2021-2022学年江苏省南通市海安市高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

2021-2022学 年 江 苏 省 南 通 市 海 安 市 高 一 下 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 1.设 集 合 A=x|-5姿 2,B=x|x+3|3,贝 ij A u B=()A.-5,0)B.(-6,2 C.(一 6,0)D.-5,2)B【分 析】解 出 集 合 B,由 集 合 的 并 集 运 算 求 解 即 可.【详 解】解：由 次+3|3可 得-3 X+3 3,解 得-6 X 0,所 以 B=X|-6 X 0,所 以 AUB=-5 M x 4 2。x|-6 x 0=x|-6 c a B.b a c c.c b a D.c a bA【分 析】根 据 对 数 函 数 的 单 调 性 及 指 数 函 数 的 单 调 性 可 得 结 论.a=log1 3 ln e=l,0 c=e 2所 以 a c b.故 选：A.4.已 知 正 三 棱 锥 的 底 面 边 长 为 4,高 为 2,则 该 三 棱 锥 的 表 面 积 是()A.46 B.6也 C.8行 D.126D【分 析】画 出 图 形，求 出 底 面 积 和 侧 面 积，即 可 求 出 三 棱 锥 的 表 面 积.【详 解】如 图，正 三 棱 锥 0-1 8 C 中，0M=2,取 5 c 的 中 点，连 接/M 0 N,M N=-A N则/在/N 上，且 3,又 AB=4,BN=2,所 以 4N=5/42-2?=2 百,M N=-A N=ON=y/OM2+M N2=所 以 3 3,则 3,S f)Rr=-B C x O N=,S.J B C X AN=4 百 所 以 B C 2 3 B C 2 x3+4/3=12V3故 三 棱 锥 的 表 面 积 为 3故 选：Da+b=a-b=-忖 5.已 知 向 量 3满 足 3 I I5兀 2 7 1A.6 B.3则 万+B,万=(7 1C.3)7 1D.6D【分 析】对：+川=|1 两 边 平 方 求 得 7 5=0,进 而 利 用 1 5+涓 且,+5）2+万.2+0 列 出 方 程，求 出 8 s+=E,结 合 尻 屣，兀,求 出 答 案.【详 解】a+b=a-bt两 边 平 方 得：-立 2-+2 2*2 即 Q+2a b+b=a-2a b t b,所 以/)=(),(a+ty a=B+斗 同 cos1+5,1=y-|a|2 cos2+5,0而 伍+5z=/+必 5=/+0=/2宜 3|方 cos酉+5,万=|请 cosa+b,a=-所 以 3 门,所 以 2因 为 G+尻 5e0,7i；所 以 a 6故 选：D6.已 知 於)是 定 义 域 在 R 上 的 奇 函 数，且 满 足 r+2)=/G+2),则 下 列 结 论 不 正 确 的 是()A./(4)=0 B.y=/(x)的 图 象 关 于 直 线 x=l 对 称 C./(x+8)=x)D.若/(-3)=1,则/(2021)=一 1B【分 析】根 据 奇 函 数 性 质，令 x=-2,即 可 判 断 A 的 正 误；根 据 函 数 的 对 称 性，可 判 断 B 的 正 误：根 据 奇 函 数 及 对 称 性，整 理 可 判 错 C 的 正 误；根 据 函 数 周 期 性，可 判 断 D 的 正 误，即 可 得 答 案.【详 解】对 于 A：因 为 人 制 是 定 义 域 在 R 上 的 奇 函 数，所 以 0)=。，又/(-x+2)=/(x+2),令 x=-2代 入 可 得 4)=/(0)=0,故 A 正 确；对 于 B：因 为 T+2)=/(X+2),所 以 x)图 象 关 于 x=2对 称，无 法 确 定 是 否 关 于 直 线 x=l 对 称，故 B 错 误；对 于 C：因 为“X)为 奇 函 数，所 以/(x+2)=f(-x+2)=-f(x-2),所 以/(x+4)=贝”(x+8)=-/(x+4)=/(x),故 c 正 确；对 于 D：由 C 选 项 可 得，/(X)的 周 期 为 8,所 以/(2021)=/(253 x 8-3)=/(-3)=-1,故 D 正 确；故 选：B7.