2023年,一次函数与二元一次方程组 同步辅导含超详细解析超详细解析答案绝对经典.pdf

-1-11 3 3 一次函数与二元一次方程(组)同步辅导 重点知识讲解 1 二元一次方程与一次函数的关系(1)任意一个二元一次方程都可化成 y=kx+b 的形式，即每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线(2)直线 y=kx+b 的每一点的坐标均为这个二元一次方程的解 2 二元一次方程组与一次函数的关系(1)二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式(2)求二元一次方程组的解可以看作求两个一次函数的交点坐标 经验与方法技巧 1 利用一次函数解二元一次方程组的步骤(1)将方程组中的每个方程转化成一次函数 y=kx+b 的形式(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图像(3)利用图像的直观性确定交点坐标 2 求两个一次函数的交点坐标的方法 解由两个一次函数的解析式组成的二元一次方程组，就能准确地求出交点坐标 3 两个一次函数图像交点的作用 借助图像的直观性，利用交点坐标，可以解决有关比较、决策等生活实际问题 典型例题 例 1 在直角坐标系中作出二元一次方程 x-y=2 的图像 解析 x 0-2 y 2 0 图像如图所示 评注 由于 x-y=2 的图像是一条直线，因此只要作出这个图像上的两个点，就可以画出这条直线；也可先将其化为 y=kx+b 的形式，再作出图像 例 2 利用图像法解二元一次方程组：3 2,2.x yx y 解析 x 0 1 y=3x-2-2 1 y=2-x 2 1 分别画出两条直线，如图，两条直线的交点坐标为(1，1)，-2-方程组的解为1,1.xy 教材例题习题的变形题 例(P64 第 8 题)从甲地向乙地打长途电话，通话 3min 以内收费 2 4 元，3min 后每增加通话时间 1min 加收 1 元，求通话费用 y(元)与通话时间 x(min，x 为正整数)之间的关系式，有 10 元钱时，打一次电话最多可以打多长时间?解析 关系式为 y=2 4+(x-3)，即 y=x-0 6 方法一 有 10 元钱，打一次电话的费用最多是 10 元 当 y=10 时，10=x-0 6，x=10 6，x 不会超过 10 6，又 x 为正整数，x 最大就是 10 10 元钱打一次电话最多可以打 10min 方法二 因有 10 元钱，故打一次电话的费用不会超过 10 元，即 x-0 610，解得 x10 6 又 x 为正整数，x 最大为 10 所以 10 元钱打一次电话最多可以打 10min 评注 注意方法的多样性，方法一利用一次函数与二元一次方程的关系，方法二利用一次函数与一元一次不等式的关系 学科内综合题 例 1 已知一次函数 y=32x+m和 y=-12x+n 的图像都经过点 A(-2，0)，则点 A 可看成哪个方程组的解?解析 将 x=-2，y=0 代入 y=32x+m，得 0=-3+m，m=3，y=32x+3 将 x=-2，y=0 代入 y=-12x+n，得 0=1+n，n=-1，y=-12x+1 点 A(-2，0)可看成二元一次方程组33,2112y xy x 的解 评注 根据一次函数与二元一次方程组的关系，交点坐标就是由函数解析式组成的二元一次方程组与一次函数的关系二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式求二元一次方程组的解可以看作求 次函数的形式在同一直角坐标系中画出两函数的图像利用图像的直观性确定交点坐标求两个一次函数的交点坐标的方 图像的直观性利用交点坐标可以解决有关比较决策等生活实际问题典型例题例在直角坐标系中作出二元一次方程的图-3-二元一次方程组的解 例 2 已知四条直线 5x+by=1，3x+y=1，ax+5y=4，2x-3y=8 相交于一点，求 a，b 的值 解析 解方程组3 1,2 3 8x yx y 得1,2.xy 将 x=1，y=-2 代入 5x+by=1，得 5-2b=1，解得 b=2 将 x=1，y=-2 代入 ax+5y=14，得 a-10=4，解得 a=14 评注 四条直线的交点坐标是这四个二元一次方程的公共解 综合应用题 例 某图书馆开展两种方式的阅览业务，一种使用会员卡，另一种使用阅览卡，费用 y(元)与阅览时间 x(d)之间的关系如图所示(1)分别写出阅览卡的费用 y阅(元)和用会员卡的费用 y会(元)与阅览时间 x(d)之间的函数关系式(2)对于这两种阅览方式，如果只阅览一天，费用分别是多少元?(3)若两种卡的使用期限均为一年，则在这一年中，如何选取这两种阅览方式比较合算?