2023年复数知识点归纳总结.pdf
15.复 数 知识要点 1.复数的单位为 i，它的平方等于1，即1i2.复数及其相关概念：复数形如 a+bi 的数（其中Rba，）；实数当 b=0 时的复数 a+bi，即 a；虚数当0b时的复数 a+bi；纯虚数当 a=0 且0b时的复数 a+bi，即 bi.复数 a+bi 的实部与虚部a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意 a，b 都是实数）复数集 C全体复数的集合，一般用字母 C 表示.两个复数相等的定义：00babiaRdcbadbcadicbia）特别地，（其中，且.两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：若21,zz为复数，则1若021zz，则21zz.（）21,zz为复数，而不是实数 2若21zz，则021zz.（）若Ccba,，则0)()()(222accbba是cba的 必 要 不 充 分 条 件.（当22)(iba，0)(,1)(22accb时，上式成立）2.复平面内的两点间距离公式：21zzd.其中21zz，是复平面内的两点21zz 和所对应的复数，21zzd和表示间的距离.由上可得：复平面内以0z为圆心，r为半径的圆的复数方程：）（00rrzz.曲线方程的复数形式：00zrzz表示以为圆心，r 为半径的圆的方程.21zzzz表示线段21zz的垂直平分线的方程.212121202ZZzzaaazzzz，）表示以且（为焦点，长半轴长为 a 的椭圆的方程（若212zza，此方程表示线段21ZZ，）.），（2121202zzaazzzz表示以21ZZ，为焦点，实半轴长为 a 的双曲线方程（若212zza，此方程表示两条射线）.绝对值不等式：设21zz，是不等于零的复数，则 212121zzzzzz.左边取等号的条件是），且（012Rzz，右边取等号的条件是），（012Rzz.212121zzzzzz.左边取等号的条件是），（012Rzz，右边取等号的条件是），（012Rzz.注：nnnAAAAAAAAAA11433221.3.共轭复数的性质：zz 2121zzzz azz2，i2bzz（za+bi）22|zzzz 2121zzzz 2121zzzz 2121zzzz（02z）nnzz)(注：两个共轭复数之差是纯虚数.（）之差可能为零，此时两个复数是相等的 4 复数的乘方：)(.Nnzzzzznn 对任何z，21,zzC及Nnm,有 nnnnmnmnmnmzzzzzzzzz2121)(,)(,注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142ii若由11)(212142 ii就会得到11 的错误结论.在实数集成立的2|xx.当x为虚数时，2|xx，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.常用的结论：1,1,143424142nnnniiiiiii )(,0321Zniiiinnnn iiiiiiii11,11,2)1(2 若是1的立方虚数根，即i2321，则 .5.复数z是实数及纯虚数的充要条件：)(0,01,1,121223ZnnnnzzRz.若0z，z是纯虚数0zz.模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：|zz.6.复数的三角形式：)sin(cosirz.辐角主值：适合于 02的值，记作zarg.注：z为零时，zarg可取)2,0内任意值.辐角是多值的，都相差 2的整数倍.设,Ra则23)arg(,2arg,)arg(,0argaiaiaa.复数的代数形式与三角形式的互化：)sin(cosirbia，22bar，rbrasin,cos.几类三角式的标准形式：)sin()cos()sin(cosirir)sin()cos()sin(cosirir)sin()cos()sincos(irir)2sin()2cos()cos(sinirir 7.复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一元二次方程)0(02acbxax时，应注意下述问题：当Rcba,时，若0，则有二不等实数根abx22,1；若=0，则有二相等实数根abx22,1；若0，则有二相等复数根aibx2|2,1（2,1x为共轭复数）.当cba,不全为实数时，不能用方程根的情况.不论cba,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8.复数的三角形式运算：)sin()cos()sin(cos)sin(cos212121222211irririr)sin()cos()sin(cos)sin(cos212121222211irririr 棣莫弗定理：)sin(cos)sin(cosninrirnn 第三章 数系的扩充与复数 一、基础知识【理解去记】1复数的定义：设 i 为方程 x2=-1的根，i 称为虚数单位，由 i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如 a+bi（a,b R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用 C来表示。2 复数的几种形式。