【100所名校】2019届内蒙古赤峰二中高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）.docx

2019届内蒙古赤峰二中高三上学期第二次月考数学（理）试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1是虚数单位，复数对应的点位于A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2若集合，集合，则 “”是“”的A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件3已知函数，则A 在上递增 B 在上递减C 在上递增 D 在上递减4已知各项不为O的等差数列满足：，数列是各项均为正值的等比数列，且，则等于A B C D 5若实数,满足，则的最小值为 A 0 B 1 C D 96如果函数的图像关于直线对称，那么的最小值为A B C D 7“珠算之父”程大位是我国明代伟大数学家,他的应用数学巨著算法统综的问世,标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节四升五,上梢三节贮两升五,唯有中间三节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”（注释四升五：4.5升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间三节的容积为A 3升 B 3.25升 C 3.5 升 D 3.75升8已知定义在上的奇函数满足，当时 ，则A B C D 9用表示，b两个数中的最大数，设，那么山函 数的图象与X轴、直线和直线所围成的封闭图形的面积是A B C D 10如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为A 5 B 6 C D 11直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是A B 或 C D 12对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为A B C D 二、填空题13若函数的定义域是，则函数的定义域为_14边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是_15设集合,从集合中任取一个元素,则这个元素也是集合中元素的概率是_16已知四面体的棱,则此四面体外接球的表面积_三、解答题17为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民25人，女性市民75人进行调查，得到以下的列联表： 支持不支持合计男性20525女性403575合计6040100(1)根据以上数据，能否有97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的4位市民中持“支持”态度的人数为,求的分布列及数学期望。附：.0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63518如图，四棱锥的底面为矩形，且， （）平面与平面是否垂直？并说明理由； （）求直线与平面所成角的正弦值19已知分别是内角的对边，且满足.(1)求角的大小；(2)设，为的面积，求的最大值.20设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：21已知椭圆的离心率为，且椭圆过点（1，）（1）求椭圆的方程；（2）设是圆上任一点，由引椭圆两条切线,.当切线斜率在时，求证两条斜率的积为定值。22（选修44：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数），若以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，设是圆上任一点，连结并延长到，使.（1）求点轨迹的直角坐标方程；（2）若直线与点轨迹相交于两点，点的直角坐标为，求的值.23（选修45：不等式选讲）已知关于的不等式的解集为（1）求实数的取值范围；（2）已知且，当最大时，求的最小值及此时实数的值好教育云平台 名校精编卷 第5页（共6页） 好教育云平台 名校精编卷 第6页（共6页）2019届内蒙古赤峰二中高三上学期第二次月考数学（理）试题数学 答 案参考答案1B【解析】【分析】先化简,再确定复数对应的点所在的象限.【详解】由题得=所以复数对应的点为（-1,1），所以其对应的点在第二象限.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数 对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.2A【解析】【分析】先求出时a=±3，再利用充要条件判断得解.【详解】因为，所以.因为“”是“a=±3”的充分非必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查集合的运算和充要条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；若且，即时，则是的充要条件.3D【解析】【分析】确定函数的定义域，求导函数，根据导函数的正负确定函数的单调性.【详解】函数的定义域为（0，+）求导函数，可得f（x）=1+lnx令f（x）=1+lnx=0，可得x=,0x时，f（x）0，x时，f（x）0在上递减, 在上递增故选：D【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.4A【解析】【分析】先利用等差数列的性质以及已知条件求出a7=，再利用等比数列的性质即可求出 b7=，再根据 tan=tan，运算求得结果【详解】因为，且a2+a12=2a7，an0，得a7=，所以，b7=故 =b7=tan =tan=，故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查等差数列等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 等差数列中，如果m+n=p+q,则,特殊地，2m=p+q时，则，是的等差中项.