解析(1)设 y阅=kx，把 x=100，y=50 代入，得 50=100k，k=12，y阅=12x 设 y会=kx+20，把 x=100，y=50 代入，得 50=100k+20，k=0 3，y会=0 3x+20(2)当 x=1 时，y阅=12，y会=20+0 3=20 3(3)由图像可以看出：当 0 xy阅，因而选阅览卡合算 当 x=100 时，阅览卡和会员卡没有区别 当 x100 时，y阅y会，因而选择会员卡合算 中考题 例 1(2004 年广东卷)已知一次函数 y=kx+b，当 x=-4 时，y 的值为 9；当 x=2 时，y的值为-3(1)求这个函数的解析式 二元一次方程组与一次函数的关系二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式求二元一次方程组的解可以看作求 次函数的形式在同一直角坐标系中画出两函数的图像利用图像的直观性确定交点坐标求两个一次函数的交点坐标的方 图像的直观性利用交点坐标可以解决有关比较决策等生活实际问题典型例题例在直角坐标系中作出二元一次方程的图-4-(2)在直角坐标系内画出这个函数的图像 解析(1)把4,9.xy 2,3.xy 分别代入 y=kx+b，得9 4,3 2,k bk b 解得2,1.kb 这个函数的解析式为 y=-2x+1(2)当 x=0 时，y=1；当 x=1 时，y=-1 所以此函数的图像是经过(0，1)，(1，-1)两点的直线，如图 11-3-16 评注 确定一次函数的关系式时，需两个点的坐标，即两对 x，y 的值，通过解二元一次方程组确定 k，b 的值画图像时，任选取满足关系式的两个点，尽可能选取其坐标为整数值，且绝对值较小的点 例 2(2004 年黑龙江卷)图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中路程 y(km)随时间 x(min)变化的图像(全程)根据图像回答下列问题：(1)比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇?(2)这次比赛全程是多少千米?(3)比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇?解析 由图像可以看出甲、乙二人的图像有两个交点，即相交两次(1)当 15 x 33 时，设 AB的解析式为 y=kx+b，把(15，5)，(33，7)分别代入，得 1 11 15 15,7 33,k bk b 解得111,9103kb 二元一次方程组与一次函数的关系二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式求二元一次方程组的解可以看作求 次函数的形式在同一直角坐标系中画出两函数的图像利用图像的直观性确定交点坐标求两个一次函数的交点坐标的方 图像的直观性利用交点坐标可以解决有关比较决策等生活实际问题典型例题例在直角坐标系中作出二元一次方程的图-5-AB的解析式为 y=19x+103.当 y=6 时，有 6=19x+103，解得 x=24 所以比赛开始 24min 时，两人第一次相遇(2)设 OD的解析式为 y=kx，把(24，6)代入，得 6=24k，解得 k=14,OD的解析式为 y=14x 当 x=48 时，y=14 48=12，比赛全程为 12km(3)当 33 x 43 时，设 BC的解析式为 y=k2x+b2 把(33，7)，(43，12)分别代入，得2 22 233 7,43 12,k bk b 解得221,219.2kb BC的解析式为 y=12x-192.解方程组1,41 19.2 2y xy x 得38,19.2xy 比赛开始后 38min 两人第二次相遇 评注 在本题中，两人相遇在图像上直观地体现为交点共有两个交点，故有两次相遇交点的坐标是两个函数解析式组成的二元一次方程组的解是本题的入手点，而求每一段函数的关系式又是解决本题的关键 二元一次方程组与一次函数的关系二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式求二元一次方程组的解可以看作求 次函数的形式在同一直角坐标系中画出两函数的图像利用图像的直观性确定交点坐标求两个一次函数的交点坐标的方 图像的直观性利用交点坐标可以解决有关比较决策等生活实际问题典型例题例在直角坐标系中作出二元一次方程的图-6-11 3 3 一次函数与二元一次方程(组)同步练习 要点再现 一般地，每个二元一次方程组都对应两个，于是也对应两条。从“数”的角度看，解方程组相当于；从“形”的角度看，解方程组相当于。因此，一次函数与二元一次方程（组）有密切的联系。基础闯关 1 请在同一直角坐标系内作出一次函数 y=-2x+3 与正比例函数 y=2x 的图象，直线 y=-2x+3 与直线 y=2x 的交点坐标是 _，方程组2 32y xy x 的解是 _，你能从中“悟”出些什么？