专题4二次函数与相似问题-挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.docx

下载来源：初中数学资料群：795399662，其他科资料群：729826090挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题4二次函数与相似问题函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 相似三角形常见的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验如果已知AD，探求ABC与DEF相似，只要把夹A和D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理“三边法”解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题【例1】（2022贵港）如图，已知抛物线yx2+bx+c经过A（0，3）和B（，）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PDx轴交AB于点D（1）求该抛物线的表达式；（2）若PEx轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D为顶点的三角形与AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；（2）先求出点C的坐标，然后证明RtDPERtAOC，再由二次函数的最值性质，求出答案；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当AOCAPD时；当AOCDAP时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案【解析】（1）将A（0，3）和B（，）代入yx2+bx+c，解得，该抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）设直线AB的解析式为ykx+n，把A（0，3）和B（，）代入，解得，直线AB的解析式为yx+3，当y0时，x+30，解得：x2，C点坐标为（2，0），PDx轴，PEx轴，ACODEP，RtDPERtAOC，PEPD，PD+PEPD，设点P的坐标为（a，a2+2a+3），则D点坐标为（a，a+3），PD（a2+2a+3）（a+3）（a）2+，PD+PE（a）2+，0，当a时，PD+PE有最大值为；（3）当AOCAPD时，PDx轴，DPA90°，点P纵坐标是3，横坐标x0，即x2+2x+33，解得x2，点D的坐标为（2，0）；PDx轴，点P的横坐标为2，点P的纵坐标为：y22+2×2+33，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；当AOCDAP时，此时APGACO，过点A作AGPD于点G，APGACO，设点P的坐标为（m，m2+2m+3），则D点坐标为（m，m+3），则，解得：m，D点坐标为（，1），P点坐标为（，），综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D点坐标为（，1）【例2】（2022衡阳）如图，已知抛物线yx2x2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线yx+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PMy轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使CMN与OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）令x0和翻折的性质可得C（0，2），令y0可得点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出图象W的解析式；（2）利用数形结合找出当yx+b经过点C或者yx+b与yx2x2相切时，直线yx+b与新图象恰好有三个不同的交点，当直线yx+b经过点C（0，2）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；当yx+b与yx2x2相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式0，即可求出b值综上即可得出结论；（3）先确定BOC是等腰直角三角形，分三种情况：CNM90°或MCN90°，分别画图可得结论【解析】（1）当x0时，y2，C（0，2），当y0时，x2x20，（x2）（x+1）0，x12，x21，A（1，0），B（2，0），设图象W的解析式为：ya（x+1）（x2），把C（0，2）代入得：2a2，a1，y（x+1）（x2）x2+x+2，图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：yx2+x+2（1x2）；（2）由图象得直线yx+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：当直线yx+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b2；当直线yx+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，x+bx2+x+2，x22x+b20，（2）24×1×（b2）0，b3，综上，b的值是2或3；（3）OBOC2，BOC90°，BOC是等腰直角三角形，如图2，CNOB，CNMBOC，PNy轴，P（1，0）；如图3，CNOB，CNMBOC，当y2时，x2x22，x2x40，x1，x2，P（，0）；如图4，当MCN90°时，OBCCMN，CN的解析式为：yx+2，x+2x2x2，x11+，x21（舍），P（1+，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（，0）或（1+，0）【例3】（2022桂林）如图，抛物线yx2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PMy轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标【分析】（1）由yx2+3x+4可得A（1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP是平行四边形，及得CP+PQ+BQC'Q+PQ+BQBC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'5，即得CP+PQ+BQ最小值为6；（3）由在yx2+3x+4得抛物线对称轴为直线x，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN，QNt，PM，CM|t3|，当时，可解得Q（，）或（，）；当时，得Q（，）【解析】（1）在yx2+3x+4中，令x0得y4，令y0得x1或x4，A（1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：CC'PQ，CC'PQ，四边形CC'QP是平行四边形，CPC'Q，CP+PQ+BQC'Q+PQ+BQBC'+PQ，B，Q，C'共线，此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，C（0，4），CC'PQ1，C'（0，3），B（4，0），BC'5，BC'+PQ5+16，CP+PQ+BQ最小值为6；（3）如图：由在yx2+3x+4得抛物线对称轴为直线x，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），B（4，0），C（0，4）；BN，QNt，PM，CM|t3|，CMPQNB90°，CPM和QBN相似，只需或，当时，解得t或t，Q（，）或（，）；当时，解得t或t（舍去），Q（，），综上所述，Q的坐标是（，）或（，）或（，）【例4】（2022玉林）如图，已知抛物线：y2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x，P是第一象限内抛物线上的任一点（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点，则POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与BMH相似，求点P的坐标【分析】（1）把点B（2，0）代入y2x2+bx+c中，再由对称轴是直线x列方程，两个方程组成方程组可解答；（2）当POD是等边三角形时，点P在OD的垂直平分线上，所以作OD的垂直平分线与抛物线的交点即为点P，计算ODPD，可知POD不可能是等边三角形；（3）分种情况：当PCx轴时，CPMBHM时，根据PH的长列方程可解答；如图3，PCMBHM，过点P作PEy轴于E，证明PECCOB，可得结论【解析】（1）由题意得：，解得：，抛物线的解析式为：y2x2+2x+4；（2）POD不可能是等边三角形，理由如下：如图1，取OD的中点E，过点E作EPx轴，交抛物线于点P，连接PD，PO，C（0，4），D是OD的中点，E（0，1），当y1时，2x2+2x+41，2x22x30，解得：x1，x2（舍），P（，1），ODPD，POD不可能是等边三角形；（3）设点P的坐标为（t，2t2+2t+4），则OHt，BH2t，分两种情况：如图2，CMPBMH，PCMOBC，BHMCPM90°，tanOBCtanPCM，2，PM2PC2t，MH2BH2（2t），PHPM+MH，2t+2（2t）2t2+2t+4，解得：t10，t21，P（1，4）；如图3，PCMBHM，则PCMBHM90°，过点P作PEy轴于E，PECBOCPCM90°，PCE+EPCPCE+BCO90°，BCOEPC，PECCOB，解得：t10（舍），t2，P（，）；综上，点P的坐标为（1，4）或（，）1（2020秋兴城市期末）如图，抛物线yax2+bx+4经过A（4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设ADE的面积为S1，BCE的面积为S2，当S1S2+5时，求点D的坐标；（3）如图2，过点C作CFx轴，点M是直线CF上的一点，MNCF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）运用待定系数法将A（4，0），B（1，0）代入yax2+bx+4，解方程组即可求得答案；（2）根据题意，当S1S2+5，即SABDSABC+5，设D（x，y），表示出ABD和ABC的面积，列方程求解即可；（3）分情况讨论，列出三角形相似的三种情况，画出相应图形，设M（m，4），则N（m，m2+3m+4），运用相似三角形性质，建立方程求解即可【解析】（1）抛物线yax2+bx+4经过A（4，0），B（1，0）两点，解得：，yx2+3x+4；（2）抛物线yx2+3x+4与y轴交于点C，令x0，则y4，C（0，4），S1S2+5，S1+SAEBS2+SAEB+5，即SABDSABC+5，A（4，0），B（1，0），AB5，设D（x，y），×5×y×5×4+5，y6，x2+3x+46，解得：x11，x22，D1（1，6），D2（2，6）；（3）设M（m，4），则N（m，m2+3m+4），如图2，BOCNMC，则，解得：m0（舍去），m，经检验，m是原方程的解，M（，4）；如图3，BOCCMN，则，解得：m0（舍去），m1，经检验，m1是原方程的解，M（1，4）；如图4，BOCNMC，则，解得：m0（舍去），m，经检验，m是原方程的解，M（，