【100所名校】2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）.docx

2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学（理）试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知i是虚数单位，复数z=4i(1-i)2+i2019在复平面内所对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知集合A=y|y=x2和集合B=x|y=1-x2，则AB等于 A(0,1) B0,1 C0,+) D-1,13已知命题p:x0R,x0-4>lgx0，命题q:xR,x2>0,则A命题pq是假命题 B命题pq是真命题C命题p(¬q)是真命题 D命题p(¬q)是假命题4已知a=21.1,b=30.6,c=log123，则a,b,c的大小为Ab>c>a Ba>c>b Cb>a>c Da>b>c5函数f(x)=(m2-m-1)xm2+2m-5是幂函数，对任意的x1,x2(0,+)，且x1x2，满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0，若a,bR，且a+b>0，则f(a)+f(b)的值A恒大于0 B恒小于0 C等于0 D无法判断6设f(x)=11-x2,x0,12-x,x(1,2，则02f(x)dx等于A34 B45 C56 D07下列四个命题中真命题的个数是设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a/b的充要条件是x1y1=x2y2；在ABC中，AB+BC+CA=0；将函数y=f(x)的向右平移1个单位得到函数y=f(x-1)；cos(32+)=sin；已知Sn 是等差数列an的前n项和，若S7>S5，则S9>S3；A1 B2 C3 D48已知2<<<34,cos(-)=1213,sin(+)=-35，则sin2=A5665 B-5665 C6556 D-65569如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE=AB+AD（、为实数），则2+2 =A58 B14 C1 D51610我国古代数学著作九章算术中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数最小为A2 B3 C4 D511已知函数f(x)=Asin(x+)（其中A>0,>0,0<<）的图象关于点M(512,0)成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N(23,-3)，则对于下列判断：直线x=2是函数f(x)图象的一条对称轴；点(-12,0)是函数f(x)的一个对称中心；函数y=1与y=f(x)(-12x3512)的图象的所有交点的横坐标之和为7.其中正确的判断是A B C D12已知函数y=f(x)满足xf'(x)>(x-1)f(x) 且f(1)=e,则不等式lnxf(lnx)>x的解为 Ax>e B0<x<e Cx>1 D0<x<1二、填空题13(1tan15°)(1tan30°)_.14在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若20aBC+15bCA+12cAB=0，则ABC最小角的正弦值等于_.15ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=3，b=23，则ABC周长的取值范围是_.16已知函数f(x)=lnx,x>02-x2,x0，若函数g(x)=f(x)-kx有4个零点，则实数k的取值范围是_.三、解答题17设两个向量a,b，满足a=2,b=1.(1)若(a+2b)(a-b)=1，求a、b的夹角.(2)若a、b夹角为60，向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围.18已知函数f(x)=2cosxcos(x-6)-3sin2x+sinxcosx(1)求f(x) 的最小正周期；(2)把f(x)的图象向右平移m个单位后，在0,2是增函数，当|m|最小时，求m的值1919已知函数f(x)=12x2-alog2x(aR)（1）若函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为y=x+b，求a,b的值.（2）若函数f(x)在(1,+)上为增函数，求a的取值范围.20在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，S为其面积，若4S=a2+c2-b2.（1）求角B的大小；（2）设BAC的平分线AD交BC于D，AB=4,BD=2.求cosC的值.21设fx是定义在R上的函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=f(-x),f(x)=-f(4-x)，当x0,2时， fx=2x-x2.(1)当x2,4时，求fx的解析式；（2）计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2019).22已知函数f(x)=lnx+1x.(1)若f(x)在(m,m+1)上存在极值，(1)求实数m的取值范围；(2)求证：当x>1时，f(x)e+1>2ex-1(x+1)(xex+1).好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学（理）试题数学 答 案参考答案1C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案【详解】z=4i(1-i)2+i2019=4i-2i+（i4）504i3=-2-i，复数z在复平面内对应的点的坐标为（2，-1），位于第三象限故选：C【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2B【解析】【分析】分别求解函数的值域和定义域化简集合A与B，然后直接利用交集运算得答案【详解】A=x|y=x2=y|y0，B=x|y=1-x2=x|-1x1，AB=x|0x1故选：B【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数的定义域和值域的求法，是基础题3C【解析】【分析】举出正例x0=10可知命题p为真命题；举出反例x=0可知命题q为假命题，进而根据复合命题真假判断的真值表得到结论【详解】p为存在性命题，当x0=10时，x04lgx0成立，故命题p为真命题；又当x=0时，x2=0，故命题q为假命题，故命题pq是真命题，故A错误；命题pq是假命题，故B错误；命题p（q）是真命题，故C正确；命题p（q）是真命题，故D错误；故选：C【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题，难度基础4D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【详解】a=21.12，0b=30.6=533525=2，c=log1230，abc故选：D【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5A【解析】【分析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性求解即可【详解】由已知函数f（x）=（m2m1）xm2+2m-5是幂函数，可得m2m1=1，解得m=2或m=1，当m=2时，f（x）=x3；当m=1时，f（x）=x6对任意的x1、x2（0，+），且x1x2，满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0，函数是单调增函数，m=2，f（x）=x3又a+b0，f（a）>f（-b）=-f（b）则f（a）+f（b）恒大于0故选：A【点睛】本题考查幂函数的性质以及幂函数的定义的应用，考查计算能力6A【解析】【分析】原积分化为02f（x）dx=0111-x2dx+12（2x）dx，根据定积分的计算法则计算即可【详解】02f（x）dx=0111-x2dx+12（2x）dx，由定积分的几何意义知0111-x2dx=1011-x2dx=14,12（2x）dx=（2x12x2）|12=（2×212×22）（212）=422+12=12,02f（x）dx=0111-x2dx+12（2x）dx=14+12=34故选：A【点睛】本题考查了定积分的计算及定积分的意义，关键是求出原函数，属于基础题.7B【解析】【分析】由a/b的向量坐标公式直接可得不正确；在ABC中，AB+BC+CA=0；注意0与0的区别；将函数y=f(x)的向右平移1个单位得到函数y=f(x-1)；由诱导公式知cos(32+)=sin正确；由S7-S5=a7+a6>0可得S9-S3=3(a7+a6)>0，故正确.【详解】设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a/b的充要条件是x1y2=x2y1,当y1=0或y2=0时，x1y1=x2y2无意义，故不正确；在ABC中，AB+BC+CA=0，而不是0，故不正确；将函数y=f(x)的向右平移1个单位得到函数y=f(x-1)，故不正确；由诱导公式知cos(32+)=sin，故正确；已知Sn 是等差数列an的前n项和，若S7>S5，则S7-S5=a7+a6>0,S9-S3=3(a7+a6)>0,故正确.故选B.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，综合运用向量基本运算、函数的平移变换、等差数列的性质及三角函数中的诱导公式，属于中档题8B【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得以sin（）和cos（+）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin 2=sin（+）+（）的值【详解】已知234，cos（）=1213，sin（+）=35，+32，04sin（）=1-cos2(-)=513，cos（+）=1-sin2(+)=45，则sin 2=sin（+）+（）=sin（+）cos（）+cos（+）sin（）=35×1213+（45）×513=5665故选B.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式的应用，属于基础题9A【解析】【分析】由向量的线性运算得DE=12DA+12DO=14AB-34AD即可【详解】DE=12DA+12DO=12DA+14DB=12DA+14(DA+DC)=14AB-34AD=14，=-34，2+2=58故选A.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，转化思想，数形结合思想，属于基础题10C【解析】【分析】设需要n天时间才能打通相逢，则有：2n-12-1+12(1-12n)1-128，即2n12n80，解不等式即可得出.【详解】设需要n天时间才能打通相逢，则2n-12-1+12(1-12n)1-128，化为：2n12n80，令2n=t,则t2-8t-10t4-17（舍去）或t4+172n>8, n>3,n的最小整数为4.故选：C【点睛】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11C【解析】【分析】首先根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案【详解】函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，0）的图象关于点M（512，0）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为（23，3），则：T4=23-512=4，所以：T=，进一步解得：=2=2，A=3由于函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，0）的图象关于点M（512，0）成中心对称，所以：2512+=k（kZ），解得：=k-56，由于0，所以：当k=1时，=6所以：f（x）=3sin(2x+6)当x=2时，f（2）=3sin6=32，故错误当x=-12时，3sin（-6+6）=0，故正确由于：12x3512，则：02x+66，所以函数f（x）的图象与y=1有6个交点根据函数的交点设横坐标为x1、x2、x3、x4、x5、x6，根据函数的图象所有交点的横标和为7故正确故选C.