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平面向量的概念及其线性运算【教材基础回顾【教材基础回顾】1.1.向量及其相关概念向量及其相关概念向量的定义向量的定义:既有既有_又有又有_的量的量;向量的大小叫向量的大小叫做向量的做向量的_._.零向量零向量:_:_的向量的向量;记作记作0.单位向量单位向量:_的向量的向量.大小大小方向方向长度长度(或模或模)长度为长度为0 0长度等于长度等于1 1个单位个单位共线共线(平行平行)向量向量:方向相同或相反的方向相同或相反的_向量叫平行向量叫平行向量向量;_;_与任一向量平行与任一向量平行;向量向量a与向量与向量b平行平行,记作记作ab.相等向量相等向量:长度相等且长度相等且_相同的向量相同的向量,向量向量a与向量与向量b相等相等,记作记作a=b.相反向量相反向量:与向量与向量a长度相等且方向长度相等且方向_的向量的向量,记作记作-a.非零非零零向量零向量方向方向相反相反2.2.向量的线性运算向量的线性运算加法加法减法减法数乘数乘定义定义求两个向量和的运算求两个向量和的运算a+(-+(-b)=)=a-b实数实数与向量与向量a的的积是一个积是一个_,_,记作记作a向量向量加法加法减法减法数乘数乘法则法则(或几或几何何意义意义)(1)(1)模模:|:|a|=|=|a|(2)(2)方向方向:当当00时时,a与与a方向方向_;_;当当0|b|【解析【解析】选选A.A.由由|a+b|=|=|a-b|平方得平方得,a2 2+2+2ab+b2 2=a2 2-2-2ab+b2 2,即即ab=0,=0,则则ab.考向一考向一 平面向量的相关概念平面向量的相关概念【典例【典例1 1】(1)(1)给出下列命题给出下列命题:|a|=|=|b|,|,则则a=b;若若A,B,C,DA,B,C,D是不共线的四点是不共线的四点,则则“”是是“四边四边形形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形”的充要条件的充要条件;若若a=b,b=c,则则a=c;若若ab,bc,则则ac.其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是()A.A.B.B.C.C.D.D.(2)(2)给出下列命题给出下列命题:两个具有公共终点的向量两个具有公共终点的向量,一定是共线向量一定是共线向量.两个向量不能比较大小两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小但它们的模能比较大小.若若a=0(为实数为实数),),则则必为零必为零.已知已知,为实数为实数,若若a=b,则则a与与b共线共线.其中正确命题的序号为其中正确命题的序号为_._.【解析【解析】(1)(1)选选A.A.不正确不正确.两个向量的长度相等两个向量的长度相等,但但它们的方向不一定相同它们的方向不一定相同.正确正确.因为因为 ,所以所以 且且 ,又又A,B,C,DA,B,C,D是不共线的四点是不共线的四点,所以四边形所以四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形;反之反之,若四边形若四边形ABCDABCD为为平行四边形平行四边形,则则 且且 方向相同方向相同,因此因此 正确正确.因为因为a=b,所以所以a,b的长度相等且方向相同的长度相等且方向相同,又又b=c,所以所以b,c的长度相等且方向相同的长度相等且方向相同,所以所以a,c的长度相的长度相等且方向相同等且方向相同,故故a=c.不正确不正确.当当b=0b=0时时,a,c可能不平可能不平行行.综上所述综上所述,正确命题的序号是正确命题的序号是.(2)(2)错误错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点两向量共线要看其方向而不是起点与终点.正确正确.因为向量既有大小因为向量既有大小,又有方向又有方向,故它们不能比故它们不能比较大小较大小,但它们的模均为实数但它们的模均为实数,故可以比较大小故可以比较大小.错误错误.当当a=0=0时时,不论不论为何值为何值,a=0.=0.错误错误.