高等数学微分方程总结ppt课件.pptx

求解流程图求解流程图微分方程微分方程求解求解总结总结1.折线积分折线积分2.凑全微分凑全微分3.定积分定积分转为转为z的一阶线性的一阶线性关于关于u一阶一阶二阶变系数二阶二阶一阶二阶常系数解的结构解的结构P338P348一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶一阶标准标准类型方程求解类型方程求解 关键关键:辨别方程类型辨别方程类型,掌握求解步骤掌握求解步骤2.一阶一阶非标准非标准类型方程求解类型方程求解(1)变量代换法变量代换法 代换代换自变量自变量代换代换因变量因变量代换代换某组合式某组合式(2)积分因子法积分因子法 选积分因子选积分因子,解全微分方程解全微分方程四个标准类型四个标准类型:可分离变量方程可分离变量方程,齐次方程齐次方程,线性方程线性方程,全微分方程全微分方程 例例1.1.求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解提示提示:(1)故为分离变量方程故为分离变量方程:通解通解1、一阶标准类型方程两边同除以方程两边同除以 x 即为齐次方程即为齐次方程,令令 y=u x,化为分化为分离变量方程离变量方程.调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解用线性方程通解公式求解.化为化为方法方法 1 这是一个齐次方程这是一个齐次方程.方法方法 2 化为微分形式化为微分形式 故这是一个全微分方程故这是一个全微分方程.例例2.2.求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解:提示提示:(1)令令 u=x y,得得(2)将方程改写为将方程改写为(伯努利方程伯努利方程)(分离变量方程分离变量方程)原方程化为原方程化为二、非标准类型：令 y=u t(齐次方程齐次方程)令 t=x 1,则则可分离变量方程求解可分离变量方程求解化方程为化方程为变方程为变方程为两边乘积分因子两边乘积分因子用凑微分法得通解用凑微分法得通解:例例例例3.3.3.3.设设F(x)f(x)g(x),其中函数其中函数 f(x),g(x)在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:(1)求求F(x)所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程;(2)求出求出F(x)的表达式的表达式.解解:(1)所以所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非齐次微分方程:(2)由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微分方程解的公式得于是于是 二、两类二阶微分方程的解法二、两类二阶微分方程的解法二、两类二阶微分方程的解法二、两类二阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法令令逐次积分求解逐次积分求解 2.2.2.2.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数情形常系数情形齐次齐次非齐次非齐次代数法代数法二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:(1)(1)写出相应的特征方程写出相应的特征方程(2)(2)求出特征方程的两个根求出特征方程的两个根(3)(3)根据特征方程的两个根的不同情况根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列按照下列规则写出微分方程的通解规则写出微分方程的通解求解二阶常系数线性方程求解二阶常系数线性方程非齐非齐通解通解齐次通解齐次通解非齐特解非齐特解难点：难点：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系数法待定系数法.(3).(3).上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.解答提示解答提示解答提示解答提示P353 题题2 求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为故特征方程为故特征方程为因此微分方程为因此微分方程为P353 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解提示提示:(6)令则方程变为则方程变为特征根特征根特征根特征根:齐次方程通解齐次方程通解:令非齐次方程特解为令非齐次方程特解为代入方程可得代入方程可得思思 考考若若(7)中非齐次项改为中非齐次项改为提示提示:原方程通解为原方程通解为特解设法有何变化特解设法有何变化?P354 P354 题题4(2)4(2)求解求解求解求解提示提示:令则方程变为则方程变为积分得积分得利用利用再解再解并利用并利用定常数思考思考若问题改为求解若问题改为求解则求解过程中得则求解过程中得问开方时问开方时正负号如何确定正负号如何确定?思考思考:设提示提示:对积分换元对积分换元,则有解初值问题解初值问题:答案答案: