空间向量的正交分解及其坐标表示.doc

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示双基达标(限时20分钟)1对于空间中的三个向量a，b，2ab.它们一定是 ()A共面向量 B共线向量C不共面向量 D以上均不对答案A2若向量，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，成为空间一组基底的关系是 ()A.B.C.D.2解析对于选项A，由结论xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面知，共面；对于B，D选项，易知，共面，故只有选项C中，不共面答案C3已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若，则C的坐标是 ()A. B.C. D.解析设点C坐标为(x，y，z)，则(x，y，z)又(3，2，4)，x，y，z.答案A4设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，a2i4j5k，bi2j3k，则向量a，b的坐标分别为_解析a，b的坐标即为i，j，k前面的系数，故a的坐标为(2，4，5)，b的坐标为(1，2，3)答案(2，4，5)(1，2，3)5设命题p：a，b，c为空间的一个基底，命题q：a、b、c是三个非零向量，则命题p是q的_条件解析a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c不共面，所以a，b，c是三个非零向量，但反之不成立，故p是q的充分不必要条件答案充分不必要6如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O，分别以射线OB，OC，AA1的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系试写出正方体八个顶点的坐标解设i，j，k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相 同的单位坐标向量因为底面正方形的中心为O，边长为2，所以OB.由于点B在x轴的正半轴上，所以i，即点B的坐标为(，0，0)同理可得C(0，0)，D(，0，0)，A(0，0)又i2k，所以(，0，2)即点B1的坐标为(，0，2)同理可得C1(0，2)，D1(，0，2)，A1(0，2)综合提高（限时25分钟）7已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示向量为 ()A.abc B. abcCabc Dabc解析如图所示，连接ON，AN，则()(bc)，()(2)(2abc)abc，所以()abc.答案C8已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8，6，4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标为 ()A(12，14，10) B(10，12，14)C(14，10，12) D(4，2，3)解析8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k点A在i，j，k下的坐标为(12，14，10)答案A9设a，b，c是三个不共面的向量，现在从ab；ab；ac；bc；abc中选出使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为_解析构成基底只要三向量不共面即可，这里只要含有向量c即可，故都是可以选择的答案(答案不唯一，也可以有其它的选择)10如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记a，b，c，则_(用a，b，c表示)解析()()c(abc)ab.答案ab11如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，a，b，AAc，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4).解连接AC，AD.(1)()()(abc)(2)()(2)(a2bc)(3)()()()(22)abc.(4)()abc.12(创新拓展)已知i，j，k是空间的一个基底设a12ijk，a2i3j2k，a32ij3k，a43i2j5k.试问是否存在实数，使a4a1a2a3成立？如果存在，求出，的值，如果不存在，请给出证明解假设存在实数，使a4a1a2a3成立，则有3i2j5k(2ijk)(i3j2k)(2ij3k)(22)i(3)j(23)ki，j，k是一组基底，i，j，k不共面，解之得故存在2，1，3使结论成立