等比数列中，如果m+n=p+q,则,特殊地，2m=p+q 时，则，是的等比中项.5B【解析】在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)及直线x2y0，平移直线x2y0，当平移到经过该平面区域内的点(0,0)时，相应直线在y轴上的截距最小，此时x2y取得最小值，3x2y取得最小值，则z3x2y的最小值是302×01，选B.6A【解析】【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，可得f（0）=f（），由此求得|的最小值【详解】函数f（x）=sin（2x+）的图象关于直线对称，则f（0）=f（），即sin=sin（+），即 sin=sin（+）=cos+（）sin，tan=，|的最小值为.故答案为：A【点睛】本题主要考查三角函数图像的对称性，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.7C【解析】【分析】由题得再利用等差数列的性质求中间三节的容积.【详解】由题得,所以.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)等差数列中，如果m+n=p+q,则,特殊地，2m=p+q时，则，是的等差中项.8C【解析】【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意将f（）， f（7），化到上，再将自变量代入解析式可得答案【详解】f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）+2=f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为4的周期函数，f（6）=f（2）=f（0）=0，f（）=f（）=f（）=f（）=1，f（7）=f（1）=1，.故选：C【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。9A【解析】【分析】先给出，再由题意用定积分分成两类求封闭图形的面积即可，由于两段函数的解析式不一样，故分成两段积分【详解】由题设知：，故答案为：A【点睛】本题考查定积分的运用，运用定积分求面积，求解本题的关键是确定出积分区间以及被积函数10C【解析】【分析】设A、B在准线上的射影分别为为M、N，准线与横轴交于点H，则FH=p，由点F是AC的中点，得p=2，设BF=BF=x，则，即，解得x=，即可求解【详解】设A、B在准线上的射影分别为为M、N，准线与横轴交于点H，则FH=p，由于点F是AC的中点，|AF|=4，AM=4=2p，p=2，设BF=BN=x，则则，即，解得x=，故答案为：C【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，平面几何知识，转化化归的思想方法.11B【解析】【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1），分别求出b，则b的范围可得【详解】曲线有即 x2+y2=1 （x0），表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴右侧的部分）如图，A（0，1）、B（1，0）、C（0，1），当直线y=x+b经过点A时，1=0+b，求得 b=1；当直线y=x+b经过点B、点C时，0=1+b，求得b=1；当直线y=x+b和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得1=，求得b=，或 b=（舍去），故要求的实数b的范围为1b1或b=，故答案为：B【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.12A【解析】【分析】先化简已知得再利用导数求出函数的单调性，再利用数形结合分析得到a的范围.【详解】由题得设所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减.所以，由函数的图像得y=a与y=f(t)有两个不同的交点，所以.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数的零点问题，意在考查学生读这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是化简方程得到其二是分析出函数的单调性画出函数的图像数形结合分析.13【解析】【分析】由函数y=f（x）的定义域为，2，知log2x2，由此能求出函数y=f（log2x）的定义域即可【详解】函数y=f（x）的定义域为，2，log2x2，x4故答案为：【点睛】本题主要考查函数的定义域和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14【解析】【分析】根据大角对大边以及余弦定理，求出B的值，再根据三角形内角和定理求出结果【详解】边长为a=5、b=7、c=8的三角形ABC中，cosB=，B（0，），B=，ABC的最大角C与最小角A的和为B=故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形的内角和定理，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15【解析】【分析】先根据集合A，B，求出AB，再利用长度型的几何概型的意义求解即可【详解】集合A=x|2x16=（2，4），B=x|y=ln（x23x）=，AB=x|3x4或-2x<0，事件“xAB”的概率是.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查集合的化简和运算，考查几何概型，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.16【解析】【分析】设BD的中点为O,再证明，即得点O是四面体的外接球的球心，再求出外接球的表面积.