2021-2022学年山西省太原市高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

2021-2022学 年 山 西 省 太 原 市 高 一 下 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 1.下 列 特 征 量 中，刻 画 一 组 数 据 的 集 中 趋 势 的 是（）A.平 均 数 B.频 数 C.方 差 D.极 差 A【分 析】根 据 数 字 特 征 的 含 义 即 可 求 解.【详 解】方 差 是 衡 量 一 组 数 据 偏 离 其 平 均 数 的 大 小 的 量，极 差 是 最 大 值 和 最 小 值 的 差,频 数 是 对 数 据 次 数 的 统 计，平 均 数 是 描 述 一 组 数 据 的 集 中 趋 势 的 量.故 选：A2.某 气 象 台 预 报“A地 明 天 的 降 水 概 率 是 90%”，则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.A地 有 90%区 域 明 天 会 降 水 B.A地 有 90%时 间 明 天 会 降 水 C.A地 明 天 必 定 会 降 水 D.A地 明 天 降 水 的 可 能 性 大 小 为 90%D【分 析】根 据 概 率 的 概 念 求 解 即 可.【详 解】A地 明 天 的 降 水 概 率 是 90%表 示：A地 明 天 降 水 的 可 能 性 大 小 为 90%,故 选：D3.下 列 结 论 正 确 的 是（）A.过 直 线 外 一 点，有 且 只 有 一 条 直 线 与 这 条 直 线 垂 直 B.过 直 线 外 一 点，有 且 只 有 一 个 平 面 与 这 条 直 线 平 行 C.过 平 面 外 一 点，有 且 只 有 一 条 直 线 与 这 个 平 面 垂 直 D.过 平 面 外 一 点，有 且 只 有 一 条 直 线 与 这 个 平 面 平 行 C【分 析】根 据 线 面 的 位 置 关 系 逐 项 判 断 可 得 出 合 适 的 选 项.【详 解】对 于 A 选 项，过 直 线 外 一 点 有 无 数 条 直 线 与 这 条 直 线 垂 直，A 错；对 于 B 选 项，过 直 线 外 一 点，有 无 数 个 平 面 与 这 条 直 线 平 行，且 这 无 数 个 平 面 均 相 交 于 一 条 直 线，且 这 条 相 交 直 线 与 该 直 线 平 行，B 错：对 于 C 选 项，过 平 面 外 一 点，有 且 只 有 一 条 直 线 与 这 个 平 面 垂 直，C 对；对 于 D 选 项，过 平 面 外 一 点，有 无 数 条 直 线 与 这 个 平 面 平 行，且 这 无 数 条 直 线 确 定 的 平 面 与 该 平 面 平 行，D 错.故 选：C.4.将 一 枚 质 地 均 匀 的 骰 子 连 续 投 掷 两 次，设 屈=”第 一 次 出 现 奇 数 点，N=”第 二 次 出 现 偶 数 点“，则”与 N（）A.互 斥 但 不 对 立 B.相 互 对 立 C.相 互 独 立 D.独 立 且 互 斥 C【分 析】根 据 互 斥，对 立 与 独 立 事 件 的 定 义 判 断 即 可.【详 解】掷 一 枚 质 地 均 匀 的 骰 子 两 次，出 现 的 可 能 的 情 况 共 有 3 6 种，事 件 M 包 含（L i X i Z G m d M L s M L G G Q Q Z,G s i g d M s A G e）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）共 18 种，事 件 N 包 含 O1 2 0,4）,（1,6）,（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,2）,（3,4）,（3,6）,（4,2）,（4,4）,（4,6）,（5,2）,（5,4）,（5,6）,（6,2）,（6,4）,（6,6）,共、种,事 件 M N 包 含（1,2）,（1,4）,（1,6）,（3,2）,（3,4）,（3,6）,（5,2）,（5,4）,（5,6）,共 9 种，所 以 根 据 互 斥 事 件 与 对 立 事 件 的 定 义，均 不 满 足，P（A/）=P（A）=P（Af/V）=由 于 一 36 2,一 36 2,36 4,所 以 P（M N）=P（M）P（N）,所 以 加 与 N 的 关 系 为 相 互 独 立.故 选：C5.直 线，与”互 相 平 行 的 一 个 充 分 条 件 是（）A.m、都 平 行 于 同 一 个 平 面 B.加、都 垂 直 于 同 一 个 平 面 C.加、与 同 一 个 平 面 的 所 成 的 角 相 等 D.加 平 行 于 所 在 的 平 面 B【分 析】根 据 各 选 项 中 的 条 件 判 断 直 线 力 与 的 位 置 关 系，可 得 出 合 适 的 选 项.【详 解】对 于 A 选 项，若 加、”都 平 行 于 同 一 个 平 面，则 与“平 行、相 交 或 异 面，A 不 满 足 条 件；对 于 B 选 项，若 加、都 垂 直 于 同 一 个 平 面，则 机，B 满 足 条 件：对 于 C 选 项，若 切、与 同 一 个 平 面 的 所 成 的 角 相 等，则 加 与 平 行、相 交 或 异 面，C 不 满 足 条 件；对 于 D 选 项，若 平 行 于 所 在 的 平 面，则 团 与 平 行 或 异 面，D 不 满 足 条 件.故 选：B.6.某 校 高 一 年 级 进 行 了 一 次 数 学 测 试（满 分 10,成 绩 均 不 低 于 4 0）,随 机 抽 取 了 部 分 学 生 的 成 绩，整 理 得 到 如 下 的 频 率 分 布 直 方 图，据 此 样 本 信 息，估 计 高 一 年 级 这 次 测 试 数 学 成 绩 的 中 位 数 是（）215 220A.70 B.3 C.3 D.7 5C【分 析】根 据 频 率 分 布 直 方 图 所 有 矩 形 面 积 之 和 为 1可 求 得 x 的 值，设 样 本 的 中 位 数 为。，根 据 中 位 数 的 定 义 可 得 出 关 于。的 等 式，即 可 求 得。的 值.【详 解】由 频 率 分 布 直 方 图 可 知*1+(。15+0.02+0.025+0.03)1 0=1,解 得 x=0.005,前 三 个 矩 形 的 面 积 之 和 为 05+0川 5+0.02)x10=0.4,前 四 个 矩 形 的 面 积 之 和 为 0 4+0.03xl0=0.7,设 样 本 的 中 位 数 为。，则”。9)，_ 220所 以，M+(”70)x0.03=0.5,解 得 八 亍.故 选：C.7.某 场 羽 毛 球 单 打 比 赛 按 三 局 两 胜 的 赛 制 进 行，甲 乙 两 人 进 行 比 赛.已 知 每 局 比 赛 甲 获 胜 的 概 率 为 0.6,乙 获 胜 的 概 率 为 0.4.现 用 计 算 机 产 生 1 5 之 间 的 随 机 数，当 出 现 1,2 或 3 时，表 示 此 局 比 赛 甲 获 胜，当 出 现 4 或 5 时，表 示 此 局 比 赛 乙 获 胜.在 一 次 试 验 中，产 生 了 2 0组 随 机 数 如 下：534 443 512 541 125 432 334 151 314 354423 123 423 344 114 453 525 332 152 345根 据 以 上 数 据，利 用 随 机 模 拟 试 验，估 计 该 场 比 赛 甲 获 胜 的 概 率 为()A.0.452 B.0.6 C.0.648 D.0.65B【分 析】根 据 随 机 数 中 出 现 1，2 或 3 比 4,5 多 的 数 的 频 率 判 断 即 可【详 解】由 题 意，表 示 甲 获 胜 的 数 有 512,125,432,334,151,314,423,123,423,114,332,152 共 12 组 数，故 估计 该 场 比 赛 甲 获 胜 的 概 率 为 20故 选：B8.某 企 业 三 个 分 厂 生 产 同 一 种 电 子 产 品，它 们 的 产 量 分 布 如 图 所 示，现 用 样 本 量 按 比 例 分 配 的 分 层 随 机 抽 样 法，从 它 们 的 产 品 中 抽 取 100件 产 品 测 试 其 使 用 寿 命，结 果 显 示 第 一、第 二、第 三 分 厂 被 抽 出 产 品 的 使 用 寿 命 的 平 均 数 分 别 是 1020、980、1030（单 位：小 时），据 此 估 计 该 企 业 此 电 子 产 品 的 平 均 使 用 寿 命 为（）A.1007 B,1010 C.1013 D,1015D【分 析】根 据 平 均 数 公 式 可 求 得 该 企 业 此 电 子 产 品 的 平 均 使 用 寿 命.【详 解】由 题 意 可 知，该 企 业 此 电 子 产 品 的 平 均 使 用 寿 命 为 1020 x0.5+980 x0.2+1030 x0.3=1015（小 时）故 选：D.9.设 A,8,C 是 一 个 随 机 试 验 中 的 三 个 事 件，且 G O。，夕（8）0,P（C）0,给 出 下 列 结 论：若 A 与 B互 斥,则 尸（相）心（/）尸；若 A与 B独 立,则 尸（，U 5）=尸+P（B）；若 A,B,C 两 两 独 立,则 尸（C）=P（/）P（8）尸（C）；若 尸（4 8 C）=尸 尸 P（C）,则 人，3,C 两 两 独 立.则 其 中 正 确 结 论 的 个 数 为（）A.0 B.1 C.2 D.3B【分 析】根 据 互 斥 事 件、对 立 事 件 以 及 相 互 独 立 事 件 的 性 质 逐 个 判 定 即 可【详 解】对 A,若 A与 8 互 斥，则 根 据 互 斥 事 件 不 能 同 时 发 生 可 得 尸（8）=0,又P。,P（B）。,故 A 正 确:对 B,若 A与 8 独 立，则 尸 暝 一 至 尸 沙 尸+哂,故 B 错 误；对 C,若 A,B,C两 两 独 立，且 P（8C）=P（/）P（8）P（C）,则 P（/8 C）=P（/18）P（C）,但 事 件 月 8 不 一 定 与 相 互 独 立，故 错 误；对 D,若 尸（/B C）=P（/）P P（C）,则 事 件 4 8 与 C相 互 独 立，但 推 导 不 出 A,B,C两 两 独 立，故 D错 误；故 选：B1 0.已 知 加，为 异 面 直 线，加,平 面 明,平 面 夕，若 直 线/满 足 小 机，3,I S,3 0,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.a 4，/a B.a 与 尸 相 交，且 交 线 平 行 于/C.a B,I B D.&与#相 交，且 交 线 垂 直 于/B【分 析】由 己 知 条 件，结 合 线 面 平 行、线 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 和 面 面 平 行 的 性 质 等 对 各 个 选 项 进 行 分 析，即 可 得 出 正 确 结 论.【详 解】由 直 线 机/为 异 面 直 线，且?J平 面 a，”,平 面 尸，则。与 相 交，否 则，若 a/力 则 推 出 机，与 风 异 面 矛 盾，所 以 久 夕 相 交，故 A 错 误，如 图 所 示：设 a c/=a,由 小，平 面 a,a u a,m JL a,，平 面 耳，a u,”_La,作 b 机，使 得 b 与 相 交，记 b 与 构 成 平 面 7,易 知 又 直 线/满 足/加，/b,/_L”，6 与 相 交，则 故 而/”,则 交 线 平 行 于/,故 B 正 确，CD错 误；故 选：B1 1.若 数 据%+机、+机、x.+机 的 平 均 数 是 5,方 差 是 4,数 据 3%+1、3+1、3%+1的 平 均 数 是 1 0,标 准 差 是 s,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.机=2,s=6Q 7=4,S=6AB.加=2,5=36D%=4,5=36【分 析】设 数 据 X、X?、Z 的 平 均 数 为 X,标 准 差 为 b,利 用 方 差 公 式 和 平 均 数 公 式 可 求 得 结 果.【详 解】设 数 据 不、X”、X的 平 均 数 为 X,标 准 差 为 b,（3X+1）+（3/+1）+（3x+1）3（X+x2+%）+l=3x+l=10-则 n n,可 得=3,（玉+加）+（%+?）+.+（%+?）=X+=+%+加=嚏+z=5n n，可 得 机=2,（玉+加）一+加+（%2+?）