2021-2022学年辽宁省大连市高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

2021-2022学 年 辽 宁 省 大 连 市 高 一 下 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 1.已 知 复 数 z=i（J 2 i）,其 中 i是 虚 数 单 位，贝 心 的 共 加 复 数 是（）A.2-i B.2+i C.l+2i D.l-2 iA【分 析】结 合 复 数 乘 法、共 轨 复 数 等 知 识 求 得 正 确 答 案.详 解 z=i(l-2 i)=2+i,z=2-i故 选：A12cos a=2.若 1 3,且 a 为 第 四 象 限 角，则 t a n a的 值 为（）12 _12A 5 B.5 C.12D【分 析】结 合 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 求 得 正 确 答 案.12cosa=【详 解】由 于 1 3,且 a 为 第 四 象 限 角，sin a=-V l-c o s2 a-所 以 13,sin a 5tan a=-=-cosa 12故 选：D3.若。、人 是 空 间 中 两 条 不 同 的 直 线，则 的 充 分 条 件 是（_5_D.一 日 A.直 线 b 都 垂 直 于 直 线/C.直 线 方 都 与 直 线/成 30角 B）B.直 线。、人 都 垂 直 于 平 面 1D.直 线。、方 都 与 平 面 1 成 60角【分 析】根 据 线 线 平 行、线 线 角 等 知 识 对 选 项 进 行 分 析，从 而 确 定 正 确 选 项.【详 解】A 选 项，都 与/垂 直，可 能,乙 A 选 项 错 误.B 选 项，。力 都 垂 直 于 平 面 夕，则 B 选 项 正 确.C 选 项，力 都 与/成 30角，可 能“力 相 交，C 选 项 错 误.D 选 项，0力 都 与 平 面 a 成 60。角，可 能“/异 面，D 选 项 错 误.故 选：B4.民 间 娱 乐 健 身 工 具 陀 螺 起 源 于 我 国，最 早 出 土 的 石 制 陀 螺 是 在 山 西 夏 县 发 现 的 新 石 器 时 代 遗 址.如 图 所 示 的 是 一 个 陀 螺 的 立 体 结 构 图.已 知 底 面 圆 的 直 径 8=16cm,圆 柱 体 的 高 BC=8 c m,圆 锥 体 的 高。=6 c m,则 这 个 陀 螺 的 表 面 积 是（）Q 272兀 cm2D 336兀 cm2C【分 析 1 结 合 组 合 体 表 面 积 的 计 算 方 法 计 算 出 正 确 答 案.【详 解】圆 柱、圆 锥 的 底 面 半 径 为 8cm,圆 锥 的 母 线 长 为 J 6?+82=10cm,所 以 陀 螺 的 表 面 积 是 兀 x82+271x8x8+71x8x10=272Ttcm2故 选：C5.如 图，小 明 同 学 为 测 量 某 建 筑 物 C O的 高 度，在 它 的 正 东 方 向 找 到 一 座 建 筑 物 4 5,高 为 1 2 m,在 地 面 上 的 点 M（B,M,。三 点 共 线）测 得 楼 顶 A、建 筑 物 顶 部 C 的 仰 角 分 别 为 15和 6 0,在 楼 顶 A处 测 得 建 筑 物 顶 部 C 的 仰 角 为 30。，则 小 明 测 得 建 筑 物 8 的 高 度 为（）（精 确 到 出）参 考 数 据：虎=1.4 1 4,6 1,732A.42m B.45m C.51m D.57mD【分 析】先 求 得 N M,然 后 利 用 正 弦 定 理 求 得 C M,进 而 求 得 8.12 12sin 15=,A M=-【详 解】在 直 角 三 角 形”历 中，AM sin 150,在 三 角 形 ZCN 中，A M=30+15=45,ZCA/J=180-60-15=105Z J CA T=180-105-45=30,CM AM 皿 AM.o 125/2-=-,CM=-sin 450=-由 正 弦 定 理 得 sin45。sin30 sin30 sin 15 久 a。