对任意复数 z=a+bi（a,b R），a 称实部记作 Re(z),b称虚部记作 Im(z).z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么 z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数 z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设 z 对应复平面内的点 Z，见图 15-1，连接 OZ，设xOZ=,|OZ|=r，则 a=rcos,b=rsin,所以 z=r(cos+isin)，这种形式叫做三角形式。若 z=r(cos+isin)，则称为 z的辐角。若 02，则称为 z 的辐角主值，记作=Arg(z).r 称为 z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22ba.如果用 ei 表示 cos+isin，则 z=rei，称为复数的指数形式。3共轭与模，若 z=a+bi，（a,b R）,则za-bi 称为 z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121zzzz；（2）2121zzzz；（3）2|zzz；（4）2121zzzz；（5）|2121zzzz；（6）|2121zzzz；（7）|z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则zz1。4复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若 z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2)，则 z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)；若21212,0rrzzzcos(1-2)+isin(1-2)，用指数形式记为 z1z2=r1r2ei(1+2),.)(212121ierrzz 5.【部分省市考】棣莫弗定理：r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn).6.开 方：若nwr(cos+isin)，则)2s i n2(c o snkinkrwn，k=0,1,2,n-1。7 单位根：若 wn=1，则称 w为 1 的一个 n 次单位根，简称单位根，记 Z1=nin2sin2cos，则全部单位根可表示为 1,1Z,1121,nZZ.单位根的基本性质有（这里记kkZZ1，k=1,2,n-1）：（1）对任意整数 k，若 k=nq+r,q Z,0rn-1，有 Znq+r=Zr；（2）对任意整数 m，当 n2 时，有mnmmZZZ1211=,|,|,0mnnmn当当特别 1+Z1+Z2+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+x+1=(x-Z1)(x-Z2)(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-21Z)(x-11nZ).8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等 9复数 z 是实数的充要条件是 z=z;z 是纯虚数的充要条件是：z+z=0（且 z0）.10.代数基本定理：在复数范围内，一元 n 次方程至少有一个根。11实系数方程虚根成对定理：实系数一元 n 次方程的虚根成对出现，即若 z=a+bi(b 0)是方程的一个根，则z=a-bi 也是一个根。12若 a,b,c R,a0，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0，当=b2-4ac0 时方程的根为.22,1aibx 二、基础例题【必会】1模的应用。例 1 求证：当 nN+时，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0 只有纯虚根。证明 若 z 是方程的根，则(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(z+1)=(z-1)(z-1)，化简得 z+z=0，又 z=0 不是方程的根，所以 z 是纯虚数。例 2 设 f(z)=z2+az+b,a,b为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求 a,b 的值。解 因为 4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等号成立。所以 f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同，且模相等。所以 f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得 a=b=0.2.复数相等。例 3 设R，若二次方程(1-i)x2+(+i)x+1+i=0 有两个虚根，求满足的充要条件。解 若方程有实根，则方程组00122xxxx有实根，由方程组得(+1)x+1=0.若=-1，则方程 x2-x+1=0 中0 无实根，所以-1。所以 x=-1,=2.所以当2 时，方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为2。3三角形式的应用。例 4 设 n2000,n N，且存在满足(sin+icos)n=sinn+icosn，那么这样的 n 有多少个？解 由题设得)2sin()2cos()2sin()2(cos)2sin()2cos(nininin，所以 n=4k+1.又因为 0n2000，所以 1k500，所以这样的 n 有 500 个。4*【常考】二项式定理的应用。例 5 计算：（1）100100410021000100CCCC；（2）99100510031001100CCCC 解 (1+i)100=(1+i)250=(2i)50=-250,由二项式定理(1+i)100=10010010099991002210011000100iCiCiCiCC=100100410021000100(CCCC)+(99100510031001100CCCC)i，比较实部和虚部，得100100410021000100CCCC=-250，99100510031001100CCCC=0。5复数乘法的几何意义。例 6 以定长线段 BC为一边任作ABC，分别以 AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作等腰直角ABM、等腰直角ACN。求证：MN的中点为定点。证明 设|BC|=2a，以 BC中点 O为原点，BC为 x 轴，建立直角坐标系，确定复平面，则 B，C对应的复数为-a,a,点 A，M，N对应的复数为 z1,z2,z3,azBAazCA11,，由复数乘法的几何意义得：)(13aziazCN，)(12aziazBM，由+得 z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设 MN的中点为 P，对应的复数 z=aizz232,为定值，所以 MN的中点 P 为定点。例 7 设 A，B，C，D为平面上任意四点，求证：AB AD+BC AD AC BD。证明 用 A，B，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因为|A-B|C-D|+|B-C|A-D|(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|C-D|+|B-C|A-D|A-C|B-D|,“=”成立当且仅当)()(DCCBArgADABArg，即)()(CDCBArgABADArg=，即 A，B，C，D共圆时成立。不等式得证。6复数与轨迹。例 8 ABC的顶点 A表示的复数为 3i，底边 BC在实轴上滑动，且|BC|=2，求ABC的外心轨迹。解 设外心 M对应的复数为 z=x+yi(x,yR)，B，C点对应的复数分别是 b,b+2.因为外心 M是三边垂直平分线的交点，而 AB的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点 M 对应的复数 z 满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去 b 解得).34(62yx 所以ABC的外心轨迹是轨物线。7复数与三角。例 9 已知 cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，求证：cos2+cos2+cos2=0。证明 令 z1=cos+isin,z2=cos+isin,z3=cos+isin，则 z1+z2+z3=0。所以.0321321zzzzzz又因为|zi|=1,i=1,2,3.所以 ziiz=1，即.1iizz 由 z1+z2+z3=0 得.0222133221232221zzzzzzxxx 又.0)(111321321321321132321zzzzzzzzzzzzzzzzzz 所以.0232221zzz 所以 cos2+cos2+cos2+i(sin2+sin2+sin2)=0.所以 cos2+cos2+cos2=0。例 10 求和：S=cos200+2cos400+18cos18200.解 令 w=cos200+isin200,则 w18=1，令 P=sin200+2sin400+18sin18 200,则S+iP=w+2w2+18w18.由 w 得 w(S+iP)=w2+2w3+17w18+18w19，由 -得(1-w)(S+iP)=w+w2+w18-18w19=1918181)1(wwww，所以 S+iP=iww23219118，所以.29S 8复数与多项式。例 11 已知 f(z)=c0zn+c1zn-1+cn-1z+cn是 n 次复系数多项式(c00).求证：一定存在一个复数 z0,|z0|1，并且|f(z0)|c0|+|cn|.证明 记 c0zn+c1zn-1+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，则方程 g(Z)-c0ei=0为 n 次方程，其必有 n 个根，设为 z1,z2,zn，从而 g(z)-c0ei=(z-z1)(z-z2)(z-zn)c0，令 z=0得-c0ei=(-1)nz1z2znc0，取模得|z1z2zn|=1。所以 z1,z2,，zn中必有一个 zi使得|zi|1,从而 f(zi)=g(zi)+cn=c0ei=cn，所以|f(zi)|=|c0ei+cn|=|c0|+|cn|.9.单位根的应用。例 12 证明：自O上任意一点 p 到正多边形 A1A2An各个顶点的距离的平方和为定值。证明 取此圆为单位圆，O为原点，射线 OAn为实轴正半轴，建立复平面，顶点 A1对应复数设为ine2，则顶点 A2A3An对应复数分别为2，3，n.设点 p 对应复数 z,则|z|=1,且=2n-nkkknkkknkknkkzzzzzpA111212)2()(|=2n-.221111nzznzznkknkknkknkk命题得证。10复数与几何。