4）；如图5，BOCCMN，则，解得：m0（舍去），m7，经检验，m7是原方程的解，M（7，4）；综上所述，点M的坐标为（，4）或（1，4）或（，4）或（7，4）2（2020秋郴州期末）已知抛物线yx23x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，若点D是抛物线上在第四象限的点，连接DA并延长，交y轴于点P，过点D作DEx轴于点E当APO与ADE的面积比为时求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴相交于点F若点Q是线段OF上的动点，过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）请问是否存在以Q，A，M为顶点的三角形与QNA相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）在抛物线解析式中，令y0则可求得A、B的坐标；（2）证明AOPAED，根据相似三角形面积的比等于对应边的比的平方列比例式可得AE2，从而得点D的横坐标为3，代入抛物线的解析式可得点D的坐标；（3）如图2所示，若以Q，A，M为顶点的三角形与QNA相似，有两种情况，但是QAM与QAN不可能相等，所以最后只存在一种情况：AQMNQA，列比例式可得结论【解析】（1）当y0时，x23x+0，解得：x11，x25，A（1，0），B（5，0）；（2）DEx轴，AED90°，AOPAED90°，OAPDAE，AOPAED，OA1，AE2，OE3，当x3时，y3×3+2，D（3，2）；（3）如图2，设Q（0，m），当x0时，y，F（0，），点Q是线段OF上的动点，0m，当ym时，x23x+m，x26x+52m0，x3，x13+，x23，QM3，QN3+，在RtAOQ中，由勾股定理得：AQ，AQMAQN，当AQM和AQN相似只存在一种情况：AQMNQA，AQ2NQQM，即1+m2（3+）（3），解得：m11+，m21（舍），Q（0，1+）3（2020秋长垣市期末）如图1，抛物线yx2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6，0）和点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当PBC的面积为时，求m值；（3）如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出该抛物线的函数关系式；（2）根据点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，表示PH的长，根据三角形的面积列方程解出即可得出结论；（3）先根据两三角形相似判断出CEDBMD90°或DCEDMB90°，进而分两种情况讨论即可得出结论【解析】（1）把点B（6，0）和点C（0，3）代入得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）设直线BC的解析式为：yax+n，由点B（6，0）和C（0，3）得：，解得：，直线BC的解析式为，如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点H，点P的坐标为（m，），PHy轴，点H的坐标为（m，），PHyHyP（），xBxC606，SPBCPH×6（）×6，解得：m11，m25，m值为1或5；（3）如图2，CDEBDM，CDE与BDM相似，CEDBMD90°或DCEDMB90°，设M（x，0），当CEDBDM90°，CEAB，C（0，3），点E的纵坐标为3，点E在抛物线上，x2x33x0（舍）或x5，M（5，0）；当DCEDMB90°，OB6，OC3，BC3，由（2）知直线BC的关系式为yx3，OMx，BM6x，DM3x，由（2）同理得ED+3x，DMOC，即，CD，BDBCCDx，ECDBMD，即，x（3x）2，x（6x）（1x）0，x10（舍），x26（舍），x31，M（1，0）；综上所述：点M的坐标为（5，0）或（1，0）4（2021秋邹城市期末）如图，已知抛物线yx2+2x的顶点为A，直线yx+2与抛物线交于B，C两点（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CDx轴于点D，求证：ODCABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PMx轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将抛物线配方后可得顶点A的坐标，将抛物线和一次函数的解析式联立方程组，解出可得B和C的坐标；（2）先根据两点的距离计算AB、BC、AC的长，根据勾股定理的逆定理可得：ABC90°，最后根据两边的比相等且夹角为90度得两三角形相似；（3）存在，设M（x，0），则P（x，x2+2x），表示OM|x|，PM|x2+2x|，分两种情况：有或，根据比例式代入可得对应x的值，计算点P的坐标即可【解答】（1）解：yx2+2x（x+1）21，顶点A（1，1）；由，解得：或B（2，0），C（1，3）；（2）证明：A（1，1），B（2，0），C（1，3），AB，BC3，AC2，AB2+BC2AC2，ABC90°，OD1，CD3，ABCODC90°，ODCABC；（3）存在这样的P点，设M（x，0），则P（x，x2+2x），OM|x|，PM|x2+2x|，当以O，P，M为顶点的三角形与ABC相似时，有或，由（2）知：AB，CB3，当时，则，当P在第二象限时，x0，x2+2x0，解得：x10（舍），x2，当P在第三象限时，x0，x2+2x0，解得：x10（舍），x2，当时，则3，同理代入可得：x5或x1（舍），综上所述，存在这样的点P，坐标为（，）或（，）或（5，15）5（2021秋攸县期末）如图，已知直线y2