2023年1314数学分析1期末试卷参考超详细解析超详细解析超详细解析答案及评分标准格式A.pdf

数学分析（1）课程试卷（A）参考答案及评分标准 第 4 页共 4 页 中国计量学院 2013 2014 学年第一学期 数学分析（1）课程 试卷（A）参考答案及评分标准 开课二级学院：理学院，学生班级：13 信算 1,2,3,数学 1,2 教师：罗先发、韩亚洲 一、计算题（前 9 题每题 5 分，最后一题分，共 52 分）1.解：原式（3 分）（5 分）2.解：原式（5 分）3.解：（3 分）又（4 分）（5 分）4.用子列法证明 发散 证：若取，则（2 分）；若取，则（4分）；由归结原则知 发散（5 分）5.解：原式（5 分）6.解：原式（2 分）（5 分）7.设，求 解：（5 分）数学分析（1）课程试卷（A）参考答案及评分标准 第 4 页共 4 页 8.利用导数的性质证明：证：构造函数（2 分）由于对 有，从而（常数）（4 分）又由连续性得，所以（5 分）9.解：原式（5 分）10.设，求 解：（4 分）（7 分）二、（8 分）语言证明：证：当 时（2 分），有（6 分）对，取，当 时，有 故（8 分）三、（10 分）讨论函数 的性态（定义域、单调区间、极值点、凸性区间、拐点、渐近线），并作图 解：定义域,，奇函数，过点（分）（分）0 1 增凹 极大值 减凹 拐点 减凸 极小值 增凸 时有渐近线，时有渐近线（分）作图如下：（分）数学分析（1）课程试卷（A）参考答案及评分标准 第 4 页共 4 页 四、（8 分）设 请讨论下列问题：(1)对参数 的不同取值情形，讨论函数 的连续性；当不连续时，讨论间断点的类型；(2)当 取何值时，函数 在 处可导 解：(1)（2 分）时，为连续函数；（3 分）时，为 的跳跃间断点（5 分）(2)由条件知 在 处连续，从而（6 分）又 时，在 处可导（8 分）五、（8 分）设(1)任取，试用 Lagrange 中值定理证明：(2)试证 在 上一致连续 证：(1)任取，有，由 Lagrange 中值定理得证（4 分）(2)注意到 在 上一致连续，利用(1)的结论知在 上一致连续，从而可证结论成立（8 分）六、（8 分）设 在 上连续，在 内可导，且 试证：在内方程 至少有一个实根.法一：构造函数（2 分）则 在 上连续，在 内可导，且（4 分）由介值定理知：使得（6 分）；然后在 上应用 Rolle 中值定理，使得，即在 内方程 至少有一个实根.（8 分）法二：由 Lagrange 中值定理，使得 数学分析（1）课程试卷（A）参考答案及评分标准 第 4 页共 4 页（3 分）（6 分）应用 Darboux 定理，使得（8 分）七、（6 分）设，证明：证：且 只需证（2 分）由 知：对，当 时，（3 分）记，则(4 分)又 故，当 时，有（5 分）从而当 时 即（6 分）