+）+（X+。一+加）由 方 差 公 式 可 得 n_一 4+一 4+G“4 j（j-qn,（3国+1）-伊+可+（3工 2+1）-色+可+-+（3,+1）色+可 一 n9G 一 外+9 6 4=-=9cr=36,解 得 s=6.故 选：A.1 2.如 图，线 段 为 圆 的 直 径，点 E,尸 在 圆。上，EFI/AB,矩 形 Z8CZ）所 在 平 面 和 圆。所 在 平 面 垂 直，且 8=2,EF=AD=,给 出 以 下 结 论：OE 平 面/。尸；平 面 8CE_L平 面 Z C E；正 三 棱 锥 4-SCE外 接 球 的 半 径 为 2.叵 二 面 角 N-M-C 的 余 弦 值 为 7；则 其 中 正 确 结 论 的 个 数 是（）cA.1 B.2 C.3 D.4D【分 析】对，根 据“尸 判 定 即 可；对，证 明 平 面 5C E即 可 判 断；对，根 据 外 接 球 的 性 质 可 得 三 棱 锥-BCE外 接 球 的 直 径 为 Z C,再 求 解 半 径 即 可；对，过 8 作 B G E/于 G,连 接 CG,根 据 线 面 垂 直 的 性 质 与 判 定 可 得 Z8GC为 二 面 角 C-E广/的 平 面 角，再 根 据 几 何 关 系 求 解 余 弦 值 即 可【详 解】对，因 为“5=2,故 4 0=1=E F,又 E尸/8,故 四 边 形 EE4O为 平 行 四 边 形，故 0E 力 尸，故 0E 平 面 对，因 为 线 段 4 3 为 圆。的 直 径，故 Z E 1 8 E,又 矩 形 4 8 8 所 在 平 面 和 圆 所 在 平 面 垂 直，故 C 8 J_ N 8,且 N 8为 Z8C。与 尸 的 交 线，故 C8_L 平 面/8 E F,故 C B L/E,又 CBcBE=B,故 I E,平 面 8 C E,又 4 E u平 面/C E,故 平 面 BCE_L平 面/C E,故 正 确；对，由 可 得 NC8/=NCE/=90。，故 三 棱 锥 R-5CE外 接 球 的 直 径 为/C=J F”=石，V 5故 三 棱 锥/-8 C E外 接 球 的 半 径 为 2,故 正 确；对，过 8 作 B G L E F于 G,连 接 CG,由 于 矩 形/8 C O所 在 平 面 和 圆。所 在 平 面 垂 直,平 面/8C)n 平 面 r=/8,CB LAB,C 8 u 平 面/8CZ),所 以 C8 _L平 面/BEF,FGu平 面 4BEF,SG u平 面 4BEF,所 以 C8J_FG,C3_LBG,又 因 为 C 8n8G=8,所 以 FGL平 面 C 8 G,又 因 为 C G u平 面 C 8 G,所 以 C G _L F G,即 C G LFE,则 NBGC为 二 面 角 C-EF-A的 平 面 角，又 因 为 OB=OE=EF=17 75G=lxsin600=故 2,CB=1,故 正 确；故 选：D二、填 空 题 13.5月 4 闫，某 中 学 组 织 了“青 年 读 书”交 流 活 动.已 知 该 校 高 中 三 个 年 级 共 有 学 生 1800人，用 分 层 随 机 抽 样 的 方 法 从 中 抽 取 一 个 容 量 为 60的 样 本 参 加 活 动，其 中 高 一 年 级 抽 取 了 21人，则 该 校 高 一 年 级 学 生 人 数 为.630【分 析】设 该 校 高 一 年 级 学 生 人 数 为，根 据 分 层 抽 样 可 得 出 关 于 的 等 式，即 可 求 得 的 值.21 _ 60【详 解】设 该 校 高 一 年 级 学 生 人 数 为，由 分 层 抽 样 可 得 了 一 丽，解 得=630.故 答 案 为.63014.一 项 关 于 运 动 与 降 低 血 压 之 间 关 联 性 的 试 验 研 究，试 验 将 志 愿 者 分 为 人 数 相 等 且 为 偶 数 的 两 组.第 一 组 每 天 静 坐 1小 时，第 二 组 每 天 快 走 1小 时.每 组 一 半 人 服 用 降 压 药，另 一 半 服 用 安 慰 剂.用 6、c和 d 分 别 表 示 静 坐 的、快 走 的、服 用 降 压 药 和 安 慰 剂 的 志 愿 者.