CD Ano 12V2 V3sin 60=-.CD=C M-sin600=-x 在 直 角 三 角 形 C O M 中，C M sin 15 2_ 6A/6 _ 6A/6-sin（45-30）-sin45cos30-cos45sin30V6-V2 屈-yf2（Jd-5/2 X 后+叵）4=36+1273=36+12x1.732=57m故 选：D6.设 4 B,C。是 空 间 四 个 不 同 的 点，在 下 列 命 题 中，不 正 确 的 是 A.若 C 与 8。共 面，则/。与 B C 共 面 B.若 4 0 与 8。是 异 面 直 线，则/。与 B C 是 异 面 直 线 C,A B=AC,DB=D C,则 49J.8CD,若 4B=4C，DB=D C,贝|J/D=8CD【分 析】由 空 间 四 点 共 面 的 判 断 可 是 A,B正 确，；C,D画 出 图 形，可 以 判 定/。与 8c不 一 定 相 等，证 明 8 c 与/。一 定 垂 直.详 解 对 于 选 项 A,若/C 与 8 0 共 面，则 4 E,提 四 点 共 面，则 4 D 与 B C 共 面，正 确；对 于 选 项 B,若 C 与 5 3 是 异 面 直 线，则 48,C,0 四 点 不 共 面，则 与 8 C 是 异 面 直 线，正 确；如 图，空 间 四 边 形 Z8CZ）中，AB=AC,D B=D C,则/。与 8 c 不 一 定 相 等，.口 错 误;对 于 C,当 4 6，C。四 点 共 面 时 显 然 成 立，当 4 丛 四 点 不 共 面 时，取 8 C 的 中 点 M,连 接 AM,DM,AMLBC,DM1BC,ADM,.-.BC1AD,；.C 正 确;本 题 通 过 命 题 真 假 的 判 定，考 查 了 空 间 中 的 直 线 共 面 与 异 面 以 及 垂 直 问 题，是 综 合 题.y=cos|2x+7.将 函 数 y=sm 2x的 图 象 向 右 平 移。个 单 位 长 度 后，得 到 函 数,I 的 图 象,则 夕 的 值 可 以 是（）乃 九 工 24A.1 2 B.6 c.3 D.3D【分 析】利 用 三 角 函 数 图 象 变 换 可 得 出 变 换 后 的 函 数 解 析 式，由 已 知 可 得 出 关 于。的 等 式，即 可 得 出 结 果.y=cos 2x+=sin 2x+=sin 2x+【详 解】因 为 I 6 J I 6 2）I 3 人 将 函 数 V=sin 2 x的 图 象 向 右 平 移 夕 个 单 位 长 度 后，得 到 函 数 y=sin 2（x-初=sin（2%一 23）的 图 象，由 题 意 可 得 3，可 得 3、,，当 左=1时，3,故 选：D.8.已 知 圆 台 上 下 底 面 半 径 分 别 为 3、4,圆 台 的 母 线 与 底 面 所 成 的 角 为 4 5.且 该 圆 台 上 下 底 面 圆 周 都 在 某 球 面 上，则 该 球 的 体 积 为（）500万 700万 A.100万 B.3 C.200万 D.3B【分 析】根 据 圆 台 轴 截 面 及 已 知 求 圆 台 的 高，再 根 据 球 体 半 径 与 圆 台 上 下 底 面 半 径 的 几 何 关 系 列 方 程 求 出 球 体 半 径，进 而 求 球 体 的 体 积.【详 解】由 题 意，轴 截 面 如 下 图 示 NE=QE=I,F 6 B若 球 体 半 径 为 R,则 斤-9=（1+收-16）2,可 得 R=5.4 5 0 0 万 7lK=-所 以 该 球 体 积 为 3 3.故 选：B二、多 选 题 9.设 非 零 复 数 4、Z2所 对 应 的 向 量 分 别 为,OZ；则 下 列 选 项 能 推 出 _ L Z2 的 是（）A.I%B.Z|=2z?c.团=忤|D.h+z2|=ki-z2|AD【分 析】A 根 据 4=0 的 几 何 意 义 判 断：B 由 乙=2022即 可 判 断；c 由 皿 H%|即 可 判 断；口 由 l4+z2Hoz OZ2|并 结 合 向 量 数 量 积 的 运 算 律 即 可 判 断【详 解】A：4=%等 价 于 将 0 4 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 90。得 到,即 4_LZ2,符 合；B：4=2Z2等 价 于 阳=2%,即 OZ”多 共 线，不 符 合;C：区 卜 等 价 于 1OZJ=|OZ2|,但 不 一 定 有 OZ|，OZ2,不 符 合;D：k+z2|=|z z2|等 价 于|%+Z2Hoz 可，两 边 平 方 并 应 用 数 量 积 的 运 算 律 可 得。