当当=0=0时时,a=b,此时此时,a与与b可以是任意可以是任意向量向量.答案答案:【技法点拨【技法点拨】解答向量概念型习题的要点解答向量概念型习题的要点(1)(1)准确理解向量有关知识准确理解向量有关知识,应重点把握两个要点应重点把握两个要点:大小大小和方向和方向.(2)(2)向量线性运算的结果仍是向量向量线性运算的结果仍是向量,准确运用定义和运准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解算律仍需从大小和方向角度去理解.【拓展【拓展】三角形四心的向量表示三角形四心的向量表示在三角形在三角形ABCABC中中,点点O O为平面内一点为平面内一点,若满足若满足:1.=1.=0,则点则点O O为三角形的重心为三角形的重心.2.2.则点则点O O为三角形的外心为三角形的外心.3.3.或者或者 则点则点O O为三角形的垂心为三角形的垂心.4.=4.=0,则点则点O O为三角形的内心为三角形的内心.【同源异考【同源异考金榜原创金榜原创】1.1.已知已知a,b是两个非零向量是两个非零向量,且且|a+b|=|=|a|+|+|b|,|,则下列则下列说法正确的是说法正确的是()A.A.a+b=0B.B.a=bC.C.a与与b共线反向共线反向D.D.存在正实数存在正实数,使使a=b【解析【解析】选选D.D.由已知得由已知得,向量向量a与与b为同向向量为同向向量,即存在即存在正实数正实数,使使a=b.2.2.在下列选项中在下列选项中,“ab”的充分不必要条件的充分不必要条件是是()A.A.a,b都是单位向量都是单位向量B.|B.|a|=|=|b|C.|C.|a+b|=|=|a|-|-|b|D.D.存在不全为零的实数存在不全为零的实数,使使a+b=0【解析【解析】选选C.C.a,b都是单位向量都是单位向量,但方向可能既不相同但方向可能既不相同,又不相反又不相反,故故A A错误错误;|;|a|=|=|b|但方向不定但方向不定,故故B B错误错误;|a+b|=|=|a|-|-|b|,|,若若a,b都是非零向量都是非零向量,则则a,b反向共线反向共线,且且|a|b|;|;若若a,b中恰有一个零向量中恰有一个零向量,则则a0,b=0;若若a=b=0,则则a,b也符合也符合|a+b|=|=|a|-|-|b|,|,所以所以“|a+b|=|=|a|-|-|b|”“ab”,而而“ab”“|a+b|=|=|a|-|-|b|”,故故C C正确正确;D;D选项中选项中“存在不全为存在不全为零的实数零的实数,使使a+b=0”“ab”.考向二考向二 平面向量的线性运算平面向量的线性运算【典例【典例2 2】(1)(1)已知已知O,A,BO,A,B是平面上的三个点是平面上的三个点,直线直线ABAB上有一点上有一点C,C,满足满足 则则 =(=()(2)(2)在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,AC,AC与与BDBD交于点交于点O,EO,E是线段是线段ODOD的中点的中点,AE,AE的延长线与的延长线与CDCD交于点交于点F.F.若若 则则 ()【解析【解析】(1)(1)选选A.A.因为因为 所以所以A A为为BCBC的中点的中点,所以所以 故故 (2)(2)选选B.B.如图如图,因为因为E E是线段是线段ODOD的中点的中点,所以由平行四边所以由平行四边形的性质得形的性质得 所以所以【一题多解微课【一题多解微课】本例题本例题(2)(2)还可以还可以采用以下方法求解采用以下方法求解:待定系数法待定系数法:选选B.B.由题意易知由题意易知 因为因为 所以所以 =(x+y)+(x-y),=(x+y)+(x-y),于是于是:三点共线法三点共线法:选选B.B.因为因为D,F,CD,F,C三点共线三点共线,所以存在实数所以存在实数,使使 又因为又因为E E是是ODOD的中点的中点,所以所以 因为因为A,E,FA,E,F三点共线三点共线,所以存在所以存在RR,使使 所以所以【技法点拨【技法点拨】向量线性运算的应用技巧向量线性运算的应用技巧1.1.灵活运用向量加、减法中的平行四边形法则和三角灵活运用向量加、减法中的平行四边形法则和三角形法则形法则.2.2.