中考数学精创专题资料----高频考点训练--相似三角形.docx

中考数学高频考点训练-相似三角形一、综合题1如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点(与点A，D不重合) ，EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交于AC于点G，交CD于点M。（1）求DE：CG的值；（2）设AE=x，SBEG=y，求y关于x的函数表达式及x的取值范围。当图中点E，M关于对角线BD成轴对称时，求y的值。2如图1，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为 A(0,6) 和 B(63,0) ，点E为x轴正半轴上的一个动点，过点A、B、E作 ABE 的外接圆 C ，连结 AC 并延长交圆于点D，连结 BD 、 DE （1）求证： OAE=BAD （2）当 AD=15 时，求 OE 的长度（3）如图2，连结 OD ，求线段 OD 的最小值及当 OD 最小时 ABE 的外接圆圆心C的坐标3如图，一次函数y=kx+2的图形与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点P，点P在第一象限，PAx轴于点A，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且SCOD=1，COOA=12（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象直接写出当x>0时，一次函数值大于等于反比例函数的值时x的取值范围4如图，抛物线 y=34x2+94x+3 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B .在线段 OA 上有一动点 E(m,0) （不与 O,A 重合），过点 E 作 x 轴的垂线交 AB 于点 N ，交抛物线于点 P ，过点 P 作 PMAB 于点 M . （1）求直线 AB 的函数解析式； （2）求证： PMNAEN ；并求出当 m 为何值时， PMN 和 AEN 的相似比为 65 . 5问题情景：在数学活动课上，同学们对等腰三角形进行探究在 ACB 中， CA=CB ，在 AED 中， EA=ED ，已知 ACB=AED ，直线BD，CE交于点F （1）观察猜想：如图，当 ACB=AED=60° 线段BD与CE之间的数量关系是 ， CFB 的度数是 （2）合作交流：小华受上述问题启发，在图的基础上（ ACB=AED=90° ），探究线段BD与CE之间的数量关系和 CFB 的度数，请你帮小华完成任务 （3）类比探究：在小华探究的基础上，同学们又提出了新的问题，如图，当 ACB=AED= 时， CAAB=EAAD=k 时，线段DB与CE之间的数量关系是 ， CFB 的度数是 6如图，在Rt ABC中，ACBC6，ACB90°，正方形BDEF的边长为2 2 ，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CF. （1）如图1所示，求证 ABE CBF，并直接写出 AECF 的值； （2）在正方形BDEF绕点B旋转过程中，当A、E、F三点共线时，求CF的长；（3）如图2所示，在正方形BDEF旋转过程中，设AE的中点为M，连接FM，请直接写出FM长度的最大值.7如图, 点I是ABC的内心, BI的延长线与ABC的外接圆O交于点D, 与AC交于点E, 延长CD, BA相交于点F, ADF的平分线交AF于点G, 连接AI（1）求证: DG为O的切线;（2）求证:ID·FG = DF·AG;（3）若DE = 1, BE = 3, 求BI的长.8如图，ABC内接于O，BC是O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得FAC=AOD，D=BAF （1）求证：AD是O的切线； （2）若O的半径为5，CE=2，求EF的长 9已知图形 M 和图形 M 上的两点 P 、 Q ，如果 PQ 上的所有点都在图形 M 的内部或边上，则称 