高三数学一轮复习基础夯实练46：空间点、直线、平面之间的位置关系.docx

基础夯实练46 空间点、直线、平面之间的位置关系1若直线上有两个点在平面外，则()A直线上至少有一个点在平面内B直线上有无穷多个点在平面内C直线上所有点都在平面外D直线上至多有一个点在平面内2(多选)下列命题中不正确的是()A空间四点共面，则其中必有三点共线B空间四点不共面，则其中任意三点不共线C空间四点中有三点共线，则此四点不共面D空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面3已知平面，两两垂直，直线a，b，c满足a，b，c，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系()A两两垂直 B两两平行C两两相交 D两两异面4在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB2，E是的中点，F是AB的中点，则()AAECF，AC与EF是共面直线BAECF，AC与EF是共面直线CAECF，AC与EF是异面直线DAECF，AC与EF是异面直线5.如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E，F 分别是棱AD，BC 的中点若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面 去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为()A3 B4C4 D66(2021·全国乙卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A. B. C. D.7.(2023·广州模拟)如图为四棱锥ADEFG的侧面展开图(点G1，G2重合为点G)，其中ADAF，G1DG2F.E是线段DF的中点，请写出四棱锥ADEFG中一对一定相互垂直的异面直线_(填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形)8. 如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直则这两个四棱柱的表面相交的交线段总长度为_9. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线10. 如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值11(多选)(2023·朝阳模拟)在三棱锥ABCD中，ABCD，ADBCACBD，则()AABCDB三棱锥ABCD的体积为C三棱锥ABCD外接球半径为D异面直线AD与BC所成角的余弦值为12. 如图，E，F分别为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中点，若AB6，则过A，E，F三点的截面的面积为()A9B18C.D.13(2022·南阳模拟)如图，AB和CD是异面直线，ABCD3，E，F分别为线段AD，BC上的点，且，EF，则AB与CD所成角的大小为_14已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA平面ABC，PA6，AB2，AC2，BC4，则：(1)球O的表面积为_；(2)若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是_15(2023·重庆模拟)如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，ABBC，ABBC2，过AB，BB1的中点E，F作平面与平面AA1C1C垂直，则平面与该直三棱柱所得截面的周长为 _.16. 如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ADDC，ABDC，AB2AD2CD2，点E是PB的中点(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；(2)若PC2，求三棱锥PACE的体积参考答案1D2.ACD3.B4.D5B将正四面体补成正方体如图所示，可得EF平面CHBG，且正方体的棱长为2.由于EF平面，且平面 与四面体的每一个面都相交，故截面为平行四边形MNKL，且KLKN4，又KLBC，KNAD，且ADBC，KNKL， 平行四边形MNKL 为矩形，S矩形MNKLKN·KL24，当且仅当KNKL2 时取等号6D方法一如图，连接C1P，因为ABCDA1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1PB1D1，又C1PBB1，所以C1P平面B1BP.又BP平面B1BP，所以C1PBP.连接BC1，则AD1BC1，所以PBC1为直线PB与AD1所成的角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则在RtC1PB中，C1PB1D1，BC12，sinPBC1，所以PBC1.方法二以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则B(0,0,2)，P(1,1,0)，D1(2,2,0)，A(0,2,2)，(1，1,2)，(2,0，2)设直线PB与AD1所成的角为，则cos .因为，所以.方法三如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点易知A1BBC1A1C1，所以A1BC1为等边三角形，所以A1BC1，又P为A1C1的中点，所以可得PBC1A1BC1.7AE，DF(或AE，DG或AE，GF或AG，DF)889证明(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD.在BCD中，所以GHBD，所以EFGH.所以E，F，G，H四点共面(2)因为EGFHP，PEG，EG平面ABC，所以P平面ABC.同理P平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，所以PAC，所以P，A，C三点共线10解(1)SABC×2×22，三棱锥PABC的体积VSABC·PA×2×2.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.11ABD将三棱锥补形为长方体，如图所示其中BEBN1，BF2，所以ABCD，ADBCACBD，连接MF，则AMBF，AMBF，所以四边形AMFB为平行四边形，所以ABMF，又四边形MCFD为正方形，所以MFCD，所以ABCD，故A正确；长方体的体积V11×1×22，三棱锥EABC的体积V2V三棱锥ABEC××1×2×1，同理，三棱锥NABD，三棱锥FBCD，三棱锥MACD的体积也为，所以三棱锥ABCD的体积V24×，故B正确；长方体的外接球的直径为，所以长方体的外接球的半径为，长方体的外接球也是三棱锥ABCD的外接球，所以三棱锥ABCD外接球的半径为，故C错误；连接MN，交AD于点O，因为MNBC，所以AOM(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角，由已知OAAD，OMMN，AM2，所以cosAOM，所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为，故D正确12C连接EF，作直线EF分别与直线DC，DD1的延长线相交于点P，Q，连接AP交BC于点M，连接AQ交A1D1于点N，连接NF，ME.则五边形AMEFN即为过A，E，F三点的截面，如图所示由题意知APAQ3，PQ9，SAPQ，又MEAQ，且，SMPESQNFSAPQ，S五边形AMEFNSAPQ.1360°解析在平面ABD中，过E作EGAB，交DB于点G，连接GF，如图，又，则GFCD，EGF(或其补角)即为AB与CD所成角，在EGF中，EGAB2，GFCD1，EF，cosEGF，EGF120°，AB与CD所成角的大小为60°.14(1)52(2)4解析(1)由题意，根据勾股定理可得ACAB，则可将三棱锥PABC放入以AP，AC，AB为长方体的长，宽，高的长方体中，则体对角线为外接球直径，设外接球半径为r，即2r2，则r，所以球O的表面积为4r24×()252.(2)由题意，得ABC为直角三角形，所以D为底面ABC的外接圆圆心，当DO截面时，截面面积最小，即截面为平面ABC的外接圆，半径为2，故截面面积的最小值为×224.153解析如图所示，取AC的中点D，连接BD，取A1C1的中点D1，连接B1D1，取AD的中点G，连接EG，连接EF，分别取C1D1，B1C1的中点M，N，连接MN，FN，GM，可得EGBD，BDB1D1，MNB1D1，即有EGMN，又由ABBC，可得BDAC，因为AA1平面ABC，可得AA1BD，又ACAA1A，AC，AA1平面AA1C1C，所以BD平面AA1C1C，可得EG平面AA1C1C，由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNF平面AA1C1C，则平面EGMNF即为平面，由EGBD，GM，MNB1D1，NF，FE，则所得截面的周长为×2×23.16解(1)存在当G为PA的中点时满足条件如图，连接GE，GD，则GE是PAB的中位线，所以GEAB.又ABDC，所以GEDC，所以G，E，C，D四点共面(2)因为E是PB的中点，所以VPACEVBACEVPACB.因为ADDC，ABDC，所以AC，CB，故由题易知ACBC，所以SABCAC·BC××1，VPACBPC·SABC，所以VPACE.学科网（北京）股份有限公司