南京大学版声学基础答案.pdf

习 题 11-1有 一 动 圈 传 声 器 的 振 膜 可 当 作 质 点 振 动 系 统 来 对 待,其 固 有 频 率 为 了,质 量 为 加，求 它 的 弹 性 系 数。解：由 公 式 力$降 得:Km=（2*2-1-2设 有 一 质 量，“用 长 为/的 细 绳 铅 直 悬 挂 着，绳 子 一 端 固 定 构 成 一 单 摆，如 图 所 示，假 设 绳 子 的 质 量 和 弹 性 均 可 忽 略。试 问：（1）当 这 一 质 点 被 拉 离 平 衡 位 置 J 时，它 所 受 到 的 恢 复 平 衡 的 力 由 何 产 生？并 应 怎 样 表 示？（2）当 外 力 去 掉 后，质 点 加,“在 此 力 作 用 下 在 平 衡 位 置 附 近 产 生 振 动，它 的 振 动 频 率 应 如 何 表 示？（答：J R,g 为 重 力 加 速 度）2 V I图 习 题 1一 2解：（1）如 右 图 所 示，对 叫“作 受 力 分 析：它 受 重 力 M,“g,方 向 竖 直 向 下；受 沿 绳 方 向 的 拉 力 T,这 两 力 的 合 力 尸 就 是 小 球 摆 动 时 的 恢 复 力，方 向 沿 小 球 摆 动 轨 迹 的 切 线 方 向。设 绳 子 摆 动 后 与 竖 直 方 向 夹 角 为。，则 sin，=I受 力 分 析 可 得：F-Mmg sin 0-Mmg（2）外 力 去 掉 后（上 述 拉 力 去 掉 后），小 球 在 R 作 用 下 在 平 衡 位 置 附 近 产 生 摆 动，加 速 度 的 方 向 与 位 d2 P移 的 方 向 相 反。由 牛 顿 定 律 可 知：F=dr则 一 心 学=此,即 富+%=，at I dr I戴=&即 f0=sK 这 就 是 小 球 产 生 的 振 动 频 率。I 2n V I1-3有 一 长 为/的 细 绳，以 张 力 T 固 定 在 两 端，设 在 位 置 x0处，挂 着 一 质 量 M,“，如 图 所 示，试 问:(1)当 质 量 被 垂 直 拉 离 平 衡 位 置 4 时，它 力 由 何 产 生？并 应 怎 样 表 示？(2)当 外 力 去 掉 后，质 量“在 此 恢 复 力 所 受 到 的 恢 复 平 衡 的 作 用 下 产 生 振 动，它 的 振 动 频 率 应 如 何 表 示？(3)当 质 量 置 于 哪 一 位 置 时，振 动 频 率 最 低?解：首 先 对 进 行 受 力 分 析，见 右 图，F=T,ZX0-=0&-+/+/(v，/.XQ+e2%o，(Z-xo)2+e2 x(Z-x0)2 o)F=T+T“-X0)2+?旧+?Tl-Xn(l-xo)可 见 质 量 M”,受 力 可 等 效 为 一 个 质 点 振 动 系 统，质 量 弹 性 系 数 女=-X。X。)(1)恢 复 平 衡 的 力 由 两 根 绳 子 拉 力 的 合 力 产 生，大 小 为 F=-一，方 向 为 竖 直 向 下。x0(Z-x0)(2)振 动 频 率 为=隹=J。(3)对 分 析 可 得，当/=(时，系 统 的 振 动 频 率 最 低。1-4设 有 一 长 为/的 细 绳，它 以 张 力 T 固 定 在 两 端，如 图 所 示。设 在 绳 的 x0位 置 处 悬 有 一 质 量 为 M的 重 物。求 该 系 统 的 固 有 频 率。提 示：当 悬 有 M 时，绳 子 向 下 产 生 静 位 移 互 以 保 持 力 的 平 衡，并 假 定 M离 平 衡 位 置 曷 的 振 动 J位 移 很 小，满 足 殳 条 件。2T cos 0=Mg解：如 右 图 所 示，受 力 分 析 可 得 cos6=壬=N=Mg一/2 J又 g4,TT,可 得 振 动 方 程 为 一 27总 空=l _ dt22EI 2 g 4Tg 4Tg即 M 果+J=-4dt2 I I.f 匹，匹 叵 In M 2酬&1-5有-质 点 振 动 系 统，已 知 其 初 位 移 为 备，初 速 度 为 零，试 求 其 振 动 位 移、速 度 和 能 量。解：设 振 动 位 移=a COS(CO0t-(p),速 度 表 达 式 为 v=一 0 sin(wor-(p)o由 于|,=o=o V|M)=0代 入 上 面 两 式 计 算 可 得：=%cos gt；v=一 g%sin g l 0振 动 能 量 E=；/力=3，“*,1-6有 一 质 点 振 动 系 统，已 知 其 初 位 移 为 J。