充分利用平面几何知识充分利用平面几何知识,发掘直线的平行关系和线段发掘直线的平行关系和线段的比例关系的比例关系.必要时必要时,可添加辅助线可添加辅助线.【同源异考【同源异考金榜原创金榜原创】1.1.已知三角形已知三角形ABCABC是等边三角形是等边三角形,D,D为为ABAB的中点的中点,点点E E满足满足 =0,则则 =()世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256012612560126【解析【解析】选选A.A.由由2 =2 =0知知 (如图所示如图所示),),作作EFCDEFCD交交ABAB于点于点F,F,在在BDCBDC中中,由向量加法的三角形法则知由向量加法的三角形法则知 2.2.如图所示如图所示,已知已知ABAB是圆是圆O O的直径的直径,点点C,DC,D是半圆弧的是半圆弧的两个三等分点两个三等分点,=,=a,=,=b,则则 =()世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256012712560127A.A.a-bB.B.a-bC.C.a+bD.D.a+b【解析【解析】选选D.D.连接连接CD,CD,由点由点C,DC,D是半圆弧的三等分点是半圆弧的三等分点,得得CDABCDAB且且 a,所以所以 考向三考向三 共线向量定理及其应用共线向量定理及其应用【典例【典例3 3】(1)(1)已知向量已知向量e1 10,R,R,a=e1 1+e2 2,b=2=2e1 1,若向量若向量a与向量与向量b共线共线,则则()A.A.=0=0B.B.e2 2=0=0C.C.e1 1e2 2D.D.e1 1e2 2或或=0=0(2)(2)如图所示如图所示,在在ABCABC中中,AD=DB,AD=DB,点点F F在线段在线段CDCD上上,设设 =a,=,=b,=x,=xa+y+yb,则则 的最小值的最小值为为()A.6+2 A.6+2 B.6 B.6 C.6+4 C.6+4 D.3+2 D.3+2(3)(3)证明证明:三角形的三条中线交于一点三角形的三条中线交于一点,且被这点分成且被这点分成21.21.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256012812560128【解析【解析】(1)(1)选选D.D.因为向量因为向量e1 10,R,R,a=e1 1+e2 2,b=2=2e1 1,又因为向量又因为向量a和和b共线共线,存在实数存在实数k,k,使得使得a=k=kb,所所以以e1 1+e2 2=2k=2ke1 1,所以所以e2 2=(2k-1)=(2k-1)e1 1,所以所以e1 1e2 2或或=0.=0.(2)(2)选选D.D.由题意知由题意知 =x=xa+y+yb=2x =2x 因为因为C,F,DC,F,D三点共线三点共线,所以所以2x+y=1,2x+y=1,即即y=1-2x.y=1-2x.由题图可知由题图可知x0 x0且且x1.x1.所以所以 令令f(xf(x)=,)=,则则f(xf(x)=)=令令f(xf(x)=0,)=0,得得x=-1x=-1或或x=-1(x=-1(舍舍).).当当0 x -10 x -1时时,f(x,f(x)0,)-1x -1且且x1x1时时,f(x,f(x)0.)0.所以当所以当x=-1x=-1时时,f(x,f(x)取得极小值取得极小值,亦为最小值亦为最小值,最小值为最小值为f(-1)=f(-1)=(3)(3)如图如图,AD,BE,CF,AD,BE,CF分别是分别是ABCABC的三条中线的三条中线,不妨设不妨设ADAD与与BEBE交于点交于点G,G,由由A,G,DA,G,D三点共线可知存在三点共线可知存在RR,使使 于是于是:又又D D是是BCBC中点中点,所以所以 同理同理B,G,EB,G,E三点共线三点共线,可得可得 又又E E是是CACA的中点的中点,所以所以 于是于是:又因为又因为F F是是ABAB的中点的中点,所以所以 于是于是 又因为又因为 所以三条中线所以三条中线AD,BE,CFAD,BE,CF交于一点交于一点G,G,且被该点分成且被该点分成21.21.【技法点拨【技法点拨】1.1.