2015年湖北省高考数学试卷2.pdf

2015 年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（3 分）i 为虚数单位，i607=（）Ai B i C1 D1 2（3 分）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（）A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石 3（3 分）命题“x0（0，+），lnx0=x01”的否定是（）Ax0（0，+），lnx0 x01 Bx0（0，+），lnx0=x01 Cx（0，+），lnx x1 Dx（0，+），lnx=x 1 4（3 分）已知变量 x 和 y 满足关系 y=0.1x+1，变量 y 与 z 正相关，下列结论中正确的是（）Ax 与 y 负相关，x 与 z 负相关 Bx 与 y 正相关，x 与 z 正相关 Cx 与 y 正相关，x 与 z 负相关 Dx 与 y 负相关，x 与 z 正相关 5（3 分）l1，l2表示空间中的两条直线，若 p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（）Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 Cp 是 q 的充分必要条件 Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 6（3 分）函数 f（x）=+lg的定义域为（）A（2，3）B（2，4 C（2，3）（3，4 D（1，3）（3，6 7（3 分）设 xR，定义符号函数 sgnx=，则（）A|x|=x|sgnx|B|x|=xsgn|x|C|x|=|x|sgnx D|x|=xsgnx 8（3 分）在区间0，1 上随机取两个数 x，y，记 p1为事件“x+y”的概率，P2为事件“xy”的概率，则（）Ap1p2 B Cp2 D 9（3 分）将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a 和虚半轴长 b（ab）同时增加 m（m 0）个单位长度，得到离心率为 e2的双曲线 C2，则（）A对任意的 a，b，e1e2 B当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2 C对任意的 a，b，e1e2 D当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2 10（3 分）已知集合 A=（x，y）|x2+y21，x，yZ，B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合 AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B，则 AB中元素的个数为（）A77 B49 C45 D30 二、填空题 11（3 分）已知向量，|=3，则=12（3 分）设变量 x，y 满足约束条件，则 3x+y 的最大值为 13（3 分）f（x）=2sin xsin（x+）x2的零点个数为 14（3 分）某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间0.3，0.9 内，其频率分布直方图如图所示（1）直方图中的 a=（2）在这些购物者中，消费金额在区间0.5，0.9 内的购物者的人数为 15（3 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30的方向上，行驶 600m后到达 B处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD=m 16（3 分）如图，已知圆 C与 x 轴相切于点 T（1，0），与 y 轴正半轴交于两点A，B（B在 A的上方），且|AB|=2 （1）圆 C的标准方程为 （2）圆 C在点 B处切线在 x 轴上的截距为 17（3 分）a 为实数，函数 f（x）=|x2ax|在区间0，1 上的最大值记为 g（a）当a=时，g（a）的值最小 三、解答题 18（12 分）某同学将“五点法”画函数 f（x）=Asin（wx+）（w0，|）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：wx+0 2 x Asin（wx+）0 5 5 0（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f（x）的解析式；（2）将 y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到 y=g（x）图象，求 y=g（x）的图象离原点 O最近的对称中心 19（12 分）设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为q，已知 b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（1）求数列an，bn的通项公式（2）当 d1 时，记 cn=，求数列cn的前 n 项和 Tn 20（13 分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 在如图所示的阳马 PABCD 中，侧棱 PD 底面 ABCD，且 PD=CD，点 E是 PC的中点，连接 DE、BD、BE （）证明：DE 平面 PBC 试判断四面体 EBCD是否为鳖臑若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（）记阳马 PABCD 的体积为 V1，四面体 EBCD 的体积为 V2，求的值 21（14 分）设函数 f（x），g（x）的定义域均为 R，且 f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=ex，其中 e 为自然对数的底数（1）求 f（x），g（x）的解析式，并证明：当 x0 时，f（x）0，g（x）1；（2）设 a0，b1，证明：当 x0 