，初 速 度 为%,试 求 其 振 动 位 移、速 度、和 能 量。解：如 右 图 所 示 为 一 质 点 振 动 系 统，弹 簧 的 弹 性 系 数 为 K,“，质 量 为,，取 正 方 向 沿 x 轴，位 移 为 人 则 质 点 自 由 振 动 方 程 为 警+。怒=0,(其 中 萌=，)解 得 J=$cos(gf-%),fl 产 7T=+幻(如 当 乱=0=自 0，4=0=%时，=&cos*(,%=g&cos(*o-?)以=供 需+为 甲、-arctan v0质 点 振 动 速 度 为 v=Jy；+片 cos(y/-arctan-+)前 o 2质 点 振 动 的 能 量 为=3 此,=心,3；4+诏)1-7 假 定 质 点 振 动 系 统 的 位 移 是 由 下 列 两 个 不 同 频 率、不 同 振 幅 振 动 的 叠 加 J=sin of+sin 2cot,试 问：2(1)在 什 么 时 候 位 移 最 大？(2)在 什 么 时 候 速 度 最 大？解：=sinr+sin 2M,2/.=o)cos cot+cocos 2cotdt-co1 sin cot-2co2 sin 2a)t。dt2令 四 _ 二 0,得：=2k兀 工 或 由=2k兀 7i,dt 3经 检 验 后 得：f=士 e 时，位 移 最 大。CDd?令 一-=0,得：初 二 攵 或 创=2k兀 arccos(),dt 4经 检 验 后 得：f=也 时，速 度 最 大。CD1-8假 设 一 质 点 振 动 系 统 的 位 移 由 下 式 表 示 4=0 COS(m+的)+COS(+(p2)试 证 明 J cos(m+9)其 中 当=J针+2+22cos2一 四)，(P=arctan$1+sm/。COS 9+2 COS证 明：J=J COS(初+/)+COS(加+夕 2)=.cos cot cos(px 一。sin cot sin(px+$cos cot cos(p2-sin cot sin(p2=cos cos(p、+.cos 2)sin sin(p+.sin(p2)设 A=cos(px+cos(p2，3=_&sin。1+1 sin%)则&=A cos m+8 sin cot=dA?+B2 cos(t+0)(其 中=arctan(-)又 A2+B2=cos2 q+J；cos2(p2+2我 2 cos 例 cos(p2+。；sin2(p+蓝 sin2(p2+2-sin(px sin(p2=J；+2gg2(cos 6 cos(p2+sin q sin(p2)=4+费+2触 3(%一 日)又 T?(p=arctan(z B、)=arctan/(-s-i-n(p.+-s-i-n-(p?)xA。cos(p、+&cos(p?令.=J-?+2=J；+蓝+2 察 2 COS(必 一(P、)贝 J COS(3+9)1-9假 设 一 质 点 振 动 系 统 的 位 移 由 下 式 表 示 得 sin=、COS+邑 COS W2t试 证 明 g=a COS(W，+e),其 中=：+4+2j2 cos(dwt),(p+arctan解：因 为 位 移 是 矢 量，故 可 以 用 矢 量 图 来 表 示 由 余 弦 定 理 知，2a=+2；+2逮 2 COS(VV2f-W/)=+22+26*2 cos(Jvvr)其 中，Aw=w2-W O由 三 角 形 面 积 知，1.,1/sin Awt=J a sin 明)sin(Jwr)-=-,zlw=W2.+2 COS(/wf)0q sin Awt得，-加 J42 一 sin2 Awtsin AwtJ(1+/C O S/w f)24 sin AwtJ+2 cos Avr故 _ s2 sin Awt句+s2 cos Awt即 可 证。1-10有 一 质 点 振 动 系 统，其 固 有 频 率 为 为 已 知，而 质 量 M m 与 弹 性 系 数 Km 待 求，现 设 法 在 此 质 量 M m 上 附 加 一 已 知 质 量 加，并 测 得 由 此 而 引 起 的 弹 簧 伸 长 片，于 是 系 统 的 质 量 和 弹 性 系 数 都 可 求 得，试 证 明 之.证 由 胡 克 定 理 得 mg=Kmi=K m=m g%由 质 点 振 动 系 统 固 有 频 率 的 表 达 式/o=-、匹 得，Mm=-=%-2 武 42/o 4/。