【点睛】本题考查的知识要点：正弦型函数的解析式的求法，主要确定A，、的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于基础题型12A【解析】【分析】构造函数g（x）=xf(x)ex，确定函数的单调性，即可解不等式【详解】令lnx=t,则不等式lnxf(lnx)>x换元后得tlnt>et，构造函数g（x）=xf(x)et，则g（x）=xf'(x)-(x-1)f(x)ex0，函数单调递增，且g（1）=1，不等式tlnt>ett（t）et>1=g（1）,即g（t）>g（1）t>1, lnx>1, x>e故选：A【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生解不等式的能力，正确构造函数是关键132【解析】【分析】由条件利用两角和的正切公式求得要求式子的值【详解】(1tan15°)(1tan30°)1+tan15°+tan30°+tan15°tan30°=1+ tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=2故答案为：2【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题1435【解析】【分析】依题意，可得（20a15b）AC+（12c20a）AB=0，继而得b=43a，c=53a，a最小，角A最小，利用余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=(4a3)2+(5a3)2-a22×4a3×5a3=45，从而可得sinA的值【详解】20aBC+15bCA+12cAB=0，20a（ACAB）+15bCA+12cAB=（20a15b）AC+（12c20a）AB=0，向量AC与向量AB为不共线向量，20a15b=0且12c20a=0，b=43a，c=53a，a、b、c分别为ABC中A、B、C的对边，a最小，cosA=b2+c2-a22bc=(4a3)2+(5a3)2-a22×4a3×5a3=45sinA=1-cos2A=35故答案为35【点睛】本题考查平面向量基本定理与余定理的综合应用，求得b=43a，c=53a是关键，也是难点，考查运算求解能力，属于中档题1543,63【解析】【分析】由正弦定理可得：bsinB=csinC=asinA=3sin60°=4，a=4sinA，c=4sinC，于是a+b+c=23+4sinA+4sin（23A）化简整理即可得出【详解】由正弦定理可得：bsinB=csinC=asinA=3sin60°=4，a=4sinA，c=4sinC，a+b+c=23+4sinA+4sin（23A）=23+6sinA+23cosA=23+43sin（A+6）0A23，6A+656，sin（A+6）（12，1，（a+b+c）（43，63故答案为43,63【点睛】本题主要考查正弦定理、两角和与差的余弦公式等基础知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题160,1e【解析】【分析】由题意可得函数f（x）的图象和直线y=kx有4个不同的交点，数形结合求得k的范围【详解】f（x）=lnx,x>02-x2,x0，若函数g（x）=f（x）kx有4个不同的零点，则函数f（x）的图象和直线y=kx有4个不同的交点，如图：x>1时，f（x）=lnx, f（x）=1x,y=kx与f（x）在A(x,lnx)处相切，满足lnxx=1x,x=e切点A（e,1）,kOA=1e,0<k<1e时，y=kx与y=f（x）有4个不同零点.故答案为0,1e.【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题17： （1）23 （2）-7<t<-12且t-142【解析】【分析】（1）由(a+2b)(a-b)=1得，a2+ab-2b2=1，结合向量的夹角公式求解即可；（2）由已知得ab=2×1×cos60°=1从而可得(2ta+7b)(a+tb)=2ta2+(2t2+7)ab+7tb2=2t2+15t+7，由向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角，可得2t2+15t+70，即可t的范围.【详解】（1） (a+2b)(a-b)=1， a2+ab-2b2=1， ab=-1，cos<a,b>=abab=-12×1=-12，向量a、b的夹角是23（2）向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角， (2ta+7b)(a+tb)<0，也就是2ta2+(2t2+7)ab+7tb2<0，即2t2+15t+7<0，解得-7<t<-12，又向量2ta+7b与a+tb共线反向时 ，t=-142，所以t的取值范围是-7<t<-12且t-142【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量夹角公式及计算，属于基础题18：(1) （2）512【解析】【分析】（）利用两角差的余弦公式与二倍角公式将f（x）=2cosxcos（x6）3sin2x+sinxcosx化为f（x）=2sin（2x+3）及可求其周期；（）由f（x）=2sin（2x+3）的图象向右平移m个单位后，得到g（x）=2sin（2x2m+），可求其单调增区间为512+m+k，12+m+k，再结合g（x）在0，2是增函数，即可求得|m|最小值【详解】(1)f(x)=2cosxcos(x-6)-3sin2x+sinxcosx =2cosx(cosxcos6+sinxsin6)-3sin2x+sinxcosx =3cos2x+sinxcosx-3sin2x+sinxcosx =3(cos2x-sin2x)+2sinxcosx =3cos2x+sin2x=2sin(2x+3) T=22= （2）g(x)=2sin(2x-2m+3) 由2k-22x-2m+32k-2得单调递增区间为-512+m+k,112+m+k.kN*g(x)在0,2是增函数，而函数的最小正周期恰好是，所以0,2刚好是半个周期，-512+m+k=0，m=512-k，当|m|最小时，m=512.