时，ag（x）+（1a）bg（x）+（1b）22（14 分）一种画椭圆的工具如图 1 所示O是滑槽 AB的中点，短杆 ON可绕O转动，长杆 MN通过 N处铰链与 ON连接，MN上的栓子 D可沿滑槽 AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子 D在滑槽 AB内作往复运动时，带动 N绕 O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为 C，以 O为原点，AB所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系（1）求椭圆 C的方程；（2）设动直线 l 与两定直线 l1：x2y=0 和 l2：x+2y=0 分别交于 P，Q两点若直线 l 总与椭圆 C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 2015 年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（3 分）i 为虚数单位，i607=（）Ai B i C1 D1【分析】直接利用虚数单位 i 的运算性质得答案【解答】解：i607=i606i=（i2）303i=（1）303i=i 故选：A【点评】本题考查了虚数单位 i 的运算性质，是基础的计算题 2（3 分）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（）A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石【分析】根据 254 粒内夹谷 28 粒，可得比例，即可得出结论【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为 1534169 石，故选：B【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础 3（3 分）命题“x0（0，+），lnx0=x01”的否定是（）Ax0（0，+），lnx0 x01 Bx0（0，+），lnx0=x01 Cx（0，+），lnx x1 Dx（0，+），lnx=x 1【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【解答】解：命题的否定是：x（0，+），lnx x1，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 4（3 分）已知变量 x 和 y 满足关系 y=0.1x+1，变量 y 与 z 正相关，下列结论中正确的是（）Ax 与 y 负相关，x 与 z 负相关 Bx 与 y 正相关，x 与 z 正相关 Cx 与 y 正相关，x 与 z 负相关 Dx 与 y 负相关，x 与 z 正相关【分析】由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由 y 与 z 正相关，设 y=kz，k0，得到 x 与 z 的相关性【解答】解：因为变量 x 和 y 满足关系 y=0.1x+1，一次项系数为0.1 0，所以 x 与 y 负相关；变量 y 与 z 正相关，设，y=kz，（k0），所以 kz=0.1x+1，得到 z=，一次项系数小于 0，所以 z 与 x 负相关；故选：A【点评】本题考查由线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键 5（3 分）l1，l2表示空间中的两条直线，若 p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（）Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 Cp 是 q 的充分必要条件 Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可【解答】解：若 l1，l2是异面直线，则 l1，l2不相交，即充分性成立，若 l1，l2不相交，则 l1，l2可能是平行或异面直线，即必要性不成立，故 p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键 6（3 分）函数 f（x）=+lg的定义域为（）A（2，3）B（2，4 C（2，3）（3，4 D（1，3）（3，6【分析】根据函数成立的条件进行求解即可【解答】解：要使函数有意义，则，即，0 等价为即，即 x3，即，此时 2x3，即 2x3 或 x3，4x4，解得 3x4 且 2x3，即函数的定义域为（2，3）（3，4，故选：C【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件 7（3 分）设 xR，定义符号函数 sgnx=，则（）A|x|=x|sgnx|B|x|=xsgn|x|C|x|=|x|sgnx D|x|=xsgnx【分析】去掉绝对值符号，逐个比较即可【解答】解：对于选项 A，右边=x|sgnx|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项 B，右边=xsgn|x|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项 C，右边=|x|sgnx=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项 D，右边=xsgnx=，而左边=|x|=，显然正确；故选：D【点评】本题考查函数表达式的比较，正确去绝对值符号是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题 8（3 分）在区间0，1 上随机取两个数 x，y，记 p1为事件“x+y”的概率，P2为事件“xy”的概率，则（）Ap1p2 B Cp2 D【分析】分别求出事件“x+y”和事件“xy”对应的区域，然后求出面积，利用几何概型公式求出概率，比较大小【解答】解：由题意，事件“x+y”表示的区域如图阴影三角形，p1=；满足事件“xy”的区域如图阴影部分 所以 p2=；所以；故选：B【点评】本题考查了几何概型的公式运用；关键是分别求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答 9（3 分）将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a 和虚半轴长 b（ab）同时增加 m（m 0）个单位长度，得到离心率为 e2的双曲线 C2，则（）A对任意的 a，b，e1e2 B当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2 C对任意的 a，b，e1e2 D当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论【解答】解：由题意，双曲线 C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线 C2：c2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，=，当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2，故选：B【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础 10（3 分）已知集合 A=（x，y）|x2+y21，x，yZ，B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合 AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B，则 AB中元素的个数为（）A77 B49 C45 D30【分析】由题意可得，A=（0，0），（0，1），（0，1），（1，0），（1，0），B=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2），根据定义可求【解答】解：解法一：A=（x，y）|x2+y21，x，yZ=（0，0），（0，1），（0，1），（1，0），（1，0），B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2）AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B，AB=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，3），（0，3），（2，3），（1，3），（1，3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，2）（3，2）（3，1），（1，3），（3，1），（3，0），（3，2）共 45 个元素；解法二：因为集合 A=（x，y）|x2+y21，x，yZ，所以集合 A中有 5 个元素，即图中圆中的整点，B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ，中有 55=25 个元素，即图中正方形 ABCD 中的整点，AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B的元素可看作正方形 A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即 774=45 个 故选：C【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素 二、填空题 11（3 分）已知向量，|=3，则=9 【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案【解答】解：由，得=0，即（）=0，|=3，故答案为：9【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题 12（3 分）设变量 x，y 满足约束条件，则 3x+y 的最大值为 10 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由 z=3x+y，得 y=3x+z，平移直线 y=3x+z，由图象可知当直线 y=3x+z，经过点 C时，直线 y=3x+z的截距最大，此时 z 最大 由得即 C（3，1），此时 z 的最大值为 z=33+1=10，故答案为：10 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 13（3 分）f（x）=2sin xsin（x+）x2的零点个数为 2 【分析】将函数进行化简，由 f（x）=0，转化为两个函数的交点个数进行求解即可【解答】解：f（x）=2sinxcosx x2=sin2x x2，由 f（x）=0 得 sin2x=x2，作出函数 y=sin2x 和 y=x2的图象如图：由图象可知，两个函数的图象有 2 个不同的交点，即函数 f（x）的零点个数为 2 个，故答案为：2 【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键 14（3 分）某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间0.3，0.9 内，其频率分布直方图如图所示（1）直方图中的 a=3 （2）在这些购物者中，消费金额在区间0.5，0.9 内的购物者的人数为 6000 【分析】（1）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为 1，算出 a 的值；（2）先求出消费金额在区间0.5，0.9 内的购物者的频率，再求频数【解答】解：（1）由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）0.1=1，解得 a=3（2）由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）0.1 10000=6000 故答案为：（1）3（2）6000【点评】本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，频数=频率样本容量，属于基础题 15（3 