专题8二次函数与矩形存在性问题-挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.docx

下载来源：初中数学资料群：795399662，其他科资料群：729826090挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题8二次函数与矩形存在性问题1.矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角为直角的四边形是矩形2.题型分析矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个下：同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C或D的坐标. 【例1】（2022泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+x+c经过A（2，0），B（0，4）两点，直线x3与x轴交于点C（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x3交于点D，E，且BDO与OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把A（2，0），B（0，4）两点代入抛物线yax2+x+c中列方程组解出即可；（2）利用待定系数可得直线AB的解析式，再设直线DE的解析式为：ymx，点D是直线DE和AB的交点，列方程可得点D的横坐标，根据BDO与OCE的面积相等列等式可解答；（3）设P（t，t2+t+4），分两种情况：作辅助线构建相似三角形，证明三角形相似或利用等角的三角函数列等式可解答【解答】解：（1）把A（2，0），B（0，4）两点代入抛物线yax2+x+c中得：解得：；（2）由（1）知：抛物线解析式为：yx2+x+4，设直线AB的解析式为：ykx+b，则，解得：，AB的解析式为：y2x+4，设直线DE的解析式为：ymx，2x+4mx，x，当x3时，y3m，E（3，3m），BDO与OCE的面积相等，CEOC，3（3m）4，9m218m160，（3m+2）（3m8）0，m1，m2（舍），直线DE的解析式为：yx；（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：设P（t，t2+t+4），如图1，过点P作PHy轴于H，四边形BPGF是矩形，BPFG，PBFBFG90°，CFG+BFOBFO+OBFCFG+CGFOBF+PBH90°，PBHOFBCGF，PHBFCG90°，PHBFCG（AAS），PHCF，CFPHt，OF3t，PBHOFB，即，解得：t10（舍），t21，F（2，0）；如图2，过点G作GNy轴于N，过点P作PMx轴于M，同可得：NGFM3，OFt3，OFBFPM，tanOFBtanFPM，即，解得：t1，t2（舍），F（，0）；综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）【例2】（2022绥化）如图，抛物线yax2+bx+c交y轴于点A（0，4），并经过点C（6，0），过点A作ABy轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EFAB于F，以EF为对角线作正方形EGFH（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线x2，可得出抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（2，0），列出交点式，再将点A（0，4）可得出抛物线的解析式；（2）根据可得出ABD是等腰直角三角形，再根据点E的运动和正方形的性质可得出点H，F，G的坐标，根据点B，C的坐标可得出直线BC的解析式，将点G代入直线BC的解析式即可；（3）若存在，则BGC是直角三角形，则需要分类讨论，当点B为直角顶点，当点G为直角顶点，当点C为直角顶点，分别求解即可【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x2，D点的坐标为（4，0），抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），抛物线的解析式为：ya（x+2）（x6），将点A（0，4）解析式可得，12a4，a抛物线的解析式为：y（x+2）（x6）x2x4（2）ABy轴，A（0，4），点B的坐标为（4，4）D（4，0），ABBD4，且ABD90°，ABD是等腰直角三角形，BAD45°EFAB，AFE90°，AEF是等腰直角三角形AEm，AFEFm，E（m，4+m），F（m，4）四边形EGFH是正方形，EHF是等腰直角三角形，HEFHFE45°，FH是AFE的角平分线，点H是AE的中点H（m，4+m），G（m，4+m）B（4，4），C（6，0），直线BC的解析式为：y2x12当点G随着E点运动到达BC上时，有2×m124+m解得mG（，）（3）存在，理由如下：B（4，4），C（6，0），G（m，4+m）BG2（4m）2+（m）2，BC2（46）2+（4）220，CG2（6m）2+（4+m）2若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则BGC是直角三角形，分以下三种情况：当点B为直角顶点时，BG2+BC2CG2，（4m）2+（m）2+20（6m）2+（4+m）2，解得m，G（，）；当点C为直角顶点时，BC2+CG2BG2，20+（6m）2+（4+m）2（4m）2+（m）2，解得m，G（，）；当点G为直角顶点时，BG2+CG2BC2，（4m）2+（m）2+（6m）2+（4+m）220，解得m或2，G（3，3）或（，）；综上，存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点G的坐标为（，）或（，）或（3，3）或（，）【例3】（2022黔东南州）如图，抛物线yax2+2x+c的对称轴是直线x1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DMx轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x1，抛物线经过点B（3，0），可得A（1，0），用待定系数法即可求解；（2）求出直线BC的解析式，设点D坐标为（t，t2+2t+3），则点N（t，t+3），利用勾股定理表示出AC2，AN2，CN2，然后分当ACAN时，当ACCN时，当ANCN时三种情况进行讨论，列出关于t的方程，求出t的值，即可写出点N的坐标；（3）分两种情形讨论：当BC为对角线时，当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可【解答】解：（1）抛物线yax2+2x+c的对称轴是直线x1，与x轴交于点A，B（3，0），A（1，0），解得，抛物线的解析式yx2+2x+3；（2）yx2+2x+3，C（0，3），设直线BC的解析式为ykx+3，将点B（3，0）代入得：03k+3，解得：k1，直线BC的解析式为yx+3；设点D坐标为（t，t2+2t+3），则点N（t，t+3），A（1，0），C（0，3），AC212+3210，AN2（t+1）2+（t+3）22t24t+10，CN2t2+（3+t3）22t2，当ACAN时，AC2AN2，102t24t+10，解得t12，t20（不合题意，舍去），点N的坐标为（2，1）；当ACCN时，AC2CN2，102t2，解得t1，t2（不合题意，舍去），点N的坐标为（，3）；当ANCN时，AN2CN2，2t24t+102t2，解得t，点N的坐标为（，）；综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3）或（，）；（3）设E（1，a），F（m，n），B（3，0），C（0，3），BC3，以BC为对角线时，BC2CE2+BE2，（3）212+（a3）2+a2+（31）2，解得：a，或a，E（1，）或（1，），B（3，0），C（0，3），m+10+3，n+0+3或n+0+3，m2，n或n，点F的坐标为（2，）或（2，）；以BC为边时，BE2CE2+BC2或CE2BE2+BC2，a2+（31）212+（a3）2+（3）2或12+（a3）2a2+（31）2+（3）2，解得：a4或a2，E（1，4）或（1，2），B（3，0），C（0，3），m+01+3，n+30+4或m+31+0，n+032，m4，n1或m2，n1，点F的坐标为（4，1）或（2，1），综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（2，1）【例4】（2022梁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC2OA（1）试求抛物线的解析式；（2）直线ykx+1（k0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由【分析】（1）因为抛物线yax2+bx+c经过A（2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设ya（x+2）（x4），求出点C坐标代入求出a即可；（2）由CMDFMP，可得m，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形分两种情形分别求解即可：当DP是矩形的边时，有两种情形；当DP是对角线时；【解答】解：（1）因为抛物线yax2+bx+c经过A（2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设ya（x+2）（x4），OC2OA，OA2，C（0，4），代入抛物线的解析式得到a，y（x+2）（x4）或yx2+x+4或y（x1）2+（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PEx轴于E，交BC于FCDPE，CMDFMP，m，直线ykx+1（k0）与y轴交于点D，则D（0，1），BC的解析式为yx+4，设P（n，n2+n+4），则F（n，n+4），PFn2+n+4（n+4）（n2）2+2，m（n2）2+，0，当n2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图21中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入ykx+1中，得到k，直线DP的解析式为yx+1，可得D（0，1），E（，0），由DOEQOD可得，OD2OEOQ，1OQ，OQ，Q（，0）根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，N（2+，41），即N（，3）b、如图22中，四边形PDNQ是矩形时，直线PD的解析式为yx+1，PQPD，直线PQ的解析式为yx+，Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，N（0+6，14），即N（6，3）当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2x2+1，QP2（x2）2+42，PD213，Q是直角顶点，QD2+QP2PD2，x2+1+（x2）2+1613，整理得x22x+40，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，3）1（2022武功县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：yx2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A（6，0）、B（2，0）两点（1）求抛物线L1的函数表达式；（2）将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；（2）存在，根据题意求得抛物线L2的表达式，再与抛物线L1联立，求得点C的坐标，进而求得点D的坐标；要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，分当M在x轴上方时和当M在x轴下方时，两种情况讨论，根据矩形的性质列出方程，求解即可【解答】解：（1）把A（6，0）、B（2，0）代入yx2+bx+c中，得，解得，抛物线L1的函数表达式为yx24x+12；（2）存在，理由如下：yx24x+12（x+2）2+16，抛物线L2的函数表达式为y（x+24）2+16（x2）2+16x2+4x+12，令x24x+12x2+4x+12，解得：x0，当x0时，yx24x+1212，点C的坐标为（0，12），点D是点C关于x轴的对称点，点D坐标为（0，12），当M在x轴上方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，则yMyC，即x2+4x+1212，解得：x10，x24，M1（4，12）；当M在x轴下方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，则yMyD，即x2+4x+1212，解得：x12+2，x222，M2（2+2，12），M3（22，12）综上所述，在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，点M的坐标为（4，12）或（2+2，12）或（22，12）2（2022东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y+bx+c与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，ABy轴于点BABC绕点B逆时针旋转90°得到OBE，连接DE当+bx+c0时，x的取值范围是x2（1）求该抛物线的解析式；（2）求证：四边形OBED是矩形；（3）在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，连接DF，当DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP使得OPD+DOE90°，求点P的坐标【分析】（1）由题意可知抛物线与x轴的两个交点为（2，0），（，0），再将两个点代入解析式即可求解；（2）由旋转是性质，可得OBAB，则设A（m，m），求出A点坐标，由此可得BEOD，再由BEOD，OBOD即可证明；（3）设N（n，0），则F（n，n），则S（n1）2+，可知当n1时，S有最大值，此时N（1，0），F（1，），通过已知可推导出OPNPOE，从而得到PFOF，设P（1，t），则|t|，求出t的值即可求点P的坐标【解答】（1）解：当+bx+c0时，x的取值范围是x2，抛物线与x轴的两个交点为（2，0），（，0），解得，yx1；（2）证明：由（1）可知D（2，0），C（0，1），OD2，OC1，ABy轴，ABC是直角三角形，ABC绕点B逆时针旋转90°得到OBE，OBBE，ABOB，设A（m，m），mm2m1，解得m1或m，A（1，1），BO1，BCBE2，BEOD，BOD90°，BEOD，四边形OBED是矩形；（3）E（2，1），直线OE的解析式为yx，设N（n，0），则F（n，n），S×DN×FN×（2n）×n（n1）2+，N在线段OD上，0n2，当n1时，S有最大值，此时N（1，0），F（1，），PNO90°，EOD+POE90°，OPD+DOE90°，POE+OPNOPD，O点与D点关于l对称，OPNNPD，OPNPOE，PFOF，设P（1，t），|t|，t+或t+，P点坐标为（1，+）或（1，+）3（2022石家庄二模）如图，抛物线yx2+bx+c（c0）与x轴交于点A（1，0），B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC（1）点C的纵坐标为 b+1（用含b的式子表示），OBC45度；（2）当b1时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为（3，2）抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围【分析】（1）将（1，0）代入解析式可得c与b的关系，从而可得OBOC，进而求解（2）由b1可得抛物线解析式及点B，C坐标，根据待定系数法求出直线BC解析式，设点P坐标为（m，m2+m+2），作PEx轴交BC于点E，连接PC，PB，由SBCPSCEP+SBEP求解（3）将二次函数解析式化为顶点式可得点Q坐标，由点A，Q坐标可得A，Q中点坐标，进而求解根据抛物线与y轴交点的位置及抛物线对称轴的位置，结合图象求解【解答】解：（1）将（1，0）代入yx2+bx+c得01b+c，解得cb+1，yx2+bx+b+1，设点B坐标为（x2，0），则抛物线对称轴为直线x，解得x2b+1，点B坐标为（b+1，0），OCOBb+1，OBC45°，故答案为：b+1，45（2）当b1时，yx2+x+2，作PEx轴交BC于点E，连接PC，PB，设直线BC解析式为ykx+b，将B（2，0），（0，2）代入ykx+b得，解得，yx+2设点P坐标为（m，m2+m+2），则点E坐标为（m，m+2），PEm2+2m，SBCPSCEP+SBEPPExP+PE（xBxP）PExBm2+2m（m1）2+1，m1时，BCP面积的最大为1，此时点P坐标为（1，2）（3）yx2+bx+b+1（x）2+b+1，点Q坐标为（，+b+1），A（1，0），点A，Q中点坐标为（+，+），+2，解得b2或b6，当b2时，点Q坐标为（1，4），当b6时，点Q坐标为（3，4）E（3，2），点F坐标为（0，2），将（0，2）代入yx2+bx+b+1得b+12，解得b1，将E（3，2）代入yx2+bx+b+1得29+4b+1，解得b，1b，满足题意当抛物线顶点Q（，+b+1）落在y轴上时，0，解得b0，当抛物线经过原点时，0b+1，解得b1，1b0符合题意综上所述，1b或1b04（2022滨海县一模）如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y2x+m交y轴于点MP为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