若 纵 上 所 述，系 统 的 质 量 M m 和 弹 性 系 数 K m 都 可 求 解.1 1 1 有 一 质 点 振 动 系 统，其 固 有 频 率 为 为 已 知，而 质 量 M m 与 弹 性 系 数 待 求，现 设 法 在 此 质 量 Mm上 附 加 一 质 量 机，并 测 得 由 此 而 引 起 的 系 统 固 有 频 率 变 为 力，于 是 系 统 的 质 量 和 弹 性 系 数 都 可 求 得，试 证 明 之。储,=(2矶)2(,“+九)(“=(2/)2,_ 4/时 0+21-12设 有 如 图 1-2-3和 图 1-2-4所 示 的 弹 簧 串 接 和 并 接 两 种 系 统，试 分 别 写 出 它 们 的 动 力 学 方 程,并 求 出 它 们 的 等 效 弹 性 系 数。4降 勺 必 图 1-2-3 图 1-2-4解：串 接 时，动 力 学 方 程 为,“会+e=o,等 效 弹 性 系 数 为 K=_4 2 KXm+K2m Kim+KZmd2 并 接 时,动 力 学 方 程 为 新+际+仁）-。,等 效 弹 性 系 数 为 K=K K”1-1 3有 一 宇 航 员 欲 在 月 球 表 面 用 一 弹 簧 秤 称 月 球 上 一 岩 石 样 品。此 秤 已 在 地 球 上 经 过 校 验，弹 簧 压 缩 0 100加 加 可 称 0 1版。宇 航 员 取 得 一 块 岩 石，利 用 此 秤 从 刻 度 上 读 得 为 0.4 v，然 后，使 它 振 动 一 下，测 得 其 振 动 周 期 为 1 s,试 问 月 球 表 面 的 重 力 加 速 度 是 多 少？而 该 岩 石 的 实 际 质 量 是 多 少？解：设 该 岩 石 的 实 际 质 量 为 M,地 球 表 面 的 重 力 加 速 度 为 g=9.8 m/s 2,月 球 表 面 的 重 力 加 速 度 为 由 虎 克 定 律 知 FM=-K X,又 F”=-M g 贝 I J 长=如=幺 8=10gx 0.1T 2乃 c M m“10g 10 x9.8 c cT=24 J=1 贝 ij 例=-=-z x 2,5kg。V K 4/4乃 2X 1又 一=则 x=0.04/7?/0.4M g=K x 则 g=x=4/x 0.0 4。1.58 人 2M故 月 球 表 面 的 重 力 加 速 度 约 为 1.58m A2,而 该 岩 石 的 实 际 质 量 约 为 2.5依 o1-1 4试 求 证 a cos cot+a cos(6yr+3)+a cos(。/+2 5)+-a c o s(+(-1)5).3sin 一 c-a-cos cot+.os m i2证 a e+a W+6)+a 3+2b)+.+。/加(，“加=4e“(l+e*+)i=a e l-c o s b-j s in b1 一/1-cos b-/sin b2sin2 js in/tb2 sin2:-j s i n 3.tlS 7 t 7 Js in 2 e 2 2.3-；(-?)s in p 2 22 e,n 8sin 2.8sin 2n 8T,8sin 2.n 8 n 6sin/c o s 2 2.3.6sin 2-j c o s.n 8卢 沙 s i n f J.+空!.2-a-&e.osin 2同 时 取 上 式 的 实 部，结 论 即 可 得 证。1-15有 一 弹 簧 K,“在 它 上 面 加 一 重 物 M,“，构 成 一 振 动 系 统，其 固 有 频 率 为(1)假 设 要 求 固 有 频 率 比 原 来 降 低 一 半，试 问 应 该 添 加 几 只 相 同 的 弹 簧，并 怎 样 联 接？(2)假 设 重 物 要 加 重 一 倍，而 要 求 固 有 频 率 人 不 变，试 问 应 该 添 加 几 只 相 同 的 弹 簧，并 怎 样 联 接?解：固 有 频 率 叵。2叫 M(1)号 n 勺，故 应 该 另 外 串 接 三 根 相 同 的 弹 簧；M v Mm=K,f 2 K 故 应 该 另 外 并 接 一 根 相 同 的 弹 簧。1-16有 一 直 径 为 d 的 纸 盆 扬 声 器，低 频 时 其 纸 盆 一 音 圈 系 统 可 作 质 点 系 统 来 对 待。现 已 知 其 总 质 量 为 M m，弹 性 系 数 为 K,“。试 求 该 扬 声 器 的 固 有 频 率。