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PCx轴于点C，交抛物线于点D（1）若抛物线的解析式为y2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N求点M和点N的坐标；在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQBQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由【分析】（1）函数的对称轴为：x，故点M（，），即可求解；设抛物线与x轴左侧的交点为R（1，0），则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，即可求解；四边形MNPD为菱形，首先PDMN，即（2x2+2x+4）（2x+4），解得：x或（舍去），故点P（，1），而PNMN，即可求解；（2）分DBP为直角、BDP为直角两种情况，分别求解即可【解析】（1）函数的对称轴为：x，故点M（，），当x时，y2x+43，故点N（，3）；设抛物线与x轴左侧的交点为R（1，0），则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，将R、B的坐标代入一次函数表达式：ykx+b并解得：直线RB的表达式为：y4x+4，当x时，y6，故点Q（，6）；不存在，理由：设点P（x，2x+4），则点D（x，2x2+2x+4），MN3，四边形MNPD为菱形，首先PDMN，即（2x2+2x+4）（2x+4），解得：x或（舍去），故点P（，1），而PNMN，故不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）当点P的横坐标为1时，则其坐标为：（1，2），此时点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，4），当DBP为直角时，以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似，则BAOBDP，tanBAO2tan，则sin，PA，PBABPA2，则PD，故点D（1，）；当BDP为直角时，以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似，则BDx轴，则点B、D关于抛物线的对称轴对称，故点D（1，4），综上，点D的坐标为：（1，4）或（1，），将点A、B、D的坐标代入抛物线表达式：yax2+bx+c并解得：y2x2+2x+4或yx2+3x+46（2022禹城市模拟）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，2）三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得SDCASABC，直接写出点D的坐标【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）设P（t，t2+t2），则M（t，0），1t4，分两种情况讨论：当PAMOAC时，tanOACtanMAP，可求P（2，1）；当PAMOCA时，tanOACtanAPM，此时P点坐标不存在；（3）求出直线AC的解析式为yx2，再求出过点B作直线AC的平行线yx，联立方程组，即可求D点坐标【解析】（1）设抛物线的解析式为yax2+bx+c，将A（4，0），B（1，0），C（0，2）代入yax2+bx+c，解得，yx2+x2；（2）存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似，理由如下：设P（t，t2+t2），则M（t，0），1t4，PMt2+t2，A（4，0），AM4t，tanMAP，C（0，2），OC2，OA4，tanOAC，当PAMOAC时，解得t2或t4（舍），P（2，1）；当PAMOCA时，2，解得t4（舍）或t5（舍），此时P不存在；综上所述：P点坐标为（2，1）；（3）设直线AC的解析式为ykx+b，直线AC的解析式为yx2，过点B作直线AC的平行线yx+m，+m0，m，yx，联立方程组，解得（舍）或，D（3，1）7（2022祥云县模拟）如图，已知抛物线yax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，3），点M是该抛物线上第一象限内的一个动点，ME垂直x轴于点E，交线段BC于点D，MNx轴，交y轴于点N（1）求抛物线yax2+bx+c的表达式；（2）若四边形MNOE是正方形，求该正方形的边长；（3）连结OD，AC，抛物线上是否存在点M，使得以C，O，D为顶点的三角形与ABC相似，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）设点M的坐标为（x，x2+2x+3）（0x3），利用正方形的性质可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（3）利用点C，点A，B的坐标可得出AB，BC的值，由OBOC3可得出OCDABC45°，进而可得出存在两种情况，过点D作DFy轴，垂足为点F，则CDF为等腰直角三角形，当OCDABC时，利用相似三角形的性质可求出CD的长度，进而可得出DF的长度，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标；当DCOABC时，用相似三角形的性质可求出CD的长度，进而可得出DF的长度，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标综上，此题得解【解析】（1）将A（1，0），B（3，0），C（0，3），代入yax2+bx+c，得：，解得：，抛物线的函数表达式为yx2+2x+3；（2）设点M的坐标为（x，x2+2x+3）（0x3）四边形MNOE为正方形，xx2+2x+3，解得