4-OZ?=0,即 OZ 1 0Z-,符 合.故 选：AD10.一 个 正 方 体 内 接 于 一 个 球，过 球 心 作 一 个 截 面，则 截 面 的 图 形 可 能 是（）A.B.C.D.【分 析】根 据 正 方 体 截 面 过 外 接 球 球 心，讨 论 截 面 是 否 过 顶 点 及 所 过 顶 点 个 数、是 否 与 侧 面 平 行，即 可 判 断 截 面 图 形 的 元 素.【详 解】当 过 球 心 的 截 面 不 平 行 于 侧 面 且 不 过 顶 点 时，截 面 图 形 为 A；当 过 球 心 的 截 面 平 行 于 一 对 侧 面 时，截 面 图 形 为 C；当 过 球 心 的 截 面 过 其 中 4 个 顶 点，则 截 面 图 形 为 圆 中 含 一 个 长 方 形，B 正 确，D 错 误.故 选：A B C11.下 列 各 式 正 确 的 是（）A.(l+tanl)(l+tan44)=21 V3-=2B.sin 10 cos 10C.3-sin 70-；-=22-cos*2100-sin 202.cos 70.sin 20=4-=4-sin 20 sin 20D tan 700-cos 10(/3 tan 20-1)=2A C【分 析】结 合 三 角 恒 等 变 换 对 选 项 进 行 分 析，从 而 确 定 正 确 答 案./ic i tan 1+tan44tan 45=tan(1 0+44),1=-【详 解】A 选 项，l-tanl.tan440,tanl+tan44=l-tanl-tan44.所 以(1+tan 1)(1+tan 44)=1+tan 1+tan 440+tan 1-tan 44=1+1-tan 1-tan 440+tan 10-tan 44=2,A 选 项 正 确.1 G coslCT-GsinlO。B 选 项，sin 10 cos 10 sin 10 cos 10_ 2(cos 60。cos 10。-sin 60。sin 10。)2 cos(60。+10。)-sin 202=4，B 选 项 错 误.3-sin 70 _ 3-cos20 _ 3-cos202-cos210-2 1+cos20。-3-cos200C 选 项，2 2,C 选 项 正 确.tan 70 cosl00(V3 tan200-1)=S m 7-cos 100-f 回“2。D 选 项，I C O S 7 0 I c s 20。cos200 so V3sin20-cos20 VJsin20-cos20.AO=-cos 10-cos 10sin 20 cos 200 2sin 10cosl0/o 1J2 2-sin 20 cos 2022 sin 10_sin(20-30)_】sin 10-一 D 选 项 错 误.故 选：AC（2 且 12.已 知 函 数/（x）=sin3x+9）（0O,9eR）在 区 间 12 6 J 上 单 调，且 满 足 C.关 于 x的 方 程/（、）=1在 区 间，2外 上 最 多 有 4 个 不 相 等 的 实 数 解 红,1 3/8 3jD.若 函 数/口）在 区 间 1 3 6 J上 恰 有 5 个 零 点，则 外 的 取 值 范 围 为（彳 ABD74 34（卫，网/左）=_/也 12+4-2万【分 析】A：/G）在 I 时 4 J上 单 调，（12）1 4 人 2 3,故 卫 幻 _ 5 T T _.至 _nB：求 出 区 间 112 6 J右 端 点、一 不 关 于、一 行 的 对 称 点 由 题 可 知/（x）在 传,（2 6）上 单 调，据 此 可 求 出/（x）周 期 的 范 围，从 而 求 出。的 范 围.再 根 据/件-x=/（x）x=I 6 1 知 12是 4 x）的 对 称 轴，根 据 对 称 轴 和 对 称 中 心 距 离 为 周 期 的 之 里（左 e Z）4，倍 即 可 求 出”，从 而 求 出 其 周 期；C：根 据 3 的 范 围 求 出 周 期 的 范 围，根 据 正 弦 型 函 数 一 个 完 整 周 期 只 有 一 个 最 高 点 即可 求 解;/二=0 生 1D：由（3）知，行 是 函 数/（X）在 区 间 L 3,6 J上 的 第 1个 零 点，而/（x）在 F 13 吟 3%In ST,2/-4-区 间 L3 6 J上 恰 有 5 个 零 点，则 6 3 2,据 此 即 可 求。