准确理解共线向量定理准确理解共线向量定理ab等价于存在不全为零的实数等价于存在不全为零的实数1 1,2 2,使使1 1a+2 2b=0成立成立.2.2.共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具解题过程中常用到结论解题过程中常用到结论:“P,A,BP,A,B三点共线三点共线”等价于等价于“对直线对直线ABAB外任意一点外任意一点O,O,总存在非零实数总存在非零实数,使使 成立成立”3.3.含参共线问题的解法含参共线问题的解法解决含有参数的共线问题时解决含有参数的共线问题时,经常要用到平面几何的性经常要用到平面几何的性质质,构造含有参数的方程或方程组构造含有参数的方程或方程组,解方程或方程组得解方程或方程组得到参数的值到参数的值.【同源异考【同源异考金榜原创金榜原创】命题点命题点1 1判断向量共线判断向量共线1.1.已知平面内一点已知平面内一点P P及及ABC,ABC,若若 则点则点P P与与ABCABC的位置关系是的位置关系是()A.A.点点P P在线段在线段ABAB上上B.B.点点P P在线段在线段BCBC上上C.C.点点P P在线段在线段ACAC上上D.D.点点P P在在ABCABC外部外部【解析【解析】选选C.C.由由 知知:即即:故点故点P P在线段在线段ACAC上上.命题点命题点2 2用共线向量定理解决三点共线问题用共线向量定理解决三点共线问题2.2.如图所示如图所示,在在ABCABC中中,点点O O是是BCBC的中点的中点,过点过点O O的直线的直线分别交直线分别交直线AB,ACAB,AC于不同的两点于不同的两点M,N,M,N,若若 则则m+nm+n的值为的值为()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析【解析】选选B.B.由由O O是是BCBC中点中点,可得可得 由题意知由题意知 因为因为O,M,NO,M,N三点共线三点共线,所以所以 m+n=1,m+n=1,则则m+nm+n=2.=2.命题点命题点3 3解决含有参数的共线综合问题解决含有参数的共线综合问题3.3.已知点已知点M M是是ABCABC所在平面内的一点所在平面内的一点,若点若点M M满足满足|=0|=0且且S SABCABC=3S=3SABMABM,则实数则实数=_.=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256012912560129 【解析【解析】如图如图,设设D D为为BCBC的中点的中点,则则 因为因为|=0,|=0,所以所以 =0,所以所以 于是于是A,M,DA,M,D三点共线三点共线,且且 又又S SABCABC=3S=3SABMABM,所以所以 又因为又因为S SABDABD=S=SABCABC且且 所以所以 解得解得=3.3.答案答案:3 3核心素养系列（二十六）核心素养系列（二十六）数学运算数学运算平面向量运算中的核心素养平面向量运算中的核心素养在新定义的运算法则的要求下在新定义的运算法则的要求下,准确地应用运算法准确地应用运算法则则,利用演绎推理的思维形式利用演绎推理的思维形式,准确迅速得出运算结果准确迅速得出运算结果.【典例【典例】定义两个平面向量的一种运算定义两个平面向量的一种运算a b=|=|a|b|sin|sin,则关于平面向量上述运算的以下结则关于平面向量上述运算的以下结论中论中,a b=b a;(a b)=()=(a)b;若若a=b,则则a b=0;=0;若若a=b且且0,0,则则(a+b)c=(=(a c)+()+(b c).).正确的序号是正确的序号是_._.【解析【解析】恒成立恒成立,(,(a b)=|)=|a|b|sin|sin,(a)b=|=|a|b|sin|sin,当当00时时,(ab)=()=(a)b不成立不成立,a=b,则则sinsin=0,=0,故故a b=0=0恒成立恒成立,a=b,且且0,0,则则a+b=(1+)=(1+)b,(,(a+b)c=|(1+)|=|(1+)|b|c|sin|sin,(ac)+()+(b c)=|)=|b|c|sin|sin+|+|b|c|sin|sin=|1+|=|1+|b|c|sin|sin,故故(a+b)c=(=(a c)+()+(b c)恒成立恒成立.答案答案:
