决胜2021年中考数学压轴题全揭秘专题15动点综合问题（教师版含解析）.pdf

决 胜 2 0 2 1中 考 数 学 压 轴 题 全 揭 秘 精 品 专 题 1 5 动 点 综 合 问 题 r、【考 点 1】动 点 之 全 等 三 角 形 问 题 例 1 1.如 图,CA_LBC,垂 足 为 C,AC=2Cm,BC=6cm,射 线 BM_LBQ,垂 足 为 B,动 点 P 从 C 点 出 发 以 lcm/s的 速 度 沿 射 线 C Q运 动，点 N 为 射 线 B M上 一 动 点，满 足 PN=AB,随 着 P 点 运 动 而 运 动，当 点 P 运 动 秒 时，ABCA与 点 P、N、B为 顶 点 的 三 角 形 全 等.（2个 全 等 三 角 形 不 重 合）【分 析】此 题 要 分 两 种 情 况：当 P在 线 段 B C上 时，当 P在 BQ上，再 分 别 分 两 种 情 况 A C=B P或 A C=B N进 行计 算 即 可.【详 解】解：当 P 在 线 段 B C上，A C=B P时，A A C B A PB N,，B P=2,.C P=6-2=4,.二 点 P 的 运 动 时 间 为 44-1=4（秒）；当 P 在 线 段 B C上，A C=B N时，A A C B A N B P,这 时 B C=P N=6,C P=O,因 此 时 间 为 0 秒；当 P 在 BQ 上，A C=BP 时，A A C B A PB N,：A C=2,，B P=2,，C P=2+6=8,.点 P 的 运 动 时 间 为 8+1=8（秒）；当 P 在 BQ 上，AC=NB 时，A A C B A N B P,V B C=6,，B P=6,，C P=6+6=1 2,点 P 的 运 动 时 间 为 12+1=12（秒），故 答 案 为 0 或 4 或 8或 12.【点 睛】本 题 考 查 三 角 形 全 等 的 判 定 方 法，判 定 两 个 三 角 形 全 等 时 必 须 有 边 的 参 与，若 有 两 边 一 角 对 应 相 等 时，角 必 须 是 两 边 的 夹 角.【变 式 J-1 已 知 正 方 形 A3C Q的 对 角 线 AC与 5。交 于 点 0,点 E、尸 分 别 是 线 段 0 5、0 C上 的 动 点（1）如 果 动 点 E、尸 满 足 8 E=0尸（如 图），且 f 时，问 点 E 在 什 么 位 置？并 证 明 你 的 结 论；（2）如 果 动 点 E、尸 满 足 8 E=C（如 图），写 出 所 有 以 点 E 或 尸 为 顶 点 的 全 等 三 角 形（不 得 添 加 辅 助 线）.【答 案】（1）当 AE_L8尸 时，点 E 在 8 0 中 点，见 解 析；以 点 E或 F 为 顶 点 的 全 等 三 角 形 有 ABE四 BCF,A O E d B O F,/A D E/B A F.【分 析】（I）根 据 正 方 形 性 质 及 已 知 条 件 得 出 8EA/SZ4E0,A B E M s A B O F,再 根 据 三 角 形 相 似 的 性 质 即 可 得 出 答 案；（2）根 据 正 方 形 性 质 及 8 E=C/即 可 得 出 全 等 的 三 角 形.【详 解】解：（1）当 A E _ L B R时，点 在 8。中 点.证 明 如 下：延 长 A E 交 B E 于 点 M，如 图 所 示：;ZBM E=ZAOE,ABEM=Z A E O,.-.ABEM AAEO,BM EM.-=-,OA EO；NMBE=/O B F,N B M E=N B O F,.BM EM,一，BO OFv A O=B O,1.E O=O F,；BE=OF,BE=E O,故 当 A E _ L斯 时.，点 E 在 3 0 中 点；.四 边 形 ABC。是 正 方 形，A O=C O=B O=D O,A C I B D A B=B C=A D=C D,ZACB=ZABD=ZADE=ZBAC=45 f:BE=C F，：.OE=O F,AF=D E，:BE=C F，ZA B D ZA C B,AB=BC,在 A A B E和 4 B C F中，BE=CF ZABD=ZACB,AB=BC:.ABE/BC FSAS)同 理 可 得 AOE w ABOF,/XADE=ZXBAF;，以 点 E 或 户 为 顶 点 的 全 等 三 角 形 有 人 钻 石 三 科 中，AAOE=A B O F,Z4DE=A f i4 F；本 题 主 要 考 查 了 全 等 三 角 形 的 性 质、正 方 形 的 性 质，相 似 三 角 形 的 判 定 及 性 质，比 较 综 合，难 度 较 大，熟 练 掌 握 正 方 形 的 性 质 是 解 题 的 关 键.【支 式 J-2】如 图，将 长 方 形 纸 片 沿 对 角 线 剪 成 两 个 全 等 的 直 角 三 角 形 ABC、E D F,其 中 A3=8MI,BC=6cm,A C=1 0 c m.现 将 4 B C和 E。尸 按 如 图 的 方 式 摆 放（点 4 与 点。、点 8 与 点 E分 别 重 合）.动 点 P从 点 A 出 发，沿 A C以 2c机/s的 速 度 向 点 C匀 速 移 动；同 时，动 点。从 点 E 出 发，沿 射 线 E O以 ac,/s（OVaV3）的 速 度 匀 速 移 动，连 接 PQ、CQ、F Q,设 移 动 时 间 为 f s（0W/W5）.（1）当 t2 时，SAQF=3SBQCt 贝!a=；（2）当 以 P、C、。为 顶 点 的 三 角 形 与 5Q C全 等 时，求 a 的 值；（3）如 图，在 动 点 尸、。出 发 的 同 时，4 5 C 也 以 3c,n/s的 速 度 沿 射 线 EO匀 速 移 动，当 以 4、P、。为 顶 点 的 三 角 形 与 EFQ全 等 时，求 a 与 f 的 值.3【答 案】(1)1;(2)-；(3)a=2 时，f=2；或。=2.3 时，f=5.2【分 析】(1)由 题 意 得/8 A F=/A 8 C=9 0,8。=4=2，A F B C,由 三 角 形 面 积 得 4。=38。，则 A B=4B Q=8,得 8 Q=2=2 a,则 a=l；(2)由 题 意 得 点 P 与 B 为 对 应 顶 点，PQ=BQ=at,PC=BC=6,ZCPQ=ZABC=90,则 AP=AC-PC=4,P Q V A C,得 f=2,则 P Q=8 Q=2 m 再 由 三 角 形 面 积 关 系 即 可 得 出 答 案；(3)分 两 种 情 况：A P与 E。为 对 应 边，A Q与 E尸 为 对 应 边，0 1 AP=EQ,A 0=E F=I O,求 出 a=2,BQ=BE-E Q=t,则 A Q=A B+8 Q=8+/=1 0,解 得 f=2：A P与 E F为 对 应 边，A Q与 E Q为 对 应 边，则 A P=E F=10,A Q=E Q,求 出 f=5,则 4 Q=E Q=5 a,得 B Q=5-5 a,或 8 Q=5 4-1 5,再 分 别 求 出。的 值 即 可.【详 解】解：(1)由 题 意 得：Z B A F=Z A B C=90,BQ=at=2a,AF=BC,V S aA Q F=3 S&B Q C SAQ F=-AFXAQ,S R Q C=BCX BQ,：.AQ=3BQ,：.AB=4BQ=S,8。=2=2a,.a 1；故 答 案 为：1;(2)；以 尸、C、。为 顶 点 的 三 角 形 与 BQC全 等，C。是 公 共 边，.点。与 8 为 对 应 顶 点，PQ=BQ at,PC=BC=6,N C P Q=/A 8 C=9 0,.=A C-P C=1 0-6=4,PQLAC,A P=2t=4,Ar=2,PQ=BQ=2a,/XABC的 面 积=ZACQ的 面 积+Z8CQ的 面 积，.X 8 X 6=L X10X2+X2aX6,2 2 23解 得:a=；2 由 题 意 得：Z A=Z E,NA与 N E为 对 应 角，分 两 种 情 况：A尸 与 EQ为 对 应 边，AQ与 ER为 对 应 边，则 AP=E。，AQ=EF=O,:EQ=att/.at=2t9*a=2,：.EQ=2tt:BE=3t,：.BQ=BE-EQ=t9 AQ=A8+8Q=8+f=10,解 得：f=2；AP与 EF为 对 应 边，AQ与。为 对 应 边，则 AP=F=10,AQ=EQ,A2r=10,t=5f：.AQ=EQ=5a,；BE=3t=15,：.BQ=15-5 a,或 5。=5-15,当 8Q=1 5-5 a 时,AQ=i5-5a+8=23-5 a,或 A Q=8、（15-5a）=5a-7,/.56f=23-5 a,或 5a=5a-7（无 意 义）,解 得：4=2.3；当 BQ=5a-15 时，AQ=5a-15+8=5-7,或 4。=8-（5 a-15）=7-5a,.5a=5a-7（无 意 义），或 5a=7-5a,解 得：a=0.7,不 合 题 意，舍 去；综 上 所 述，a=2时，f=2；或 4=2.3时，f=5.