若 从 这 些 人 中 随 机 抽 取 1人，则 该 试 验 的 样 本 空 间 为.ac,ad,bc,bd【分 析】逐 一 列 举 出 样 本 空 间 中 的 基 本 事 件 即 可.【详 解】由 题 意 可 知，该 试 验 的 样 本 空 间 为 从.故 答 案 为 历 力 今15.某 高 校 的 面 试 为 每 位 面 试 者 提 供 三 次 机 会，每 次 机 会 都 是 从 难 度 相 当 的 题 目 库 中 随 机 抽 取 一 道 题 目 进 行 解 答.面 试 规 定：若 某 次 答 对 所 抽 到 的 题 目，则 面 试 通 过，否 则 就 一 直 用 完 这 三 次 机 会 为 止.已 知 小 明 答 对 每 道 题 目 的 概 率 都 是 0.7,则 他 通 过 面 试 的 概 率 为.9730.973 1000【分 析】先 求 对 立 事 件：没 有 通 过 面 试 的 概 率，然 后 再 求 通 过 的 概 率.【详 解】小 明 没 有 通 过 面 试 的 概 率：才=0。2 7,则 他 通 过 面 试 的 概 率 为 1-0.027=0.973.故 0.97316.如 图，矩 形/8 C O 中，AB=2AD=2,为 边 的 中 点，将 A/OE沿 直 线 O E 翻 折 至 4。后 的 位 置.若 M 为 线 段 4 c 的 中 点，在 A/OE 翻 折 过 程 中（4 任 平 面/8 8）,给 出 以 下 结 论：72 三 棱 锥 8-4 C E 体 积 最 大 值 为 12；直 线“8 平 面 N Q E；直 线 B M 与 也 所 成 角 为 定 值：存 在 4,使 614c.则 其 中 正 确 结 论 的 序 号 为.（填 写 所 有 正 确 结 论 的 序 号）【分 析】利 用 锥 体 的 体 积 公 式 可 判 断；利 用 面 面 平 行 的 性 质 可 判 断；利 用 异 面 直 线 所 成 角 的 定 义 可 判 断；利 用 反 证 法 可 判 断.【详 解】对 于，取 线 段 8 的 中 点/，连 接 所，连 接 尸 交 于 点 G,过 点 4 在 平 面 4 G 尸 内 作 4。,G尸，垂 足 为 点,在 矩 形/8CQ 中，AB/CD 旦 AB=CD,：E、F 分 别 为/8、的 中 点，贝。户 且/E=OF,因 为 AB=2AD=2,/.AE=AD=1,故 四 边 形 厂 E 为 正 方 形，同 理 可 知 四 边 形 8 C F E也 为 正 方 形,因 为/尸 n E=G，则 G 为 O E的 中 点，且/1 0 E,将“。E 沿 直 线 O E翻 折 至 的 位 置，则 4D=AD=AE=A,E=ltV2RAtD 1 AtE(A fi 1 D E(R=A fi A AF=G.OE_L 平 面 4 G 9,，4 0 u 平 面 4 G尸/4,0 _ L DEv A0 1 AF AFHDE=G f 4。，平 面 4 8。，且 4 O=4 G sin Z 4 G O 4 4 GS E=；B C-B E=；=3=乩 叱 4。4 9=叁 因 为 乙 乙，J当 且 仅 当,4 G 0 为 直 角 时，等 号 成 立，故 正 确；对 于，连 接 8尸 交 C E于 点 N,连 接 M N、MF,因 为 四 边 形 8 C F E为 正 方 形，CECBF=N,则 N 为 C E的 中 点，又 因 为“为 4 c 的 中 点，所 以，MNHAE,:MN 2 平 面 4DE,AXE u 平 面 4DE,.MN 平 面 4DE,同 理 可 证 M/平 面 4 E,因 为 M V nM F=A/,.平 面 5FM 平 面 4。后，B M u平 面.一 屈 平 面 4 巴 故 正 确：对 于，因 为 MF/&D,MNHAE,A D A.,：.MF 1.MN,MF=A.D=A,E=MN=因 为 2 2 2,所 以，AMN尸 为 等 腰 直 角 三 角 形，且 NMN尸=45。,所 以,BM=BN2+M V-2BN MNCGS135=NBNM=135,由 余 弦 定 理 可 得 2,所 以，2BM M N 5所 以，直 线 BM与 4 所 成 角 为 N5MN为 定 值，故 对;对 于，假 设 存 在 4 使 得 O E。