PQ 为图形 M 的内弧特别的，在 ABC 中， D ， E 分别是 ABC 两边的中点，如果 DE 上的所有点都在 ABC 的内部或边上，则称 DE 为 ABC 的中内弧（注： PQ 是指劣弧或半圆）在平面直角坐标系中，已知点 A(4,0) B(0,n) 设内弧所在圆的圆心为 P （1）当 n=4 时，连接 OA 、 OB 并延长 请在图1中画出一条 AOB 的内弧 AB ；请直接写出 AOB 的内弧 AB 长度的最大值 （2）连接 OA 、 OB 并延长 当 n=433 时，请直接写出 AOB 的所有内弧 AB 所在圆的圆心 P 的纵坐标的取值范围 ；（3）连接 OA 、 OB 并延长若直线 x=6 上存在 AOB 的内弧 AB 所在圆的圆心 P ，请求出 n 的取值范围 （4）作点 B 关于点 O 的对称点 C ，作点 B 关于点 A 的对称点 D ，连接 BC 、 BD 、 CD 令 n>0 ，当 BCD 的中内弧 AO 所在的圆的圆心 P 在 BCD 的外部时， BCD 的所有中内弧 AO 都存在，请直接写出 n 的取值范围 10在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点M为边AD上一点，连接CM（1）将CDM沿直线CM翻折，得到对应的CDMi）如图1，延长CD交边AD于点E，若点E恰为边AD中点，求线段MD的长；ii）如图2，连接BD，若BD=BC，求线段MD的长；（2）如图3，若DM=DC，点P为边BC上一动点（点P不与B，C两点重合），过点P作PFPA交线段CM于点F，在点P的运动过程中，线段CF的长是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由11如图，在一个长40 m、宽30 m的矩形小操场上，王刚从A点出发，沿着ABC的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地2 23 m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好落在一条直线上.（1）此时两人相距多少米(DE的长)?（2）张华追赶王刚的速度是多少?12如图1，ABC中，ABAC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，连接DE、DC，DE交AC于点G，且DEDC.（1）请证明ACDBDE；（2）若ABmAD，求DGGE的值（用含m的式子表示）（3）如图2，将ABC沿BC翻折，若点A的对应点A'恰好落在DE的延长线上，求BEEC的值.13如图，矩形AOBC的顶点B， A分别在x轴，y轴上，点C坐标是(5，4)，D为BC边上一点，将矩形沿AD折叠，点C落在x轴上的点E处，AD的延长线与x轴相交于点F。（1）如图9-1，求点D的坐标；（2）如图9-2，若P是AF上一动点，PMAC交AC于M，PNCF交CF于N，设AP=t， FN=s，求s与t之间的函数关系式；（3）在(2)的条件下，是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。14平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为(0，0)、A(a，0)、C(0，b)，且a、b满足 b216b+64+2ab+2=0 . （1）矩形的顶点B的坐标是 . （2）若D是OC中点，沿AD折叠矩形OABC使O点落在E处，折痕为DA，连CE并延长交AB于F，求直线CE的解析式； （3）将(2)中直线CE向左平移 32 个单位交y轴于M，N为第二象限内的一个动点，且ONM135°，求FN的最大值. 15如图，RtAOB在平面直角坐标系中，已知：B（0， 3 ），点A在x轴的正半轴上，OA=3，BAD=30°，将AOB沿AB翻折，点O到点C的位置，连接CB并延长交x轴于点D. （1）求点D的坐标； （2）动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿x轴的正方向运动，当PAB为直角三角形时，求t的值； （3）在（2）的条件下，当PAB为以PBA为直角的直角三角形时，在y轴上是否存在一点Q使PBQ为等腰三角形？