2023年圆锥曲线综合试卷最新版全部大试卷(最新版)含超详细解析超详细解析答案.pdf
1.平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线外一点00(,)P xy的任一直线与抛物线的两个交点为 C、D，与抛物线切点弦 AB22xpy的交点为 Q。（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x xp yy；（2）求证：112|PCPDPQ.2.已知定点 F（1，0），动点 P 在 y 轴上运动，过点 P 作 PM 交 x 轴于点 M，并延长 MP 到点 N，且.|,0PNPMPFPM（1）动点 N 的轨迹方程；（2）线 l 与动点 N 的轨迹交于 A，B两点，若，求304|64,4ABOBOA且直线 l 的斜率 k 的取值范围.3.如图，椭圆的左右顶点分别为 A、B，P 为双曲线右134:221yxC134:222yxC支上（轴上方）一点，连 AP交 C1于 C，连 PB并延长交 C1于 D，且ACD与PCD的面x积相等，求直线 PD的斜率及直线 CD的倾斜角.4.已知点(2,0),(2,0)MN，动点P满足条件|2 2PMPN.记动点P的轨迹为W.（）求W的方程；（）若,A B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OBuuu r uuu r的最小值.5.已知曲线C的方程为:kx2+(4-k)y2=k+1,(kR)（）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；（）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60，求此双曲线的方程；（）满足（）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线l：y=x-1 对称，若存在，求出过P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。6.如图（21）图，M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的两点，动点 P 满足：6.PMPN(1)求点 P 的轨迹方程；(2)若21 cosPMPNMPN,求点 P 的坐标.7.已知F为椭圆22221xyab(0)ab 的右焦点，直线l过点F且与双曲线的两条渐进线12,l l分别交于点,M N，与椭圆交于点,A B.1222byax（I）若3MON，双曲线的焦距为 4。求椭圆方程。（II）若0OMMNuuuu r uuuu r（O为坐标原点），13FAANuuu ruuu r，求椭圆的离心率e。长到点且动点的轨迹方程线与动点的轨迹交于两点若且求直线的斜率的取值范围如图椭圆的左右顶点分别为为双曲线的轨迹为求的方程若是上的不同两点是坐标原点求的最小值已知曲线的方程为若曲线是椭圆求的取值范围若曲线是双线方程若不存在说明理由如图图和是平面上的两点动点满足求点的轨迹方程若求点的坐标已知为椭圆的右焦点直线过8.设曲线2212:1xCya（a为正常数）与22:2()Cyxm在x轴上方只有一个公共点P。（）求实数m的取值范围（用a表示）；（）O为原点，若1C与x轴的负半轴交于点A，当102a 时，试求OAP的面积的最大值（用a表示）。1.（1）略（2）为简化运算，设抛物线方程为200()2()xxp yy，点Q，C，D的坐标分别为331122()()()xyxyxy，点(0,0)P，直线ykx，200()2()xxp kxy220002()20 xxpk xxpy一方面。要证112|PCPDPQ化斜为直后只须证：123112xxx由于0012212122()112xpkxxxxx xxpk另一方面，由于(0,0)P所以切点弦方程为：000()(2)x xxp yy所以3x 0202xpkxpk002312xpkxxpk从而123112xxx即112|PCPDPQ2.（1）设动点N 的坐标为（x,y），则 xyO22xpy长到点且动点的轨迹方程线与动点的轨迹交于两点若且求直线的斜率的取值范围如图椭圆的左右顶点分别为为双曲线的轨迹为求的方程若是上的不同两点是坐标原点求的最小值已知曲线的方程为若曲线是椭圆求的取值范围若曲线是双线方程若不存在说明理由如图图和是平面上的两点动点满足求点的轨迹方程若求点的坐标已知为椭圆的右焦点直线过2 分),2,(),0)(2,0(),0,(yxPMxyPxM，因此，动点的轨迹方程为 040),2,1(2yxPFPMyPF得由4 分).0(42xxy（2）设 l 与抛物线交于点 A（x1,y1）,B(x2,y2)，当 l 与 x 轴垂直时，则由，不合题意，6424|,22,22,421AByyOBOA得故与 l 与 x 轴不垂直，可设直线 l 的方程为 y=kx+b(k0),则由6 分4,42121yyxxOBOA得由点 A，B在抛物线.8,4,4,)0(4212221212yyxyxyxxy故有上又 y2=4x,y=kx+b 得 ky24y+4b=0,8 分所以10 分)3216(1|),21(16.2,8422222kkkABkkbkb因为解得直线 l 的斜率的取值范围是.480)3216(196,304|64222kkkAB所以.12 分 1,2121,13.由题意得 C为 AP中点，设，)0,2(),(00AyxC),2,22(00yxP把 C点代入椭圆方程、P 点代入双曲线方程可得,124)22(3124320202020yxyx解之得：)0,2(),3,4(),23,1(,23100BPCyxQ又故故直线 PD的斜率为，直线 PD的方程为232403),2(23xy联立，故直线 CD的倾斜角为 90)23,1(134)2(2322Dyxxy解得4.