【点 睛】本 题 主 要 考 查 全 等 三 角 形 的 综 合 问 题 及 动 点 问 题，关 键 是 根 据 题 意 找 到 动 点 之 间 的 联 系，然 后 结 合 全 等 三 角 形 的 性 质 进 行 求 解 问 题 即 可，注 意 分 类 讨 论 思 想 的 运 用.【考 点 2 动 点 之 直 角 三 角 形 问 题【例 2】如 图，在 四 边 形 纸 片 A 8 C O中，A B/C D,Z A=60,Z B=30,C D=2,BC=4,点 是 A B边 上 的 动 点，点/是 折 线 A。一。上 的 动 点，将 纸 片 A B C D沿 直 线 旅 折 叠，使 点 A 的 对 应 点 A 落 在 A B边 上，连 接 A C,若 M B C 是 直 角 三 角 形，则 A E的 长 为.【分 析】如 图（见 解 析），先 利 用 解 直 角 三 角 形、勾 股 定 理、矩 形 的 判 定 与 性 质 求 出 A B的 长，再 分 NACB=9O。和 Z B A C=90。两 种 情 况，分 别 求 出 A 3 的 长，然 后 根 据 折 叠 的 性 质、线 段 的 和 差 即 可 得.【详 解】如 图，过 点 C作 于 点 M,过 点 D 作 于 点 N,Q A B/C D,:.C M L C D,D N 工 CD,，四 边 形 CDNM是 矩 形，/.M N=CD=2,CM=D N,在 用 B G V/中，/8=30。,8。=4,：.C M=-B C=2,B M=yjBC2-C M2=2 G，2：.D N=2,在 R tM A D N 中，4=60,Z A D N=30,D N=2,.AN=ON tan 乙 ADN=，3AB=A 2V+MN+3=亚+2+2 6=2+更,3 3由 折 叠 的 性 质 得：A E=A E，点 A 在 A B边 上,.A E+A E=A 4，即 AE=-A A,2由 题 意，分 以 下 两 种 情 况：(1)当 NACB=90。时，口 4 6。是 直 角 三 角 形，在 MEHBC 中，4 8=匹=-,cos B cos 300 3A4=A B-A 2=2+M 一 延=2，3 3AE A A=x 2=1；2 2 当 N8AC=90时，口 4 8。是 直 角 三 角 形，在 RtQABC 中，AB=BC cos B=4 cos 30=，AA=A B-A B=2+-2 s/3=2+-,3 3.“1“1 L 2忖.V3.AE AA x 2 H-1+；2 2 3 3综 上，AE的 长 为 1或 1+也，3故 答 案 为：1或 1+3.3【点 睛】本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形、勾 股 定 理、矩 形 的 判 定 与 性 质、折 叠 的 性 质 等 知 识 点，依 据 题 意，正 确 分 两 种 情 况 讨 论 是 解 题 关 键.【变 式 2-1(2019辽 宁 中 考 模 拟)如 图，已 知 二 次 函 数 y=a x2+bx+4的 图 象 与 x 轴 交 于 点 A(4,0)和 点 D l l.0),与 y 轴 交 于 点 C,过 点 C 作 B C平 行 于 x 轴 交 抛 物 线 于 点 B,连 接 AC(1)求 这 个 二 次 函 数 的 表 达 式；(2)点 M 从 点 O 出 发 以 每 秒 2 个 单 位 长 度 的 速 度 向 点 A 运 动；点 N 从 点 B 同 时 出 发，以 每 秒 1个 单 位 长 度 的 速 度 向 点 C 运 动，其 中 一 个 动 点 到 达 终 点 时，另 一 个 动 点 也 随 之 停 动，过 点 N 作 N Q垂 直 于 B C交 AC于 点 Q,连 结 MQ.求 A A Q M的 面 积 S 与 运 动 时 间 t 之 间 的 函 数 关 系 式，写 出 自 变 量 的 取 值 范 围；当 t 为 何 值 时，S 有 最 大 值，并 求 出 S 的 最 大 值；是 否 存 在 点 M,使 得 AQ M为 直 角 三 角 形？若 存 在，求 出 点 M 的 坐 标；若 不 存 在，说 明 理 由.1 9【答 案】（l）y=-X2+3X+4；（2）S=-t2+t+2；0t2；S*=-?存 在，点 M 的 坐 标 分 别 为（1,2 40)和(2,0).【解 析】【分 析】(1)由 待 定 系 数 法 将 A D 两 点 代 入 即 可 求 解.分 别 用 t表 示 出 A M、P Q,由 三 角 形 面 积 公 式 直 接 写 出 含 有 t的 二 次 函 数 关 系 式，由 二 次 函 数 的 最 大 值可 得 答 案；分 类 讨 论 直 角 三 角 形 的 直 角 顶 点，然 后 解 出 I,求 得 M 坐 标.