如果存在，请直接写出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由. 16如图1，在菱形ABCD中，AB=15，过点A作AEBC于点E，AE=12，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BE向终点E运动，过点P作PQBC，交BA于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，设点P的运动时间为t秒（1）求菱形对角线AC的长；（2）求线段AQ与时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围（3）如图2，AC交QM于点F，交QN于点O，若O是线段QN的中点，求t的值答案解析部分1【答案】（1）四边形ABCD是正方形， BDE=BCG=CBD=45°，BD= 2 BC又EBM=45°，DBE=CBGBDEBCGDE：CG=BD：BC= 2（2）四边形ABCD是正方形， 又BDEBCG，BE：BG=BD：BC=BD：AB= 2易知BEGBAD，BEG是等腰直角三角形，y=SBEG= 14 BE²= 14 x²+9(0<x<6)若E，M关于对角线BD成轴对称，连接EM交AC于点H，BD垂直平分EM，BE平分ABD，AE=HE=DH，DE= 2 HE6-x= 2 x，即x=6 2 -6，y= 14 (6 2 -6)2+9=27-18 22【答案】（1）证明：由题意可得：AD为O的直径， ABD=AOE=90°，ADB=AEB，AOE=90°OAE=BAD；（2）解：A(0,6) 和 B(63,0) ， OA=6，OB= 63 ，AB= OA2+OB2=12 ，AD=15，由（1）得：OAE=BAD，ABD=AOE，ABDAOE，ABAD=AOAE ，即 1215=6AE ，解得：AE= 152 ，OE= AE2OA2=(152)262=92 ；（3）解：设直线BD与y轴交于点F， ABBD，OBD=OAB=90°-ABO，直线AB位置不变，直线BD位置不变，当ODBD时，OD最小，此时，OD=OB×sinOBD=OB×sinOAB= 63 × OBAB = 63 × 6312 =9，BD= OB2OD2=33 ，过点D作DGBE于点G，设OG=x，则BG= 63 -x，在OBD中，BD2-BG2=OD2-OG2，即 (33)2(63x)2=92x2 ，解得：x= 932 ，即OG= 932 ，DG= OD2OG2= 92 ，由题意可得点D在第三象限，点D坐标为（ 932 ， 92 ），而点A（0，6），点C坐标为（ 932+02 ， 92+62 ），即（ 934 ， 34 ）.3【答案】（1）解：在y=kx+2中，令x=0，得y=2点D的坐标为(0，2)（2）解：PACA，DOCO，PAC=COD=90°DCO=DCO，RtPACRtDOCCOOA=12，OD=2，ODPA=COCA=13解得PA=6由SCOD=1，可得：12OCOD=1，解得OC=1OA=2，P(2，6)把P(2，6)分别代入y=kx+2与y=mx则一次函数解析式为y=2x+2，反比例函数解析式为y=12x(x>0)（3）x24【答案】（1）解：令： y=0 ，则 34x2+94x+3=0 ，解得： x1=4 ， x2=1 （舍）A(4,0)令 x=0 ，得 y=3 ，B(0,3)设直线 AB ： y=kx+b ，把 (4,0) ， (0,3) 分别代入上式得：b=34k+b=0 解之得： k=34b=3y=34x+3（2）证明：PMN=AEN=90又PNM=ANEPMNAENA(4,0) ， E(m,0) ， P(m,34m2+94m+3) ， N(m,34m+3)AE=4m ， AN=54(4m) ， PN=34m2+3mPNAN=6534m2+3m54(4m)=65m1=2 ， m2=4 （舍）5【答案】（1）BD=CE；CFB=60°（2）解： BD=2CE ， CFB=45° ，理由如下： 在 ACB 中， CA=CB ， ACB=90° ，CAB=45° CA2+CB2=AB2ABAC=2 同理 ADAE=2ABAC=ADAECAE=CAB+BAE ， BAD=EAD+BAE ，CAE=BAD ， ACEABDCEBD=AEAD=12 ， BD=2CE ， ACE=ABD在AOC和FOB中 AOC=FOB ， ACE=ABDCFB=CAB=45°（3）CE=KBD；CFB=90°126【答案】（1）解： AECF = 2 ， RtABC中，AC=BC，AB= 2 CB，ABC=45°，四边形BDEF是正方形，BE= 2 BF，EBF=45°，ABCB=EBFB 2 ，ABC=EBF=45°，ABE=CBF，ABECBF，AECF=ABBC 2 ；（2）解：如图2-1，当点F在A、E之间时， AC=BC=6，ACB=90°，AB=6 2 ，又AFB=90°，AF= AB2BF2=728 =8，AE=8+2 2 ，由（1）知，AE 2 CF，CF=4 2 +2；如图2-2，当点E在A、F之间时，同理可得AF=8，AE=82 2 ，CF=4 2 2；综上所述：CF=4 2 +2或4 2 -2；（3）3 2 +2 7【答案】（1）证明：如图，连接OD， 点I为ABC的内心，ABD=CBD，AD=CDCDO=ADO又DG平分ADF，ADG=FDGCDO+ADO+ADG+FDG=180°，ODA+ADG=ODG=90°，DG为O的切线-（2）证明：ABC+ADC=180°，ADC+FDA=180°， FDA=ABC，DG，BD分别为ADF，ABC的平分线，FDG=ABDABD=ACD，FDG=ACD，DGAC，CDDF=AGCF由(1)知CD=AD，ADDF=AGCF点I是ABC的内心，BAI=EAI，DIA=DBA+IAB=DAC+IAC，DBA=DAC，DIA=DAIDA=DIDIDF=AGGFID·FG=DF·AG（3）解：DAC=CBD=ABD， DAEDBAADDB=DEDA即AD2=DE·DB=1×(3+1)=4AD=2DI=2BI=BD-DI=(3+1)-2=28【答案】（1）解：BC是O的直径， BAF+FAC=90°，D=BAF，AOD=FAC，D+AOD=90°，OAD=90°，AD是O的切线；（2）解：连接BF， FAC=AOD，ACEDCA，ACOC=AEOA=CEAC ，AC5=AE5=2AC ，AC=AE= 10 ，CAE=CBF，ACEBFE，AECE=BEEF ，102 = 8EF ，EF= 8105 9【答案】（1）；22（2）yP233 或 yP833（3）解：如图，取直线x=6上一点P，连接BP，过点P作PCAB于C，直线x=6交x轴于点D， 当 AB 在线段AB下方时且 AB 最大，过A、B两点的圆P与y轴相切，则BPy轴，PC垂直平分AB，此时四边形OBPD是矩形，BP=OD=6，A(4，0)，B(0，n),OA=4，OB=n，AB= 16+n2 ，BC= 1216+n2易证AOBBCP，BPAB=BCOA ,616+n2=1216+n242解得n= 42 （n=- 42 舍去），同理，当 AB 在线段AB上方时且 AB 最大，n=- 42 ，综上，n的取值范围是 42n42 且 n0 ；（4）n2210【答案】（1）解：i）E是边AD的中点，DE=AE=3，在RtCDE中，DE=3，CD=4，由勾股定理可得：CE=ED2+CD2=32+42=5，CDM沿直线CM翻折，得到对应的CDM，CMDCMD，CD=CD=4，ED=ECCD=54=1，D=MDC=90°，则MDE=90°，即MDE是直角三角形，设MD=MD=x，则ME=DEMD=3x，由勾股定理得：ED2+MD2=EM2，则1+x2=(3x)2，解得x=43，MD=43ii）如图：过点D作RSAD，交AD于R，交BC于S，由题意得：设CS=x，则BS=6x，在RtBSD与RtCSD中，由勾股定理得：SD2=BD2BS2=CD2CS2即62(6x)2=42x2，解得x=43，在RtCSD中，由勾股定理可得DS=42(43)2=823，CDM=D=90°，RDM+CDS=90°，又CDS+DCS=90°RDM=DCS，且MRD=DSC=90°，可得MRDDSC