2023年复变函数作业超详细解析超详细解析答案部分.pdf
作业一 一、判断（对的用 T 表示，错的用 F 表示）1、如果0()fz存在，那么()f z在0z解析。（F ）2、nLn znLnz。（T ）3、当且仅当z为实数时，ze为实数。（F ）4、设()f zuiv 在区域D内是解析的，如果u是实常数，那么()f z在整个D内是常数；如果v是实常数，那么()f z在D内也是常数。（T）二、填空 1、13Re2ni=；13Im2ni=。2、设是 1 的n次根，1，则211n =0 。3、在映射2z下，扇形区域0arg,14zz的像区域为 。4、若 11nnii，则n=122cosh()4nni。三、计算 1、计算下列函数值：1）niLe；2）34i。2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？1）1z；2）2222xyxixyy 。解：1）显然 z=0 时，函数不连续。()2()21122112232111()(0,1)0()cos()sin()22 cos()sin()22 cos()*sin()22(,)cos(),(,)sin()221()cos(2iikiikrrf zekrzrerekrrf zirrrrirrri ru rrv rrur 令z=re当11)*cos()2221sin()*2211*sin()221cos()*22-111*cos()cos()*2222111sin()*sin()22221,20,010rrrrrurrvrrrvrrrrrrrrrrrrzzkz 由柯西 黎曼定理：解得为任意值处处可导，可微（解析），在时均为解析函数同理：时，000.zzz，处处可导，可微（解析），在时均为解析函数.故题中所求函数，处处可导，可微（解析），在时均为解析函数 计算计算下列函数值下列函数在复平面上何处可导何处解析解显然时函数不连续由柯西黎曼定理当令处处可导可微解函数解得为任意值函数是否为解析函数求出其导数已知求解计算积分解四证明若积分路径不经过则五证明设是的共轭区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时展开式的系数都是实数在圆环区域内不能展开成罗朗级数是二 2）3、函数2322()2f zxyx y i是否为解析函数？求出其导数。4、已知222371(),:3Cf zdC xyz，求 1fi。解：22371()2371Cf zdizzz()2(67)(1)26 13fzizfii 5、计算积分 1）2311zzdzz z；2）21 1sin41zzdzz；3）12121zzedzz z；4）231 32zdzzz。解：1)2)3)1122212sin1cos1zzz iz izz iez ziedzdzziz zeiz zii计算计算下列函数值下列函数在复平面上何处可导何处解析解显然时函数不连续由柯西黎曼定理当令处处可导可微解函数解得为任意值函数是否为解析函数求出其导数已知求解计算积分解四证明若积分路径不经过则五证明设是的共轭区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时展开式的系数都是实数在圆环区域内不能展开成罗朗级数是二 4)四、证明：若积分路径不经过i，则120,14dzkkz。五、证明：设v是u的共轭调和函数，问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？判断并给出理由：1）,AuBv BuAv（,A B为常数）；2）22,uvuv。计算计算下列函数值下列函数在复平面上何处可导何处解析解显然时函数不连续由柯西黎曼定理当令处处可导可微解函数解得为任意值函数是否为解析函数求出其导数已知求解计算积分解四证明若积分路径不经过则五证明设是的共轭区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时展开式的系数都是实数在圆环区域内不能展开成罗朗级数是二作业二 一、判断 1、0(2)nnnaz在 z=0 收敛，在 z=3 发散。（F）2、在区域zR内解析，且在区间（-R，R）取实数值的函数 f(z)展开成 z 的幂级数时，展开式的系数都是实数。（T）3、1tanz在圆环区域0(0)zRR 内不能展开成罗朗级数。（F）4、z=0 是1tan()zf ze的本性奇点。（T）二、填空 1、0(1)nnniz的收敛半径为 。2、22sinzez展开成 z 的幂级数的收敛半径=。3、z=0 是()sintanf zzz的 3 级零点。4、(),()f zg z以 z=a 为 m 级和 n 级极点，则 z=a 为()()f z g z的 m+n 级 极 点。三、计算 1、求21z在01z 处的泰勒展开式。