【详 解】(1)；二 次 函 数 的 图 象 经 过 A(4,0)和 点 D(-l,0),16a+4Z?+4=0ab+4=0a 解 得 c，b=3所 以，二 次 函 数 的 解 析 式 为 y=-x?+3x+4.延 长 N Q交 x 轴 于 点 P,：B C平 行 于 x 轴，C(0,4)，B(3,4),N P1O A.根 据 题 意，经 过 t 秒 时，N B=t,0M=2t,则 C N=3-t,A M=4-2t.V Z B C A=Z M A Q=4 5,，Q N=C N=3-t,.P Q=N P-N Q=4-(1-t)=l+t,I 1SA AMQ=AMxPQ=-(4-2t)(1+t)2 2=-t2+t+2.V a=-K O,且 O Q,O.S有 最 大 值.1 9当 t=时，S；(,(=.2 4 存 在 点 M,使 得 A Q M为 直 角 三 角 形.设 经 过 t 秒 时,N B=t,0 M=2 t,则 C N=3-t,A M=4-2t,二；NBCA=N M A Q=45。.I.若 N A Q M=90。，则 P Q是 等 腰 RtA M QA底 边 M A上 的 高.，P Q是 底 边 M A的 中 线，1.*.P Q=A P=-M A,解 得，t=L2.M的 坐 标 为(1,0).I I.若 N Q M A=90。，此 时 Q M与 Q P重 合.QM=QP=M A,l+t=4-2t,/.t=l,.,.点 M 的 坐 标 为(2,0).所 以，使 得 A Q M为 直 角 三 角 形 的 点 M 的 坐 标 分 别 为(1,0)和(2,0).【点 睛】此 题 考 查 了 待 定 系 数 法 求 解 析 式，还 考 查 了 三 角 形 的 面 积，要 注 意 利 用 点 的 坐 标 的 意 义 表 示 线 段 的 长 度，从 而 求 出 线 段 之 间 的 关 系 还 要 注 意 求 最 大 值 可 以 借 助 于 二 次 函 数.【支 为 2-2】如 图，在 矩 形 Q4HC中，OC=8,Q 4=12,B 为 C H 中 点,连 接 A 3.动 点”从 点。出 发 沿。4边 向 点 A运 动，动 点 N 从 点 A 出 发 沿 边 向 点 8 运 动，两 个 动 点 同 时 出 发，速 度 都 是 每 秒 1个 单 位 长 度，连 接 C M,CN,M N,设 运 动 时 间 为 f(秒)(0/1 0).则，=时，ACA7N为 直 角 三 角 形_ _ _ _ 7 f 41-V241【答 案-或-2 4【分 析】CM N是 直 角 三 角 形 时，有 三 种 情 况，一 是/C M N=90。，二 是/M N C=90。，三 是/M C N=90。，然 后 进 行 分 类 讨 论 求 出 t 的 值.【详 解】解：图 1过 点 N 作 0 A 的 垂 线，交 O A于 点 F,交 C H于 点 E,如 图 1,点 是 C H的 中 点，1 1，B H=-C H=-0 A=6,2 2VAH=0C=8,.由 勾 股 定 理 可 求：AB=10,/AN=t,ABN=10-t,.NE AH,A A B E N A B H A,.BN _ EN.10-t _EN10 4(1 0-r).E N=-54.FN=8-EN=T,5当 NCMN=90,3由 勾 股 定 理 可 求：A F=-t,VOM=t,；.AM=12-t,3 8.MF=AM-AF=12-t-t=2-t,5 5VZOCM+ZCM O=90,ZCMO+ZFMN=90,二 NOCM=NFMN,V Z O=ZN FM=90o,.,.C O M A M FN,.PC OMM F F Nr87.t=一,2当 NMNC=90。，4F N=T54AEN=8 t58VMF=12 r53 CE=OF=OM+MF=12-iVZM NF+ZCNE=90,ZECN+ZCNE=90,ZM NF=ZECN,/ZCEN=ZNFM=90,/.CENANFM,.CE EN3 41 2-/8-/5 5.41/24T t=-4V0t5,.41-V241 t=-;4当 NNCM=90,由 题 意 知：此 情 况 不 存 在，综 上 所 述，ZiCMN为 直 角 三 角 形 时，t=Z或 曳 二 叵 L2 4【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质、勾 股 定 理 等 知 识，有 一 定 的 综 合 性.