2 图 2 中的两条直线1l、2l的交点坐标是，可以看作方程组 _ 的解。(第 2 题)(第 3 题)(第 4 题)3 图中两条直线1l和2l和交点坐标可以看作下列方程组中（）的解。（A）21 2x yx y（B）5 33x yx y（C）11 2x yx y（D）51 3x yx y 4.如图,直线4 2 x y和直线1 3 x y交于一点,则方程组 1 34 2y xy x的解是l2l1xyO1231 2 345412l143 2 1321Oyx-1(1,-2)Y 1 0 x-4 二元一次方程组与一次函数的关系二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式求二元一次方程组的解可以看作求 次函数的形式在同一直角坐标系中画出两函数的图像利用图像的直观性确定交点坐标求两个一次函数的交点坐标的方 图像的直观性利用交点坐标可以解决有关比较决策等生活实际问题典型例题例在直角坐标系中作出二元一次方程的图-7-()A.x=0,y=1;B.x=0,y=-2;C.x=1,y=-2 D.x=2,y=0 4利用函数图象解二元一次方程组 5 33 2y xy x 能力提升 1如图所示，甲、乙两辆汽车同时从相距 360 千米的 A，B 两地相向而行，s（千米）表示汽车与 A地的距离，t（分）表示汽车行驶时间，1l与2l表示两辆汽车的s与t的关系。（1）1l表示哪辆汽车到 A地的距离与行驶时间的关系？（2）汽车乙的速度是多少？（3）2 小时后，甲，乙两辆汽车相距多少千米？（4）行驶多长时间后，甲、乙两辆汽车相遇？（5）甲、乙相遇时，距 A地多远？l1l22403002401801206018012060O360s/千米t/分二元一次方程组与一次函数的关系二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式求二元一次方程组的解可以看作求 次函数的形式在同一直角坐标系中画出两函数的图像利用图像的直观性确定交点坐标求两个一次函数的交点坐标的方 图像的直观性利用交点坐标可以解决有关比较决策等生活实际问题典型例题例在直角坐标系中作出二元一次方程的图-8-考题追踪（2002 四川眉山）图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡。使用这两种租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示。（1）分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数解析式；（2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？（3）若两种租书卡的使用期限均为一年，则在这一年中如何选取这两种租书方式比较划算？Oy（元）x（天）1002050租书卡会员卡二元一次方程组与一次函数的关系二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式求二元一次方程组的解可以看作求 次函数的形式在同一直角坐标系中画出两函数的图像利用图像的直观性确定交点坐标求两个一次函数的交点坐标的方 图像的直观性利用交点坐标可以解决有关比较决策等生活实际问题典型例题例在直角坐标系中作出二元一次方程的图-9-答案:要点再现 一次函数，一次函数图象。化二元一次方程组为一元一次方程；找出两个一次函数图象的交点 基础闯关 1.3 3,4 2，(2，1)，752132y xy x 3.B 4 C 5.解：作出函数1 32 2y x 和3 5 y x 的图象，他们的交点坐标就是所求。二元一次方程组 5 33 2y xy x的解为12xy（图略）能力提升 1 解：（1）1l表示乙汽车到 A地的距离与行驶时间的关系。（2）汽车乙的速度是 84 千米/小时。（3）2 小时后，甲，乙两辆汽车相距 72 千米。（4）行驶 2.5 小时后，甲、乙两辆汽车相遇。（5）甲、乙相遇时，距 A地 150 千米。考题追踪 解：(1)用租书卡租书：20 0.3 y x 用会员卡租书：0.5 y x（2）两种租书方式每天租书的收费分别是用租书卡租书每天 0.3 元，用会员卡租书每天0.5 元。（3）若两种租书卡的使用期限均为一年，则在这一年中应选取用租书卡租书划算。二元一次方程组与一次函数的关系二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式求二元一次方程组的解可以看作求 次函数的形式在同一直角坐标系中画出两函数的图像利用图像的直观性确定交点坐标求两个一次函数的交点坐标的方 图像的直观性利用交点坐标可以解决有关比较决策等生活实际问题典型例题例在直角坐标系中作出二元一次方程的图