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2016 年天津高考数学文科试卷及答案 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分为第卷（选择题）和第（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第 I 卷 注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么 如果事件 A，B 相互独立，P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B)柱体的体积公式 V 柱体=Sh，圆锥的体积公式 V=31Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示圆锥的高 h 表示棱柱的高 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合 3,2,1A，,12|AxxyyB，则AB=（A）3,1 （B）2,1 （C）3,2 （D）3,2,1（2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（A）65 （B）52 （C）61 （D）31 （3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为 （4）已知双曲线)0,0(12222babyax的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02yx垂直，则双曲线的方程为 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（A）1422yx （B）1422yx（C）15320322yx （D）12035322yx（5）设0 x，Ry，则“yx”是“|yx”的（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）已知)(xf是定义在R上的偶函数，且在区间)0,(上单调递增，若实数a满足)2()2(|1|ffa，则a的取值范围是（A）)21,(（B）),23()21,(（C）)23,21(（D）),23(（7）已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点ED,分别是边BCAB,的中点，连接DE并延长到点F，使得EFDE2，则AF BC的值为 （A）85 （B）81 （C）41 （D）811（8）已知函数)0(21sin212sin)(2xxxf，Rx.若)(xf在区间)2,(内没有零点，则的取值范围是（A）81,0(（B）)1,8541,0(（C）85,0(（D）85,4181,0(第卷 注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共 12 小题，共计 110 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.（9）i 是虚数单位，复数z满足(1)2i z，则z的实部为 _.（10）已知函数()(2+1),()xf xxefx为()f x的导函数，则(0)f 的值为_.最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（11）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为_.（第 11 题图）（12）已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点(0,5)M在圆 C 上，且圆心到直线20 xy 的距离为4 55，则圆C 的方程为_.（13）如图，AB是圆的直径，弦 CD 与 AB相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE 的长为_.(14)已知函数2(43)3,0()(01)log(1)1,0axaxa xf xaaxx 且在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|()|23xf x 恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_.最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分 13 分）在ABC中，内角CBA,所对应的边分别为 a,b,c，已知sin23 sinaBbA.()求 B；()若1cos A3，求 sinC 的值 (16)(本小题满分 13 分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有 A 种原料 200吨，B 种原料 360吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为3 万元.分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.()用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；()问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 (17)(本小题满分 13 分)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED平面 ABCD，EF|AB，AB=2，BC=EF=1，AE=6，DE=3，BAD=60，G 为 BC 的中点.()求证：FG|平面 BED；()求证：平面 BED平面 AED；()求直线 EF与平面 BED 所成角的正弦值.(18)(本小题满分 13 分)已知na是等比数列，前 n 项和为nSnN，且6123112,63Saaa.()求na的通项公式；()若对任意的,bnnN 是2logna和21logna的等差中项，求数列21nnb的前 2n 项和.（19）（本小题满分 14 分）最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 设椭圆13222yax（3a）的右焦点为F，右顶点为A，已知|3|1|1FAeOAOF，其中O为原点，e为椭圆的离心率.