【考 点 3】动 点 之 等 腰 三 角 形 问 题【例 3】如 图，A 3 是。的 直 径，是 弦，AB=10cm,BC=6cm.若 点 P 是 直 径 A 3 上 一 动 点,当 口 尸 B C 是 等 腰 三 角 形 时，4 P=c m.【答 案】2.8、4 或 5【解 析】解：8 为 顶 点 即=时,A P,=A B-A PV=1 0-6.=4.C 为 顶 点 即 CP=CB时，RtElBAC中：A C 7 A B 2-B C。=8,S A B C=A C BC=-A B CD.CD=4.8,BD=d B C 2-C lf=3.6,AP?=AB-B 3=AB-2BD=2.8.P 为 顶 点 即 C P=3 P时，P 与。重 合,/.APi=r=5.综 上 A P为 2.8,4或 5cm.故 答 案 为：2.8.4或 5cm.点 睛：解 答 本 题 的 关 键 分 三 种 情 况 讨 论：BC=BP：CP=CB,CP=BP.【变 式 3-1】如 图，已 知 正 方 形 ABCO边 长 为 2,点 P是 A O边 上 的 一 个 动 点，点 A 关 于 直 线 肝 的 对 称 点 是 点 Q,连 结 P Q、D Q、C Q、B Q.设 AP=x.D D D（1）当 x=l 时，求 5尸 长;如 图，若 P Q 的 延 长 线 交 8 边 于 E,并 且 N C Q O=9 0,求 证：A C E Q为 等 腰 三 角 形;若 点 P 是 射 线 A。上 的 一 个 动 点，则 当 A C Q Q为 等 腰 三 角 形 时，求 x 的 值.【答 案】（1）B P=；（2）证 明 见 解 析；（3 2 C D Q为 等 腰 三 角 形 时 x 的 值 为 4-2月、2 叵、2 7 3+4.3【解 析】【分 析】（1）利 用 勾 股 定 理 求 出 B P的 长 即 可；（2）根 据 对 称 性 质 及 正 方 形 的 性 质 可 得 AB=BQ=BC,Z A=Z B Q P=Z B C E=90,可 得 NBQE=90。，由 第 一 视 角 相 等 性 质 可 得 N B C Q=/B Q C,根 据 同 角 或 等 角 的 余 角 相 等 的 性 质 可 得 N E Q C=N E C Q,可 得 E C=E Q,可 得 结 论；（3）若 A C D Q为 等 腰 三 角 形，则 边 C D边 为 该 等 腰 三 角 形 的 一 腰 或 者 底 边.又 Q 点 为 A 点 关 于 P B的 对 称 点，则 A B=Q B,以 点 B 为 圆 心，以 A B的 长 为 半 径 画 弧，则 Q 点 只 能 在 弧 A B上.若 C D为 腰，以 点 C 为 圆 心，以 C D的 长 为 半 径 画 弧，两 弧 交 点 即 为 使 得 A C D Q为 等 腰 三 角 形（C D为 腰）的 Q 点.若 C D为 底 边，则 作 C D的 垂 直 平 分 线，其 与 弧 A C的 交 点 即 为 使 得 A C D Q为 等 腰 三 角 形（C D为 底）的 Q 点.则 如 图 所 示 共 有 三 个 Q 点，那 么 也 共 有 3 个 P 点.作 辅 助 线，利 用 直 角 三 角 形 性 质 求 之 即 可.【详 解】（l）VAP=x=l,AB=2,BP=A B-+A P2=7 5，（2）：四 边 形 ABCD是 正 方 形，/.AB=BC,ZA=ZBCD=90.V Q 点 为 A 点 关 于 B P的 对 称 点，AB=QB,ZA=ZPQB=90,，QB=BC,ZBQE=ZBCE=90,.,.ZB Q C=ZB CQ,二 Z EQC+Z BQC=ZECQ+Z BCQ=90,ZEQC=ZECQ,E Q=E C,即 C E Q为 等 腰 三 角 形.(3)如 图，以 点 B 为 圆 心，以 A B的 长 为 半 径 画 弧，以 点 C 为 圆 心，以 C D的 长 为 半 径 画 弧，两 弧 分 别 交 于 Qi,Q 3.此 时 ACDQi,A C n Q s都 为 以 C D为 腰 的 等 腰 三 角 形.作 C D的 垂 直 平 分 线 交 弧 A C于 点 Q 2,此 时 CDQ2以 C D为 底 的 等 腰 三 角 形.讨 论 Q i,如 图，连 接 BQi、C Q i,作 PQi J_BQi交 A D于 P,过 点 Q i,作 E F L A D于 E,交 B C于 F,.BCQi为 等 边 三 角 形，正 方 形 ABCD边 长 为 2,；.FC=1,Q F=J C Q|2-F C 2=G，Q IE=2-6，在 四 边 形 ABPQi中，；NABQi=30,.,.ZAPQi=150,:.ZEPQi=30,PEQ i为 含 30。