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大学物大学物理学理学刚体力学基础刚体力学基础大学物大学物理学理学1 刚体刚体 刚体定轴转动的刚体定轴转动的描述描述大学物大学物理学理学 刚体：刚体：在外力作用下，形状和大小都不在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体发生变化的物体(任意两质点间距离保持任意两质点间距离保持不变的特殊质点组不变的特殊质点组)一、刚体一、刚体O大学物大学物理学理学 刚体是理想模型刚体是理想模型 刚体模型是为简化问题引进的刚体模型是为简化问题引进的说明：说明：刚体是受力时形状和体积不改变的物刚体是受力时形状和体积不改变的物体体-理想化模型。理想化模型。刚体是特殊的质点系，其上各质点间刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。的相对位置保持不变。大学物大学物理学理学刚体的运动形式：刚体的运动形式：平动平动：可用质心的运动代表可用质心的运动代表 转动转动：分：分 定轴转动定轴转动(本章讨论本章讨论)定点转动定点转动(如陀螺的运动如陀螺的运动)平面运动：平面运动：(如车轮的运动如车轮的运动)一般运动一般运动：可分解为两种运动：可分解为两种运动 随质心的平动随质心的平动 绕通过质心的轴的转动绕通过质心的轴的转动大学物大学物理学理学 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动：平动：刚体中所刚体中所有点的运动轨迹都保有点的运动轨迹都保持完全相同持完全相同 特点：特点：各点运动各点运动状态一样，如：状态一样，如：等都相同等都相同大学物大学物理学理学转动转动：分分定轴转动定轴转动和和非定轴转动非定轴转动刚体的刚体的平面运动平面运动 大学物大学物理学理学刚体的一般运动可看作：刚体的一般运动可看作：随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+的合成的合成大学物大学物理学理学二、刚体定轴转动的描述二、刚体定轴转动的描述(运动学问题运动学问题)pro转动平面转动平面刚体之转轴在刚体转动过程中始终刚体之转轴在刚体转动过程中始终保持不变，这种转动叫定轴转动。保持不变，这种转动叫定轴转动。转动平面转动平面：过刚体上某点过刚体上某点p垂直于转轴的平面。垂直于转轴的平面。转动中心转动中心：转动平面与轴转动平面与轴的交点的交点 op在转动平面内绕在转动平面内绕o作圆周作圆周运动运动 可用圆周运动的角可用圆周运动的角量描述刚体的运动。量描述刚体的运动。大学物大学物理学理学沿沿逆时针逆时针方方向转动向转动角位移角位移 角坐标角坐标沿沿顺时针顺时针方方向转动向转动q角速度矢量角速度矢量 方向方向:右手右手螺旋方向螺旋方向P(t+dt).OxP(t)r.大学物大学物理学理学角加速度角加速度 刚体刚体定轴定轴转动转动(一维转动一维转动)的的转动转动方向方向可以用可以用角速度角速度的正、负的正、负来表示来表示.大学物大学物理学理学(1)每一质点均作圆周运动，圆面为转动每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；平面；(2)任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；定轴转动的定轴转动的特点特点(3)运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标大学物大学物理学理学匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动 当刚体绕定轴转动的当刚体绕定轴转动的=常量时，刚体常量时，刚体做做匀变速转动匀变速转动大学物大学物理学理学三三 角量与线量的关系角量与线量的关系大学物大学物理学理学 例例在高速旋转的微型电动机里，有一在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转开始起动时，角速度为零起动转轴旋转开始起动时，角速度为零起动后其转速随时间变化关系为：后其转速随时间变化关系为：式中式中 求求：(1)t=6 s时电动机的转速时电动机的转速(2)起动后，起动后，电动电动机在机在 t=6 s时间内转过的圈数时间内转过的圈数(3)角加速度角加速度随时间变化的规律随时间变化的规律大学物大学物理学理学(2)电动机在电动机在6 s内转过的圈数为内转过的圈数为解解(1)将 t=6 s 代入代入(3)电动机电动机转动的角加速度为转动的角加速度为16大学物大学物理学理学例例在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动开始时，它的角速度面通过中心的轴转动开始时，它的角速度 ，经，经300 s 后，其转速达到后，其转速达到 18000 rmin-1 转子的角加速度与时间成正比问在这段时转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少转？