的 范 围.12 6 1上 单 调,根 据 正 弦 函 数 图 像 特 征 可 知,（X）在 5万 7T 兀 1 In-116 2 3 2 2 同 为/（X）的 最 小 正 周 期），即 网，又 经 0,.0脆 3.若 一，则/（X）的 图 象 关 于 直 线”一 五 对 称,24 5万 _ 4 _ 2左+1 _ 2攵+1 7：/、H 一 耘=W=丁 7=丁 石/2),即/=4后+2(A e Z),故 k=0,=2,7=%，故 B 正 确.C,由 球 3,得./G）在 区 间，27）上 最 多 有 3 个 完 整 的 周 期，而 x）=l在 1 个 完 整 周 期 内 只 有 1个 解，故 关 于 X 的 方 程/（x）=l在 区 间 2 乃）上 最 多 有 3 个 不 相 等 的 实 数 解，故 C 错 误.2乃 1373是 函 数/G）在 区 间 L 3,6 J上 的 第 1个 零 点，而/G）在 13 4 17T 5T区 间 1 3 6上 恰 有 5 个 零 点，则 2T）的 周 期、单 调 性、对 称 中 心、对 称 轴 等 特 性，解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 正 弦 型 函 数 对 称 轴，对 称 中 心 的 位 置 特 征，掌 握 正 弦 型 函 数 单 调 性 与 周 期 的 关 系.常 用 结 论：（1）单 调 区 间 的 长 度 最 长 为 半 个 周 期；（2）一 个 完 整 周 期 内 担 R GZ)只 有 一 个 最 值 点：(3)对 称 轴 和 对 称 中 心 之 间 的 距 离 为 周 期 的 4，倍.三、填 空 题 f(x)=tan 13.函 数 2 的 最 小 正 周 期 为.2乃 直 接 由 正 切 函 数 的 周 期 公 式 可 得 答 案.T 吟【详 解】2.故 答 案 为.2%14.如 图，在 正 四 棱 柱 8 8-4 4 G A 中，AB=&A、E 是 棱 8 c 的 中 点，异 面 直 线 用 与 G E 所 成 角 的 余 弦 值 为 加，则 机=.7 7 2【分 析】作 辅 助 线，根 据 异 面 直 线 的 定 义 找 到“用 与 G E 所 成 角，解 三 角 形 即 可 求 得 答 案.【详 解】在 正 四 棱 柱 8 8-4 4 G 4 中，连 接 g,则 由 于=四 边 形 是 平 行 四 边 形，故 叫。,故 异 面 直 线 A B与 CE所 成 角 即 为 与 CE所 成 角，即 即 为 异 面 直 线 网 与 G E 所 成 角 或 其 补 角，设 AAX=2 ppj AB=也 AA、=26 所 以 CC,=2,ZC,=yjDC2+CC2=14+12=4DE=J12+3=岳,C、E=V7所 以 2xJ7x4 7w_V7故 异 面 直 线/片 与 G E 所 成 角 的 余 弦 值 为 机，则”-7,也 故 715.已 知 函 数/（X）不 是 常 数 函 数，且 函 数/（X）满 足：定 义 域 为 R,/G）的 图 象 关 于 直 线 x=2对 称，/（X）的 图 象 也 关 于 点（L）对 称.写 出 一 个 满 足 条 件 的 函 数/（X）.（写 出 满 足 条 件 的 一 个 即 可）f（x）=sinf%-（2 2）（答 案 不 唯 一）【分 析】根 据 对 称 性 确 定 正 确 答 案.【详 解】依 题 意，/G）不 是 常 数 函 数，定 义 域 为 R,图 象 关 于 直 线 x=2对 称，也 关 于 点（L）对 称，/（x）=sin X-所 以（2 2J符 合 题 意/（x）=sinfX-1故（2 2）（答 案 不 唯 一）16.