解法一：（）由|PM|PN|=2 2知动点 P 的轨迹是以,M N为焦点的双曲线的右支，实 半轴长2a 又半焦距 c=2，故虚半轴长222bca所以 W 的方程为22122xy,2x 长到点且动点的轨迹方程线与动点的轨迹交于两点若且求直线的斜率的取值范围如图椭圆的左右顶点分别为为双曲线的轨迹为求的方程若是上的不同两点是坐标原点求的最小值已知曲线的方程为若曲线是椭圆求的取值范围若曲线是双线方程若不存在说明理由如图图和是平面上的两点动点满足求点的轨迹方程若求点的坐标已知为椭圆的右焦点直线过（）设 A，B 的坐标分别为11(,)x y,22(,)xy当 ABx 轴时,12,xx从而12,yy 从而221212112.OA OBx xy yxyuuu r uuu r当 AB与 x 轴不垂直时,设直线 AB的方程为ykxm,与 W 的方程联立,消去 y 得222(1)220.kxkmxm 故1222,1kmxxk 21222,1mx xk所以 1212OA OBx xy yuuu r uuu r1212()()x xkxm kxm221212(1)()kx xkm xxm 2222222(1)(2)211kmk mmkk22221kk2421k.又因为120 x x,所以210k ,从而2.OA OBuuu r uuu r综上,当 ABx轴时,OA OBuuu r uuu r取得最小值 2.解法二:(）同解法一.（）设 A，B 的坐标分别为，则11(,)x y,22(,)xy,则22()()2(1,2).iiiiiixyxyxyi 令,iiiiiisxy txy 则2,i ist 且0,0(1,2)iisti所以1212OA OBx xy yuuu r uuu r1122112211()()()()44stststst1 21 21 2 1 2112,22s st ts s t t当且仅当1 21 2s st t,即1212,xxyy 时”成立.所以OA OBuuu r uuu r的最小值是 2.5.(1)当k=0或k=-1 或k=4时，C表示直线；当k0且k-1 且k4时方程为kkkkkkkkkkykkx411,04101:,141122上上上上上上上上上上即是0k2或2k0，存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为21 xy6.(1)由椭圆的定义，点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点，长轴长 2a=6 的椭圆.因此半焦距 c=2，长半轴 a=3，从而短半轴b=225ac，所以椭圆的方程为221.95xy(2)由2,1 cosPMPNMPNg得cos2.PMPNMPNPMPNgg 因为cos1,MPNP不为椭圆长轴顶点，故 P、M、N 构成三角形.在PMN 中，4,MN 由余弦定理有2222cos.MNPMPNPMPNMPNg 将代入，得22242(2).PMPNPMPNg故点 P 在以 M、N 为焦点，实轴长为2 3的双曲线2213xy上.由(1)知，点 P 的坐标又满足22195xy，所以长到点且动点的轨迹方程线与动点的轨迹交于两点若且求直线的斜率的取值范围如图椭圆的左右顶点分别为为双曲线的轨迹为求的方程若是上的不同两点是坐标原点求的最小值已知曲线的方程为若曲线是椭圆求的取值范围若曲线是双线方程若不存在说明理由如图图和是平面上的两点动点满足求点的轨迹方程若求点的坐标已知为椭圆的右焦点直线过由方程组22225945,33.xyxy 解得3 3,25.2xy 即 P 点坐标为3 353 353 353 35(,)22222222、（，-）、（-，）或（，-）.7.解：（I），是直线 与双曲线两条渐近线的交点，3 MONQNM,l ，即2 分336tanabba3 双曲线的焦距为 4，4 分Q422ba 解得，椭圆方程为5 分1,322 ba1322yx （II）解：设椭圆的焦距为，则点的坐标为c2F)0,(c ，0 ONOMQ1ll 直线的斜率为，直线 的斜率为，Q1lablba 直线 的方程为7 分l)(cxbay 由 解得 即点xabyaxbay)(cabycax2),(2cabcaN设由，得),(yxAANFA31),(31,2ycabxcaycx 即 10 分。)(31)(312ycabyxcacxcabycacx44322)4,43(22cabcacA点在椭圆上，12 分QA11616)3(2222222cacaac ，Q22422216)3(caaac222161)13(ee长到点且动点的轨迹方程线与动点的轨迹交于两点若且求直线的斜率的取值范围如图椭圆的左右顶点分别为为双曲线的轨迹为求的方程若是上的不同两点是坐标原点求的最小值已知曲线的方程为若曲线是椭圆求的取值范围若曲线是双线方程若不存在说明理由如图图和是平面上的两点动点满足求点的轨迹方程若求点的坐标已知为椭圆的右焦点直线过 0210924 ee9752e375e椭圆的离心率是。375e8.（）由222222212(21)02()xyxa xmaayxm，设222()2(21)f xxa xma，则问题（）转化为方程在区间(,)a a上有唯一解：若2102am，此时2Pxa，当且仅当2aaa ，即01a 适合；若()()0f a fa，则ama ；若()0fama ，此时22Pxaa，当且仅当22aaaa ，即01a 时适合；若()0f ama ，此时22Pxaa ，但22aaa ，从而ma。综上所述，当01a 时，212am或ama ；当1a 时，ama 。（）OAP的面积是12PSay。因为102a，所以有两种情形：当ama 时，22021aa ama ，由唯一性得2221Pxaaam 。显然，当ma时，Px取得最小值22aa，从而212PPxy 取得最大值22 aa，所以有2maxSa aa；当212am时，2Pxa，21Pya，此时2112Saa。因此，有当22112a aaaa，即103a 时，2max112Saa；当22112a aaaa，即1132a 时，2maxSa aa。长到点且动点的轨迹方程线与动点的轨迹交于两点若且求直线的斜率的取值范围如图椭圆的左右顶点分别为为双曲线的轨迹为求的方程若是上的不同两点是坐标原点求的最小值已知曲线的方程为若曲线是椭圆求的取值范围若曲线是双线方程若不存在说明理由如图图和是平面上的两点动点满足求点的轨迹方程若求点的坐标已知为椭圆的右焦点直线过