间内，转子转过多少转？解解 令令 ，即，即 ，积分，积分 得得大学物大学物理学理学当当 t=300 s 时时大学物大学物理学理学由由得得在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数大学物大学物理学理学2 力矩力矩 刚体定轴转动的刚体定轴转动的转动定律转动定律大学物大学物理学理学质质 点点的运动定律的运动定律或或刚体平动刚体平动F =m a惯性质量惯性质量合合 外外 力力合加速度合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律主要概念主要概念使刚体产生转动效果的使刚体产生转动效果的合外力矩合外力矩刚体的刚体的转动定律转动定律刚体的刚体的转动惯量转动惯量大学物大学物理学理学对于定点对于定点o o转动而言：转动而言：一力矩一力矩 必须指明对哪个参考点而言必须指明对哪个参考点而言大学物大学物理学理学PO :力臂力臂 对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 *对于定轴转动而言：对于定轴转动而言：大学物大学物理学理学O讨论讨论 （1）若力若力 不在转动平面内，把力分不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 其中其中 对转轴的对转轴的力矩为零，故力矩为零，故 对转对转轴的力矩轴的力矩大学物大学物理学理学O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和 （3）刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消大学物大学物理学理学注意注意:(1)力矩是对点或对轴而言的力矩是对点或对轴而言的;(2)一般规定，使刚体逆时针绕定轴一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动时转动时 ；使刚体顺时针绕定轴转；使刚体顺时针绕定轴转动时动时 .大学物大学物理学理学O二二 转动定律转动定律 （1）单个质点单个质点 与转轴刚性连接与转轴刚性连接大学物大学物理学理学（2）刚体刚体 质量元受质量元受外外力力 ，内内力力外外力矩力矩内内力矩力矩O大学物大学物理学理学 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外合外力矩力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.转动定律转动定律转动惯量定义转动惯量定义O大学物大学物理学理学当当刚刚体体所所受受合合外外力力矩矩为为零零时时，将将保持静止或匀速转动状态保持静止或匀速转动状态角加速度方向与外力矩方向一致角加速度方向与外力矩方向一致转动定律转动定律大学物大学物理学理学(2)为瞬时关系为瞬时关系(3)转动中转动中 与平动中与平动中 地位相同地位相同(1),与与 方方向相同向相同 说明说明 转动定律应用转动定律应用大学物大学物理学理学竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？大学物大学物理学理学三转动惯量三转动惯量(1)(1)与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关(2)(2)与刚体的质量分布有关与刚体的质量分布有关(3)(3)与刚体的转轴位置有关与刚体的转轴位置有关决定转动惯量的因素决定转动惯量的因素转动惯量反映了刚体转动惯性的大小转动惯量反映了刚体转动惯性的大小大学物大学物理学理学v 质量离散分布质量离散分布 J 的计算方法的计算方法 v 质量连续分布质量连续分布：质量元：质量元其中其中、分别为质量的线密度、面密度和体密度分别为质量的线密度、面密度和体密度.大学物大学物理学理学例例 求小球求小球m的转动惯量的转动惯量 解：解：m看作质点看作质点 R m大学物大学物理学理学练习练习1.1.