：x1，x2（舍去），MN，该正方形的边长为；（3）点C的坐标为（0，3）点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），AB4，BC3OBOC3，OCDABC45°存在两种情况过点D作DFy轴，垂足为点F，则CDF为等腰直角三角形，如图所示当OCDABC时，即，CD，DFCF，点M的坐标为（，）；当DCOABC时，即，CD2，DFCF2，点M的坐标为（2，3）综上所述：抛物线上存在点M，使得以点C，O，D为顶点的三角形与ABC相似，点M的坐标为（，）或（2，3）8（2022松江区校级模拟）如图，抛物线yx2bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）连接BC，CD，DB，求CBD的正切值；（3）点C关于抛物线yx2bx+c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使CDB和BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）将点B、C的坐标代入yx2bx+c，即可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；（2）求得BC，CD，DB的长，根据勾股定理的逆定理可得BCD是直角三角形，BCD90°，利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）根据二次函数的对称性得E（2，3），可得直线BE为y3x9，则M（1，6），由（2）知CDB是直角三角形，BCD90°，若CDB和BMP相似，可分两种情况进行解析：MPBBCD90°时，MBPBCD90°时，根据相似三角形的性质即可求解【解析】（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的解析式为yx22x3；yx22x3（x1）24，D（1，4）；（2）如图B（3，0），C（0，3），D（1，4），BC232+3218，BC3，CD212+（43）22，CD，BD242+（31）220，BD2，BD2BC2+CD2，BCD是直角三角形，BCD90°，tanCBD；（3）点C关于抛物线yx22x3对称轴的对称点为E点，yx22x3的对称轴为x1，E（2，3），B（3，0），直线BE为y3x9，M（1，6），由（2）知CDB是直角三角形，BCD90°，若CDB和BMP相似，可分两种情况进行解析：MPBBCD90°时，点P在x轴上，M（1，6），B（3，0），PM6，BP2，MPBBCD90°，CDB和PBM，P（1，0）；MBPBCD90°时，M（1，6），B（3，0），MB2，CDB和BPM，解得PM，点MP的纵坐标为6，P（1，）综上所述，存在，点P的坐标为（1，0）或（1，）9（2022平江县一模）如图，抛物线yax2+bx+8与x轴交于A（2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设四边形PBOC和AOC的面积分别为S四边形PBOC和SAOC，记SS四边形PBOCSAOC，求S最大值点P的坐标及S的最大值；（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A（2，0）和点B（8，0）代入yax2+bx+8，即可求解；（2）过点P作PGy轴交BC于点G，设P（t，t2+3t+8），则G（t，t+8），PGt2+4t，分别求出SAOC8，SBOC32，SBCP2t2+16t，则SS四边形PBOCSAOC2（t4）2+56，即可求解；（3）先证明BCD是等腰直角三角形，求出E（3，5），设M（3，m），N（n，n2+3n+8），分三种情况讨论：当NME90°，MEMN时，OBCMNE，则mn2+3n+8，m5n3，可求M（3，8）；当MEN90°，ENME时，MNEBOC，5n2+3n+8，m5n3，求得M（3，5+）；当MNE90°，MNEN时，MNEBOC，过点N作NHl交于H，由M与E点关于H点对称，可求M（3，11）【解析】（1）将点A（2，0）和点B（8，0）代入yax2+bx+8，解得，yx2+3x+8；（2）令x0，则y8，C（0，8），SAOC×2×88，SBOC×8×832，设直线BC的解析式为ykx+b，解得，yx+8，过点P作PGy轴交BC于点G，设P（t，t2+3t+8），则G（t，t+8），PGt2+4t，SBCP×8×（t2+4t）2t2+16t，S四边形PBOCSBOC+SBCP322t2+16t，SS四边形PBOCSAOC2t2+16t+242（t4）2+56，点P是第一象限，0t8，当t4时，S有最大值56，此时P（4，12）；（3）OBOC8，BCD是等腰直角三角形，直线BC的解析式为yx+8，E（3，5），设M（3，m），N（n，n2+3n+8），当NME90°，MEMN时，OBCMNE，MNx轴，mn2+3n+8，MEm5，MNn3，m5n3，n6或n2，n1，n6，m8，M（3，8）；存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与BOC相似，理由如下：当MEN90°，ENME时，MNEBOC，MEm5，ENn3，MNx轴，5n2+3n+8，m5n3，n3+或n3，n1，n3+，m5+，M（3，5+）；当MNE90°，MNEN时，MNEBOC，过点N作NHl交于H，由可知H（3，8），M与E点关于H点对称，M（3，11）；综上所述：点M的坐标为（3，8）或（3，5+）或（3，11）10（2022莱州市一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+c经过点A（4，3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，连接PO（1）求抛物线的表达式，并求