（）求椭圆的方程；（）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若HFBF，且MAOMOA，求直线的l斜率.（20）（本小题满分 14 分）设函数baxxxf3)(，Rx，其中Rba,（）求)(xf的单调区间；（）若)(xf存在极值点0 x，且)()(01xfxf，其中01xx，求证：0201 xx；（）设0a，函数|)(|)(xfxg，求证：)(xg在区间 1,1上的最大值不小于41.2016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）参考答案 一、选择题：（1）【答案】A 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（2）【答案】A（3）【答案】B（4）【答案】A（5）【答案】C（6）【答案】C（7）【答案】B（8）【答案】D 二、填空题：（9）【答案】1（10）【答案】3（11）【答案】4（12）【答案】22(2)9.xy（13）【答案】2 33 (14)【答案】1 2,)3 3 三、解答题（15）【答案】（）6B（）2 616【解析】试题分析：（）利用正弦定理，将边化为角：2sinsincos3sinBsinABBA,再根据三角形内角范围化简得23cosB，6B（）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 试题解析：（）解：在ABC中，由BbAasinsin，可得AbBasinsin，又由AbBasin32sin得BaAbBBasin3sin3cossin2，所以23cosB，得6B；（）解：由31cosA得322sinA，则)sin()(sinsinBABAC，所以)6sin(sinAC6162cos21sin23AA 考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 (16)【答案】（）详见解析（）生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元【解析】试题分析：（）根据生产原料不能超过A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（）目标函数为利润yxz32，根据直线平移及截距变化规律确定最大利润 试题解析：（）解：由已知yx,满足的数学关系式为003001033605820054yxyxyxyx，该二元一次不等式组所表示的区域为图 1 中的阴影部分.最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除(1)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO （）解：设利润为z万元，则目标函数yxz32，这是斜率为32，随z变化的一族平行直线.3z为直线在y轴上的截距，当3z取最大值时，z的值最大.又因为yx,满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线yxz32 经过可行域中的点M时，截距3z的值最大，即z的值最大.解方程组30010320054yxyx得点M的坐标为)24,20(M，所以112243202maxz.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 M2x+3y=z2x+3y=0(2)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO 考点：线性规划【结束】(17)【答案】（）详见解析（）详见解析（）65【解析】试题分析：（）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平几知识，如本题构造一个平行四边形：取BD的中点为O，可证四边形OGFE是平行四边形，从而得出OEFG/（）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如本题可由余弦定理解出090 ADB，即ADBD（）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点A作DEAH 于点H，则AH平面BED，从而直线AB与平面BED所成角即为ABH.再结合三角形可求得正弦值 试题解析：最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（）证明：取BD的中点为O，连接OGOE,，在BCD中，因为G是BC的中点，所以DCOG/且121 DCOG，又因为DCABABEF/,/，所以OGEF/且OGEF ，即四边形OGFE是平行四边形，所以OEFG/，又FG平面BED，OE平面BED，所以/FG平面BED.（）证明：在ABD中，060,2,1BADABAD，由余弦定理可3BD，进而可得090 ADB，即ADBD，又因为平面AED平面BDABCD,平面ABCD；平面AED平面ADABCD，所以BD平面AED.又因为BD平面BED，所以平面BED平面AED.（）解：因为ABEF/，所以直线EF与平面BED所成角即为直线AB与平面BED所成角.过点A作DEAH 于点H，连接BH，又因为平面BED平面EDAED，由（）知AH平面BED，所以直线AB与平面BED所成角即为ABH.在ADE中，6,3,1AEDEAD，由余弦定理可得32cos ADE，所以35sin ADE，因此35sinADEADAH，在AHBRt中，65sinABAHABH，所以直线AB与平面BED所成角的正弦值为65 考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角 【结束】(18)【答案】（）12nna（）22n【解析】试题分析：（）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由2111211qaqaa解得1,2 qq，分别代入631)1(61qqaSn得1q，11a（）先根据等差中项得最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 21)2log2(log21)log(log21212122naabnnnnn，再利用分组求和法求和：2212212221224232221222)(2)()()(nbbnbbbbbbbbbTnnnnn 试题解析：（）解：设数列na的公比为q，由已知有2111211qaqaa，解之可得1,2 qq，又由631)1(61qqaSn知1q，所以6321)21(61a，解之得11a，所以12nna.