，易 知 DE=CE=C.AD=C.,.CD=2,CE2+DE2=CD2,/.CE ID E,vZ)E14C,4 nCE=C,.Q E,平 面 4CEAXE u 平 面 ACE,DE J_ AXE,事 实 上，4E为 等 腰 直 角 三 角 形，且 这 与 矛 盾，故 假 设 不 成 立，故 错 误.故.思 路 点 睛：平 移 线 段 法 是 求 异 面 直 线 所 成 角 的 常 用 方 法，其 基 本 思 路 是 通 过 平 移 直 线,把 异 面 直 线 的 问 题 化 归 为 共 面 直 线 问 题 来 解 决，具 体 步 骤 如 下:(1)平 移：平 移 异 面 直 线 中 的 一 条 或 两 条，作 出 异 面 直 线 所 成 的 角;(2)认 定：证 明 作 出 的 角 就 是 所 求 异 面 直 线 所 成 的 角;(3)计 算：求 该 角 的 值，常 利 用 解 三 角 形;(4)取 舍:山 异 面 直 线 所 成 的 角 的 取 值 范 围 是,当 所 作 的 角 为 钝 角 时，应 取 它 的 补 角 作 为 两 条 异 面 直 线 所 成 的 角.三、解 答 题 17.为 了 解 某 班 学 生 的 视 力 健 康 情 况，采 用 抽 签 法 从 该 班 随 机 抽 取 了 10名 学 生，测 得 其 视 力 如 下:4.6 4.7 4.8 4.7 5.1 4.5 4.8 4.9 4.7 4.8(1)求 这 10名 学 生 视 力 的 第 25和 80百 分 位 数；(2)若 该 班 共 有 50名 学 生，根 据 上 述 数 据 估 计 该 班 视 力 在 R S 4 S 的 学 生 人 数.第 25百 分 位 数 为 4.7；第 80百 分 位 数 为 485(2)35【分 析】(1)根 据 百 分 位 数 的 求 法 即 可 求 解.(2)由 样 本 频 率 估 计 总 体 的 概 率，即 可 求 解.【详 解】(1)将 这 10名 学 生 的 视 力 按 从 小 到 大 排 列 如 下：4.5 4.6 4.7 4.7 4.7 4.8 4.8 4.8 4.9 5.110 x25%=2.5,10 x80%=8,所 以 第 25百 分 位 数 为 从 小 到 大 排 的 第 三 个 数 字，叩 4 9+4 8二 4.854.7；第 80百 分 位 数 为 从 小 到 大 排 列 后 第 八 个 和 第 九 个 数 据 的 平 均 数 2.7(2)10名 学 生 中 视 力 在 以 6,4间 的 学 生 人 数 有 7 个，所 以 视 力 在 邑 6,4间 的 频 率 为 正，50 7 35则 50名 学 生，视 力 在 竹 6 4 8 的 学 生 人 数 为、而 一 18.在 一 次 猜 灯 谜 活 动 中，甲、乙 两 人 同 时 独 立 猜 同 一 道 灯 谜，已 知 甲、乙 能 猜 对 的 概 率 分 别 是 0.6和 0.5.(1)求 两 人 都 猜 对 此 灯 谜 的 概 率；(2)求 恰 有 一 人 猜 对 此 灯 谜 的 概 率.0.3。5【分 析】(1)根 据 概 率 的 乘 法 公 式 求 解 即 可；(2)根 据 概 率 的 加 法 与 乘 法 公 式 求 解 即 可【详 解】设/=甲 猜 对，8=乙 猜 对，则=甲 猜 错”，限“乙 猜 错”，由 题 意 得 A 与 8 相 互 独 立，A 与 豆，7 与 B,)与 石 都 相 互 独 立，“两 人 都 猜 对=8,由 事 件 独 立 性 的 定 义 可 得 P(AB)=P(J)P(5)=0.6x 0.5=0.3(2)设”=“甲 猜 对，8=“乙 猜 对，则 7=“甲 猜 错”，否=“乙 猜 错”，由 题 意 得 A 与 B 相 互 独 立，A 与 后，7 与 B,力 与 5 都 相 互 独 立，“恰 有 一 人 猜 对 因 为 N 与 数 互 斥，由 概 率 的 加 法 公 式 可 得 P(ABjAB=P(AByP(AB=P(AP(ByP(AP(B)=0.6x0.5+0.4x0.5=0.5.19.某 校 高 一 年 级 的 学 生 有 500人，其 中 男 生 300人，女 生 200人.