解：该 扬 声 器 的 固 有 频 率 为 2叫 Mm1-17原 先 有 一 个 0.5 kg的 质 量 悬 挂 在 无 质 量 的 弹 簧 上，弹 簧 处 于 静 态 平 衡 中，后 来 又 将 一 个 0.2kg的 质 量 附 加 在 其 上 面，这 时 弹 簧 比 原 来 伸 长 了 0.04m,当 此 附 加 质 量 突 然 拿 掉 后，已 知 这 0.5 kg质 量 的 振 幅 在 1s内 减 少 到 初 始 值 的 1/e倍，试 计 算：(1)这 一 系 统 的 力 学 参 数 Km，Rm，灯；(2)当 0.2 kg的 附 加 质 量 突 然 拿 掉 时，系 统 所 具 有 的 能 量；(3)在 经 过 1s后，系 统 具 有 的 平 均 能 量。解：(1)由 胡 克 定 理 知，Km=mg/e所 以 即=0.2 X 9.8/0.04=49N/me=l/enS=l故 b=-n R=1N-slm2Mt t i%=w0-8-n/o1.57Hz(2)系 统 所 具 有 的 能 量 E=,K,=1x49x0.042=0.03921 72 2(3)平 均 能 量 后=工 长 岛 二 帝=5.31x10-3,21-18试 求 当 力 学 品 质 因 素 0.4 0.5时，质 点 衰 减 振 动 方 程 的 解。假 设 初 始 时 刻=0,v=v0,试讨 论 解 的 结 果。解：系 统 的 振 动 方 程 为:M,，察+除 与+3=at dt进 一 步 可 转 化 为，设 6=工 2Mm-d-+c2a3d e+a）2=n0d t2 dt设：于 是 方 程 可 化 为:（/2+2 jy S+就）e=0解 得：7=心 士 表 2 一 就).p _-(S+S2-a)l)t.o-C方 程 一 般 解 可 写 成：.存 在 初 始 条 件：代 入 方 程 计 算 得：A=-/，B=一 2符-3：2邪 2 _戊/.解 的 结 果 为：=e*(A e 历 嬴+&一 历 嬴)其 中 A 二 _ _ B=V-2卜-/2卜 一/1-19有 一 质 点 振 动 系 统，其 固 有 频 率 为 工，如 果 已 知 外 力 的 频 率 为 力，试 求 这 时 系 统 的 弹 性 抗 与 质 量 抗 之 比。解：质 点 振 动 系 统 在 外 力 作 用 下 作 强 迫 振 动 时 弹 性 抗 为 旦，质 量 抗 为。M MC D已 知 f0=50Hz.f=300Hz则 KM=就 二 4/抬（50）2 JMM ar 4/2（30 0）2 361-20有 一 质 量 为 0.4kg的 重 物 悬 挂 在 质 量 为 0.3kg,弹 性 系 数 为 150N/m的 弹 簧 上，试 问:(1)这 系 统 的 固 有 频 率 为 多 少？(2)如 果 系 统 中 引 入 5kg/s的 力 阻，则 系 统 的 固 有 频 率 变 为 多 少？(3)当 外 力 频 率 为 多 少 时，该 系 统 质 点 位 移 振 幅 为 最 大？(4)相 应 的 速 度 与 加 速 度 共 振 频 率 为 多 少？解：考 虑 弹 簧 的 质 量，f0=J Kn-=J 150=2.76Hz.27rMm+Ms/3 2-V0.4+0.3/3(2)考 虑 弹 簧 本 身 质 量 的 系 统 仍 可 作 为 质 点 振 动 系 统，但 此 时 系 统 的 等 效 质 量 为 M“+M/3.R 5 1-$=才 7=5,于。成 3=-5?=2.64Hz.2 例,“zxun J。2兀、2万 丫 0.4+0.3/3(3)品 质 因 素 0“=则 组=16.58x0.5=66,R”,5位 移 共 振 频 率：.=/0=2.39Hz.(4)速 度 共 振 频 率：fr=f0=2.64Hz,加 速 度 共 振 频 率：力=292Hz.1-21有 一 质 点 振 动 系 统 被 外 力 所 策 动，试 证 明 当 系 统 发 生 速 度 共 振 时，系 统 每 周 期 的 损 耗 能 量 与 总 的 振 动 能 量 之 比 等 于 殳。Qm解：系 统 每 个 周 期 损 耗 的 能 量 E=%T=；R,TE R T Rm.E 1 v 2 fMm，发 生 速 度 共 振 时，f=f0.E _ Rm _ 2万 _ 2万 一 一 菽 7 一 港 R,”1-22试 证 明：(1)质 点 作 强 迫 振 动 时，产 生 最 大 的 平 均 损 耗 功 率 的 频 率 就 等 于 系 统 的 无 阻 尼 固 有 频 率 70；(2)假 定 力 与 人 为 在/o两 侧，其 平 均 损 耗 功 率 比 下 降 一 半 时 所 对 应 的 两 个 频 率，则 有 证 明：(1)平 均 损 耗 功 率 为W R=%df=（&为 力 阻，匕 为 速 度 振 幅）质 点 强 迫 振 动 时 的 速 度 振 幅 为 匕=-（工 为 外 力 振 幅，g 为 固 有 频 率,“为 质 量，Qm为 例 附“小 2+。