的 直 角 三 角 形,.，.P E=G E Q I=2 百-3,：E F是 B C的 垂 直 平 分 线，1AE=AD=1，2X=AP=AE-PE=1-(2 V3-3)=4-2 丛.D、P E一 乂 电 讨 论 Q 2,如 图，连 接 BQ2,A Q 2,过 点 Q?作 P G L B Q 2,交 A D于 P,交 C D于 G,连 接 B P,过 点 Q2作 E F1C D 于 E,交 AB 于 F,T E F垂 直 平 分 CD,.E F垂 直 平 分 AB,:.AQ2=BQ2.VAB=BQ2,.ABQ2为 等 边 三 角 形.*在 四 边 形 ABQ2P中，：/B A D=/B Q 2 P=90,ZABQ2=60,.NAPQ2=120,Z EQ2G=Z DPG=180-120=60,.,.EQ2=EF-FQ2=2-V3.E G=6 EQ 2=2 6-3,，DG=DE+GE=l+2V 3-3=2V 3-2,二 DG=百 PD,即 PD=2-,3.X=A P=2-P D=R L3 对 Q 3,如 图 作 辅 助 线，连 接 BQi,CQi,BQ,，CQ3,过 点 Q：作 PQ3，BQS,交 A D的 延 长 线 于 P,连 接 B P,过 点 Q i,作 EFJ_A D于 E,此 时 Q3在 E F上，记 Q3与 F 重 合.BCQi为 等 边 三 角 形，ABCQ3为 等 边 三 角 形，BC=2,Q1Q2 2 5/3，QiE=2-/,，EF=2+百，在 四 边 形 ABQ3P中:ZABF=ZABC+ZCBQ3=150,.ZEPF=30,.E P=G E F=2 G+3,VAE=1,x=AP=AE+PE=1+2 V3+3=2 7 3+4.【点 睛】本 题 考 查 四 边 形 的 综 合、正 方 形 的 性 质、含 30。角 的 直 角 三 角 形 的 性 质，第 三 问 是 一 个 难 度 非 常 高 的 题 目，可 以 利 用 尺 规 作 图 的 思 想 将 满 足 要 求 的 点 Q 找 全.另 外 求 解 各 个 P点 也 是 勾 股 定 理 的 综 合 应 用 熟 练 掌 握 并 灵 活 运 所 学 知 识 是 解 题 关 键.【变 式 3-2】(2019河 南 中 考 模 拟)如 图，抛 物 线 y=ax2+bx+3交 y 轴 于 点 A,交 x 轴 于 点 B(-3,0)和 点 C(L0),顶 点 为 点 M.求 抛 物 线 的 解 析 式；(2)如 图，点 E 为 x 轴 上 一 动 点，若 A A M E 的 周 长 最 小，请 求 出 点 E 的 坐 标；(3)点 F 为 直 线 A B上 一 个 动 点，点 P 为 抛 物 线 上 一 个 动 点，若 A B F P为 等 腰 直 角 三 角 形，请 直 接 写 出 点 P3【答 案】(l)y=-/-2 x+3；(2)E(-y,0)；(3)点 P 的 坐 标 为(2,-5)或(1,0).【解 析】【分 析】(1)设 抛 物 线 的 解 析 式 为：y=a(x+3)(x-l),然 后 将 点 A 的 坐 标 代 入 函 数 解 析 式 即 可 求 得 此 抛 物 线 的 解 析 式；(2)作 A 关 于 x 轴 的 对 称 点 A(0,-3),连 接 M A，交 x 轴 于 E,此 时 A M E的 周 长 最 小，求 出 直 线 M A，解 析 式 即 可 求 得 E 的 坐 标；(3)如 图 2,先 求 直 线 A B 的 解 析 式 为：y=x+3,根 据 解 析 式 表 示 点 F 的 坐 标 为(m,m+3),分 三 种 情 况 进 行 讨 论：当/PBF=90。时，由 F iP L x轴，得 P(m,-m-3),把 点 P 的 坐 标 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 可 得 结 论；当 NBF3P=90。时，如 图 3,点 P 与 C 重 合，当 NBPF4=90。时，如 图 3,点 P 与 C 重 合，从 而 得 结 论.