基础夯实练45：球的切、接问题 高三数学一轮复习.docx

基础夯实练45 球的切、接问题1(2023·岳阳模拟)已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为()A. B4 C8 D122已知在三棱锥PABC中，AC，BC1，ACBC且PA2PB，PB平面ABC，则其外接球体积为()A. B4 C. D43(多选)已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA平面ABC，PA6，ABAC，AB2，AC2，点D为AB的中点，过点D作球O的截面，则截面的面积可以是()A. B C9 D134若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为()A B2 C3 D45已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是()A6 B12 C18 D246(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为1，则下列说法中正确的是()A正方体的外接球的表面积为12B正方体的内切球的体积为C正方体的棱长为2D线段MN的最大值为27.(2022·聊城模拟)“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为()A. B. C4 D88(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A. B. C. D.9在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA2，AB2，AC4，BAC45°，则三棱锥PABC外接球的表面积是()A14 B16 C18 D2010已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A100 B128C144 D19211已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2 C. D312在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将ADE，CDF，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥ODEF，则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为()A.2 B4 C2 D.13如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE平面ABCD，AB2，BCCE1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为_，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为_14.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，表面积为S1，球O的体积为V2，表面积为S2，则_，_.15已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_16(2023·洛阳模拟)已知在三棱锥PABC中，AB4，BC3，PAAC5，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_17(2023·濮阳模拟)在三棱锥DABC中，ABBC2，AC2，BD4，BD平面ABC，则三棱锥DABC外接球的表面积为_参考答案1B2.A3.BCD4.C5.C6ABC设正方体的棱长为a，则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即a；内切球的半径为棱长的一半，即.M，N分别为外接球和内切球上的动点，MNminaa1，解得a2，即正方体的棱长为2，正方体外接球的表面积为4×()212，内切球的体积为，则A，B，C正确；线段MN的最大值为1，则D错误7A将该多面体放入正方体中，如图所示由于多面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得，所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即2R，所以R1，所以该多面体外接球的体积VR3.8C该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大设圆锥的高为h(0<h<1)，底面半径为r，则圆锥的体积Vr2h(1h2)h，则V(13h2)，令V(13h2)0，得h，所以V(1h2)h在上单调递增，在上单调递减，所以当h时，四棱锥的体积最大，故选C.9D在BAC中，BAC45°，AB2，AC4，由余弦定理可得BC2AB2AC22AB·ACcos 45°8162×4×2×8，则BC2AB2AC2，所以BCAB，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC，又PAABA，PA，AB平面PAB，所以BC平面PAB，所以BCPB，所以PBC为直角三角形，又PAC为直角三角形，所以PC是三棱锥PABC外接球直径，设O是PC的中点，即为球心，又AC4，PA2，所以PC2，所以外接球半径为，所以所求外接球的表面积S4×()220.10A由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××33，××44.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O21，其外接球的球心O在直线O1O2上设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R232OO42(1OO1)2，解得OO14(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R242OO32(1OO2)2，解得OO23，所以R225，所以该球的表面积为4R2100.综上，该球的表面积为100.11C12C因为在正方形ABCD中，ADAE，CDCF，BEBF，所以折起后OD，OE，OF两两互相垂直，故该三棱锥的外接球，即以OD，OE，OF为棱的长方体的外接球设正方形ABCD的边长为2，则OD2，OE1，OF1，故2R，则R.设内切球球心为I，由VODEF·SOEF·OD，三棱锥ODEF的表面积S4，VODEFVIODEVIODFVIOEFVIDEFSr，所以r，则有2.136解析如图，添加的三棱锥为直三棱锥EADF，可以将该多面体补成一个直三棱柱ADFBCE，因为CE平面ABCD，AB2，BCCE1，所以SBCECE×BC×1×1，直三棱柱ADFBCE的体积VSBCE·AB×21，添加的三棱锥的体积为V.方法一如图，分别取AF，BE的中点M，N，连接MN，与AE交于点O，因为四边形AFEB为矩形，所以O为AE，MN的中点，在直三棱柱ADFBCE中，CE平面ABCD，所以FD平面ABCD，即ECBFDA90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O，AO即为球的半径，因为AMAF，MO1，所以AO2AM2MO21，所以外接球的表面积为4·AO26.方法二因为CE，CB，CD两两垂直，故将直三棱柱ADFBCE补成长方体，设外接球的半径为R，则4R21212226，所以外接球的表面积S4R26.14.15.1650解析因为AB4，BC3，PAAC5，所以AB2BC2AC2，所以ABC为直角三角形，ABC90°，所以ABC的面积为定值，所以当PA平面ABC时，该三棱锥体积最大如图，取线段PC的中点O，则OPOAOBOC，所以点O为三棱锥外接球的球心，因为PAAC5，所以PC5，所以OC，即外接球的半径R，所以所求外接球的表面积为4R24×250.1232解析BD平面ABC，故可将三棱锥补为直三棱柱，如图所示，ABBC2，AC2，故三棱柱的上、下底面三角形的外接圆圆心在底边中线的延长线上，设为O1，O2，易得O1BC60°，故O1BO1CBC2，三棱柱外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点O，即为三棱锥DABC外接球球心，设该外接球半径为R，则在RtOCO1中，R22228，故三棱锥DABC外接球的表面积为4R232.学科网（北京）股份有限公司