山东省临沂市临沂一中高三数学上学期10月份联考试题.doc
山东省临沂市临沂一中2020届高三数学上学期10月份联考试题 考生注意:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语,函数与导数,三角函数与解三角形,平面向量,数列. 第卷 一、选择题:本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中,第110题只有一项符合题目要求;第1113题,有多项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的不得分.1.若集合M=x|-1<2-x1,N=x|x2-6x+8<0,则MN=A.(2,3B.(2,3)C.1,4)D.(1,4)2.若=(1,2),=(1,0),则=A.(2,2)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-2)3.函数f(x)=+ln|x|的定义域为A.-1,+)B.-1,0)(0,+)C.(-,-1D.(-1,0)(0,+)4.若an是首项为1的等比数列,则“>9”是“a2>3”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知两个单位向量e1,e2的夹角为60°,向量m=5e1-2e2,则|m|=A.B.C.2D.76.在ABC中,AC=3,AB=4,BC=6,则ABC的最大内角的余弦值为A.B.-C.-D.-7.已知cos 27°0.891,则(cos 72°+cos 18°)的近似值为A.1.77B.1.78C.1.79D.1.818.函数f(x)=在-,上的图象大致为 9.将曲线y=2sin(4x+)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得曲线关于y轴对称,最后得到的曲线的对称轴方程为A.x=+(kZ)B.x=-+(kZ)C.x=+(kZ)D.x=-+(kZ)10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且f(x)的图象关于点(3,0)对称,当1x2时,f(x)=2x+log3(4x+3),则f()=A.-4B.4C.-5D.511.下列有四个关于命题的判断,其中正确的是A.命题“x0(0,+),3x0+cos x0<1”是假命题B.命题“若xy100,则x4或y25”是真命题C.命题“xN,lg(x+1)>0”的否定是“x0N,lg(x0+1)>0”D.命题“在ABC中,若·<0,则ABC是钝角三角形”是真命题12.已知函数f(x)=,则A.f(x)的最小正周期为B.f(x)的最大值为2C.f(x)的值域为(-2,2)D.f(x)的图象关于(-,0)对称13.若函数f(x)=2x3-ax2(a<0)在(,)上有最大值,则a的取值可能为A.-6B.-5C.-4D.-3第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡中的横线上.14.设函数f(x)=则f(-f(10)= . 15.直线2y+1=0与曲线y=cos x在(-,)上的交点的个数为 . 16.张军自主创业,在网上经营一家干果店,销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃,价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元/千克,为增加销量,张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元,顾客就少付x(2xZ)元.每笔订单顾客网上支付成功后,张军会得到支付款的80%.若顾客一次购买松子和腰果各1千克,需要支付180元,则x= ; 在促销活动中,为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 .(本题每空2分) 17.九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则自上而下的第1节的容积为 ,这9节竹子的总容积为 . (本题每空2分) 三、解答题:本大题共6小题,共82分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18.(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=30°,a=8,b=8.(1)求tan B;(2)若ABC不是直角三角形,求ABC的面积. 19.(12分)已知函数f(x)=x-aeax(a>0).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)若f(x)<0恒成立,求a的取值范围.20.(14分)设数列an的前n项和为Sn,且2Sn=3an-1.(1)求an的通项公式;(2)若bn=,求bn的前n项和Tn,并比较Tn与的大小.21.(14分)将函数g(x)=4sin xcos(x+)的图象向左平移(0<)个单位长度后得到f(x)的图象.(1)若f(x)为偶函数,tan >2,求f()的取值范围;(2)若f(x)在(,)上是单调函数,求的取值范围.22.(15分)已知函数f(x)=x(1-sin x).(1)求函数f(x)在(-20,20)上的零点之和;(2)证明:f(x)在(0,)上只有1个极值点.23.(15分)已知函数f(x)= ax2-x+2a2ln x(a0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<+. 数学试题参考答案 1.C 【解析】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法,考查运算求解能力.M=1,3),N=(2,4),MN=1,4).2.C 【解析】本题考查平面向量的线性运算,考查运算求解能力.=+=-=(0,2).3.B 【解析】本题考查函数的定义域,考查运算求解能力.x-1,0)(0,+).4.B 【解析】本题考查充分条件、必要条件,考查推理论证能力.若>9,则q2>9,则a2=q<-3或a2>3;若a2=q>3,则=q2>9.故选B.5.A 【解析】本题考查平面向量的数量积与模,考查运算求解能力.|m|=.6.D 【解析】本题考查余弦定理的应用,考查运算求解能力.因为BC边最长,所以A最大,且cos A=-.7.B 【解析】本题考查三角恒等变换,考查运算求解能力.cos 72°+cos 18°=sin 18°+cos 18°=sin(18°+45°)=sin 63°=cos 27°,(cos 72°+cos 18°)2×0.891=1.782,所以(cos 72°+cos 18°)的近似值为1.78.8.A 【解析】本题考查函数图象的识别,考查推理论证能力.易知f(x)为偶函数,排除C.因为f()<0,f()=->->-1,所以排除B,D,故选A.9.D 【解析】本题考查三角函数图象的周期变换与对称性,考查运算求解能力.将曲线y=2sin(4x+)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线y=2sin(2x+),再将所得曲线关于y轴对称,得到曲线y=2sin(-2x+),令-2x+=-k(kZ),得x=-+(kZ).10.C 【解析】本题考查函数的对称性与周期性,考查推理论证能力与抽象概括能力.因为f(x)的图象关于点(3,0)对称,所以f(x)+f(6-x)=0.又f(x)=f(2-x),所以f(2-x)+f(6-x)=0,所以f(x)=-f(x+4),则f(x)=f(x+8),所以f()=f(+100×8)=f().因为f()+f(6-)=0,f()=-f()=-(3+log39)=-5,所以f()=-5.11.AB 【解析】本题考查命题的否定与命题真假的判断,考查推理论证能力.设f(x)=3x+cos x(x>0),则f'(x)=3-sin x>0,所以f(x)在(0,+)上单调递增,所以f(x)>f(0)=1,从而命题“x0(0,+),3x0+cos x0<1”是假命题.若x=4且y=25,则xy=100,所以命题“若xy100,则x4或y25”是真命题.易知选项C是错误的.在ABC中,若·<0,则·>0,则B为锐角,从而不能判断ABC是钝角三角形,所以选项D也是错误的.12.ACD 【解析】本题考查三角恒等变换及三角函数图象的性质,考查运算求解能力.f(x)=-2sin(2x+),cos(2x+)0,当且仅当cos(2x+)=0时,|sin(2x+)|=1,f(x)的值域为(-2,2),f(x)的最小正周期为,f(x)的图象关于(-,0)对称.13.ABC 【解析】本题考查导数的综合应用,考查化归与转化的数学思想及运算求解能力.令f'(x)=2x(3x-a),得x1=0,x2= (a<0),当<x<0时,f'(x)<0;当x<或x>0时,f'(x)>0.从而f(x)在x=处取得极大值f()=-.由f(x)=-,得(x-)2(2x+)=0,解得x=或x=-.f(x)在(,)上有最大值,<-,a-4.14.16 【解析】本题考查分段函数求值,考查运算求解能力.f(-f(10)=f(-2)=42=16.15.3 【解析】本题考查三角函数的图象及函数与方程,考查数形结合的数学方法.cos(-)=-<-,直线2y+1=0与曲线y=cos x在(-,)上有3个交点.16.10;18.5 【解析】本题考查数学在生活中的实际应用,考查数学建模的数学核心素养.顾客一次购买松子和腰果各1千克,需要支付120+70-x=180元,则x=10.设顾客一次购买干果的总价为M元,当0<M<150时,张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的七折.当M150时,0.8(M-x)0.7M,即M8x对M150恒成立,则8x150,x18.75,又2xZ,所以x的最大值为18.5.17.