立体几何大题二-翻折.doc
立体几何大题题型二:翻折问题1、已知四边形满足,就是得中点,将沿着翻折成,使面面,分别为得中点.CABDEAB1CDEGF(1)求三棱锥得体积;(2)证明:平面;(3)证明:平面平面.思路分析:对于翻折问题要注意翻折后得图形与翻折前得图形中得变与不变量.(1)求棱锥得体积一般找棱锥高易求得进行转换.由题意知,且,四边形为平行四边形,即为等边三角形.由面面得性质定理,连结,则,可知平面.所以即可;(2)本题利用线面平行得判定定理去做.因为为得中点,注意利用中位线;(3)本题利用面面垂直得判定定理证明.因为,只需证明平面即可。连结,则.又为等边三角形,则,得证.本题注意体现了转化得思想.ABCDEGF(2)连接交于,连接,为菱形,且为得中点,.又面,平面,平面(3)连结,则.又,平面.又,平面.又平面,平面平面.点评:本题考查了直线与平面平行、平面与平面垂直得判定与几何体得体积,以折叠问题为载体,折叠问题就是考查学生空间想象能力得较好载体。如本题,不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线,线面与面面垂直得判定方法及相互转化,还要正确识别出沿折叠而成得空间图形,更要识得折前折后有关线线、线面位置得变化情况以及有关量(边长与角)得变化情况,否则无法正确解题.这正就是折叠问题得价值之所在.2.(2015·山东聊城二模)如图(1)所示,正ABC得边长为4,CD就是AB边上得高,E,F分别就是AC与BC边得中点,现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB、(如图(2)(1)试判断直线AB与平面DEF得位置关系,并说明理由;(2)求二面角EDFC得余弦值;(3)在线段BC上就是否存在一点P,使APDE？如果存在,求出得值;如果不存在,请说明理由.【解】(1)平行.在ABC中,由E、F分别就是AC、BC中点,得EFAB,又AB平面DEF,EF平面DEF,AB平面DEF、(2)以点D为坐标原点,以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1),F(1,0),(1,0),(0,1),(0,0,2).平面CDF得法向量为(0,0,2),设平面EDF得法向量为n(x,y,z),则即取n(3,3),cos,n,所以二面角EDFC得余弦值为、(3)存在.设P(s,t,0),有(s,t,2),则·t20,t,又(s2,t,0),(s,2t,0),(s2)(2t)st,st2、把t代入上式得s,·,在线段BC上存在点P,使APDE、此时,、3.(2015·陕西高考)如图1,在直角梯形 ABCD中,ADBC,BAD,ABBCADa,E就是AD得中点,O就是AC与BE得交点.将ABE沿BE折起到图2中A1BE得位置,得到四棱锥A1BCDE、 (1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1BCDE得体积为36,求a得值.【解】(1)证明:在图1中,因为ABBCADa,E就是AD得中点.BAD,所以BEAC、即在图2中,BEA1O,BEOC、从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC、(2)由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDEBE,又由(1),A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O就是四棱锥A1BCDE得高.由图1知,A1OABa,平行四边形BCDE得面积SBC·ABa2、从而四棱锥A1BCDE得体积为V×S×A1O×a2×aa3,由a336,得a6、4.(2015·宁夏银川一中二模)如图1,在直角梯形ABCD中,ADC90°,CDAB,ADCDAB2,点E为AC中点.将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示.(1)在CD上找一点F,使AD平面EFB;(2)求点C到平面ABD得距离.【解】(1)取CD得中点F,连结EF,BF,在ACD中,E,F分别为AC,DC得中点,EF为ACD得中位线,ADEF,EF平面EFB,AD平面EFB,AD平面EFB、(2)设点C到平面ABD得距离为h,在RtADC中,ADCD2,AC2,易求得BC2,AB4,AC2BC2AB2,ACBC、平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABCAC,且BC平面ABC,BC平面ADC,BC就是三棱锥BADC得高,BCAD,又ADDC,DCBCC,AD平面BCD,ADBD、SABDAD·BD×2×22,由VCABDVBACD,得·SABD·h·SACD·BC,即·2·h·×2×2·2,解得h、点C到平面ABD得距离为、