2-1）2公 力 学 品 质 因 素，频 率 比 z=工）0 fo当 z=l即/=/）时，发 生 速 度 共 振，匕 取 最 大 值，产 生 最 大 的 平 均 损 耗 功 率。_ 1（2）WR=-RmvlW _ 1 R v2 _ 1 R F：。；Wmax-,Vmax%2.22 2 a）0MinWR=W Rmax则 一 L&=工 X R,“乌 与)即 2 1=2 2 2 媪 W：F；Q：口;M；(1)把 匕,=-J R/，带 入 式（1）,则 产=。2-1）2。；（2）M a 运 由 式（2）得-Z=（由-1）Q,“解 得 Z=M g l 取 T+J1+4。，：20“2Qm7=。2）。,“解 得”=咤 逐 取 名 2=匕 彳 则 Z 2 Z 1=一 即%/=一 Qm/o f。/o Q,nQ m=/rJ i-J i1-23有 一 质 量 为 0.4 kg的 重 物 悬 挂 在 质 量 可 以 忽 略，弹 性 系 数 为 160N/m的 弹 簧 上，设 系 统 的 力 阻 为 2N s/m,作 用 在 重 物 上 的 外 力 为 4=5cos8W。（1）试 求 这 一 系 统 的 位 移 振 幅、速 度 与 加 速 度 振 幅 以 及 平 均 损 耗 功 率；（2）假 设 系 统 发 生 速 度 共 振，试 问 这 时 外 力 频 率 等 于 多 少？如 果 外 力 振 幅 仍 为 5N,那 么 这 时 系 统 的 位 移 振 幅、速 度 与 加 速 度 振 幅、平 均 损 耗 功 率 将 为 多 少？解：由 强 迫 振 动 方 程 以 祭+必 穿+%子,得 0.4+2-F160e=5 cos 8/dt2 dt则 位 移 振 幅 4 二.p 0.0369m&K W 2 M)2+W2R；速 度 振 幅 va=wsa=0.296m/5力 口 速 度 振 幅 Q”=w2sa=2.364m/s2平 均 损 耗 功 率 P=-R,va2=0.0876(卬)2(2)速 度 共 振 时/=/o=；察 一(务)2=3.158Hz2叫 Rm 2Mm则 位 移 振 幅 ea 二 一 F.0.126/72)(储“-卬 2,“)2+卬 2段,2速 度 振 幅 vu=wea=2.495m/5加 速 度 振 幅=w2a=49.6m/s2平 均 损 耗 功 率 P=-Rmva2=-6.225(w)21-24试 求 出 图 1-4-1所 示 单 振 子 系 统，在=0,J=y=0初 始 条 件 下，强 迫 振 动 位 移 解 的 表 示 式，并 分 别 讨 论 6=0与 当 何-4 时 解 的 结 果。解：对 于 强 迫 振 动，解 的 形 式 为：=oeS COS（加 一%）+cos（切-。）b w O 两 种 情 形 卜，XXX716=%+耳。初 始 条 件：=0,=0,代 入 得：%COS%+a COS 0=0一 cos%+o4 sin 仰+cosa sin 8=0解 得:%=2 Ji?(cos 6)2+o(sin 6)2+2助 cos 夕 sin 6+*2(cos 6)2。欣 cos 0(Po=冗 _ arccos j=Jb2(cosO)2+(sin 6)2+cos sin 0+co(cos 0)2令 弓 二 2(cos)2+69(sin)2+269cossin+6)02(COS)2得:g=-7 Ge*COS(690r 一 夕 o)+cos(m-0)O 0当 5=0 时，Rtn=0,a。=arctan,6=%+工，g=，R,、,2 2兀%=一,，%=.7C、/、=a COS(gf+)+a COS(初-71)=-a(sin o+cos cot)o当 g 时，-oo,达 到 位 移 共 振 o1-25有 一 单 振 子 系 统，设 在 其 质 量 块 上 受 到 外 力 F/=sin2(gf的 作 用，试 求 其 稳 态 振 动 的 位 移 振 幅。解：此 单 振 子 系 统 的 强 迫 振 动 方 程 为 M,“+R“,苧+K,/=FFQ)=sii?