一 个 表 面 被 涂 上 红 色 的 棱 长 为 cm(/73,WN)的 立 方 体，将 其 适 当 分 割 成 棱 长 为 1cm的 小 立 方 体，从 中 任 取 一 块，则 恰 好 有 两 个 面 是 红 色 的 概 率 是()8A.12(-2)6(-2)2(“-2)3B./C./D.B【分 析】首 先 确 定 共 分 割 的 块 数，以 及 满 足 条 件 的 块 数，再 求 概 率.【详 解】由 条 件 可 知，共 有/块，两 个 面 的 交 界 处 的 中 间 部 分 是 两 个 面 是 红 色，每 一 个 交 界 处 有-2块，共 有 1 2个 交 界，则 两 个 面 是 红 色 的 有 12（-2）块，所 以 概 率 2（丁）故 选：B8.在 中，角 力,B,C 所 对 应 的 边 分 别 为。，b,c,若=8,sin8+2 sin C c o s/=0,则 A/8 C 面 积 的 最 大 值 为（）A.1 B.3 C.2 D.4C 分 析】根 据 sin B+2 sin Ceos A=0利 用 三 角 恒 等 变 换 和 正 余 弦 定 理 得 到 2b2=a2-c再 根 据 余 弦 定 理 和 基 本 不 等 式 可 得 cosB的 范 围，由 此 得 8 的 范 围，从 而 得 到 sin S的 S ARC=cicsinB最 大 值，从 而 根 据 2 可 求 4 8 C 面 积 的 最 大 值.【详 解】sinB+2sinCcosN=0,sin（4+C）+2sinCcos4=0即 sin A cos C+cos J sin C+2 sin C cos A=0 f即 sirt4cosC+3cos sinC=0,/+/_,2/+c 2 _/a-+3 x-xc=0则 2ab 2bc整 理 得 2=/-/,Da2+c2-b21+/cosB=-=-lac2 2a-c2 _ a2lac+3c2 2y/3ac _y/3，4ac 4ac 2,当 且 仅 当=3c2Q C=知=府、时 取 等 号,1f JI I.B E 0,sin84 1 6 22S,Rr=-acsirLS x8x=2则 2 2 2故 选：C.二、多 选 题 9.按 先 后 顺 序 抛 三 枚 质 地 均 匀 的 硬 币，则（）A.第 一 枚 正 面 朝 上 的 概 率 是 B.“第 一 枚 正 面 朝 上”与“三 枚 硬 币 朝 上 的 同”是 相 互 独 立 的 C.“至 少 一 枚 正 面 朝 上”与“三 枚 硬 币 正 面 都 朝 上”是 互 斥 的 D.“至 少 一 枚 正 面 朝 上”与“三 枚 硬 币 反 面 都 朝 上”是 对 立 的 BD【分 析】对 A,根 据 单 独 一 枚 硬 币 正 面 朝 上 的 概 率 判 断 即 可；对 B,根 据 相 互 独 立 事 件 公 式 判 断 即 可：对 C,根 据 两 事 件 是 否 能 同 时 发 生 判 断 即 可；对 D,根 据 对 立 事 件 的 定 义 判 定 即 可；【详 解】对 A,第 一 枚 正 面 朝 上 的 概 率 是 万，故 A 错 误；对 B,第 一 枚 正 面 朝 上 的 概 率 2,三 枚 硬 币 朝 上 的 同 的 概 率-1 1 1 1“小 1 1 1 1W=2 x-x-x-=-又 尸（居）=5*/5=1 因 为 尸（48）=P（N）尸（8）,故“第 一 枚 正 面 朝 上”与“三 枚 硬 币 朝 上 的 同”是 相 互 独 立 的，故 B 正 确;对 C,“至 少 一 枚 正 面 朝 上”与“三 枚 硬 币 正 面 都 朝 上“可 能 同 时 发 生，不 是 互 斥 的，故 C错 误；对 D,“至 少 一 枚 正 面 朝 上”与“三 枚 硬 币 反 面 都 朝 上”是 对 立 的，故 D 正 确；故 选：BD10.下 列 说 法 正 确 的 是（）A.用 简 单 随 机 抽 样 的 方 法 从 含 有 50个 个 体 的 总 体 中 抽 取 一 个 容 量 为 5 的 样 本，则 个 体 用 被 抽 到 的 概 率 是 0.1B.数 据 27,12,14,30,15,17,19,23 的 第 70 百 分 位 数 是 23C.一 组 数 据 1,2,3,3,4,5 的 众 数 大 于 中 位 数 D.