由长由长 的轻杆连接的质点如图所示，求质点的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过系对过 A A 垂直于纸面的轴的转动惯量垂直于纸面的轴的转动惯量大学物大学物理学理学A 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴为，取一距离转轴为 处的处的质量元质量元 例例 一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，求通均匀细长棒，求通 过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.C如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒大学物大学物理学理学任一轴与过质心的轴平行，任一轴与过质心的轴平行，相距为相距为d，刚体对其转动惯量，刚体对其转动惯量 JJCmd2平行轴定理平行轴定理：d大学物大学物理学理学例例 质量为质量为m的细圆环，求的细圆环，求J。dmR 解：把环分成无限多个质量为解：把环分成无限多个质量为dm的小段，的小段，对每个对每个dm有有 dJ=R2dm对整个环有对整个环有 J=R2dm=mR2 大学物大学物理学理学ORO 例例 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量.解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环而而圆环质量圆环质量所以所以圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量大学物大学物理学理学注意：对注意：对同轴同轴的转动惯量的转动惯量具有可加减性具有可加减性。r r1 1r r2 2m m1 1m m2 2z z练习：练习：质量为质量为m2，半径为，半径为r2的圆盘上挖去一个的圆盘上挖去一个 质量为质量为m1，半径为，半径为r1的圆盘，求剩下部的圆盘，求剩下部 分对转轴的转动惯量。分对转轴的转动惯量。大学物大学物理学理学例例 均匀薄圆环，质量均匀薄圆环，质量m,内外半径分别为内外半径分别为R1、R2把盘分成无限多个环。取其中一个环把盘分成无限多个环。取其中一个环(半径半径r，宽，宽dr，质量，质量 dm)，其转动惯量，其转动惯量大学物大学物理学理学例例 均匀薄球壳，质量为均匀薄球壳，质量为m，半径为，半径为R，某一直，某一直径为转轴。径为转轴。解：取微薄圆环解：取微薄圆环大学物大学物理学理学例例 均匀球体，质量为均匀球体，质量为m，半径为，半径为R，某一直径为转轴，某一直径为转轴解解1：取一微元薄球壳，：取一微元薄球壳，(半径半径x，厚度，厚度dx，质量，质量 dm)，其转动惯，其转动惯量量体密度：体密度：大学物大学物理学理学解解2：取：取 的一薄球台，该球台半径的一薄球台，该球台半径 大学物大学物理学理学定轴转动定律定轴转动定律定轴转动定律定轴转动定律解题方法及应用举例解题方法及应用举例解题方法及应用举例解题方法及应用举例1.1.确定研究对象。确定研究对象。2.2.受力分析，并求外力的力矩。受力分析，并求外力的力矩。3.列方程求解列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程和角量与线转动刚体列转动定律方程和角量与线 量关系量关系)。大学物大学物理学理学例例 如图滑轮系统如图滑轮系统,图中各量已知。求绳中张力及图中各量已知。求绳中张力及物体加速度物体加速度(设设m2m1)。Rmm2m1a解：画受力图解：画受力图 T2m2m1T1T2 T1 m2gm1gm大学物大学物理学理学列动力学方程列动力学方程 对对对对对对 联立各方程可得联立各方程可得 注意：注意：T1 T2 (m=0时，有时，有T1=T2)大学物大学物理学理学例例 质量为质量为m1和和m2两两个物体，跨在定滑轮个物体，跨在定滑轮上。上。m2 放在光滑的桌放在光滑的桌面上，滑轮半径为面上，滑轮半径为R，质量为质量为 M，求：，求：m1 下下落的加速度，和绳子落的加速度，和绳子的张力的张力 T1、T2。T1T2绳轮间无相对滑动，绳不可伸长绳轮间无相对滑动，绳不可伸长大学物大学物理学理学解：解：受力分析受力分析以以为研究对象为研究对象（1）以以为研究对象为研究对象 （2）以以为研究对象为研究对象（3）T1T2大学物大学物理学理学补充方程：补充方程：（4 4）联立方程（联立方程（1 1）-（4 4）求解得）求解得讨论：讨论：当当 M=0时时大学物大学物理学理学例例 测轮子的转动惯量用一根测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半径为轻绳缠绕在半径为 R、质量为、质量为 M 的轮子上若干圈后，一端挂的轮子上若干圈后，一端挂一质量为一质量为 m 的物体，从静止的物体，从静止下落下落 h 用了时间用了时间 t,求轮子的求轮子的转动惯量转动惯量 J。