，MRMD=DSCD=8234=223，设MR=22y，则MD=MD=3y，RD=RM+MD=RM+MD22y+3y=43，解得y=4832，MD=3y=3×(4832)=1282（2）解：过点F作GNAD，交AD于G，交BC于N，DM=DC=4，RtCDM是等腰直角三角形，DCM=45°，FCN=45°，则FNC也是等腰直角三角形，欲求线段CF的最大值，即为CN、FN最大，GN是定值，当FN最大时，GF最小，点F在线段CM上，在RtAGF中，当GF最小时，AF最小故AF最小时，FC最大取AF的中点O，连接OP，过点O作OHBC交BC于点H，PFPA，OP=OA=OF点P是以O为圆心，AF为直径的圆与BC的交点，OHBC，OPOH，当点P与点H重合时，OP最小，则AF也最小，此时，以O为圆心，AF为直径的圆与BC相切，O是AF的中点，P为BN的中点，PAPF，可得ABPPNF，ABBP=PNFN，设FN=x，BP=PN=6x2，46x2=6x2x，则(6x2)2=4x，解得x=14±410（x=14+410舍去），FNC是等腰直角三角形，FC=2FN=2(14410)=14285，FC的最大值为1428511【答案】（1）解：在RtABC中：AB=40，BC=30，AC=50 m.由题意可得DEAC，RtBDERtBAC，DEAC = BDAB ，即 DE50 = 8340 .解得DE= 103 m.答：此时两人相距 103 m.（2）解：在RtBDE中：DB=223，DE=103，BE=2 m.王刚走的总路程为AB+BE=42 m.王刚走这段路程用的时间为 423 =14(s).张华用的时间为14-4=10(s)，张华走的总路程为AD=AB-BD=40-223=3713（m），张华追赶王刚的速度是3713÷103.7（m/s）.答：张华追赶王刚的速度约是3.7m/s.12【答案】（1）解：AB=AC， B=ACB，DE=DC，DEC=DCE，B+BDE=ACB+ACD，BDE=ACD（2）解：如图，过点E作EFAC交AB于点F， EFD=CAD，在EFD与DAC中，EFD=CADBDE=ACDDE=DC，EFDDAC(AAS)，FD=AC=AB，AB=mAD，FD=mAD，AF=FDAD=(m1)AD，EFAC，DGGE=DAAF=1m1；（3）解：设AG=a，GC=b，则AC=AG+GC=a+b， 由（1）可知ADG=ACD，又DAG=CAD，ADGACD，AGAD=ADAC，aAD=ADa+b，解得：AD=a(a+b)（舍负），AB=AC，ABC=ACB，由题意可得：AC=AC=AB=a+b，ACB=ACB，ACB=ABC，BDAC，BEEC=BDAC=a+b+a(a+b)a+b=1+aa+b，同理可得：ABAC，BEEC=ABCG=a+bb=1+ab，1+aa+b=1+ab，整理得：a2+abb2=0，解得：ab=1+52（舍负），BEEC=1+ab=1+5213【答案】（1）解：设D(5，a)，则BD=a，CD= ED=4-a， 又AC=AE=5，OA=4，在RtAOE中，OE= AE2OA2 =3BE=OB-OE=5-3= 2在RtBDE中，由勾股定理，BE2+BD2=DE2，得22+a2=(4-a)4，a>0，a= 32D(5， 32 )（2）解：(如图1) ACBF，PAM =DFB，又AMP=FBD= 90°，ADCFDBACBF=CDBD又AC=5，CD= 52 ，BD= 32得BF=3，OF =8，AF=4 5在RtBCF中，由勾股定理，CF=AC=5延长MP交OF于点N'，CF=AC，CAF=AFCACEF，CAF=EFA=AFC，FA平分CFO，PNCF，PN'OFPN= PN'PM+PN=PM+PN'=MN'=4(或连接CP，用等面积法求得： PM + PN=4 )CAF =CF4，又ACD=PNF =90°PFNDAC，FNAC=PNCDPNNF=CDAC=525=12又NF =s，PN= 12 s，PM =4- 12 s，P4=t，PF =4 5 -t，412s12s=t45ts= 255 t+8（3）解：P1(4，2)，P2( 4011 ， 2411 )，P3( 4811 ， 2011 ) 