解：22计算计算下列函数值下列函数在复平面上何处可导何处解析解显然时函数不连续由柯西黎曼定理当令处处可导可微解函数解得为任意值函数是否为解析函数求出其导数已知求解计算积分解四证明若积分路径不经过则五证明设是的共轭区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时展开式的系数都是实数在圆环区域内不能展开成罗朗级数是二2、求11:2nnzz 解：3、求23()124f zzzz 在 z=1 处的泰勒展开式。4、将21()()f zzzi在以i为中心的圆环域内展开为罗朗级数。1001202nnnnnnzdzzdzzdzzdzzii计算计算下列函数值下列函数在复平面上何处可导何处解析解显然时函数不连续由柯西黎曼定理当令处处可导可微解函数解得为任意值函数是否为解析函数求出其导数已知求解计算积分解四证明若积分路径不经过则五证明设是的共轭区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时展开式的系数都是实数在圆环区域内不能展开成罗朗级数是二四、若()f z为整函数，且()lim()max()nrzrM rM rf zr，则()f z是不高于 n 次的多项式。证明：()f z在 z=0 处的幂级数展开式为：0(),nnnf za z其中：()1|11|()0(0)1()!21|()|()()|2|2()()1|=*()1|li0)m(0limnnnzrnnnnzrini niini nriirnif za zff zadznizf zM rM radzzrrM rM rinrrrM rarrn 故时，有为次数不超|a过a的多项式计算计算下列函数值下列函数在复平面上何处可导何处解析解显然时函数不连续由柯西黎曼定理当令处处可导可微解函数解得为任意值函数是否为解析函数求出其导数已知求解计算积分解四证明若积分路径不经过则五证明设是的共轭区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时展开式的系数都是实数在圆环区域内不能展开成罗朗级数是二作业三 一、判断题（对的用“T”表示，错的用“F”表示）1、若()f z在区域D内单叶解析，则在D内()0fz。（F）2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线。（T）3、解析函数具有保形性。（F）4、函数在可去奇点处的留数为 0。（F）二、填空题 1、方程6426210zzz 在单位圆内有 4 个根。2、i关于1zi 的对称点为 。3、21(),:2(1)(5)(43)f zCzzzzi，则arg()Cf z=4。4、5z在点1zi 处的旋转角为 ，伸缩率为 。三、计算题 1、49(1)(2)(48)(50)zdzzzzz 解：根据无穷远点处留数的性质得|49|2212(1)(2)(48)(50)1Re (),1Re (),2)Re (),482Re (),1Re (),2)Re (),48Re (),50Re (),5011Re (),0Re (),50Re(1)(12)(14zdzizzzzz is f zs f zs f zis f zs f zs f zs f zs f zs fs f zz zzszz1,0Re 8)(150)(1)(2)(48)(50)10(501)(502)(5048)14704szzzzzz 计算计算下列函数值下列函数在复平面上何处可导何处解析解显然时函数不连续由柯西黎曼定理当令处处可导可微解函数解得为任意值函数是否为解析函数求出其导数已知求解计算积分解四证明若积分路径不经过则五证明设是的共轭区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时展开式的系数都是实数在圆环区域内不能展开成罗朗级数是二2、204sind 解：3、2sin16xxdxx 4、求把z平面的单位圆变为平面的单位圆，并使 1 成为不动点，使 1 i变为无穷远点的线性变换()L z。解：122112112122221212 4142441,2 2lim()()4414224141zzzzdzdzIzizzizizzizzizzzzziii 111,0,11111,111111121112iiiizieziiziiiz izaeza计算计算下列函数值下列函数在复平面上何处可导何处解析解显然时函数不连续由柯西黎曼定理当令处处可导可微解函数解得为任意值函数是否为解析函数求出其导数已知求解计算积分解四证明若积分路径不经过则五证明设是的共轭区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时展开式的系数都是实数在圆环区域内不能展开成罗朗级数是二5、求把z平面的单位圆1z 变为平面的单位圆1的线性变换()L z，使110,arg33LL 。计算计算下列函数值下列函数在复平面上何处可导何处解析解显然时函数不连续由柯西黎曼定理当令处处可导可微解函数解得为任意值函数是否为解析函数求出其导数已知求解计算积分解四证明若积分路径不经过则五证明设是的共轭区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时展开式的系数都是实数在圆环区域内不能展开成罗朗级数是二