为 了 解 该 校 高 一 年 级 学 生 的 体 重 情 况，采 用 样 本 量 按 比 例 分 配 的 分 层 随 机 抽 样 抽 取 样 本，计 算 得 女 生 样 本 的 平 均 数 为 1=58(单 位：kg),方 差 为 I=1 6,男 生 样 本 的 平 均 数 为 N=63(单 位：kg),方 差 为 学=21.(1)计 算 总 样 本 的 平 均 数 三；(2)计 算 总 样 本 的 方 差 一；(3)估 计 该 校 高 一 年 级 全 体 学 生 的 平 均 数 N 和 方 差 相.61(2)25 5=61,S2=25【分 析】(1)分 别 求 出 女 生 男 生 的 样 本 容 量，进 而 求 出 总 样 本 的 平 均 数;(2)由 题 意 可 知,进 而 可 求 出 总 样 本 的 方 差;(3)由(1)、(2)可 估 计 该 校 高 一 年 级 全 体 学 生 的 平 均 数 和 方 差.2 3n,=n n7=n【详 解】(1)设 总 样 本 量 为，由 题 意 得 女 生 样 本 量 为 5,男 生 样 本 量 为 5-台 七+之 匕=J G IX+2N)=2 X58+3 X63=61则 f)n 5 5Z G-z I=(x,-x)+-z)=G-x j+2 G-z 应-x-z j/=1/=1 L i=i=i=W(x,.-xj+%G-zj=i=l为 sj+g-z)同 理/=1=2 2+0 二 j2弱 川+筋 厂 小 如+殴 引+*+0引 2 3=yx(16+9)+-x(21+4)=25(3)由(1)、(2)可 估 计 该 校 高 一 年 级 全 体 学 生 的 平 均 数 2=61,方 差 V=25.20.某 公 司 要 从 A、B、C、D、E、尸 这 六 人 中 选 聘 两 人 到 公 司 参 加 工 作，已 知 这 六 人 被 录 用 的 机 会 相 等.(1)求 A 和 8 都 被 录 用 的 概 率；(2)求 A 和 8 至 少 有 一 人 被 录 用 的 概 率.1 153(2)5【分 析】(1)(2)列 举 出 所 有 的 基 本 事 件，并 确 定 所 求 事 件 所 包 含 的 基 本 事 件，利 用 古 典 概 型 的 概 率 公 式 可 求 得 所 求 事 件 的 概 率.【详 解】(1)解：从 A、B、C、D、E、尸 这 六 人 中 选 聘 两 人，所 有 的 基 本 事 件 有：、C、A D、A E、4尸、B C、B D、BE、B F、C D、C E、C F、D E、D F、EF,共 15 种，P(M)=记 事 件 M:/和 B 都 被 录 用，则 事 件 M 包 含 的 基 本 事 件 有：故 15.(2)解：记 事 件 N：z 和 8 至 少 有 一 人 被 录 用，则 事 件 N 所 包 含 的 基 本 事 件 有：A B、C、AD,A E、4 F、B C、B D、B E、BF,共 9 种，P(N)=2=3所 以，15 5.21.袋 子 中 有 6 个 大 小 质 地 完 全 相 同 的 小 球，其 中 2 个 红 球、4 个 白 球，从 中 随 机 摸 出 两 个 小 球.(1)求 这 两 个 小 球 都 是 红 球 的 概 率；(2)求 这 两 个 小 球 至 少 有 一 个 红 球 的 概 率.1(I)153(2)5【分 析】(1)利 用 古 典 概 型 公 式 求 解 即 可.(2)利 用 古 典 概 型 公 式 求 解 即 可.【详 解】(1)设 红 球 为：4 8,白 球 为：a,b,c,d,从 6 个 球 中 随 机 摸 出 两 个 小 球，共 有.AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,ab,ac,ad,be,bd,cd,於 个 基 本 事 件 令 事 件 A：两 个 小 球 都 是 红 球，事 件 A 包 含 1个 基 本 事 件，尸 4.(2)令 事 件/这 两 个 小 球 至 少 有 一 个 红 球，事 件 豆：这 两 个 小 球 都 是 白 球，事 件 与 包 含 6 个 基 本 事 件.p(8)=i-p 0)=i q=Q|22.如 图，已 知 四 棱 锥 尸 一/B C O 中，底 面 是 直 角 梯 形，AD/BC,ABLAD,BC=2AD,PD_L 平 面/BCD,E 是 PB 的 中 点.p 求 证：4 E 平 面 PC。