例 13 如图 15-2 所示，在四边形 ABCD 内存在一点 P，使得PAB，PCD都是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点 Q，使得QBC，QDA 也都是以 Q为直角顶点的等腰直角三角形。证明 以 P 为原点建立复平面，并用 A，B，C，D，P，Q表示它们对应的复数，由题设及复数乘法的几何意义知 D=iC,B=iA；取iiBCQ1，则 C-Q=i(B-Q)，则BCQ为等腰直角三角形；又由 C-Q=i(B-Q)得)(QiAiQiD，即 A-Q=i(D-Q)，所以ADQ 也为等腰直角三角形且以 Q为直角顶点。综上命题得证。例 14 平面上给定A1A2A3及点 p0，定义 As=As-3,s 4，构造点列 p0,p1,p2,使得 pk+1为绕中心 Ak+1顺时针旋转 1200时 pk所到达的位置，k=0,1,2,若 p1986=p0.证明：A1A2A3为等边三角形。证明 令 u=3ie，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面为复平面，则p1=(1+u)A1-up0,p2=(1+u)A2-up1,p3=(1+u)A3-up2,u2+(-u)得 p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w为 与 p0无 关的 常 数。同 理 得p6=w+p3=2w+p0,p1986=662w+p0=p0，所以 w=0，从而 A3-uA2+u2A1=0.由 u2=u-1 得 A3-A1=（A2-A1）u，这说明A1A2A3为正三角形。三、趋近高考【必懂】1.(2009 年广东卷文)下列 n 的取值中，使ni=1(i 是虚数单位）的是 （）A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5【解析】因为41i,故选 C.答案 C 2.（2009 广 东 卷 理）设z是复数，()a z表示满足1nz的最小正整数n，则对虚数单位i，()a i （）A.8 B.6 C.4 D.2【解析】()a i 1ni，则最小正整数n为 4，选 C.答案 C 3.（2009 浙江卷理）设1zi（i是虚数单位），则22zz ()A1i B1i C1i D 1i 【解析】对于2222(1)1211ziiiizi 答案 D 4.（2009 浙江卷文）设1zi（i是虚数单位），则22zz （）A1i B1i C1i D1i【解析】对于2222(1)1211ziiiizi 答案 D 5.（2009 北京卷理）在复平面内，复数(12)zii对应的点位于 （）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解析】(12)22ziiiii ，复数z所对应的点为2,1，故选 B.答案 B 6.(2009山东卷理)复数31ii等于 （）Ai21 B.12i C.2i D.2i 【解析】:223(3)(1)324221(1)(1)12iiiiiiiiiii,故选 C.答案 C 7.(2009山东卷文)复数31ii等于 （）Ai21 B.12i C.2i D.2i 【解析】:223(3)(1)324221(1)(1)12iiiiiiiiiii,故选 C.答案 C 8.（2009 全国卷理）已知1iZ=2+i,则复数 z=（）（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i【解析】(1)(2)13,13ziiizi 故选 B。答案 B 9.（2009 安徽卷理）i 是虚数单位，若17(,)2iabi a bRi，则乘积ab的值是()（A）15 （B）3 （C）3 （D）15【解析】17(17)(2)1325iiiii，1,3,3abab，选 B。答案 B 10.（2009 安徽卷文）i 是虚数单位，i(1+i)等于 （）A1+i B.-1-i C.1-i D.-1+i【解析】依据虚数运算公式可知21i可得(1)1iii，选 D.答案 D 11.（2009 江西卷理）若复数2(1)(1)zxxi为纯虚数，则实数x的值为（）A1 B0 C1 D1或1【解析】由210110 xxx 故选 A 答案 A 12.(2009湖北卷理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和 n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为 （）A、13 B、14 C、16 D、112【解析】因为22()()2()mninmimnnmi为实数 所以22nm故mn则可以取 1、2 6，共 6 种可能，所以1166616PCC 答案 C 13.（2009 全国卷理）10i2-i （）A.-2+4i B.-2-4i C.2+4i D.2-4i【解析】：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i.故选 A.答案 A 14.（2009 辽宁卷理）已知复数12zi，那么1z=（）（A）52555i （B）52555i （C）1255i （D）1255i【解析】211121212(12)(12)12iiiiiz1255i 答案 D 15.（2009 宁夏海南卷理）复数32322323iiii （）（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2 【解析】32322323iiii 32233223262131313iiiiii,选 D 答案 D