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30的方向上，行驶 600m后到达 B处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD=100 m 【分析】设此山高 h（m），在BCD中，利用仰角的正切表示出 BC，进而在ABC中利用正弦定理求得 h【解答】解：设此山高 h（m），则 BC=h，在ABC中，BAC=30，CBA=105，BCA=45，AB=600 根据正弦定理得=，解得 h=100（m）故答案为：100【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解 16（3 分）如图，已知圆 C与 x 轴相切于点 T（1，0），与 y 轴正半轴交于两点A，B（B在 A的上方），且|AB|=2 （1）圆 C的标准方程为（x1）2+（y）2=2 （2）圆 C在点 B处切线在 x 轴上的截距为 1 【分析】（1）确定圆心与半径，即可求出圆 C的标准方程；（2）求出圆 C在点 B处切线方程，令 y=0 可得圆 C在点 B处切线在 x 轴上的截距【解答】解：（1）由题意，圆的半径为=，圆心坐标为（1，），圆 C的标准方程为（x1）2+（y）2=2；（2）由（1）知，B（0，1+），圆 C在点 B处切线方程为（01）（x1）+（1+）（y）=2，令 y=0 可得 x=1 故答案为：（x1）2+（y）2=2；1【点评】本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题 17（3 分）a 为实数，函数 f（x）=|x2ax|在区间0，1 上的最大值记为 g（a）当a=22 时，g（a）的值最小【分析】通过分 a0、0a22、a22 三种情况去函数 f（x）表达式中绝对值符号，利用函数的单调性即得结论【解答】解：对函数 f（x）=|x2ax|=|（x）2|分下面几种情况讨论：当 a0 时，f（x）=x2ax 在区间0，1 上单调递增，f（x）max=g（1）=1a；当 0a22 时，=，f（1）=1a，（1a）=20，f（x）max=g（1）=1a；当 22a1 时，f（x）max=g（a）=；综上所述，g（a）=，g（a）在（，上单调递减，在，+）上单调递增，g（a）min=g（）；当 1a2 时，g（a）=f（）=；当 a2 时，g（a）=f（1）=a1；综上，当 a=时，g（a）min=32，故答案为：【点评】本题考查求函数的最值，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题 三、解答题 18（12 分）某同学将“五点法”画函数 f（x）=Asin（wx+）（w0，|）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：wx+0 2 x Asin（wx+）0 5 5 0（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f（x）的解析式；（2）将 y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到 y=g（x）图象，求 y=g（x）的图象离原点 O最近的对称中心【分析】（1）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；（2）由函数 y=Asin（x+）的图象变换可得 g（x），解得其对称中心即可得解【解答】解：（1）数据补充完整如下表：wx+0 2 x Asin（wx+）0 5 0 5 0 函数 f（x）的解析式为：f（x）=5sin（2x）（2）将 y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到 y=g（x）=5sin2（x+）=5sin（2x+）由 2x+=k，kZ，可解得：x=，kZ，当 k=0 时，可得：x=从而可得离原点 O最近的对称中心为：（，0）【点评】本题主要考查了由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（x+）的图象变换，属于基本知识的考查 19（12 分）设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为q，已知 b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（1）求数列an，bn的通项公式（2）当 d1 时，记 cn=，求数列cn的前 n 项和 Tn【分析】（1）利用前 10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当 d1 时，由（1）知 cn=，写出 Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解：（1）设 a1=a，由题意可得，解得，或，当时，an=2n1，bn=2n1；当时，an=（2n+79），bn=9；（2）当 d1 时，由（1）知 an=2n1，bn=2n1，cn=，Tn=1+3+5+7+9+（2n1），Tn=1+3+5+7+（2n3）+（2n1），Tn=2+（2n1）=3，Tn=6【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题 20（13 分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 在如图所示的阳马 PABCD 中，侧棱 PD 底面 ABCD，且 PD=CD，点 E是 PC的中点，连接 DE、BD、BE （）证明：DE 平面 PBC 试判断四面体 EBCD是否为鳖臑若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（）记阳马 PABCD 的体积为 V1，四面体 EBCD 的体积为 V2，求的值 【分析】（）证明 BC平面 PCD，DE 平面 PBC，可知四面体 EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（）由已知，PD是阳马 