；(2)若 AB=BC=PD=2,求 直 线 A E 与 平 面 P B C 所 成 角 的 正 弦 值.(1)证 明 见 解 析 2 A/2 3【分 析】(1)取 PC中 点 尸，连 接。尸，根 据 中 位 线 的 性 质 证 明/。叫 是 平 行 四 边 形 即 可；(2)取 8 c 中 点 G,连 接 O G,P G,设 E F n P G=,根 据 线 面 垂 直 的 性 质 与 判 定 可 得 N D F O 是 D F 与 平 面 P B C 所 成 角，再 根 据 AE/D F 可 知 直 线 A E 与 平 面 P 8 C所 成 角 _ sin ZDFO=D F 即 可 即 NO/再 结 合 直 角 三 角 形 中 的 关 系 求 解【详 解】(1)证 明：取 PC中 点 尸，连 接。尸，EF=-B C,：E 是 PB 的 中 点、，；.EFi/BC,2,.AD/BC,BC=2AD,：,EF/AD,EF=A D,.4。尸 是 平 行 四 边 形，.”。尸，./E u 平 面 PC。，u 平 面 尸 8,平 面 P C Q；(2)取 8 c 中 点 G,连 接 力 G,PG,设 M n P G=,BG=-B C=AD则 2,/O 8 C,.Z1OG8是 平 行 四 边 形，./Q G B是 矩 形，.O G _L8C,O G n P O=。，.8CJ平 面。G P,.平 面 尸 8 c l.平 面 D G P,由(1)知 E P/8 C,.；是 P 8的 中 点，.是 P G 的 中 点，.PD=AB=D G,.OD PG,.DO 1 平 面 PBC,.W O 是 D F 与 平 面 P B C 所 成 角，sin ZDFO=E。/一./：与 平 面 尸 8 c 所 成 角 等 于/。尸。，.DF,.W 平 面 Z8C。，.PDLDG,.PG=y/PD2+D G2=272,。=升 6=&同 理 可 得 P C=PD2+C D2=y/PD2+D G2+C G2=3L pC=-D O 2/2 一 2,与 平 面 P 8 C 所 成 角 的 正 弦 值 为 万 万 一 亍 23.如 图，正 方 体 8 8 4 4 G R 中，P 是 4 A 的 中 点.求 证：4，平 面 8 C Q：（2）已 知 该 正 方 体 的 棱 长 为 2,求 三 棱 锥 P-8 G o 的 体 积.（1）证 明 见 解 析（2）2【分 析】（1）首 先 连 接 C，4 C,易 证 BO_L4C,4 C J.8 G,再 根 据 线 面 垂 直 的 判 定 即 可 得 到 4 c,平 面 8 C Q（2）首 先 连 结 C,交 于。G 点 E,连 结 P E,易 证 P E%。，根 据（1）得 到 P E,平 面 B C Q,再 求 三 棱 锥 的 体 积 即 可.【详 解】（1）连 接 C，A C,如 图 所 示:正 方 体。一 中，平 面 月 8CO,B D u 平 面 4 B C D,所 以 B D，可,B D 1 A C,A C n A A,=Af 所 以 3OJ_ 平 面 4。，因 为 u 平 面 4,所 以 助，4c.4 A，平 面 BCCB,BC u 平 面 BCC、B,所 以 4 与 _L BCtB Q-L 4 3,B Q 工 BC,AB Cl BjC=B,所 以 8 G 平 面 480因 为 4 C u 平 面 4 8 C,所 以 4。，8 GBD1A,C t 4 c l 8G,BDCBCi=B,所 以 4 c _L 平 面 8 C Q(2)连 结 C,交 于 0 G 点,连 结 P,如 图 所 示：因 为/8 C O-4 8 4 是 正 方 体，所 以 是 正 方 形,即 E 是 c n 的 中 点,因 为 p 是 4 0 的 中 点，所 以 P E 4 C,且 尸 5”由(1)知 C，平 面 8 C Q,所 以 尸 平 面 2CQ,因 为“8C。-4 4 G A 是 棱 长 为 2 的 正 方 体,所 以 8 G=DC1=/3所 以 S卬 A M n=-2 BDBC,-1 sin 60=,Vp BC D=_ S&BC D.P E=x 2A/3 x V3=2所 以 1 3 M C D 3