h绳轮间无相对滑动，绳不可伸长绳轮间无相对滑动，绳不可伸长大学物大学物理学理学h受力分析：受力分析：以以m为研究对象为研究对象以以M为研究对象为研究对象物体从静止下落时满足物体从静止下落时满足补充方程：补充方程：大学物大学物理学理学练习：练习：一个质量为一个质量为M、半径为、半径为R的定的定滑滑 轮（当作均匀圆盘）上面绕有细轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为端挂一质量为m的物体而下垂。绳轮的物体而下垂。绳轮间无相对滑动，绳不可伸长。忽略轴间无相对滑动，绳不可伸长。忽略轴处摩擦，求物体处摩擦，求物体m由静止下落高度由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。时的速度和此时滑轮的角速度。Rhmv0=0大学物大学物理学理学解：解：解方程得：解方程得：大学物大学物理学理学 例例 长为长为L、质量为、质量为m的均匀细直棒，其一端有一的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴。最初棒静止在水平位置，求它固定的光滑水平轴。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆由此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。解：外力矩为重力对解：外力矩为重力对O的力矩。的力矩。Ogdmdm元力矩元力矩:取质元取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，合力矩合力矩:大学物大学物理学理学 Ogdmdm由转动定律：由转动定律：大学物大学物理学理学解解：刚体定轴转动刚体定轴转动1、受力分析受力分析2、关于关于O轴列转轴列转动定理动定理大学物大学物理学理学平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动。转动。试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角角时的角加速度和角速度加速度和角速度例例一长为一长为 l、质量为质量为 m 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链O相接，相接，并可绕其转动并可绕其转动由于此竖由于此竖直放置的细杆处于非稳定直放置的细杆处于非稳定m,lOmg大学物大学物理学理学 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得式中式中得得m,lOmg大学物大学物理学理学由角加速度的定义由角加速度的定义代入初始条件积分得代入初始条件积分得m,lOmg大学物大学物理学理学3 刚体定轴转动的刚体定轴转动的动能定理动能定理大学物大学物理学理学力的空间累积力的空间累积效应：效应：力的功、动能、动能定理力的功、动能、动能定理力矩的空间累积力矩的空间累积效应：效应：力矩的功、转动动能、动能定理力矩的功、转动动能、动能定理大学物大学物理学理学力矩的功力矩的功一力矩作功一力矩作功 力矩的功率力矩的功率比较比较大学物大学物理学理学(2)力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。(3)内力矩作功之和为零。内力矩作功之和为零。r 讨论讨论(1)合力矩的功合力矩的功注意：注意：刚体，因为各质元的相对位置不变，所以内力作功为零。刚体，因为各质元的相对位置不变，所以内力作功为零。这一结果对于质点系和非刚体是不适用的。这一结果对于质点系和非刚体是不适用的。对于质点系和非刚体对于质点系和非刚体大学物大学物理学理学对于第对于第i 个质元个质元,动能为动能为对于整个刚体对于整个刚体,动能为动能为二转动动能二转动动能大学物大学物理学理学三刚体绕定轴转动的动能定理三刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理比较比较 大学物大学物理学理学四四 定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理1.刚体的重力势能刚体的重力势能如果刚体受到保守力的作用，也可以引入势能的如果刚体受到保守力的作用，也可以引入势能的概念。概念。重力势能：重力势能：在重力场中的刚体具有一定的重力势在重力场中的刚体具有一定的重力势能。它的重力势能就是它的各个质元重力势能的能。它的重力势能就是它的各个质元重力势能的总和。总和。大学物大学物理学理学对一个不太大，质量为对一个不太大，质量为m的刚体，的刚体，重力势能重力势能 由质心定义，此刚体质心的高度：由质心定义，此刚体质心的高度：mi cyoxhihcm有有 即：即：一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的重力势能一样。集中在质心时所具有的重力势能一样。大学物大学物理学理学机械能机械能：2.功能原理功能原理对于包括有刚体的系统，功能原理形式仍为：对于包括有刚体的系统，功能原理形式仍为：W外外 +W非保内非保内 =E末末 -E初初3.机械能守恒定律机械能守恒定律若系统内只有保守内力作功，其机械能亦守恒。若系统内只有保守内力作功，其机械能亦守恒。大学物大学物理学理学 例例 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率面的轴以角速率 作匀速转动放上唱片作匀速转动放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动设唱片的半径为动设唱片的半径为R，质量为，质量为m，它与转，它与转盘间的摩擦系数为盘间的摩擦系数为 ，求：，求：(1)唱片与转盘唱片与转盘间的摩擦力矩；间的摩擦力矩；(2)唱片达到角速度唱片达到角速度 时需时需要多长时间；要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？动力矩做了多少功？大学物大学物理学理学Rrdrdlo 解解 (1)如图取面如图取面积元积元ds=drdl，该面元，该面元所受的摩擦力为所受的摩擦力为此力对点此力对点o的力矩为的力矩为大学物大学物理学理学 于是，在宽为于是，在宽为dr的的圆环上，唱片所受的摩圆环上，唱片所受的摩擦力矩为擦力矩为Rrdrdlo大学物大学物理学理学 (3)由由 可得在可得在 0 到到 t 的的时间内，转过的角度为时间内，转过的角度为 (2)由转动定律求由转动定律求 ，(唱片唱片J=mR2/2)（作匀加速转动）（作匀加速转动）驱动力矩做的功为驱动力矩做的功为由由 可求得可求得74大学物大学物理学理学例例 一个质量为一个质量为M，半径为，半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为为m的物体而下垂。忽略各轴处摩擦，求物体由静止下落的物体而下垂。忽略各轴处摩擦，求物体由静止下落高度高度h时的速度和此时滑轮的角速度。时的速度和此时滑轮的角速度。解：以滑轮、物体和地球作为研究解：以滑轮、物体和地球作为研究的系统。在物体下落的过程中，滑的系统。在物体下落的过程中，滑轮随同转动。滑轮轴对滑轮的支持轮随同转动。滑轮轴对滑轮的支持力（外力）不做功（因为无位移）。力（外力）不做功（因为无位移）。因此，对所考虑的系统只有重力这因此，对所考虑的系统只有重力这一保守力做功，所以一保守力做功，所以机械能守恒机械能守恒。滑轮的重力势能不变，可以不考虑。滑轮的重力势能不变，可以不考虑。Rhmv0=0大学物大学物理学理学取物体的初始位置为重力势能零点，则系统初态的机取物体的初始位置为重力势能零点，则系统初态的机械能为械能为0机械能守恒：机械能守恒：大学物大学物理学理学例例 转轴光滑，初态静止，求下摆到转轴光滑，初态静止，求下摆到 角角时的角加速度，角速度。时的角加速度，角速度。大学物大学物理学理学解：（解：（1）讨论此棒的下摆运动时，不能把棒当作质）讨论此棒的下摆运动时，不能把棒当作质点，而视其为刚体处理。棒的下摆是一加速转动，所点，而视其为刚体处理。棒的下摆是一加速转动，所受外力矩即重力对转轴受外力矩即重力对转轴O的力矩。的力矩。由由定轴转动定律定轴转动定律，棒的角加速度：，棒的角加速度：大学物大学物理学理学（2）求棒摆下角时的角速度）求棒摆下角时的角速度 ，可用，可用定轴转动的动能定轴转动的动能定理定理，亦可用，亦可用机械能守恒定律机械能守恒定律。动能定理动能定理 棒的角加速度：棒的角加速度：大学物大学物理学理学 机械能守恒，取棒的水平初位置为势能零点机械能守恒，取棒的水平初位置为势能零点取棒、地球为研究系统，由于棒在下摆过程中，外取棒、地球为研究系统，由于棒在下摆过程中，外力（轴对棒的支持力）不做功，只有重力做功，故力（轴对棒的支持力）不做功，只有重力做功，故系统机械能守恒。系统机械能守恒。大学物大学物理学理学4 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律大学物大学物理学理学 力力的时间累积效应：的时间累积效应：冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理 力矩力矩的时间累积效应：的时间累积效应：冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理大学物大学物理学理学问题：一均匀问题：一均匀圆盘绕过质心的轴转动圆盘绕过质心的轴转动，怎样才能较好地，怎样才能较好地描述其上某一质点的运动？描述其上某一质点的运动？质点作圆周运动质点作圆周运动1 1）用角位置，角速度描述）用角位置，角速度描述OXABA A、B B两点岂不是无差异？两点岂不是无差异？2 2）用位矢及动量描述）用位矢及动量描述但系统有机械运动，总动量却为零但系统有机械运动，总动量却为零大学物大学物理学理学用什么来描述转动问题呢？用什么来描述转动问题呢？角动量角动量大量的事实表明转动问题大量的事实表明转动问题与与 有关。有关。例如天文上行星围绕太阳例如天文上行星围绕太阳转。单位时间内扫过的面转。单位时间内扫过的面积积正比于正比于 。大学物大学物理学理学质点的角动量质点的角动量 角动量守恒角动量守恒大学物大学物理学理学大小：大小：Lrmvsin 方向：右手螺旋定则判定方向：右手螺旋定则判定单位：单位：kg.m2/s一一 质点的角动量质点的角动量 1.质点对点的质点对点的角动量角动量（动量矩）（动量矩）角动量角动量（对一定点的）（对一定点的）质点系的质点系的角动量角动量(要相对于同一参考点要相对于同一参考点)必须指明对哪个参考点而言必须指明对哪个参考点而言大学物大学物理学理学说明说明角动量是物理学的基本概念之一。角动量是物理学的基本概念之一。角动量是矢量。角动量是矢量。角动量与质点的运动和参考点有关。角动量与质点的运动和参考点有关。角动量对质点的任何运动均适用。角动量对质点的任何运动均适用。大学物大学物理学理学 质点以质点以 作半径为作半径为 的圆周运动，相对圆心的圆周运动，相对圆心例例:质点作圆周运动质点作圆周运动例例:质点作直线运动质点作直线运动质点作匀速直线运动质点作匀速直线运动(匀速圆匀速圆周运动周运动)时，质点的角动量时，质点的角动量L保保持不变。持不变。大学物大学物理学理学 2.2.质点对轴的角动量质点对轴的角动量将对将对O 点的角动量点的角动量对轴（例如对轴（例如 z 轴）投影，轴）投影，质点对某点的角动量向质点对某点的角动量向过该点过该点的某个轴的投影的某个轴的投影，就是质点对该轴的角动量。就是质点对该轴的角动量。【思考】【思考】引起质点角动量变化的原因是什么？引起质点角动量变化的原因是什么？大学物大学物理学理学1.物体平动时一般状态会变化物体平动时一般状态会变化问题：问题：2.2.物体转动时状态一般会变化物体转动时状态一般会变化变化的原因是什么？变化的原因是什么？遵从的规律遵从的规律变化的原因是什变化的原因是什么么？遵从的规律是什么？遵从的规律是什么？变变变大学物大学物理学理学二二 质点及质点系的角动量定理质点及质点系的角动量定理 1.角动量定理微分形式角动量定理微分形式质点：质点：质点的角动量定理质点的角动量定理大学物大学物理学理学质点系：质点系：（以两个质点为例）（以两个质点为例）dm1m2O质点系角动量定理：质点系角动量定理：系统角动量对时间的变化率等系统角动量对时间的变化率等于系统所受的于系统所受的合外力矩合外力矩。质点质点1：质点质点2：大学物大学物理学理学2.角动量定理的积分形式角动量定理的积分形式角动量定理（积分形式）角动量定理（积分形式）:作用在质点系的外作用在质点系的外力的角冲量等于系统角动量的增量。力的角冲量等于系统角动量的增量。力矩的力矩的角冲量角冲量 或或冲量矩冲量矩大学物大学物理学理学质点及质点系的质点及质点系的 角动量定理角动量定理角动量的时间变化率角动量的时间变化率所受的合外力矩所受的合外力矩冲量矩冲量矩角动量的增量角动量的增量1 1）力矩力矩使物体的使物体的角动量发生变化角动量发生变化3 3）冲量矩冲量矩（力矩对时间的累积）等于物体（力矩对时间的累积）等于物体角动量的增量角动量的增量。2 2）力矩力矩等于等于角动量对时间的变化率角动量对时间的变化率因因果果理解理解:注意注意:力矩与角动量力矩与角动量对同一参考点而言对同一参考点而言大学物大学物理学理学当当三三 角动量守恒定律角动量守恒定律 则：则：角动量守恒定律：角动量守恒定律：若对某一参考点若对某一参考点,质点系质点系(质点质点)所受所受合的外力矩合的外力矩恒为零时，则此质点系恒为零时，则此质点系(质点质点)对该对该参考点的角动量将保持不变。参考点的角动量将保持不变。大学物大学物理学理学守恒条件守恒条件:F=Fi=0；力力F通过定点通过定点O，即有心力；，即有心力；当外力对定点的某一分量为零时，当外力对定点的某一分量为零时，则角动量则角动量 的该分量守恒：的该分量守恒：实实验验表表明明：对对于于不不受受外外界界影影响响的的粒粒子子系系统统所所经经历历的的任任意意过过程程，包包括括不不能能用用牛牛顿顿力力学学描描述述的的过过程程，都遵守角动量守恒定律。都遵守角动量守恒定律。大学物大学物理学理学开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积大学物大学物理学理学 时刻时刻 m m 对对 O O 的角动量大小为的角动量大小为即瞬间位矢扫过的微面积因行星受的合外力总指向是太阳，角动量 守恒。