如 图，四 边 形 4 B C O 为 正 方 形，4 G 上 平 面 4BCD,AGHDF/CE,若 AG-AB-3;DF=2,CE=1;则 B-EGO：%-BEF=2：12【分 析】将 几 何 体 补 全 为 正 方 体，由“G-BEF ABCD-GIHJ-G-HEBJ-G-HIFE-H-CDFE B-DFG A、B-E G D=y C D-CI H J-V G-HEBJ-yG-HI D E-yE-B CD-九 T B D 求 出 体 积，即 可 得 结 果【详 解】将 几 何 体 补 全 为 正 方 体，如 下 图 示，G-B EF=ABCD-GIHJ-G-HEBJ G-H IF E-B-C DFE-喙-DFGA=27 x3x x5x3 x3x x3x3 x3x x3x3 x3x x5x33 2 3 2 3 2 3 2=3“B-EGD=ABCD-GIHJ-G-HEBJ-G-H1DE E-B C D-G-A BD=27 x3x x5x3 x3x x5x3 x 1 x x3x3 x3x x3x33 2 3 2 3 2 3 2=6所 以“B-EGD G-BEF=2：1故 2:1四、解 答 题 17.已 知 向 量 Q=(L2),5=G，3).若 求 x 的 值；(2)若 向 量)，加 夹 角 为 锐 角，求 x 的 取 值 范 围.33石 X=-(1)2-6 x 2 或 2.【分 析】(1)应 用 向 量 线 性 运 算 坐 标 表 示 可 得 力-坂=(3-乂 3),根 据 向 量 垂 直 的 坐 标 表 示 即 可 求 参 数 值；(2)由 题 设 有=x+6,注 意 排 除,否 同 向 共 线 时 对 应 x 值 即 可.【详 解】由 题 设，3力=(3-,3),又 所 以 x(3-x)+9=0,即 X2-3 X-9=0,3土 3石 x=-可 得 2(2)由 题 设,a-b=x+6 0,即 x-6,当,各 同 向 共 线 时，有=注 且 几,此 时 13=2,可 得 x-,不 满 足,各 夹 角 为 锐 角,-6 X 2综 上，2 或 218.如 图 1,菱 形/5 C D 中，4=60。，D E 1 A B,垂 足 为 点 E,将 沿 D E 翻 折 到 A/E。，使 A E 1 B E,如 图 2.图 2(1)求 证：平 面 或。；DF(2)在 线 段 彳。上 是 否 存 在 一 点 尸，使 E F 平 面 H B C?若 存 在，求 前 的 值；若 不 存 在，说 明 理 由.(1)证 明 见 解 析；”=1 存 在，FA，.分 析(1)推 导 出 由 此 能 证 明 平 面 8CQE.（2）分 别 取 H R。的 中 点 历，连 接 推 导 出 四 边 形 是 平 行 DF,-=1四 边 形，E F U B M,从 而 在 线 段 上 存 在 一 点 尸，使 EF/平 面 X B C,且 E4【详 解】在 菱 形 ABCDX,DE AB,:.DEA.AEfAEL DE：.-AEL BE,D E c B E=E fAE 平 面 E B D.（2）在 线 段 上 存 在 一 点 尸，使 EF 平 面 HBC.理 由 如 下：分 别 取 D,/C的 中 点 尸,加,连 接 8 MF M=-D C.FA/为 A/O C 的 中 位 线，:.FM/DC,且 2,_ EB=-D C在 菱 形 8 8 中，E B/D C,且 2,F M/EB,且 九 例=EB,四 边 形 E B M F 是 平 行 四 边 形，,E尸 区”，E/u 平 面 u 平 面 彳 8C,:.EF 平 面/8C,尸 为 4。中 点,二 FA.19.已 知 为 坐 标 原 点，对 于 函 数/（x）=sinx+bcosx,称 向 量”=.力）为 函 数 f（x）的 相 伴 特 征 向 量，同 时 称 函 数/（X）为 向 量 两 的 相 伴 函 数.一 _ S 八/z（x）=/lsin|x+若 向 量 刀 为 I 4J的 相 伴 特 征 向 量，求 实 数 4 的 值；xe 0,生 记 向 量 机=G1 2）的 相 伴 函 数 是 G）,求,（X）在 L 3 的 值 域.2&,13【分 析】（1）根 据 已 知 相 伴 特 征 向 量 的 定 义 可 得（x）=2sinx+2cosx,即 可 求 解；（2）根 据 相 伴 函 数 的 定 义 结 合 三 角 恒 等 变 换 得 到 函 数/（,）的 解 析 式，利 用 正 弦 型 函 数 的 性 质 求 解 值 域 即 可.【详 解】（1）解:一 八 八 A（x）=2sin x+因 为 向 量 阳=Q 2）为 I 4的 相 伴 特 征 向 量,h(x)=A sin XH=2 sin x+2 cos x=22 sin x+则 k 4 J I 4解 得/=2及（2）解：因 为 向 量 机=（5/2）的 相 伴 函 数 是 5.12sinxH-cosx13 13/(x)=5sinx+12cosx=13xcosO=,sin8=sin 0 1 0 设 13 13,因 为 2，则 3 2,所 以 x)=13sin(x+e),_ 24x G o,24x+(p e(p、+夕 时，L 37 1X+（P=当 2 时，函 数/（X）有 最 大 值 为 13,24 2万 X+（p=-h（p X=-当 3 时，即 3,函 数 X）有 最 小 值 为 兀、-.2 4 24 5A/3-12/（）=5xsin+12 x cos=-3 3 3 2一 年；故 函 数/的 值 域 为 L.20.如 图，在 直 三 棱 柱 NBC-M AG中，A C 1 B C,且/IC=G,B C=巫,4=2/%。是 棱 阳 的 中 点，E 是 棱 明 上 的 点，满 足 CE=5EG.(1)证 明：/。_1平 面 4。后；(2)求 直 线 A E 与 平 面 ABB、所 成 角 的 正 弦 值.(1)证 明 见 解 析 V14 14【分 析】(1)先 根 据 数 量 关 系 证 明 线 线 垂 直，然 后 可 得 线 面 垂 直；(2)先 求 解 E 到 平 面/88/的 距 离，然 后 根 据 线 面 角 的 定 义 求 解 正 弦 值.【详 解】证 明：因 为 且 40=百，BC=R,所 以 48=3；AAX=2AB；所 以“4=6因 为。是 棱 网 的 中 点，所 以 但 4。=3&因 为+4 2=，所 以 W Q；因 为 CE=5 E G,44=6,所 以 C|E=1,CE=5在 直 角 梯 形 中，BC=m,B Q=3,所 以)=加 在 直 角 三 角 形 4 C E 中，C=百，CE=5,所 以/=炳=2近；因 为/。2+力 炉=/后 2,所 以 由 NDJ.4。，A D V D E,且 4 O c O E=Q,所 以 幺。,平 面 N Q E(2)在 直 角 三 角 形 4cB中，作 C/8 于，如 图，c公 叵 由 等 面 积 法 可 得 3；由 直 棱 柱 的 性 质 可 得 A A V C H,所 以 C!平 面 A B B；因 为/平 面 4BBM,所 以 后 到 平 面 ABB,A,的 距 离 为 近,设 直 线 A E 与 平 面 4BB、所 成 角 为 Q,s i n=4=则 AE 2V7 142 1.已 知 平 面 四 边 形/8C Z）中，AB=AD,AB LAD,力 C=J J,BC=1.ZACB=i 若 6,求 四 边 形 4 8 c o 的 面 积;若 记 4 c 8=（。）CD=f（0）求 的 解 析 式：求 C D 的 最 小 值 及 此 时 角 0 的 值.9+。（1）4；/=7-2 指 s i n,+9）”工 Y 4 人。的 最 小 值 为 J 6-1,此 时 4.【分 析】（1）由 余 弦 定 理 求 得 cosNCAB,继 而 得 s in/D 4 C,A D,根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 可 求 得 答 案；（2）由 余 弦 定 理 求 得 N 2,再 由 正 弦 定 理 求 得 s i n N O B,继 而 得 c o sZ D/C,A D,根 据 余 弦 定 理 可 求 得/（0）；由 角 的 范 围 和 正 弦 函 数 的 性 质 可 求 得。的 最 小 值 及 此 时 角 9 的 值.【详 解】（1）在 A/8 c 中，AC=6 BC=,AB2=AC2+CB2-2AC BCcos ZACB,ZACB5/r不，所 以 J 52=A/31+12-2 A/3 X 1 XCOS R即 I J 6,所 以“8=近,CQSZ.CAB=所 以。才+次-叱+s22CAAB 2xV3x/792,9sin Z.DA C=-j=r又 AB=AD,AB LAD,所 以 2,21,AD=AB=y/7,S=x/3 x 1 x sin-=S,r=x-73 x 5/7 xsin ZDAC=所 以 2 6 4,2 4,9+6所 以 四 边 形 Z 8C D的 面 积 为 I-.(2)在“8 C 中，此=也,BC=,ZACB=0,所 以 AB2=AC2+CB2-2 A C BCcosO,即=心+/一 2百 x lx c o s 9,所 以/)=4-2为 cos。