【详解】设BD的中点为O,如图因为AB=3,AD=4,BD=5,所以因为BO=OD,所以AO=同理CO=,所以,所以点O是四面体ABCD的外接球的球心，且半径R为.所以四面体外接球的表面积为故答案为：25.【点睛】本题主要考查几何体的外接球的表面积的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力,解答本题的关键是找到球的球心再求出球的半径.17（1）有97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关. （2）见解析.【解析】【分析】(1)利用独立性检验求出k的值，即得有97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关. （2）利用二项分布求的分布列及数学期望.【详解】（1）由列联表可得而所以有97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关. （2） 由列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为，将频率视为概率，即从A市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为. 由于总体容量很大，故可视作服从二项分布，即XB(4,)，所以从而X的分布列为：X01234P所以的数学期望为.【点睛】(1)本题主要考查独立性检验，考查二项分布的分布列和数学期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是，（）正好是二项式的展开式的第项.所以记作，读作服从二项分布，其中为参数. 若则 .18（I）见解析 （）【解析】本试题主要是考查了立体几何中的面面垂直的证明，以及线面角的求解的综合运用（1）根据面面垂直的判定定理，得到结论。关键是证明DA垂直于平面PAB。（2）在平面PAB内，过点P作PEAB，垂足为E，则PE平面ABCD，连结EC，则PCE为直线PC与平面ABCD所成的角，作出角，证明求解。19(1),(2)最大值.【解析】【分析】(1)先利用正弦定理和余弦定理化简得.（2）先由正弦定理得，再代入化简得=，再求函数的最大值.【详解】根据正弦定理，知，即由余弦定理，得.又，所以.（2）根据，及正弦定理可得，.故当，即时，取得最大值.【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问的关键是利用正弦定理和三角恒等变换求出=.20（）函数的单调递增区间为和，单调递减区间，其中， 且.（）证明见解析【解析】【分析】（I）先对函数求导，设，再分析得，解不等式即得a的范围,再讨论的单调性.(2) 由题意和知x20，a=2x2（1+x2），于是f（x2）=2x2（1+x2）ln（1+x2），设函数g（t）=t22t（1+t）ln（1+t），再利用导数求g（t）最小值即得.【详解】（）因为，设，依题意知得，所以的取值范围是由得，由得，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间，其中 且.（）由韦达定理和知，则x20，a=2x2（1+x2），于是f（x2）=2x2（1+x2）ln（1+x2），设函数g（t）=t22t（1+t）ln（1+t），则g（t）=2（1+2t）ln（1+t），当t=时，g（t）=0，当t（，0）时，g（t）0，故g（t）在，0）上是增函数于是，当t（，0），g（t）g（）=，因此f（x2）=g（x2）【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调性，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)第2问解答关键有两点，其一是x20，a=2x2（1+x2），其二是构造函数g（t）=t22t（1+t）ln（1+t）.21(1);(2)定值为-1，证明见解析.【解析】【分析】(1)根据已知列方程组解之即得椭圆的标准方程.(2) 设则过点P的切线方程为联立直线和椭圆方程得到，再根据=0得到,再求即得证.【详解】由题得.所以椭圆的方程为.设则过点P的切线方程为联立，因为直线和椭圆相切，化简得，所以，因为所以所以两条斜率的积为定值-1.【点睛】(1)本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是求出.22（1）,（2）【解析】【分析】（1）设点坐标，所以，再化成直角坐标即得求点轨迹的直角坐标方程.(2) 把，代入得 ，再利用直线参数方程t的几何意义求解即可.【详解】（1）设点坐标，即化为平面直角坐标系下的方程为（2）把，代入得所以，【点睛】（1）本题主要考查点的轨迹方程，考查直线的参数方程和t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,. 由直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上两点间的距离,不管两点在哪里，总有.23（1）,（2）【解析】【分析】(1)先利用绝对值三角不等式得到，再解不等式即得m的取值范围.(2)由柯西不等式得，即得的最小值及此时实数的值【详解】（1）因为，当或时取等号，令，所以m-32m或m-3-2m,所以m-3或m1，所以m1.所以实数的取值范围为.（2）由（1）知，由柯西不等式，可得，所以，当且仅当且时等号成立，易得时，取得最小值为【点睛】（1）本题主要考查绝对值三角不等式和柯西不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，为任意实数，则：，,其中等号当且仅当时成立.好教育云平台 名校精编卷答案 第17页（共18页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第18页（共18页）