甲、乙、丙 三 种 个 体 按 3：1：2 的 比 例 分 层 抽 样 调 查，若 抽 取 的 甲 种 个 体 数 为 9,则 样 本 容 量 为 18ABD【分 析】对 于 A：统 计 抽 样 中 每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 为 样 本 容 量 与 总 体 容 量 的 比 值；对 于 B：将 8个 数 据 按 从 小 到 大 顺 序 排 列，找 到 第 70百 分 位 数 的 位 置，再 利 用 第 p 百 分 位 数 的 定 义 可 得；对 于 C：易 知 本 组 数 据 的 众 数 和 中 位 数 均 3,则 C 错 误；对 于 D：根 据 甲 种 个 体 在 样 本 中 的 比 例 和 被 抽 到 的 个 数 不 难 得 到 样 本 容 量.【详 解】对 于 A：统 计 抽 样 中 每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 为 样 本 容 量 与 总 体 容量 的 比 值，易 知 A 正 确；对 于 B：将 8 个 数 据 按 从 小 到 大 顺 序 排 列 12,14,15,17,19,23,27,30,第 70百 分 位 数 的 位 置 为 870%=5.6,则 第 70百 分 位 数 为 第 6 个 数 23,则 B 正 确;对 于 C：本 组 数 据 的 众 数 和 中 位 数 均 为 3,所 以 C 错 误；对 于 D：根 据 统 计 知 识 可 知 甲 种 个 体 在 样 本 中 所 占 比 例 为 3+1+2 2,所 以 样 94-1=18本 容 量 为 2,则 D 正 确.故 选：ABD.U 己 知 向 量 Q=(sin G X,0),函 数/从 电 则（）P MA.若 人 x）的 最 小 正 周 期 为 乃，则 人）的 图 象 关 于 点 I 8 J对 称/1B.若 的 图 象 关 于 直 线”一 5 称，则/可 能 为 万 C.若/在 L 5 6 上 单 调 递 增，则 I 2JD.若 负 x）的 图 象 向 左 平 移 3 个 单 位 长 度 后 得 到 一 个 偶 函 数 的 图 象，则 a）的 最 小 值 为 2BC【分 析】首 先 化 简 函 数/（X）,再 根 据 三 角 函 数 的 周 期，对 称，单 调 性，以 及 图 象 平 移,即 可 判 断 选 项.+COS69X-COS2smcox+COS CDX1+COS(OXl+sin69x 1+cos coxsin cox-+cos cox J yA）=Sin Z.X n i x=A.若 函 数 的 最 小 正 周 期 为 乃，则。=2,即 2 I 4J 2,当“8 时,2x+=7t f(x)=8 4，此 时、,2,所 以 函 数 关 于 34 18 2对 称，故 A 错 误;nB.若 函 数 的 图 象 关 于 直 线 2 对 称，则 7 C 7 TCO-1 2 47t f=+k兀 21 c o=+2kkw Z,得 2k e Z,所 以。的 可 能 为 5,故 B 正 确;X G2乃 兀 C.当 5 6 时,兀 a)x+e427r 7 C 4 7 T-G+,G+一 5-4 6 4，则 2万 兀、冗-O+N-5 471 71,716 4a)022,解 得:30 69 2,故 C 正 确;71D.函 数/G）的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 长 度 后 得 到 8（X）=冬 皿 X+71+7 T41+27 T 7T T V 3co+-=-+k7r,kZ a)=-+3k函 数 g(3 是 偶 函 数，则 当 X=时，3 4 2，得 4,k e Z,3且。0,所 以。的 最 小 值 是 4,故 D 错 误.故 选：BC1 2.如 图 1所 示，在 边 长 为 4 的 正 方 形 N8CZ）中，E,尸 分 别 为 8C,8 的 中 点，将 和 E F C分 别 沿/E,/户 及 E F所 在 的 直 线 折 起，使 8,C,。三 点 重 合 于 点 P,得 到 三 棱 锥 P-ZE尸 如 图 2 所 示），设 M 为 底 面 4E尸 内 的 动 点，则（）2B.二 面 角 P-E F-A 的 余 弦 值 为 32&C.直 线 总 与 EW所 成 的 角 中 最 小 角 的 余 弦 值 为 3D.三 棱 锥 P-/E F 的 外 接 球 的 表 面 积 为 24兀 ACD【分 析】根 据 线 面 垂 直 可 判 断 线 线 垂 直，故 可 判 断 A,根 据 二 面 角 的 几 何 求 法 即 可 求 解,根 据 线 面 角 是 直 线 与 平 面 内 的 直 线 所 成 角 的 的 最 小 角 即 可 求 解 C,三 棱 锥 的 外 接 球 与 长 方 体 的 外 接 球 相 同，根 据 长 方 体 的 外 接 球 半 径 即 可 求 解.【详 解】根 据 题 意，APVPF,APLPE,PE C P F=P,PE,P F u 平 面 P E F,故/尸，平 面 尸 E尸，E F u 平 面 PE尸，故 故 A 正 确；取 N 为 E F 中 点、,又 AF=AE=2亚，所 以/N L E 尸 又 PF=PE=2,故 三 角 形 P E F 为 等 腰 三 角 形，连 接 尸 N,则 尸 N L E F,根 据 二 面 角 的 定 义，显 然/N尸 即 为 所 求 二 面 角,PN=-E F=/2在 三 角 形 尸 附 中，2AN=NAF-FN2=3五,又/尸=4,、，c AN2+NP2-AP2 1cos 乙 ANP=-=-故 2AN-NP 3,故 二 面 角 N-E F-尸 的 余 弦 值 为 3,则 B 错 误；设 点 尸 到 平 面 4 E F 的 距 离 为，P A 与 平 面 A E F 所 成 的 角 为。,由 平 面 尸 EF,1P-AEF=匕-PEF=S“F=?所-PA,故)x2x2x4272x372sin0=因 此 P4 3,因 43为 E M u 平 面 A E F，故 8 是 P A 与 平 面 A E F 内 的 所 有 直 线 所 成 的 最 小 的 角，故 cos0=V1-sin2 0=3,故 C 正 确 因 为/M,P E,尸 尸 两 两 垂 直，故 三 棱 锥 P-/E尸 的 外 接 球 半 径 和 长 宽 高 分 别 为 2,2,4的 长 方 体 的 外 接 球 半 径 相 等,i+2 3故 其 外 接 球 半 径 2,故 外 接 球 表 面 积$=4兀 叱=24几，故 D 正 确 故 选：ACD三、填 空 题 13.若 数 据 3x/2,3x22,，3x”一 2 的 方 差 为 18,则 数 据 x”为，制。的 方 差 为.2【分 析】根 据 方 差 的 性 质 公 式，即 可 求 解.【详 解】设 数 据,，到，o的 方 差 为 s,则 数 据 3,2,3 X22,.3%/。-2 的 方 差 为 9s，根 据 条 件 可 知 9s2=1 8,得=2.故 21 4.如 图，已 知 菱 形 Z8CD的 边 长 为 1,NDAB=60,DE=EC,DF=2FB 则 1 312【分 析】根 据 已 知 建 立 直 角 坐 标 系，求 出 相 关 点 的 坐 标，再 利 用 向 量 的 数 量 积 的 坐 标 运 算 公 式 即 可 求 解.【详 解】以 A为 坐 标 原 点，建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系，D F=9=（1,一），）设 尸 G M,则 I 2 2）,因 为 而=2而，所 以=2（I,_ y）所 以 AE-A F=5 G 百 13x H-x-=一 6 2 6 1213故 答 案 为.121 5.如 图 是 古 希 腊 数 学 家 希 波 克 拉 底 研 究 的 几 何 图 形，此 图 由 三 个 半 圆 构 成，直 径 分 别 为 直 角 三 角 形 8 C 的 斜 边 N 8,直 角 边 8 C、/C,点。在 以/C 为 直 径 的 半 圆 4cos/.DAB=-上.已 知 以 直 角 边 N C、8 c 为 直 径 的 两 个 半 圆 的 面 积 之 比 为 3,5,则 cos Z.DAC=4/3+310AC _【分 析】由 以 直 角 边“C、8 c 为 直 径 的 两 个 半 圆 的 面 积 之 比 为 3,可 得 正 一-，进 ZBAC=-而 可 得 6,从 而 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 即 可 求 解.【详 解】解：因 为 以 直 角 边 4 C、8 c 为 直 径 的 两 个 半 圆 的 面 积 之 比 为 3,所 以 八 ZBAC=-所 以 在 直 角 三 角 形 S C 中 6,4 3cos Z.DAB-sin Z.DAB=因 为 5,所 以 5,所 以 cos ADA C=cosf NDAB-|=cos ZDAB cos-+sin ZDAB s i n-=-x+-x-=43+3I 6)6 6 5 2 5 2 104 G+3故 答 案 为.io16.