，AB=CB Sin ACAB=$布。又 sin。sinZCAB,所 以 一 2VJcos。，又 AB=AD,cos ZDAC=AB L A D,所 以 sin。7 4-2 7 3 cos0AD2=AB2=4-2 G c o s 0,所 以 CO?=AD2+AC2-2 A D-A C cos ZDAC=4-cos 0+3-2“-2 百 cos。也.SinV 4-2 A/3 cos0=7-2 遥 sin(9+(所 以 CO=/(g)=小 2 6 sin 0+?7 V 八 5T T 夕+-因 为 0 万，所 以 4 4 4,e-=-0=-C%=d W=J 7 _ 2=&-l所 以 当 4 2,即 4 时，14 yl所 以 8 的 最 小 值 为#-1,此 时-7.关 键 点 睛：本 题 主 要 考 查 运 用 正 弦 定 理、余 弦 定 理 解 三 角 形，关 键 在 于 运 用 正 弦 定 理、余 弦 定 理 表 示 其 边 和 角 得/()的 解 析 式.2 2.如 图，在 四 棱 锥 S-4 8 C。中，NSAB=NSAD 2,底 面“8 8 为 正 方 形.记 直 线 S 4与 平 面/8 C O 所 成 的 角 为 火(1)求 证：平 面 S4C，平 面 SB。；2兀(2)若 二 面 角 8-。的 大 小 为 T,求 cos。的 值；e=-(3)当 2 时，S B、B C中 点 为 M,N,点 P为 线 段 C。上 的 动 点(包 括 端 点)，S A=2 A B,二 面 角 M-N P-/的 大 小 记 为 a,求 tan a 的 取 值 范 围.(1)证 明 详 见 解 析 V6(2)3/4【分 析】(1)通 过 证 明 8。JL平 面 C 来 证 得 平 面 平 面 S3。.(2)判 断 出 直 线 弘 与 平 面 力 8 c o 所 成 的 角。，解 直 角 三 角 形 求 得 cos?(3)作 出 二 面 角 M-N P-Z 的 平 面 角，结 合 三 角 函 数 值 域 的 求 法，求 得 ta n a的 取 值 范 围.【详 解】(1)连 接 C，8 0,交 点 设 为 0,连 接 SO.依 题 意 可 知 所 以 N8=S,所 以 三 角 形 S3。中，S O工 BD,由 于 8。J_NC,4CcSO=O,所 以 8O_L平 面&4C,由 于 8 O u 平 面 SB。，所 以 平 面 SXCL平 面 S3。.(2)过 5 作 8 K J.S Z,垂 足 为 K,连 接。K,由 已 知 I AS，8 m s，得。K_LS4,所 以 N B K D 是 二 面 角 8-S/-D 的 平 面 角，ZBKD=所 以 3.设 正 方 形 8 C。的 边 长 为 a,则 缶，BK=DK=a,AK=a所 以 3 3,由 于。K _L SA,BK SA,DKcBD=K所 以 _L平 面。K 8,则，KO.过 S作 SE_LZC,垂 足 为 E,由 于 8O_L平 面&4 C,所 以 8OLSE,由 于 C n 8 O=,所 以 SEJ.平 面/8C。,所 以 NS/C=,即 NSNC是 直 线”与 平 面 48CZ)所 成 角.在 R t K O 中,A O=2racos”处 通 所 以 AO 3(3)取“8 中 点。，过。作。尺，沙,垂 足 为 R,连 接.。，加 火,则/M R Q 为 二 面 角 的 平 面 角，即 N R Q=a,MQtan a=则 Q R,由 己 知=设 正 方 形/8 C O 的 边 长 为“，则 M 0=N2=a在 正 方 形 Z8CZ)中，设/PNC=B,QN=2 a,当/.PNC=/?e14arc tan 2 时，在 三 角 形 0 M?中,/c rn 3 37 兀r c 3兀 c 7 1Z.QNR=-/3 e-arctan2,4sin(史-arc tan 2I 4=sin m cos(arc tan 2)-cos?sin(arc tan 2)=旦 旦 豆 柜=迎 2 5 2 5 10tana=迤=/QR血,当 7 1 PNC=B e 0,-L 4 时，在 三 角 形 Q N R 中,z-4Am 式 0 7 1 7 1ZQNR=-+J3&7 14QR=Q N-sm+pt a n a=6QR综 上 所 述，t a n a的 取 值 范 围 是 夜，2