【详 解】(1)当 x=0 时，y=3,即 A(0,3),设 抛 物 线 的 解 析 式 为：y=a(x+3)(x-l),把 A(0,3)代 入 得：3=-3a,a=-l,y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3,即 抛 物 线 的 解 析 式 为：y=-x2-2x+3；y=-X2-2X+3=-(X+1 尸+4,AM(-1,4),如 图 1,作 点 A(0,3)关 于 x 轴 的 对 称 点 A(0,-3),连 接 A，M 交 x 轴 于 点 E,则 点 E 就 是 使 得 A M E 的 周 设 直 线 A M 的 解 析 式 为：y=kx+b,把 A(0,-3)和 M(-l,4)代 入 得:-k+b=4b=-3解 得：k=7b=-3二 直 线 A M 的 解 析 式 为:y=-7x-3,当 y=0 时，-7x-3=0,3x=-，71 3.点 E(-,0),7(3)如 图 2,易 得 直 线 A B 的 解 析 式 为：y=x+3,设 点 F 的 坐 标 为(m,m+3),当 NPBF=90。时，过 点 B 作 B P _L A B,交 抛 物 线 于 点 P,此 时 以 B P为 直 角 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 有 两 个,Q P A BPFI fTJA BPF2,V0A=0B=3,/.A O B和 4 A O B是 等 腰 直 角 三 角 形，.,.ZF|BC=ZBFiP=45,.FiPLx 轴，/.P(m,-m-3),把 点 P 的 坐 标 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 y=-x2-2x+3中 得：-m-3=-m2-2m+3,解 得：m】=2,m2=-3(舍),P(2,-5)；当 NBF3P=90。时,如 图 3,V ZF3BP=450,且 NF3BO=45。，二 点 P与 C 重 合，故 P(l,0),当 NBPF4=90。时，如 图 3,V ZF4BP=45O,且 NF4BO=45。，二 点 P与 C 重 合，故 P(l,0),综 上 所 述，点 P 的 坐 标 为(2,-5)或(1,0).【点 睛】此 题 考 查 了 待 定 系 数 法 求 函 数 的 解 析 式，周 氏 最 短 问 题，等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 和 判 定 等 知 识.此 题 综 合 性 很 强，解 题 的 关 键 是 注 意 数 形 结 合 和 分 类 讨 论 思 想 的 应 用.【支 龙 3-3(2019广 西 中 考 真 题)已 知 抛 物 线 y=和 直 线 y=-x+。都 经 过 点 M(-2,4),点。为 坐 标 原 点，点 P 为 抛 物 线 上 的 动 点，直 线 y=-x+o 与 X轴、y 轴 分 别 交 于 A 8 两 点.(1)求 2、6 的 值；当 A R 4 M 是 以 A M 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 时，求 点 P 的 坐 标；满 足 的 条 件 时，求 s in N B O P的 值.【答 案】m=1；力=2：(2)点 2 的 坐 标 为(-1)或(2,4)：(3)s in N B O P的 值 为 或 省.【解 析】【分 析】(1)根 据 点 M 的 坐 标，利 用 待 定 系 数 法 可 求 出 根 X 的 值；(2)由(1)可 得 出 抛 物 线 及 直 线 A B 的 解 析 式，继 而 可 求 出 点 A 的 坐 标，设 点 P 的 坐 标 为(X,/)，结 合 点 A,M的 坐 标 可 得 出 的 值，再 利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得 出 关 于 x 的 方 程，解 之 即 可 得 出 结 论；(3)过 点 尸 作 P N _ L y轴，垂 足 为 点 N,由 点 尸 的 坐 标 可 得 出 P N,P O 的 长，再 利 用 正 弦 的 定 义 即 可 求 出 s in/B O P 的 值.【详 解】将 M（-2,4）代 入 y=/,得：4=4,m=将 M（2,4）代 入 y=+得：4=2+8，*-/?=2；（2）由（1）得：抛 物 线 的 解 析 式 为 y=f,直 线 A B的 解 析 式 为 y=-x+2,当 y=0 时，一%+2=0,解 得：x=2.点 A 的 坐 标 为（2,0）,。4=2,设 点 尸 的 坐 标 为（苍 丁），则 BA?