有 如 下 解 法 求 棱 长 为 及 的 正 四 面 体 8D4/G的 体 积：构 造 一 个 棱 长 为 1的 正 方 体 A B C D-A B G D i，我 们 称 之 为 该 正 四 面 体 的”生 成 正 方 体”（如 图 一），正 四 面 体 B D A Q 的 体 积/四 面 体 鹏=VA B C D-A C A-ABD-一%-D-A DX 一 个 对 棱 长 都 相 等 的 四 面 体，通 常 称 之 为 等 腰 四 面 体，已 知 一 个 等 腰 四 面 体 的 对 棱 长 分 别 4 屈，屈（如 图 二），则 该 四 面 体 的 体 积 为.【分 析】根 据 条 件，结 合“生 成 长 方 体”的 特 征，即 可 求 解.【详 解】设 等 腰 四 面 体 的“生 成 长 方 体”的 长，宽，高，分 别 是 a，由 条 件 可 知，a2+b2=5 a2+c2=10从+。2=13,解 得：a=i力=2,C=3,K=l-2-3-4-l-2-3=2所 以 该 四 面 体 的 体 积 3 2故 2四、解 答 题 17.如 图，在 四 棱 链 中，底 面/8 C D 为 矩 形，ABCD,M,N 分 别 为 棱 4B,P C 的 中 点，求 证：(1)MN 平 面 PAD.Q)MNLCD.(1)证 明 见 解 析(2)证 明 见 解 析【分 析】(1)要 证 明 线 面 平 行，可 转 化 为 证 明 线 线 平 行，取 P D 的 中 点 E,证 明 四 边 形 是 平 行 四 边 形；(2)根 据 平 行 关 系 转 化 为 证 明 C C/I E,即 证 明 C O,平 面 PAD.【详 解】(1)取 尸。的 中 点 及 连 接 AE,EN.DC nc EN=-C D因 为 N 分 别 是 尸。，尸 C 的 中 点，所 以 EN CD且 2,，/*-c 4 M=CD又 因 为 加 是 月 8 中 点，所 以 且 2,所 以 4 M EN 且 4 M=EN,所 以 四 边 形/M N E是 平 行 四 边 形，所 以 M N AE.因 为 M N 0 平 面 尸 4。，/石 匚 平 面 4。，所 以 平 面 尸 4)Q 因 为 产 工，平 面 4 8 C Z),所 以/,C Z),又 CD,且 尸 Z c/O=N,所 以。工 平 面 4，/E u 平 面 尸/。，所 以 CO_LZE,又 因 为 M N AE,所 以 C O,M N.asin S=/sinj A+j b sin+(=a sin B1 8.在 2 asm 8=b t a n/,1 3九 2 这 三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 下 面 问 题 中，并 进 行 解 答.问 题：在 A/8 C 中，角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,且.(1)求 角 A；(2)若 角 A 的 平 分 线 长 为 1,且 6c=4,求 A/B C 外 接 圆 的 面 积.注：如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.7 1（1）5 12万【分 析】（1）若 选：根 据 题 意 边 角 转 化 得：2 sin/sin 3 c o sZ=s i n/s i n 8,再 求 解 即 1.D G 一 sinNsinB=-cos sin 5可；若 选：根 据 题 意 边 角 转 化 得：2 2,再 求 解 即 可；若 选 冗 一 4 4b sin-=。sin 5 sin B cos=sin 4 sin B：根 据 题 意 得：2，即 2，即 力 A Asin 8 cos=2 sin cossin B2 2 2 再 求 解 即 可；（2）根 据 题 意 得：1 0 1 6 卜 _ b H c=be+S”CD=S.c,即 4 4 4，再 利 用 余 弦 定 理 求 出“，再 利 用 正 弦 定 理 求 出 外 接 圆 半 径 即 可 求 解.【详 解】若 选：在 8 C 中，因 2asin8=6 ta n Z,._ s in/2asm B=b-所 以 cos A,即 2Qsin8cosZ=bsin4,由 正 弦 定 理 可 得，2 sin 4 sin 8 cos 4=sin力 sin 8,又 因 为 A,8 w（0，所 以 s in Q O,s in 5 0,1.7tcos A=-A=所 以 2,则 3,a sin 8=b sin?1+|若 选：在“8 C 中，因 V 3；,a si n B n 百/=b sin/lH-cos?!所 以 一 2 2I 5/sin 4 sin B=sin 为 sin B+cos A sin B由 正 弦 定 理 可 得，2 2,sin J sin B=cos/（sin 5所 以 2 2又 因 为 8 e（0，%）,所 以 s i n 8 0,所 以 tan/二 百，则 一 3,bsin+=a s in 8 fesin=asin 3若 选：在 A/8 C 中，因 为 2，所 以 2/Ahcos=a sin 8 sin Seos=sin sin5所 以 2,由 正 弦 定 理 可 得，2,A.A An。、c o s-=sin J sin J=2 sincos又 因 为 2 e（Z）,所 以 s i n 8 0,所 以 2，又 2 2,c=2 s i c 一。、4即 2 2 2,又“C O）,所 以 2（0,一）cos 02,所 以 2sinW-L 所 以 涧 万 一 2,又 因 为 工（，万），所 以 5 一 彳，则 A=-3,(2)因 为 角 A 的 平 分 线 为，又 伸,+S“s=S“Be,所 以；x 6 x x sin 30+；x c x|/必 x sin 30=；x b x c x sin 601，,1=储 即 4 4-4 C,即(b+c)=c=4VJ,乂=+。2-2bccosA=(b+c)2-3bc=36,2R=二=4 百 sin A y/3所 以”=6,所 以 2，即 氏=2 6，故 A/8 C 外 接 圆 的 面 积 S=7r*=12万，19.北 京 时 间 2022年 6 月 5 日，搭 载 神 舟 十 四 号 载 人 飞 船 的 长 征 二 号 厂 遥 十 四 运 载 火 箭，在 酒 泉 卫 星 发 射 中 心 点 火 发 射，约 577秒 后，神 舟 十 四 号 载 人 飞 船 与 火 箭 成 功 分 离，进 入 预 定 轨 道，顺 利 将 陈 冬、刘 洋、蔡 旭 哲 3 名 航 天 员 送 入 太 空，顺 利 进 入 天 和 核 心 舱.为 激 发 广 大 学 生 努 力 学 习 科 学 文 化 知 识 的 热 情，某 校 团 委 举 行 了 一 场 名 为 学 习 航 天 精 神，致 航 空 英 雄”的 航 天 航 空 科 普 知 识 竞 赛，满 分 100分，共 有 100名 同 学 参 赛，经 过 评 判，这 100名 参 赛 者 的 得 分 都 在 40,90 之 间，其 得 分 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示.(1)根 据 频 率 分 布 直 方 图，求 这 100名 同 学 得 分 的 平 均 数(同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 代 表)；(2)用 分 层 抽 样 的 方 法 从 得 分 在 60,70),70,80),80,90 这 三 组 中 选 6 名 学 生，再 从 这 6 名 学 生 中 随 机 选 取 2 名 作 为 代 表 参 加 团 委 座 谈 会，求 这 2 名 学 生 的 得 分 不 在 同 一 组 的 概 率.(1)64.511 15【分 析】(1)首 先 根 据 频 率 和 为 1,求“，再 根 据 平 均 数 公 式，即 可 求 解；(2)首 先 确 定 各 组 抽 取 的 人 数，再 通 过 列 举 的 方 法 求 古 典 概 型 的 概 率.详 解 根 据 题 意 知(“+85+30+20+01吵 10=1,解 得 a=0.005,所 以 这 100名 同 学 得 分 的 平 均 数 是 45 x 0.005 x 10+55 x 0.035 x 10+65 x 0.030 x 10+75 x 0.020 x 10+85 x 0.010 x 10=64.5平 均 数 是 64.5.（2）由 条 件 知 从 6，7）抽 取 3 名，从 7，80）中 抽 取 2 名，从 即，%抽 取 名，分 别 记 为,%,%，“，,，因 此 样 本 空 间 可 记 为。=（i，）（，%）,（i,4）（%也）,（q，c）,Q，%），（2，4），（2 也）,（%,。）,Q,4）,（%,&），3，。）,（4,4）,鱼,）,他 用 力 表 示“这 2 名 同 学 的 得 分 不 在 同 一 组”，则 Z=（q,4）,（q,）,（p c）,Q，幻，3 也）,（七,c）,（%,4）,（%，H），（，。），（可，c），（4，c）N 包 含 样 本 点 的 个 数 为 11,尸（/）=口 所 以,1511答：这 2 名 同 学 的 成 绩 分 别 在 6，7），80,90 各 一 名 的 概 率 是 百 2 0.