勾股定理活动课ppt课件.ppt

数学活动课勾股定理的证明325242国际数学家大会的会徽这个图形里到底蕴涵了什么样博大精深的知识呢？它标志着我国古代数学的成就！国际数学家大会是由国际数学联盟(IMU)主办，是世界最高水平的全球性数学学科学术会议，被意味数学界的“奥运会”。每次大会的开幕式都同时举行菲尔茨数学奖颁奖仪式。菲尔茨数学奖被认为是国际数学界的诺贝尔奖，是数学家的最高荣誉。该奖以加拿大数学家约翰菲尔茨的名字命名，授予取得杰出成就的40岁以下的数学家。该奖每4年颁发一次，每次获奖者不超过4人，每人可获得一枚纯金制成的奖章和一笔奖金。奖章上刻有希腊数学家阿基米德的头像，并用拉丁文镌刻“超越人类极限，做宇宙主人”的格言。超越人类极限，做宇宙主人中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形矩得到的一条直角边勾等于3，另一条直角边股等于4的时候，那么它的斜边弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。在稍后一点的九章算术一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。勾股定理和人类文明欧洲人则称这个定理为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯（AgorAs）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。所以他就把这个定理称为毕达哥拉斯定理，以后就流传开了。尽管希腊人称勾股定理为毕达哥拉斯定理或“百牛定理”，法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”，但据推算，他们发现勾股定理的时间都比我国晚。我国是世界上最早发现勾股定理这一几何宝藏的国家！勾股定理在数学发展史上的地位勾股定理是欧氏平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，开普勒（kepler）称“几何学两个宝藏”：一个是勾股定理，另一个是黄金分割（goldensection）.中国著名数学家华罗庚曾建议用一幅反映勾股定理的数学图形关系来作为与“外星人”交谈的语言.就勾股定理而言，她揭示了直角三角形的三边之间的关系，体现了“数形统一”的思想方法，使真正意义的几何学确立。并使几何学和代数学两大门类结合起来。例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线。尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理。这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树 也许有人会问：“它与勾股定理有什么关系吗？”仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形 这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断出现关于勾股定理的新证法1传说中毕达哥拉斯的证法2赵爽弦图的证法4美国第20任总统茄菲尔德的证法3刘徽的证法勾股定理的证明5其他证法 关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的几何原本第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”其证明是用面积来进行的传说中毕达哥拉斯的证法已知：如图，以在Rt ABC中，ACB=90，分别以a、b、c为边向外作正方形 求证：a2+b2=c2传说中毕达哥拉斯的证法证明：从Rt ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN DE交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形连结CD和KB返回 S矩形ADNM2SADC又正方形ACHK和ABK同底（AK）、等高（即平行线AK和BH间的距离），S正方形ACHK2SABK ADAB，ACAK，CADKAB，ADC ABK 由此可得S矩形ADNMS正方形ACHK 同理可证S矩形MNEBS正方形CBFG S矩形ADNMS矩形MNEBS正方形ACHKS正方形CBFG 即S正方形ADEBS正方形ACHKS正方形CBFG，也就是 a2+b2=c2由于矩形ADNM和ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)，我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的勾股圆方图注在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的“弦图”，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个正方形称为“中黄实”，以弦为边的大正方形叫“弦实”，所以，如果以a、b、c分别表示勾、股、弦之长，那么：赵爽弦图的证法得：c2=a2+b2返回刘徽在九章算术中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也令正方形ABCD为朱方，正方形BEFG为青方在BG间取一点H，使AH=BG，裁下ADH，移至CDI，裁下HGF，移至IEF，是为“出入相补，各从其类”，其余不动，则形成弦方正方形DHFI勾股定理由此得证 刘徽的证法返回 迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法总统巧证勾股定理美国第二十任总统伽菲尔德总统巧证勾股定理aa bbccADCB E返回向常春的证明方法 注:这一方法是向常春于1994年3月20日构想发现的新法abcba-bA DC BEc 我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的试 一 试证明:上面的大正方形的面积为：下面大的正方形的面积为：从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是ab，所以面积相等，即观察下面的图形，你还能发现什么吗？（1）直角结构“斜直角放正”（2）旋转结构 特征：“等线段共端点”面积处理框架割补法两变式、一方法22（1）发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b填空：当点A位于_时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_（用含a，b的式子表示）22（2）应用点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边ABD和等边ACE，连接CD，BE 请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值22（3）拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，BPM=90请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标