二次函数知识点.pdf
猿辅导学科猿辅导学科单元知识点总结单元知识点总结|初中数学初中数学二次函数二次函数概念概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c（a,b,c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。一、二次函数的基本形式和性质二次函数的基本形式二次函数的基本形式：y=ax2性质：性质：a 的绝对值越大，图像的开口越小，反之，开口越大。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上（0,0）y 轴x0 时，y 随 x 的增大而减小；x0 时，y 随 x 的增大而增大；x=0 时，y 有最小值 0.a0向下（0,0）y 轴x0 时，y 随 x 的增大而增大；x0 时，y 随 x 的增大而减小；x=0 时，y 有最大值 0.二次函数三种形式和性质二次函数三种形式和性质一般式：一般式：y=ax2+bx+c,（a0）a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上（-?臀,?臀h?臀）x=-?臀x?臀时，y 随 x 的增大而减小；x?臀时，y 随 x 的增大而增大；x=?臀时，y 有最小值?臀h?臀.a0向下（-?臀,?臀h?臀）x=-?臀x-?臀时，y 随 x 的增大而增大；x-?臀时，y 随 x 的增大而减小；x=-?臀时，y 有最大值?臀h?臀.猿辅导学科猿辅导学科单元知识点总结单元知识点总结|初中数学初中数学顶点式：顶点式：y=a（x-h）2+k,（a0）a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上（h，k）x=hxh 时，y 随 x 的增大而减小；xh 时，y 随 x 的增大而增大；x=h 时，y 有最小值 k.a0向下（h，k）x=hxh 时，y 随 x 的增大而增大；xh 时，y 随 x 的增大而减小；x=h 时，y 有最大值 k.双根式双根式：y=a（x-x1）（x-x2）,（a0）a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上（?,?臀?）x=?x?时，y随x的增大而减小；x?时，y随x的增大而增大；x=?时，y 有最小值?臀?.a0向下（?,?臀?）x=?x?时，y随x的增大而增大；x?时，y随x的增大而减小；x=?时，y 有最大值?臀?.二次函数图像与各系数之间的关系二次函数图像与各系数之间的关系二次项系数二次项系数 a a（1）a0，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；（2）a0，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大；总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小。一次项系数一次项系数 b b在二次项系数 a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴（1）a0 的前提下：当 b0 时，-?臀0，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；当 b=0 时，-?臀?u，即抛物线的对称轴是 y 轴；当 b0 时，-?臀0，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；猿辅导学科猿辅导学科单元知识点总结单元知识点总结|初中数学初中数学（2）a0 的前提下：当 b0 时，-?臀0，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；当 b=0 时，-?臀?u，即抛物线的对称轴是 y 轴；当 b0 时，-?臀0，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；总结：对称轴在 y 轴左侧，则 ab0；对称轴在 y 轴右侧，则 ab0；亦可倒推。概括地说，即“左同右异”。常数项常数项 c c（1）c0，抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负，即抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方；（2）c=0，抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0，即抛物线与 y 轴的交点为原点；（3）c0，抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正，即抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方；二次函数解析式的确定：二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式；二次函数对称问题：二次函数对称问题：对称规律：左加右减，上加下减二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x x 轴交点情况轴交点情况）：（1）当=b2-4ac0，图象与 x 轴交于两点（x1,0）、（x2,0）（x1x2），其中 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根，这两点之间的距离为 AB=|x1-x2|=?臀h|a|；（2）当=b2-4ac=0，图像与 x 轴只有一个交点；（3）当=b2-4ac0，图像与 x 轴没有交点；二次函数常用解题方法总结：二次函数常用解题方法总结：（1）求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；（3）根据图象的位置判断二次函数 y=ax2+bx+c 中 a，b，c 的符号，或由二次函数中 a，b，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；猿辅导学科猿辅导学科单元知识点总结单元知识点总结|初中数学初中数学（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标；（5）与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 ax2+bx+c（a0）本身就是所含字母x 的二次函数；下面以 a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与 x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根=0抛物线与 x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与 x 轴没有交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根