(gf)=:1 coscontat d/2 2 2则 M-+R+A：J=Ldt2 dt 2(1)M“器+&牛+K,/=J COS a)otdr dr 2(2)由 式(i)得 一 2KM令 加 代 入 式(2)得 鼻=.1-I-J 2g R,n+j M M”)8。则 扇 24 R；+Q M.-缢 g 2 AR”以 1 12Km 2。0段,1-26试 求 如 图 所 示 振 动 系 统，质 量 块 M 的 稳 态 位 移 表 示 式.解：对 质 量 块 进 行 受 力 分 析，可 得 质 量 块 M 的 运 动 方 程 为：哈 因+色 注+(&+弓 居=FaeiW,该 方 程 式 稳 态 解 的 一 般 形 式 为 4=,将 其 代 入 上 式 可 得:F-=|曷 I e j2(+o)+凡)+j(M 8-1+/)C O其 中 曷 1=I 2vJ(/?+&)?+Meo-&+鸟)故 质 量 块 的 稳 态 位 移 表 示 式 可 以 写 为：%=arctan/?1+/?27 CJ=i g“lc o s(w f-5.1-2 7设 有 如 图 所 示 的 耦 合 振 动 系 统，有 一 外 力 作 用 于 质 量 上。的 振 动 通 过 耦 合 弹 簧&2引 起 也 随 之 振 动，设 和 M,的 振 动 位 移 与 振 动 速 度 分 别 图 1-4-1为。,匕 与 匕。试 分 别 写 出 和“2的 振 动 方 程，并 求 解 方 程 而 证 明 当 稳 态 振 动 时 Z?+Z,7 1 2其 中 viZZ2+(Z+Z?)Z 2片 与 乙 Z|Z2+(Z+Z2)2-1 2K。乙 山(皿 吟)+R 解：对 图 中 两 个 振 子 进 行 受 力 分 析 可 得 下 列 运 动 方 程:d：1+与 阻+K j+K2(-S2)-F,M2 d?+&+K24+i2(2 一 J)=0dt dt dt dt设：=A ejM,s2=BeiM%=%/,v2=V2ejca,于 是 方 程 可 化 为：A(-M,a)2+j(oRl+Kl+Kl2)-B Kn=FaB(-M2(O2+ja)R2+K2+Kl2)-A Kl2=0K K iKZ=)(硼-)+/?Z?=j(a)M 2-)+RT Zn=-c o c o c o/.对 上 面 的 两 个 方 程 整 理 并 求 解 可 得 Z,+Z12%=-;-F 1Z,Z2+(Z,+Z2)Z1 27v=_ 1 2 _p2 Z,Z2+(Z1+Z2)ZI2 11-2 8有 一 所 谓 压 差 式 传 声 器，已 知 由 声 波 引 起 在 传 声 器 振 膜 上 产 生 的 作 用 力 振 幅 为：Pa=Ap“0，其 中 A为 常 数，p“为 传 声 器 所 在 处 声 压 的 振 幅 对 频 率 也 为 常 数，如 果 传 声 器 采 用 电 动 换 能 方 式(动 圈 式),并 要 求 在 一 较 宽 的 频 率 范 围 内，传 声 器 产 生 均 匀 的 开 路 电 压 输 出，试 问 这 一 传 声 器 的 振 动 系 统 应 工 作 在 何 种 振 动 控 制 状 态？为 什 么？解：压 差 式 传 声 器 产 生 的 作 用 力 振 幅 为 其 中 A,p“为 常 数，则 工 随 0 变 化。电 动 换 能 方 式 传 声 器，其 开 路 电 压 输 出 为 E=8/v,要 使 E均 匀 恒 定，则 要 u恒 定 系 统 处 在 质 量 控 制 区 时 匕。一=也，此 时 匕，与 频 率 无 关，故 在 一 较 宽 的 频 率 范 围 内，sM,“Mm传 声 器 将 产 生 均 匀 的 开 路 电 压 输 出。1-29对 上 题 的 压 差 式 传 声 器，如 果 采 用 静 电 换 能 方 式(电 容 式)，其 他 要 求 与 上 题 相 同，试 问 这 一 传 声 器 的 振 动 系 统 应 工 作 在 何 种 振 动 控 制 状 态？为 什 么？解：传 声 器 开 路 输 出 电 压 E 与 振 膜 位 移 有 如 下 关 系:E=ED.只 有 在 力 阻 控 制 区，一 F 一 Ap“b-，即 在 此 控 制 区，输 出 电 压 E 与 频 率 口 无 关。/.传 声 器 的 振 动 系 统 应 工 作 在 力 阻 控 制 区。1-30有 一 小 型 动 圈 扬 声 器，如 果 在 面 积 为 S。的 振 膜 前 面 加 一 声 号 筒，如 图 所 示，已 知 在 此 情 况 下，振 膜 的 辐 射 阻 变 为 R,=PoCSo（参 见 5.5）。