PABCD 的高，所以 V1=由（）知，DE是鳖臑 DBCE的高，BC CE，所以 V2=即可求的值【解答】（）证明：因为 PD 底面 ABCD，所以 PD BC，因为 ABCD 为正方形，所以 BC CD，因为 PD CD=D，所以 BC 平面 PCD，因为 DE 平面 PCD，所以 BC DE，因为 PD=CD，点 E是 PC的中点，所以 DE PC，因为 PCBC=C，所以 DE 平面 PBC，由 BC 平面 PCD，DE 平面 PBC，可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体 EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB；（）由已知，PD是阳马 PABCD 的高，所以 V1=由（）知，DE是鳖臑 DBCE的高，BC CE，所以 V2=因为 PD=CD，点 E是 PC的中点，所以 DE=CE=CD，所以=4【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 21（14 分）设函数 f（x），g（x）的定义域均为 R，且 f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=ex，其中 e 为自然对数的底数（1）求 f（x），g（x）的解析式，并证明：当 x0 时，f（x）0，g（x）1；（2）设 a0，b1，证明：当 x0 时，ag（x）+（1a）bg（x）+（1b）【分析】（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得 f（x）、g（x）的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得 f（x）0，g（x）1；（2）当 x0 时，ag（x）+1af（x）axg（x）+（1a）x，bg（x）+1bf（x）bxg（x）+（1b）x，设函数 h（x）=f（x）cxg（x）（1c）x，通过导数判断单调性，即可得证【解答】解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，即有 f（x）=f（x），g（x）=g（x），f（x）+g（x）=ex，f（x）+g（x）=ex，即为f（x）+g（x）=ex，解得 f（x）=（exex），g（x）=（ex+ex），则当 x0 时，ex1，0ex1，f（x）0；g（x）=（ex+ex）2=1，则有当 x0 时，f（x）0，g（x）1；（2）证明：f（x）=（ex+ex）=g（x），g（x）=（exex）=f（x），当 x0 时，ag（x）+1af（x）axg（x）+（1a）x，bg（x）+1bf（x）bxg（x）+（1b）x，设函数 h（x）=f（x）cxg（x）（1c）x，h（x）=f（x）c（g（x）+xg（x）（1c）=g（x）cg（x）cxf（x）（1c）=（1c）（g（x）1）cxf（x），若 c0 则 h（x）0，故 h（x）在（0，+）递增，h（x）h（0）=0，（x0），即有 f（x）cxg（x）+（1c）x，故ag（x）+1a 成立；若 c1 则 h（x）0，故 h（x）在（0，+）递减，h（x）h（0）=0，（x0），即有 f（x）cxg（x）+（1c）x，故bg（x）+1b 成立 综上可得，当 x0 时，a g（x）+（1a）b g（x）+（1b）【点评】本题考查函数的奇偶性的运用，主要考查函数的解析式的求法和不等式的证明，同时考查指数函数的单调性和基本不等式的运用，以及导数的运用：判断单调性，属于中档题 22（14 分）一种画椭圆的工具如图 1 所示O是滑槽 AB的中点，短杆 ON可绕O转动，长杆 MN通过 N处铰链与 ON连接，MN上的栓子 D可沿滑槽 AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子 D在滑槽 AB内作往复运动时，带动 N绕 O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为 C，以 O为原点，AB所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系（1）求椭圆 C的方程；（2）设动直线 l 与两定直线 l1：x2y=0 和 l2：x+2y=0 分别交于 P，Q两点若直线 l 总与椭圆 C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 【分析】（1）根据条件求出 a，b 即可求椭圆 C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：（1）设 D（t，0），|t|2，N（x0，y0），M（x，y），由题意得=2，且|=|=1，（t x，y）=2（x0t，y0），且，即，且 t（t 2x0）=0，由于当点 D不动时，点 N也不动，t 不恒等于 0，于是 t=2x0，故 x0=，y0=，代入 x02+y02=1，得方程为 （2）当直线 l 的斜率 k 不存在时，直线 l 为：x=4 或 x=4，都有 SOPQ=，直线l 的斜率k 存在时，直线l 为：y=kx+m，（k），由消去 y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m216=0，直线l 总与椭圆C有且只有一个公共点，=64k2m24（1+4k2）（4m216）=0，即 m2=16k2+4，由，可得 P（，），同理得 Q（，），原点 O到直线 PQ的距离 d=和|PQ|=|xPxQ|，可得 SOPQ=|PQ|d=|m|xPxQ|=|m|=|，将代入得 SOPQ=|=8|，当 k2时，SOPQ=8（）=8（1+）8，当 0k2时，SOPQ=8|=8（）=8（1+），0k2时，014k21，2，SOPQ=8（1+）8，当且仅当 k=0 时取等号，当 k=0 时，SOPQ的最小值为 8，综上可知当直线 l 与椭圆 C在四个顶点处相切时，三角形 OPQ的面积存在最小值为 8【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键综合性较强，运算量较大