则常量（称为掠面速率）故，故，位矢在相同时间内扫过的面积相等位矢在相同时间内扫过的面积相等大学物大学物理学理学 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构天体系统的旋转盘状结构天体系统的旋转盘状结构大学物大学物理学理学刚体对轴的角动量刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理大学物大学物理学理学一一 刚体对轴的角动量刚体对轴的角动量刚体对轴的角动量刚体对轴的角动量O大学物大学物理学理学对定轴转的刚体对定轴转的刚体 二二 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理质点质点mi受合力矩受合力矩Mi(包括包括Miex、Miin)合外力矩合外力矩102大学物大学物理学理学非刚体非刚体定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理 对定轴转的刚体，受合外力矩对定轴转的刚体，受合外力矩M，从，从 到到 内，角速度从内，角速度从 变为变为 ，积分可得：，积分可得：大学物大学物理学理学 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量.守恒条件守恒条件若若 不变，不变，不变；不变；若若 变，变，也变，但也变，但 不变不变.在在冲击冲击等问题中等问题中 常量常量三三 刚体定轴转动的刚体定轴转动的角动量守恒定律角动量守恒定律，则，则若若=常量常量大学物大学物理学理学许多现象都可以用角动量守恒来说明许多现象都可以用角动量守恒来说明.角动量守恒定律的应用角动量守恒定律的应用角动量守恒定律的两种情况：角动量守恒定律的两种情况：1.转动惯量保持不变的单个刚体。转动惯量保持不变的单个刚体。大学物大学物理学理学2.转动惯量可变的物体。转动惯量可变的物体。当当 增大时，增大时，就减小；就减小；当当 减小时，减小时，就增大；从而就增大；从而 保持不变。保持不变。大学物大学物理学理学大学物大学物理学理学大学物大学物理学理学花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水大学物大学物理学理学实际中的一些现象实际中的一些现象大学物大学物理学理学大学物大学物理学理学大学物大学物理学理学 被被 中中 香香 炉炉惯性导航仪（陀螺）惯性导航仪（陀螺）角动量守恒定律在技术中的应用角动量守恒定律在技术中的应用 大学物大学物理学理学以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒.讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计大学物大学物理学理学子子弹弹击击入入杆杆以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；大学物大学物理学理学圆圆锥锥摆摆圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒大学物大学物理学理学例例 一长为一长为 l ,质量为质量为m 的竿的竿可绕支点可绕支点O自由转动一质量自由转动一质量为为m、速率为、速率为v 的子弹射入竿的子弹射入竿内距支点为内距支点为a 处，使竿的偏转处，使竿的偏转角为角为30o.问子弹的初速率为问子弹的初速率为多少多少?解解子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒大学物大学物理学理学 射入竿后，以子弹、细射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，杆和地球为系统，E E=常量常量大学物大学物理学理学 例例 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆，可的均匀细杆，可绕过其中心绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动内转动当细杆静止于水平位置时，有一只当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处，并背处，并背离点离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆爬行设小虫与细杆的质量均为的质量均为m问：欲使细杆以恒定的角速问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?l/4O大学物大学物理学理学解解虫与杆的虫与杆的碰撞前后，系统角碰撞前后，系统角动量守恒动量守恒大学物大学物理学理学由角动量定理由角动量定理考虑到考虑到大学物大学物理学理学 