=（2-%）2+（0-x2）2=x4+x2-4%+4,P M2=（-2-x）2+（4-f）2=4 _7X2+4X+20,A P A M 是 以 AM为 底 边 的 等 腰 三 角 形，/.PA2=P M2，即 犬+2-4+4=/一 7/+4%+20.整 理，得：%2-x-2=0.解 得：玉=-1,工 2=2,.点 P 的 坐 标 为（T，l）或（2,4）；（3）过 点 尸 作 P N _L y轴，垂 足 为 点 N，如 图 所 示，当 点 P 的 坐 标 为（一 覃）时，P N=1,PO=T F=0，,sin/B O P-=-；P O 2当 点 P 的 坐 标 为（2,4）时，P N=2,PO=V22+42=2-P N V5 sin/B O P=-=，P O 5满 足（2）的 条 件 时，s in N 8 0 P的 值 的 值 为 也 或 好.2 5【点 睛】本 题 考 查 了 待 定 系 数 法 求 一 次 函 数 解 析 式、待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 解 析 式、一 次 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征、等 腰 三 角 形 的 性 质、勾 股 定 理 以 及 解 直 角 三 角 形，解 题 的 关 键 是：（1）根 据 点 的 坐 标，利 用 待 定 系 数 法 求 出 加,人 的 值；（2）利 用 勾 股 定 理 及 等 腰 三 角 形 的 性 质，找 出 关 于 x 的 方 程；（3）通 过 解 直 角 三 角 形，求 出 s in/B O P 的 值.【考 点 4】劫 点 之 相 仞 三 角 形 问 题【例 4】如 图，AD BC,ZABC=90,AB=8,AD=3,B C=4,点 P 为 AB 边 上 一 动 点，若 A PAD 与 APBC是 相 似 三 角 形，求 A P的 长.【答 案】AP=或 AP=2或 AP=67【分 析】由 AD/BC,/8=9 0。,可 证 NH=NPBC=90。，又 由/W=8/O=3,BC=4,设 AP 的 长 为 x,则 BP 长 为 8-x,然 后 分 别 从 与 去 分 析，利 用 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 求 解 即 可 求 得 答 案.【详 解】解：V AB1.BC,ZB=90,:AD/BC,:.ZA=180-ZB=90,/.NRW=NPBC=90,AB=8,AO=3,8C=4,设 A P的 长 为 x,则 8 P长 为 8-x,若 A B边 上 存 在 尸 点，使 田。与 P8C相 似，那 么 分 两 种 情 况：若 A P C saB P C,则 AP:BP=AD:BC,&i x:(8-x)=3:4,解 得 尸 日 24、若 A P D B C P M AP:BC=AD:BP,即 x:4=3:(8-x),解 得 4 2或 户 6,24所 以=或 AP=2或 AP-6.7【变 式 4 1】已 知：如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，A 4B C是 直 角 三 角 形，Z A C B=9 0,点 A,C 的 坐 标 分 3别 为 A(-3,0),C(l,0),B C=-A C4(1)求 过 点 4,8 的 直 线 的 函 数 表 达 式；(2)在 x 轴 上 找 一 点 O,连 接 0 3,使 得 A 4 0 8 与 A 4 B C相 似(不 包 括 全 等)，并 求 点。的 坐 标；(3)在(2)的 条 件 下，如 尸，。分 别 是 A 8和 A。上 的 动 点，连 接 尸。，设 A尸 问 是 否 存 在 这 样 的，”,使 得 A A P。与 A A O B相 似？如 存 在，请 求 出/的 值；如 不 存 在，请 说 明 理 由.3 Q 13 125 25【答 案】尸“+屋 D 点 位 置 见 解 析 D(7(符 合 要 求 的”的 值 为 式 或 手【解 析】【分 析】(1)先 根 据 A(-3,1),C(l,0),求 出 A C进 而 得 出 B C=3求 出 B 点 坐 标，利 用 待 定 系 数 法 求 出 直 线 A B 的 解 析 式 即 可；(2)运 用 相 似 三 角 形 的 性 质 就 可 求 出 点 D 的 坐 标；(3)由 于 APQ与 4 A D B已 有 一 组 公 共 角 相 等，只 需 分 A P Q A A B D和 A P Q A A D B两 种 情 况 讨 论,然 后 运 用 相 似 三 角