试 问 对 这 种 扬 声 器，欲 在 较 宽 的 频 率 范 围 内，在 对 频 率 为 恒 定 的 外 力 作 用 下，产 生 均 匀 的 声 功 率，其 振 动 系 统 应 工 作 在 何 种 振 动 控 制 状 态？为 什 么？解：动 圈 扬 声 器 消 耗 于 声 辐 射 部 分 的 平 均 损 耗 功 率 为 W=g R,=；ACoST其 中 2,C,S。均 为 常 数，要 使 W 均 匀，则 1 应 不 受 的 W 影 响。故 振 动 系 统 应 工 作 在 力 阻 控 制 区，此 时 乜 仪”（其 中 B 为 频 率 恒 定 的 外 力，&也 恒 定）。1-31有-如 图 所 示 的 供 测 试 用 动 圈 式 振 动 台，台 面 A/”由 弹 簧 K,“支 撑 着，范 围 内，在 音 圈 上 施 加 对 频 率 恒 定 的 电 产 生 均 匀 的 加 速 度，试 问 其 振 动 系 统 应 制 状 态？为 什 么？解：音 圈 通 以/电 流 时，在 磁 场 下 现 欲 在 较 宽 的 频 率 流 时，能 使 台 面 工 作 在 何 种 振 动 控 产 生 电 动 力 F=BI L,由 歹=加,/可 见，只 有 在 质 量 控 制 区 a a 旦 时，产 生 的 加 速 度 与 频 率 无 关，是 均 匀 的。1-32有 一 试 验 装 置 的 隔 振 台，如 图 所 示，X103kg,台 面 由 四 组 相 同 的 弹 簧 支 撑，每 组 由 成。已 知 每 只 弹 簧 在 承 受 最 大 负 荷 为 600 kg时,隔 振 系 统 的 固 有 频 率，并 问 当 外 界 基 础 振 动 的 20Hz时，隔 振 台 M n 将 产 生 多 大 的 位 移 振 幅？解：每 只 弹 簧 的 劲 度 系 数 K=600 X已 知 台 面 的 质 量 M,n=1.5两 只 相 同 的 弹 簧 串 联 而 产 生 的 位 移 3 cm,试 求 该 位 移 振 幅 为 1 mm、频 率 为 9.8/0.03=1.96X 105般 加 每 组 弹 簧 的 总 劲 度 Ki=K/2四 组 弹 簧 并 联 后 的 劲 度 心=4 KI=2 K=3.92 X 105 N/m则 固 有 频 率/=-匹=2.57 Hz 2TT M由 振 动 方 程 M W+K,”-备）=0,将 八 当 4=2 6 肋 代 入 得,或=K。=0.0168 m m K-W2M1-3 3设 有 如 图 所 示 的 主 动 隔 声 系 统，有 一 一 外 力 同=外 0/作 用 于 质 量 块 上，试 求 传 递 在 基 础 上 力 尸 与 尸 o的 振 幅 比.解：对 质 量 块 进 行 受 力 分 析，可 得 质 量 块 加 皿 的 振 动 方 程 为:M*+R*+K君=W其 稳 态 解 的 一 般 形 式 为 4=曷 cos（初-6）.其 3 舟%/+coMcoM-,0=arctan-_ M2m(y JmR mK.”弹 簧 传 递 给 基 础 的 作 用 力 为 尸=Km-g=K cos（Of-。），则 Fa=&K,“.由 此 传 递 给 基 础 的 力 F 与 Fo的 振 幅 比 DF叫 R/+coM 21-3 4有 一 振 动 物 体 产 生 频 率 为 7,加 速 度 振 幅 为 生。的 振 动，现 用 一 动 圈 式 加 速 度 计 去 测 量。假 定 已 知 加 速 度 计 振 动 系 统 的 固 有 频 率 为 力 学 品 质 因 素 为 2.，音 圈 导 线 总 长 为/，磁 隙 中 的 磁 通 量 密 度 为 5。试 求 该 加 速 度 计 的 开 路 输 出 电 压 将 为 多 少?解：动 圈 式 加 速 度 计 测 量 由。,“=叫 得“=吟 由 得 吃 得 汽贝 U E“=Bl图=Bl%。M“、%+（M C D2=B1。用+疗 用-2 K M+竽 2引。1（）22C D1-3 5设 有 一 调 制 形 式 的 外 力 作 用 于 单 振 子 系 统 的 质 量 上，此 外 力 可 表 示 成 FF=Fa（+hsin g/）sin cot，其 中 为-常 数，称 为 调 制 深 度，试 求 振 动 系 统 的 位 移。