【点睛】本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，综合考察了两角差的余弦公式与二倍角公式、辅助角公式的应用，考查了正弦函数的单调性，求最值问题等，熟练掌握三角函数公式与三角函数性质是解决问题的关键，属于难题19（1）a=2ln2,b=-2ln2（2）aln2【解析】【分析】（）函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b可知：f'2=2-a2ln2=1,进而可解ab的值；（）若函数f（x）在（1，+）上为增函数，则f'(x)0在（1，+）上恒成立，分离变量可求a的范围【详解】（1）切点坐标是2,2-a，又f(x)=x-axln2 所以k=2-a2ln2所以2-a2ln2=1解得a=2ln2，把切点代入切线方程的b=-2ln2（2）f(x)=x-axln20在(1,+)上恒成立，即ax2ln2在(1,+)上恒成立，设g(x)=x2lnx2,因为x(1,+)，所以g(x)的最小值是ln2，所以aln2【点睛】本题为导数与函数的综合应用，正确理解在某点处的切线斜率即是该点的导数值是解决问题的关键，属中档题20：（1）B=4 (2)-210【解析】【分析】（I）由已知及余弦定理可求得cosB=22，结合范围B（0，），可求B的值（II）由正弦定理可得sinBAD，进而根据同角三角函数基本关系式可求cosBAD，根据二倍角的正弦函数公式即可求解sinBAC的值【详解】（1）因为所4S=a2+c2-b2，所以，4×12acsinB=2accosB,即,所以B=4.(2)在ABD中，由余弦定理，AD=10,由正弦定理，2sinBAD=10sin4，以为10>2所以BAD<4,所以sinBAD=1010,COSBAD=31010,所以，sinBAC=sin2BAD=35,COSBAC=1-2sin2BAD=45 sinB=cosB,所以cosC=cos(-4-BAC)=cos(34-BAC)=-210也可以由角分线定理，再用余弦定理解【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题21（1）f(x)=x2-6x+8 （2）0【解析】【分析】（1）根据函数周期性的定义即可证明f（x）是周期函数,再根据函数奇偶性和周期性的关系即可求出当x2，4时f（x）的解析式.（2）根据函数的周期性先计算一个周期内的函数值之和，即可计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2019)的值【详解】：（1）将f(x)=-f(4-x)中的x用-x代换得f(-x)=-f(x+4)，又f(x+2)=f(-x)得f(x+4)=-f(x+2)，将x用x-2替换得f(x+2)=-f(x)所以周期为4，由f(x)=-f(4-x)得函数f(x)的对称中心是(2,0)，此函数是奇函数，在-2.0的解析式为f(x)=-f(-x)=x2+2x，向右移4个单位得f(x)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8（2）f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=-1，由周期是4知f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(504×4+3)=f(1)+f(2)+f(3)=0【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数周期性的定义以及函数奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键22（1）0<m<1（2）见解析【解析】【分析】（1）求出f（x）的导数，求得极值点x=1，令m1m+1，解不等式即可得到取值范围；（2）不等式f(x)e+12ex-1(x+1)(xex+1)即为1e+1(x+1)(lnx+1)x2ex-1xex+1，令g（x）=(x+1)(lnx+1)x，通过导数，求得g(x)e+12e+1，令k（x）=ex-1xex+1，运用导数证得k（x）k（1）=1e+1，原不等式即可得证【详解】：（1）f(x)=-lnxx2，f(x)=0得x=1，由题意，1在(m,m+1)内m<11<m+1所以0<m<1（2）只需证明1e+1f(x)(x+1)>2ex-1xex+1，即证1e+1(x+1)(lnx+1)x>2ex-1xex+1设g(x)=(x+1)(lnx+1)x，则g(x)=x-lnxx2，设h(x)=x-lnx，则h(x)=1-1x=x-1x，当x>1时，h(x)>0，h(x)在(1,+)上是增函数，所以h(x)>h(1)=1>0，所以g(x)>0，所以g(x)在(1,+)上是增函数，所以当x>1时，g(x)>g(1)=2，所以g(x)e+1>2e+1（i）再设k(x)=ex-1xex+1，则k(x)=ex-1(1-ex)(xex+1)2，当x>1时，k(x)<0，所以k(x)在(1,+)上是减函数，所以，当x>1时，k(x)<k(1)=1e+1，所以2ex-1xex+1<2e+1（ii），综合（i）与（ii）得，f(x)e+1>2ex-1(x+1)(xex+1).【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值，同时考查构造函数求导数，判断单调性，运用单调性证明不等式，属于中档题好教育云平台 名校精编卷答案 第13页（共14页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第14页（共14页）