二次根式先分别化成最简二次根式，得根式，得只有选项只有选项D中的被开方数是中的被开方数是3，故选，故选D.D知知1 1讲讲总 结判断几个二次根式是否为同类二次根式的步骤是：判断几个二次根式是否为同类二次根式的步骤是：(1)将各二次根式化为最简二次根式；将各二次根式化为最简二次根式；(2)看被开方数是否相同看被开方数是否相同 1 1下列二次根式中的最简二次根式是下列二次根式中的最简二次根式是()2下下列列各各组组二二次次根根式式化化简简成成最最简简二二次次根根式式后后是是同同类类二二次次根根式的是式的是()知知1 1练练 2知识点知识点二次根式的加减法二次根式的加减法知知2 2导导思思 考考计算：计算：这里三个这里三个“加数加数”中中有同类二次根式吗？有同类二次根式吗？将它们化简以后看一将它们化简以后看一看，再完成本题的解看，再完成本题的解答答 解：解：分析：先将各二次根式化简分析：先将各二次根式化简知知2 2导导知知2 2讲讲 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化简，法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并再将同类二次根式合并即：即：2.二次根式加减运算的步骤：二次根式加减运算的步骤：3.(1)“化化”：将每个二次根式化成最简二次根：将每个二次根式化成最简二次根式；式；4.(2)“找找”：找出同类二次根式；：找出同类二次根式；5.(3)“并并”：将同类二次根式合并成一项：将同类二次根式合并成一项4.易错警示：易错警示：(1)合并同类二次根式时，根号外的因数与因数合合并同类二次根式时，根号外的因数与因数合并，剩下的部分保持不变，一定不要丢掉；并，剩下的部分保持不变，一定不要丢掉；(2)不能合并的二次根式不能丢掉，因为它们也是不能合并的二次根式不能丢掉，因为它们也是结果的一部分；结果的一部分；(3)二次根式根号外的因数是带分数的要化为假二次根式根号外的因数是带分数的要化为假分数分数知知2 2讲讲 3.整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的运算中仍然适用括号法则在二次根式的运算中仍然适用例例2计算：计算：知知2 2讲讲解：解：例例3计算：计算：知知2 2讲讲导引：题目中的每个二次根式都不是最简二次根式，因此导引：题目中的每个二次根式都不是最简二次根式，因此应按化、找、并的步骤进行应按化、找、并的步骤进行解：解：知知2 2讲讲归 纳二次根式的加减法运算的步二次根式的加减法运算的步骤骤：将每个二次根式都化将每个二次根式都化为为最最简简二次根式，若被开方数中含二次根式，若被开方数中含有有带带分数，分数，则则要先化成假分数；若含有小数，要先化成假分数；若含有小数，则则要化成要化成分数，分数，进进而化而化为为最最简简二次根式；二次根式；(2)原式中若有括号，要先去括号，再原式中若有括号，要先去括号，再应应用加法交用加法交换换律、律、结结合律将被开方数相同的二次根式合律将被开方数相同的二次根式进进行合并行合并 1 1 下列根式中，不能与下列根式中，不能与 合并的是合并的是()知知2 2练练 2 2 计计算：算：二次根式加减运算的步二次根式加减运算的步骤骤：（1）化化简简：将二次根式化成最：将二次根式化成最简简二次根式；二次根式；（2）判）判别别：找出被开方数相同的二次根式；：找出被开方数相同的二次根式；（3）合并：）合并：类类似于合并同似于合并同类项类项，将被开方数相同的二，将被开方数相同的二次次根式合并根式合并21.3 21.3 二次根式的加减二次根式的加减第第2 2课时课时 二次根式的二次根式的 混合运算混合运算第二十一章第二十一章 二次根式二次根式1课堂讲解课堂讲解二次根式的混合运算二次根式的混合运算2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1、二次根式的乘除法则是什么？、二次根式的乘除法则是什么？2、什么是同类二次根式？、什么是同类二次根式？3、二次根式加减运算的法则是什么？、二次根式加减运算的法则是什么？复复习习提提问问知识点知识点二次根式的混合运算二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算：(1)运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方(或或开方开方)的混合运算的混合运算(2)运算顺序：先算乘方运算顺序：先算乘方(开方开方)，再算乘除，最后算，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的加减，如果有括号就先算括号里面的知知1 1讲讲 12.要点精析：要点精析：3.(1)二次根式混合运算的结果应写成最简二次根二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式式4.(或整式或整式)的形式，并且分母中不含二次根式；的形式，并且分母中不含二次根式；5.(2)进行二次根式的开方运算时应使开出的因数进行二次根式的开方运算时应使开出的因数(式式)6.是非负数是非负数(式式)7.3二次根式的运算律：二次根式的运算律：8.(1)实数运算中的运算律实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配交换律、结合律、分配律律)9.和整式乘法中的乘法公式和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方差公式和完全平平10.方公式方公式)在二次根式的运算中仍然适用在二次根式的运算中仍然适用11.(2)在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法乘法12.公式，同时注意合理地运用运算律公式，同时注意合理地运用运算律知知1 1讲讲 例例1计算：计算：知知1 1讲讲解：解：例例2计算：计算：知知1 1讲讲知知1 1讲讲导引：导引：(1)可以类比单项式乘多项式的运算法则进行计算；可以类比单项式乘多项式的运算法则进行计算；(2)可以类比多项式除以单项式的运算法则进行计算；可以类比多项式除以单项式的运算法则进行计算；先转化为乘法运算先转化为乘法运算(除以一个数等于乘它的倒数除以一个数等于乘它的倒数)然后将然后将分母有理化；分母有理化；(4)可以类比多项式乘多项式的运算法则进行计算；可以类比多项式乘多项式的运算法则进行计算；(5)可用完全平方公式进行计算；可用完全平方公式进行计算；(6)既可用完全平方公式又可用平方差公式进行计算既可用完全平方公式又可用平方差公式进行计算解：解：知知1 1讲讲知知1 1讲讲(6)方法一：方法一：知知1 1讲讲方法二：方法二：知知1 1讲讲总 结二次根式的混合运算顺序与整式运算类似，先乘二次根式的混合运算顺序与整式运算类似，先乘方，再乘除，最后加减在二次根式混合运算中，每方，再乘除，最后加减在二次根式混合运算中，每一个二次根式可看成一个一个二次根式可看成一个“单项式单项式”，多个非同类二，多个非同类二次根式之和可以看成一个次根式之和可以看成一个“多项式多项式”，因此整式运算，因此整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用 1 1下列计算正确的是下列计算正确的是()2计算：计算：知知1 1练练 二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别：二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别：运运 算算二次根式的乘除法二次根式的乘除法二次根式的加减法二次根式的加减法根号外的根号外的因数因数(式式)根号外的因数根号外的因数(式式)相相乘除乘除根号外的因数根号外的因数(式式)相加相加减减被开方数被开方数被开方数相乘除被开方数相乘除被开方数不变被开方数不变化化 简简结果化成最简二次根结果化成最简二次根式式先化成最简二次根式，先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的再合并被开方数相同的二次根式二次根式1.师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：(1)=a(a0)；(2)当当a0时，时，=a；当；当a0时，时，=-a.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流还有哪些疑问？请与同伴交流.