解:外 力 表 达 式 为 尸 F=工（1+11卯）sinM=Fa cos（yf F）cos（y+（6）1+cosCty,-（w）用 指 数 形 式 表 示 外 力 为 Ff=F“e，吟-LF i h eJ+LF i h ej 振 子 进 行 强 迫 振 动，由 式（1-5-14）得，振 子 系 统 的 位 移 为 F 兀）a 兀=-p=jCOS（-）4-nT C O S t C-O-创 ZJ 2 co-co）|Z3|21 S2 3+S）邑|COS（69+1）t-0-&M,-其 中：仇=arctan-（刃 一 32=arctanR,”。+例 m-6,-arctan-LRmlZi|=Z 2K f；忆 3|=1%+-助)以,-2 0y(O-C DX1-3 6设 有 一 呈 锯 齿 形 式 的 外 力 作 用 于 单 振 子 的 质 量 上，此 力 可 表 示 为 七=工(1-擀)CkT t(+k)T,k 0,1,2,-)试 求 振 动 系 统 的 位 移。解：质 点 的 振 动 方 程 为 Mm-+Rm+K,=FF(f)=7,(1-)(1)d 广 dr Tc o又 4 Q)=A)+Z 4 cos n t+Bn sin ncot,n=I2兀、C D=)T(2)其 中 4=/&)山=02 iAn=j FF(r)cos ncotdt=0Bn=T F；(r)sin ncotAt=1T 力 n7r式(2)也 可 表 示 为 FFQ)=E Fn cos(H69Z-(pn)(3)rt=0i-,尸 o/7其 中 E,=+B；=-,(p“=arctan-njr 7把 式(3)表 示 成 为 复 数 形 式 耳.)=工”0叱“=0则 式 可 写 成 以 戏+&喧+K W=。工 e Z-%)(4)dr m dt 占 设 代 入 式(4)可 得 4=多=丁 勺 刚 2“=0=0=0/口 其 中 Z“=&+j X“=R,“+j(&M“-纽)neo取 4 的 实 部 得 自=元-y r COS(nM-(Pn-0n-)力 吟 z|200 2尸 7 1=X 2；7 1cos(切 一%M 乃 回 Z,J 2式 中 水+M 一 切4X na)Mm=arctan-=arctan-皿 R“,&1-3 7设 有 如 下 形 式 的 外 力 一 Fa,kT t k+T(k+)T t(k+l)T(左=0,1,2,)作 用 于 单 振 子 的 质 量 上，试 求 振 动 系 统 位 移.解：将 周 期 作 用 力 展 开 成 傅 立 叶 级 数，可 得 00FF=Z F.cos(&-*“)=0其 中 工=+B；，(pn=arctan).A”=下,尸 山 0,An-凡(Ocos nwtdt=0,Bn=-f FF(r)sin nwtdt=1-(-l)n=T 力 r t7 V4乙 为 奇 数 n7i0 为 偶 数 由 此 工=B,(pn=为 奇 数),即 47 C=不 7 1，。7 1,%=5 为 奇 数).3=彳，*5L La由(1-5-14)得 质 点 振 动 系 统 得 位 移 心 品 8 s 7 7 C O S(W t-0l-;T)+-p-rC O S(3wr-3 一 万)+-J-cos(nwt-0n 一 万)(为 奇 数)9a)7vZ3 n a)7rZn习 题 22-1有 一 质 量 为 用，长 为/的 细 弦 以 尸 的 张 力 张 紧，试 问：（1）当 弦 作 自 由 振 动 时 其 基 频 为 多 少？（2）设 弦 中 点 位 置 基 频 的 位 移 振 幅 是 8,求 基 频 振 动 的 总 能 量。（3）距 细 弦 一 端 4处 的 速 度 振 幅 为 多 少？解：（1）简 正 频 率/“且 线 密 度 5=依 21 8 I（2）基 频 振 动 的 总 能 量 片=嘤 1=甯 1(3)弦 的 位 移 的 总 和 形 式(f,x)=B“sinknxcos(cont-(pn)=1速 度 表 达 式 为,X)=吗 X)=Y sin 3 x)sin(W,)%Zt距 一 端 0.25相 处 的 速 度 振 幅 Va tV3/x=4 a c n fT.乃 I=占 n出 隹 sin空 nml 4 纥 2万.4 口 sin()占 2l8 I 4春 俎 n=lT.3n/r sin-ml 42-2长 为/的 弦 两 端 固 定，在 距 一 端 为 x0处 拉 开 弦 以 产 生。的 静 位 移，然 后 释 放。（1）求 解 弦 的 振 动 位 移；（2）以 x0=/3为 例，比 较 前 三 个 振 动 方 式 的 能 量。解：弦 的 振 动 位 移 形 式 为：