例例一杂技演员一杂技演员M由距水平跷板高为由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一，并把跷板另一端的演员端的演员N弹了起来问演员弹了起来问演员N可弹起多高可弹起多高?ll/2CABMNh大学物大学物理学理学设跷板是匀质的，长度为设跷板是匀质的，长度为l，质量为质量为 ，跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动，演在竖直平面内转动，演员的质量均为员的质量均为m假定演员假定演员M落在跷板上，与落在跷板上，与跷板的碰撞是跷板的碰撞是完全非弹性完全非弹性碰撞碰撞解解碰撞前碰撞前M落在落在 A点的速度点的速度碰撞后的瞬间，碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度具有相同的线速度大学物大学物理学理学M、N和跷板组成的系统，角动量守恒和跷板组成的系统，角动量守恒ll/2CABMNh大学物大学物理学理学解得解得演员演员N以以u起跳，达到的高度：起跳，达到的高度：大学物大学物理学理学例例 如图示已知：如图示已知：RM=2m，h，=60 求：碰撞后瞬间盘的求：碰撞后瞬间盘的 0=？P转到转到x轴时盘的轴时盘的解：解：m下落：下落：mghmv=122vgh=2(1)大学物大学物理学理学碰撞碰撞 t 极小，对极小，对m+盘系统，冲力远大于重力，盘系统，冲力远大于重力，故重力对故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：力矩可忽略，角动量守恒：mvRJocos =(2)JMRmRmR=+=122222 (3)由由(1)(2)(3)得得：oghR=22cos (4)对对 m+M+地球系统，只有重力做功，地球系统，只有重力做功，E守恒守恒，则：则：P、x 重合时重合时EP=0。令令1mgRJJosin +=12222(5)大学物大学物理学理学由由(3)(4)(5)得得：=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()=60o o大学物大学物理学理学自旋与旋进自旋与旋进大学物大学物理学理学一一 常平架回转仪常平架回转仪 绕质心运动的角动量守恒绕质心运动的角动量守恒,转动体自转轴方位保持不变转动体自转轴方位保持不变.1.常平架回转仪的构造常平架回转仪的构造 2.常平架回转仪的原理常平架回转仪的原理 O xyz 支架支架 外环外环 内环内环 转动体转动体 3.应用应用 安装在导弹、飞机、坦克或舰船中，随时纠正导安装在导弹、飞机、坦克或舰船中，随时纠正导弹等的方向和姿态弹等的方向和姿态.大学物大学物理学理学二二 回转仪的旋进回转仪的旋进 旋进旋进(进动进动)高速自转物体的轴高速自转物体的轴,在空间转动的现象在空间转动的现象.WGl 1.杠杆陀螺的进动杠杆陀螺的进动 陀螺高速自转陀螺高速自转,有重力矩有重力矩,仅方向不同仅方向不同.t 很小时很小时xz 角动量增量角动量增量大学物大学物理学理学矢量式矢量式 旋进角速度旋进角速度因此因此xz 大学物大学物理学理学2.玩具陀螺的进动玩具陀螺的进动 与与 并不一致，因陀并不一致，因陀螺的形状是对称的，外力矩螺的形状是对称的，外力矩较小，近似认为一致较小，近似认为一致.进动原理同杠杆陀螺进动原理同杠杆陀螺.大学物大学物理学理学枪膛来复线枪膛来复线射出的子弹如果本身没有高速旋转，空气阻力偏离质心，对质射出的子弹如果本身没有高速旋转，空气阻力偏离质心，对质心有力矩的作用，子弹便可能翻转。心有力矩的作用，子弹便可能翻转。故出膛的子弹必须高速旋转（来复线），由于自转，空气阻力故出膛的子弹必须高速旋转（来复线），由于自转，空气阻力对于质心的力矩仅能使弹丸绕飞行方向旋进，使弹头与飞行方对于质心的力矩仅能使弹丸绕飞行方向旋进，使弹头与飞行方向不致有过大的偏离。向不致有过大的偏离。以上只是近似讨论，当进动发生时，还有以上只是近似讨论，当进动发生时，还有章动现象章动现象。实际上飞。实际上飞轮的总角动量轮的总角动量 L应等于自旋角动量与进动角动量的矢量和，应等于自旋角动量与进动角动量的矢量和，而上面只考虑了前者。而上面只考虑了前者。大学物大学物理学理学三三 地球的旋进与章动地球的旋进与章动 太阳太阳冬冬夏夏太阳视运动轨道太阳视运动轨道 黄道面法线黄道面法线 S23.5 N地球在太阳引力矩的作用下的旋进地球在太阳引力矩的作用下的旋进 章动章动 的夹角发生周期性的变化的夹角发生周期性的变化.