某 产 品 在 出 厂 前 需 要 经 过 质 检，质 检 分 为 2 个 过 程.第 1个 过 程，将 产 品 交 给 3位 质 检 员 分 别 进 行 检 验，若 3 位 质 检 员 检 验 结 果 均 为 合 格，则 产 品 不 需 要 进 行 第 2 个 过 程，可 以 出 厂；若 3 位 质 检 员 检 验 结 果 均 为 不 合 格，则 产 品 视 为 不 合 格 产 品，不 可 以 出 厂；若 只 有 1位 或 2 位 质 检 员 检 验 结 果 为 合 格，则 需 要 进 行 第 2 个 过 程.第 2 个 过 程，将 产 品 交 给 第 4 位 和 第 5 位 质 检 员 检 验，若 这 2 位 质 检 员 检 验 结 果 均 为 合 格，则 可 以 出 厂，否 则 视 为 不 合 格 产 品，不 可 以 出 厂.设 每 位 质 检 员 检 验 结 果 为 合 格 的 概 2率 均 为？，且 每 位 质 检 员 的 检 验 结 果 相 互 独 立.（1）求 产 品 需 要 进 行 第 2 个 过 程 的 概 率；（2）求 产 品 不 可 以 出 厂 的 概 率.2（1）311 万【分 析】（1）分 在 第 1 个 过 程 中，1或 2 位 质 检 员 检 验 结 果 为 合 格 两 种 情 况 讨 论，根 据 相 互 独 立 事 件 及 互 斥 事 件 的 概 率 公 式 计 算 可 得；（2）首 先 求 出 在 第 1个 过 程 中，3 位 质 检 员 检 验 结 果 均 为 不 合 格 的 概 率，再 求 出 产 品 需 要 进 行 第 2 个 过 程，在 第 2 个 过 程 中，产 品 不 可 以 出 厂 的 概 率，最 后 根 据 互 斥 事 件 的 概 率 公 式 计 算 可 得；【详 解】（1）解：记 事 件/为“产 品 需 要 进 行 第 2 个 过 程”.在 第 1个 过 程 中，1位 质 检 员 检 验 结 果 为 合 格 的 概 率 4=2 1 1 1 2 1 1 1 2 X X+X X+X X 3 3 3 3 3 3 3 3 329在 第 1个 过 程 中，2 位 质 检 员 检 验 结 果 为 合 格 的 概 率 c 2 2 1 2 1 2 1 2 2 42 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9,2P（A）=Pt+P2=-故 3.（2）解：记 事 件 8 为“产 品 不 可 以 出 厂”.H=-x-x-=在 第 1个 过 程 中，3 位 质 检 员 检 验 结 果 均 为 不 合 格 的 概 率 3 3 3 27,产 品 需 要 进 行 第 2 个 过 程，在 第 2 个 过 程 中，产 品 不 可 以 出 厂 的 概 率 2 5 X 3 92 2X 3 32=尸（办 11027故 P（a）+6 421.如 图，是 圆。的 直 径，C 是 圆 上 异 于 B 一 点、,直 线 PCL平 面 ABC,”=PC=4,/C=2.求 点 C 到 平 面 P A B 的 距 离；（2）求 二 面 角 B-P A-C 的 正 切 值.4炳（1尸 后 2【分 析】（1）利 用 垂 直 关 系，以 及 等 体 积 转 化 求 点 到 平 面 的 距 离；（2）因 为 平 面 尸/c,再 根 据 垂 直 关 系，构 造 二 面 角 的 平 面 角，即 可 求 得 二 面 角 的 正 切 值.【详 解】（1）因 为 P C，平 面/8 C,AC,8 C u平 面 p/c,所 以 P C J.N C,尸 C J.8 C.因 为 点 C 在 以 月 8 为 直 径 的 圆 上，所 以 I C，8 c.因 为 N8=4,/C=2,所 以 BC=26,所 以 BP=2行,AP=2布.因 为 P C J平 面/8 C,1 1 1 1 QV=x xABxACxCP=x x2y3x2x4=-所 以 三 棱 锥 产 一 48 C 的 体 积 3 2 3 2 3.在 尸 中，因 为 AB=4，BP=25，AP=2下,由 余 弦 定 理 AB2=AP2+BP2-2xA P xB P xcos乙 4PB 得 42x277x26sin NAPB=Vl-cos2/APB=胆 因 为 0 乙 1尸 8 几，所 以 V35S&A P B=x/Px BP x sin Z.APB=x2/7 x2f5x=2V19所 以 NS尸 的 面 积 2 2 V35记 点 C到 平 面 PAB的 距 离 为 h,则 v=3 S PBxh=3,解 得 h475719 由（1）知，P C L B C A C L B C,又 因 为 PC,4 C u平 面 4C,P C cA C=C,所 以 8C_L平 面 P4C,因 为 u 平 面 4 G 所 以 8 c,2 1.在 平 面 PN C中，过。作 8,尸，垂 足 为。，连 接 8。，因 为 所 以 平 面 BCD,所 以 N 8 O C 即 为 二 面 角 B-P A-C 的 平 面 角.因 为 N8=PC=4,/C=2,所 以 8C=AB2-A C2=2 PA=JAC2+PC2=2后 i AC PC 2x4 475CZJ=-=产=-PA 275 5t a n C=/=巫 CD 4 加 2在 RtBCD 中,5叵 所 以 二 面 角 8-7 M-C 的 正 切 值 为 2.f(X)=2 sin cos+2 百 cos2-/322.已 知 函 数 2 2 2（1）求 函 数/G）的 最 小 正 周 期;T V 7 V.X _（2）若 不 等 式（x）7”归 3对 任 意 L 6 3 恒 成 立，求 整 数 机 的 最 大 值；g（x）=/修）1（3）若 函 数 12 人 将 函 数&口）的 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 2 倍 7 1（纵 坐 标 不 变），再 向 右 平 移 五 个 单 位，得 到 函 数 y=（x）的 图 象，若 关 于 x 的 方 程 1/冗 5万 一（x）一 女（sinx+cosx）=0%2,在 L 12 12 上 有 解，求 实 数 的 取 值 范 围.(1)27(2)4_7|交 L【分 析】（1）由 二 倍 角 公 式 及 辅 助 角 公 式 求 得/(x)=2sinLr+1,从 而 可 求 周 期;（2）先 求 函 数/（X）的 最 值，再 根 据 恒 成 立 建 立 不 等 式 组 即 可 求 解;（3）将 问 题 转 化 为 二 次 方 程 有 解 问 题 解 决.2 XCOS 12f 2sin cos+2/3cos:-75=sinx+【详 解】(1)由 题 意 得，2 2 2=sinx+V3 cos x=2sin卜 十 三.可 得 函 数/G）的 最 小 正 周 期 为 2万.xe(2)因 为 兀 7 1653兀，兀，2兀-W x H W，所 以 6-3-3,所 以 2sin”兀 4137 1,所 以 当、一 一 不 时，/（X）的 最 小 值 为 1;当 _ n-不 时，/（x）的 最 大 值 为 2,所 以 由 题 意 得，一 34小）一 八 3,所 以 L 3 4/（x）4 m+3对 一 切 会 716兀 3 恒 成 立,所 以 7H-3 1加+3 2 2,解 得 所 以 整 数 皿 的 最 大 值 为 4.g(x)=f(3)由 题 意 知,2 sin兀 兀-X4-2-3=2sin x+-将 函 数 g（x）的 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 万 倍（纵 坐 标 不 变）,y=2sin(2x+E2L A（x）=2sin 2再 向 右 平 移 12个 单 位 得 L7T12+=2sin 2x6/2(x)-Z:(sinx4-cosx)=0因 为 关 于 x 的 方 程 271 5兀 在 区 间 I 12 12 上 有 解,整 理 得:sin 2x-k(sin x+cos x)=0 即 2 sin x cos x-k(sin x+cos x)=0no 在 区 间 L 125兀 12_l 上 得 X有 解,ItZ=sin x+cos x=V2 sin I x+4X 因 为 兀 5 7 1丘 司，所 以 7TX+G471 2兀 6*Tt=V2 sin令 7 1)4X+G4；t G（）式 可 转 化 为：*-公 T=在 内 有 解,所 以 冬 啰，又 因 为 夕=和 尸 一 针 为 增 函 数,1/G1y=t 所 以，在 L-为 增 函 数,Z=V|k=t_i _V|所 以 当 T 时，-7取 得 最 小 值 一 了；当/=四 时,1，取 得 最 大 值 2,k 所 以 0 旬 2 2综 上 所 述：k的 取 值 范 围 为 L 22