（）解：由题意得21)2log2(log21)log(log21212122naabnnnnn，即数列nb是首项为21，公差为1的等差数列.设数列)1(2nnb的前n项和为nT，则2212212221224232221222)(2)()()(nbbnbbbbbbbbbTnnnnn 考点：等差数列、等比数列及其前n项和【结束】（19）【答案】（）22143xy（）64【解析】试题分析：（）求椭圆标准方程，只需确定量，由113|cOFOAFA，得113()ccaa ac，再利用2223acb，可解得21c，24a（）先化简条件：MOAMAO|MAMO，即 M 再 OA 中垂线上，1Mx，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B；利用两直线方程组求 H，最后根据HFBF，列等量关系解出直线斜率.最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 试题解析：（1）解：设(,0)F c，由113|cOFOAFA，即113()ccaa ac，可得2223acc，又2223acb，所以21c，因此24a，所以椭圆的方程为22143xy.（2）设直线的斜率为(0)k k，则直线l的方程为(2)yk x，设(,)BBB xy，由方程组221,43(2),xyyk x 消去y，整理得2222(43)1616120kxk xk，解得2x 或228643kxk，由题意得228643Bkxk，从而21243Bkyk，由（1）知(1,0)F，设(0,)HHy，有(1,)HFHy，2229412(,)43 43kkBFkk，由BFHF，得0BF HF，所以222124904343Hkykkk，解得29412Hkyk，因此直线MH的方程为219412kyxkk，设(,)MMM xy，由方程组2194,12(2),kyxkkyk x 消去y，得2220912(1)Mkxk，在MAO中，MOAMAO|MAMO，即2222(2)MMMMxyxy，化简得1Mx，即22209112(1)kk，解得64k 或64k，所以直线l的斜率为64k 或64k.考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【结束】（20）【答案】（）详见解析.（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数：2()3fxxa，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：当0a 时，有2()30fxxa 恒成立，所以()f x的单调增区间为(,).当0a 时，存在三个单调区间（）由题意得200()30fxxa 即203ax，再由)()(01xfxf化简可得结论（）实质研究函数)(xg最大值：主要比较(1),(1)ff，33|(|,|()|33aaff 的大小即可，分三种情况研究当3a 时，331133aa ，当334a 时，2 3332 3113333aaaa ，当304a 时，2 32 31133aa.试题解析：（1）解：由3()f xxaxb，可得2()3fxxa，下面分两种情况讨论：当0a 时，有2()30fxxa 恒成立，所以()f x的单调增区间为(,).当0a 时，令()0fx，解得33ax 或33ax .当x变化时，()fx、()f x的变化情况如下表：x 3(,)3a 33a 33(,)33aa 33a 3(,)3a()fx 0 0 ()f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以()f x的单调递减区间为33(,)33aa，单调递增区间为3(,)3a，3(,)3a.最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（2）证明：因为()f x存在极值点，所以由（1）知0a 且00 x.由题意得200()30fxxa，即203ax，进而300002()3af xxaxbxb ，又3000000082(2)822()33aafxxaxbxaxbxbf x ，且002xx，由题意及（1）知，存在唯一实数1x满足10()()f xf x，且10 xx，因此102xx，所以10+2=0 xx.（3）证明：设()g x在区间 1,1上的最大值为M，max,x y表示x，y两数的最大值，下面分三种情况讨论：当3a 时，331133aa ，由（1）知()f x在区间 1,1上单调递减，所以()f x在区间 1,1上的取值范围为(1),(1)ff，因此，max(1),(1)max|1|,|1|Mffabab max|1|,|1|abab 1,0,1,0,ab bab b 所以1|2Mab.当334a 时，2 3332 3113333aaaa ，由（1）和（2）知2 33(1)()()33aafff，2 33(1)()()33aafff，所以()f x在区间 1,1上的取值范围为33(),()33aaff，所以3322max|(|,|()|max|3|,|3|3399aaaaffabab 2222331max|3|,|3|3|39999444aaaababab .当304a 时，2 32 31133aa，由（1）和（2）知，最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2 33(1)()()33aafff，2 33(1)()()33aafff，所以()f x在区间 1,1上的取值范围为(1),(1)ff，因此，max(1),(1)max|1|,|1|Mffabab max|1|,|1|abab 11|4ab .综上所述，当0a 时，()g x在区间 1,1上的最大值不小于14.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【结束】