分三种情况进行讨论(i)当PM=PN时，PAMPFN，PA=PF即t=4 5 -t解得t=2 5PM=2，AM=4P1(4，2)(ii)当PM = MN时，方法(如图3)：作MHPN于H，有PH=NH= 12 PN = 14 sPM =4- 12 sPMAC， PNCF，MPN +MCN =180°又BFC +MCN= 180° MPN=BFC又MHP=CBF=90°，PMHFCBPMFC=PHFBPMPH=FCFB412s14s=53s= 4811代入s= 255 t+8得，t= 20115P2( 4011 ， 2411 )(iii)当NM=NP时(如图5)过N作NQPM于点Q，NPQ=BFCNQP=CBF =90°，NQPCBF PNPQ=CFCB=53又PN= 12 s，PQ= 12 PM= 12 (4- 12 s)=2- 14 s，CF=5，12s214s=53s= 4011代入s=- 255 t+8，t= 24511P3( 4811 ， 2011 )综上所述，P1(4，2)，P2( 4011 ， 2411 )，P3( 4811 ， 2011 )14【答案】（1）（6，8）（2）解：过点E作x轴的平行线交y轴于点G、交AB于点H， 设GD=m，GE=n，GED+HEA=90°，GED+GDE=90°，GDE=HEA，RtDGERtEHA，GDEH=GEAH=EDAEm6n=n4+m=46解得： m=2013,n=4813 ，OG= 7213 ,E(4813,7213) .设直线CE的解析式为y=kx+b,则b=84813k+b=7213 ，解得 k=23b=8 ，直线CE的解析式为： y=23x+8（3）解：在 y=23x+8 中当x=6时，y=4， 点F的坐标为 F(6,4) ，直线CE向左平移一个单位后的表达式为： y=23(x+1)+8 ，点M的坐标为 M(0,223) ，过点N、O、M作圆R（R为圆心），连接RM、RO，当F、R、N三点共线时，FN最大，ONM=135°，MRO=90°，RMO为等腰直角三角形，点R的坐标为 R(113,113) ，RM=1123 ，RN=1123 ，F(6,4) ， R(113,113)FR=(6113)2+(4113)2 = 523 ，FN的最大值=PR+RN= 523+1123 = 1623 .故答案是： 1623 .15【答案】（1）解：B（0， 3 ）， OB= 3 .OA= 3 OB，OA=3，AC=3.BAD=30°，OAC=60°.ACD=90°，ODB=30°，ODOB = 3 ，OD=3，D（3，0）；（2）解：OA=3，OD=3，A（3，0），AD=6， AB=2 3 ，当PBA=90°时.PD=2t，OP=32t.OBAOPB，OB2=OPOA，32t= OB2OA =1，解得t=1，当APB=90°时，则P与O重合，t= 32 ；（3）解：存在. 当BP为腰的等腰三角形.OP=1，BP= 12+(3)2 =2，Q1（0， 3 +2），Q3（0. 3 2）；当PQ2=Q2B时，设PQ2=Q2B=a，在RtOPQ2中，12+（ 3 x）2=x2，解得x= 536 ，Q2（0， 36 ）；当PB=PQ4时，Q4（0， 3 ）综上所述：满足条件的点Q的坐标为Q1（0， 3 +2），Q2（0， 36 ），Q3（0. 3 2），Q4（0， 3 ）.16【答案】（1）解：如图，连结AC，四边形ABCD是菱形，AB=BC=15，AEBC，AEB=90°，AB=15，AE=12，BE=AB2AE2=9，CE=BCBE=159=6，在RtACE中，AC=AE2+CE2=65；（2）解：PQBC，PQAE，BPQBEA，BPBE=PQAE=BQBA，即3t9=PQ12=BQ15，BQ=5t，PQ=4t，AQ=ABBQ=155t，(0t3)（3）解：QMBC，AQFABC， OQF=ONCAQAB=QFBC，AB=BC，AQ=QF，O是QN的中点，OQ=ON；在OQF和ONC中，OQF=ONCOQ=ONFOQ=CON，OQFONC(ASA)，FQ=CN，AQ=FQ=CN，BP=3t，PQ=PN=4t，BN=7t，AQ=BNBC=7t15=155t，解得：t=52 学科网（北京）股份有限公司