F（1）求抛物线的表达式：（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求PBC的面积：（3）若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；在的条件下，第四象限内有一点Q，满足QNQM，当QNB的周长最小时，求点Q的坐标【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点A（1，0）、B（4，0）两点，即知抛物线的表达式为：y（x+1）（x4），即yx2+x+2；（2）由yx2+x+2求出P（，），由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为yx+2，从而可得E（，），PE，即可得PBC的面积是；（3）过点N作NGEF于点G，求得直线BM的表达式为：y2x8即知M（0，8），设E（a，a+2），则F（a，2a8），证明NEGBFH（AAS），可得NGBH，EGFH，即有a4a，解得F（2，4），E（2，1），从而可得N（0，3）；取MN的中点D，由QNQM，知点Q在MN的垂直平分线上，又CQNBBQ+NQ+BNBQ+NQ+5BQ+MQ+5，故要使CQNB最小，只需BQ+MQ最小，即点B、Q、M共线，此时，点Q即为MN的垂直平分线与直线BM的交点，由N（0，3），M（0，8），得D（0，），即可得Q（，）【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0）、B（4，0）两点，抛物线的表达式为：y（x+1）（x4），即yx2+x+2；（2）如图：点P落在抛物线yx2+x+2的对称轴上，P为抛物线yx2+x+2的顶点，yx2+x+2（x）2+，P（，），在yx2+x+2中，令x0得y2，C（0，2）由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为yx+2，把x代入yx+2得y，E（，），PE，SPBCPE|xBxC|××4，答：PBC的面积是；（3）过点N作NGEF于点G，如图：y2x+m过点B（4，0），02×4+m，解得m8，直线BM的表达式为：y2x8，M（0，8），设E（a，a+2），则F（a，2a8），四边形BENF为矩形，NEGBFH，NEBF，又NGE90°BHF，NEGBFH（AAS），NGBH，EGFH，而NGa，BHOBOH4a，a4a，解得a2，F（2，4），E（2，1），EH1，EGFH，EFEGEFFH，即GFEH1，F（2，4），G（2，3），N（0，3）；取MN的中点D，如图：QNQM，点Q在MN的垂直平分线上，又B（4，0），N（0，3），BN5，CQNBBQ+NQ+BNBQ+NQ+5BQ+MQ+5，要使CQNB最小，只需BQ+MQ最小，当点B、Q、M共线时，QNB的周长最小，此时，点Q即为MN的垂直平分线与直线BM的交点，N（0，3），M（0，8），D（0，），在y2x8中，令y得：2x8，解得x，Q（，）5（2022石家庄模拟）某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长AD为12米，宽AB为4米，抛物线的最高处E距地面BC为8米（1）请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；（2）若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离；（3）现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN（如图2），对观景桥表面进行维护，P，N点在抛物线上，Q，M点在BC上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下【分析】（1）以CB所在的直线为x轴，点E为顶点建立直角坐标系，用待定系数法求解即可；（2）确定立柱的纵坐标，解方程可得答案；（3）设N（m，m2+8），则PN2m，MNPQm2+8，三根支杆的总长度wm2+2m+16，再根据二次函数的性质解答即可【解答】解：（1）如图，以CB所在的直线为x轴，点E为顶点建立直角坐标系，由题意得，E（0，8），A（6，4），设抛物线的解析式为yax2+c，代入可得，解得，yx2+8；（2）依题意可得x2+87，解得x±3，3（3）6（米），答：这两根立柱之间的水平距离是6米；（3）设N（m，m2+8），则PN2m，MNPQm2+8，三根支杆的总长度wPQ+PN+MN+2m+2（m2+8）m2+2m+16，a0，m4.5时，w最大20.5，三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值为20.5米6（2022朝阳区校级一模）已知二次函数yx22mxm与y轴交于点M，直线ym+5与y轴交于点A，与直线x4交于点B，直线y2m与y轴交于点D（A与D不重合），与直线x4交于点C，构建矩形ABCD（1）当点M在线段AD上时，求m的取值范围（2）求证：抛物线yx22mxm与直线ym+5恒有两个交点（3）当抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围（4）当抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的时，直接写出m的取值范围【分析】（1）由题意得：M（0，m），A（0，m+5），D（0，2m），分两种情况：当m+52m，即m时，当m+52m，即m时，分别根据“点M在线段AD上”，列出不等式求解即可；（2）由题意得：x22mx2m50，根据根的判别式即可证得结论；（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线xm，顶点坐标为（m，m2m），开口向上，分三种情况：当m+52m，即m时，当m+52m，即m0时，当169m2m，即m时，分别画出图形讨论即可；（4）由题意得：抛物线yx22mxm在矩形ABCD中的最高点的横坐标x的范围是0x4，点B（4，m+5）到x轴的距离为|m+5|，根据“抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的”分三种情况：当m5时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m，2m），当5m时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，2m），当m，且169mm+5，即m时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，m+5），分别代入抛物线解析式求解即可【解答】（1）解：由题意得：M（0，m），A（0，m+5），D（0，2m），当m+52m，即m时，点M在线段AD上，2mmm+5，m0；当m+52m，即m时，点M在线段AD上，m+5m2m，m；综上所述，m的取值范围为m0或m（2）证明：当x22mxmm+5时，整理得：x22mx2m50，（2m）24×1×（2m5）4（m+1）2+16，4（m+1）20，4（m+1）2+160，抛物线yx22mxm与直线ym+5恒有两个交点（3）解：yx22mxm（xm）2m2m，该抛物线的对称轴为直线xm，顶点坐标为（m，m2m），开口向上，与y轴的交点M（0，m），当m+52m，即m时，如图1，此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；当m+52m，即m0时，如图2，此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；当m0时，如图3，令x4，则y168mm169m，当169m2m，即m时，抛物线在矩形内部（不包括边界）的函数值y随着x的增大而减小；综上，m的取值范围为m或m0或m（4）解：由题意得：抛物线yx22mxm在矩形ABCD中的最高点的横坐标x的范围是0x4，点B（4，m+5）到x轴的距离为|m+5|，当x4时，y169m，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标为|m+5|，当m5时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m，2m），2m（m）22m（m）m，解得：m，m5，m；当5m时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，2m），2m（m+）22m（m+）m，解得：m1，5m，m1；当m，且169mm+5，即m时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，m+5），m+5（m+）22m（m+）m，解得：m3，m，m3+；综上所述，m的值为或1或3+7（2022长春一模）已知抛物线yx22mx+2m+1（1）写出抛物线yx22mx+2m+1的顶点坐标（用含m的式子表示）（2）当x1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m1（3）当1x2时，函数yx22mx+2m+1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0当y01时，求m的值（4）当m0时，分别过点A（2，1）、B（2，4）作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象（包括边界）的最低点到直线y2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的值【分析】（1）由y（xm）2m2+2m+1，即可求解；（2）由抛物线的图象可得m1时，y随x的增大而增大；（3）分三种情况讨论：当m1时，y02+4m1，解得m（舍）；当m2时，x2，函数有最小值，y052m1，解得m3；当1m2时，y0m2+2m+11，解得m+1（舍）或m+1；（4）分五种情况讨论：当0m时，m2+2m+1+24，解得m1（舍）；当m1时，m2+2m+1+242m+1，解得m+2（舍）或m+2；当1m时，m2+2m+1+22m+1，解得m或m（舍）；当m2时，m2+2m+1+24，解得m1（舍）；当m2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，此时不符合题意【解答】解：（1）yx22mx+2m+1（xm）2m2+2m+1，顶点坐标为（m，m2+2m+1）；（2）抛物线开口向上，m1时，y随x的增大而增大，故答案为：m1；（3）当m1时，x1，函数有最小值，y02+4m，y01，2+4m1，解得m（舍）；当m2时，x2，函数有最小值，y052m，y01，52m1，解得m3；当1m2时，xm，函数有最小值，y0m2+2m+1，y01，m2+2m+11，解得m+1（舍）或m+1；综上所述：m的值为3或+1；（4）当0m时，m2+2m+1+24，解得m1（舍）；当m1时，m2+2m+1+242m+1，解得m+2（舍）或m+2；当1m时，m2+2m+1+22m+1，解得m或m（舍）；当m2时，m2+2m+1+24，解得m1（舍）；当m2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，34，此时不符合题意；综上所述：m的值为或28（2021咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求抛物线的解析式；（2）当点Q与点M重合时，求m的值；（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围【分析】（1）利用待定系数法求解即可（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可（3）根据PQMQ，构建方程求解即可（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有m+m2+m+，解得0m4，观察图象可知当0m3时，抛物线在矩形PQMN内