升;升 【解析】本题考查数学文化与等差数列,考查运算求解能力与应用意识.将自上而下各节竹子的容积分别记为a1,a2,a9,依题意可得a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a1+6d=3,3a1+21d=4,×4-×3,得66d=7,解得d=,把d=代入,得a1=,S9=9a5=9×=升.18.解:(1)由=,得sin B=,3分则B=60°或120°,5分故tan B=±.6分(2)由(1)知,当A=30°,B=60°,C=90°时,此时ABC是直角三角形;8分当A=30°,B=120°,C=30°时,此时ABC不是直角三角形.10分故SABC=absin C=×8×8×=16.12分19.解:(1)f'(x)=1-a2eax,1分所以f'(0)=1-a2.2分又f(0)=-a,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y+a=(1-a2)x,即y=(1-a2)x-a.5分(2)因为a>0,所以a2>0.令f'(x)=0,得x=-;6分令f'(x)>0,得x<-;7分令f'(x)<0,得x>-.8分所以f(x)max=f(-)=-.10分因为f(x)<0恒成立,所以-<0,因为a>0,所以a>,故a的取值范围为(,+).12分20.解:(1)因为2Sn=3an-1,所以2S1=2a1=3a1-1,即a1=1.1分当n2时,2Sn-1=3an-1-1,则2Sn-2Sn-1=2an=3an-3an-1,3分整理得=3(n2),4分则数列是以1为首项,3为公比的等比数列,5分故an=a1qn-1=3n-1.6分(2)因为bn=,所以bn=×(-),9分所以Tn=×(-)+(-)+(-)+(-),11分即Tn=×(-)=-.12分因为Tn<<,所以Tn<.14分21.解:(1)g(x)=4sin x(cos x-sin x)=sin 2x-(1-cos 2x)=2sin(2x+)-1,3分f(x)=2sin(2x+2)-1.4分又f(x)为偶函数,则+2=+k(kZ),0<,=,5分f(x)=2sin(2x+)-1=2cos 2x-1=-1=-1.6分tan >2,f()=-3<-3=-,7分又f()=-3>-3,f()的取值范围为(-3,-).8分(2)x(,),2x+2(2+2,2+2).9分0<,+2(,+2(,.10分f(x)在(,)上是单调函数,12分,.14分22.(1)解:令f(x)=x(1-sin x)=0,得x=0或sin x=1,2分即x=0或x=+2k(kZ),即x=0或x=+2k(kZ),4分所以f(x)在(-20,20)上的零点之和为-+0+=-10.7分(2)证明:设g(x)=f'(x),g'(x)=xsin x-2cos x,h(x)=g'(x),h'(x)=xcos x+3sin x,8分当x(0,)时,h'(x)>0,则h(x)=g'(x)为增函数.9分因为g'(0)=-2<0,g'()=>0,所以m(0,),g'(m)=0,10分所以当x(0,m)时,g'(x)<0;当x(m,)时,g'(x)>0,11分从而g(x)在(0,m)上单调递减,在(m,)上单调递增.又g(0)=1>0,g()=0,所以必存在唯一的x0(0,),使得g(x0)=0,13分当x(0,x0)时,g(x)>0;当x(x0,)时,g(x)<0.14分故f(x)在(0,)上只有1个极值点x0.15分23.(1)解:f'(x)=ax-1+=,x(0,+).1分设p(x)=ax2-x+2a2(x>0),=1-8a3,当a时,0,p(x)0,则f'(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增.3分当0<a<时,>0,p(x)的零点为x1=,x2=,且0<x1<x2,令f'(x)>0,得0<x<x1或x>x2,所以f(x)在(0,),(,+)上单调递增;5分令f'(x)<0,得x1<x<x2,所以f(x)在(,)上单调递减.6分当a<0时,>0,p(x)的零点为,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+)上单调递减.7分(2)证明:由(1)知,当0<a<时,f(x)存在两个极值点.8分不妨假设0<x1<x2,则x1+x2=.9分要证<+,只需证f(x1)-f(x2)>=-,10分只需证 (x1-x2)a(x1+x2)-2+2a2ln=- (x1-x2)+2a2ln>-,11分即证2a2ln-+> (x1-x2).12分设t=(0<t<1),设函数g(t)=2a2ln t-t+,g'(t)=-,因为'=4a4-4<0,所以t2-2a2t+1>0,g'(t)<0,13分所以g(t)在(0,1)上单调递减,则g(t)>g(1)=0.14分又 (x1-x2)<0,则g(t)>0> (x1-x2),则2a2ln-+> (x1-x2),从而<+.15分