【100所名校】2019届江西省南昌市第十中学高三上学期期中考试数学(理)试题（解析版）.docx

2019届江西省南昌市第十中学高三上学期期中考试数学(理)试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知集合A=x|-2<x<4， B=x|y=lgx-2，则ACRB=A2,4 B-2,4 C-2,2 D-2,22“xR，关于x的不等式f(x)>0有解”等价于Ax0R，使得f(x0)>0成立 Bx0R，使得f(x0)0成立Cx0R，使得f(x0)>0成立 Dx0R，使得f(x0)0成立3已知a=1，b=2，且a(a-b)，则向量a与向量b的夹角为A6 B4 C3 D234已知数列an的前n项和Sn=2n-1，则数列an2的前10项和为A410-1 B210-12 C13410-1 D13210-15如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，则图中阴影部分BC1M在平面BCC1B1上的正投影是A B C D6已知数列an满足anan112(nN*)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21为A5 B72 C92 D1327ABC中A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积S=a2+b2-c24，其中C的大小是A30° B90° C45° D135°8已知函数f(x)=3sinx+cosx(>0)的图像与x轴交点的横坐标构成一个公差为2的等差数列，把函数f(x)的图像沿x轴向左平移6个单位长度，得到函数g(x)的图像，若在区间0,上随机取一个数x，则事件“g(x)3”发生的概率为A14 B13 C16 D239设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递增，若数列an是等差数列，且a3>0，则f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)的值A恒为正数 B恒为负数 C恒为0 D可正可负10设G是ABC的重心，且(sinA)GA+(sinB)GB+(sinC)GC=0，则B的大小为A45B60C30D1511若函数f(x)=sin(x+6) (>0)在区间(,2)内没有最值,则的取值范围是A(0,11214,23 B(0,1613,23C14,23 D13,2312设f(x)=lnx+1x，若函数y=f(x)-ax2恰有3个零点，则实数a的取值范围为A0,e23 Be23,e C1e,1 D0,1ee23二、填空题13已知复数z=1-i2+i，其中i为虚数单位，则z=_.14函数y=loga(x+3)-1（a>0，且a1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m>0，n>0，则2m+1n的最小值为_.15已知数列an满足an=(12-a)n+1,n<6an-5,n6，若对任意nN*都有an>an+1，则实数a的取值范围是_.16菱形ABCD的边长为2，A=60°,M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则AMAN的最大值为_三、解答题17已知函数f(x)=cosx(23sinx-cosx)+sin2x(>0)的最小正周期为2(1)求的值；(2)ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(B)=2，a=3，ABC面积S=334，求b18已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=43(an-1)，nN*.（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=log2an，记数列1(bn-1)(bn+1)的前n项和为Tn，证明：13<Tn<12.19已知数列an中，a1=2且an=2an-1-n+2(n2,nN*).（1）求a2，a3，并证明an-n是等比数列；（2）设bn=an2n-1，求数列bn的前n项和Sn.20如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB/CD，BAD=90，DC=DA=2AB=25，点E为AD的中点，BDCE=H，PH平面ABCD，且PH=4. (1)求证：PCBD；(2)线段PC上是否存在一点F，使二面角B-DF-C的余弦值是1515？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由21已知函数f(x)=lnx+x+ax(aR).（1）若函数f(x)在1,+)上为增函数，求a的取值范围；（2）若函数g(x)=xf(x)-(a+1)x2-x有两个不同的极值点，记作x1，x2，且x1<x2，证明：x1x22>e3（e为自然对数）.22已知曲线C1的参数方程为x=3cosy=sin（为参数），以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos+4=2（1）求曲线C2的直角坐标方程及曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离OP的最大值；（2）若曲线C2与曲线C1相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求EA+EB的值23已知f(x)=2x-4+x+b.（1）当b=1时，求不等式f(x)>5的解集；（2）若不等式f(x)-2>x-2恒成立，求b的取值范围.好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）2019届江西省南昌市第十中学高三上学期期中考试数学(理)试题数学 答 案参考答案1D【解析】 A=x|-2<x<4，B=x|y=lg(x-2) =x|x>2，CRBx|x2，则ARB=x|-2<x2=-2,2，故选D.2A【解析】【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可【详解】命题对xR，“关于x的不等式f（x）0有解”为特称命题，则根据特称命题的定义可知命题等价为x0R，使得f（x0）0成立故选A【点睛】本题主要考查含有量词的命题的判断，根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可，比较基础3B【解析】【分析】根据已知条件即可得到aa-b=0，所以a2-abcosa，b=0，从而求得cosa，b=22，根据向量夹角的范围即可得出向量a，b的夹角【详解】aa-b；aa-b=0；1-12cosa，b=0；cosa，b=22；向量a与b的夹角为4故选B【点睛】考查非零向量垂直的充要条件，数量积的计算公式，以及向量夹角的范围4C【解析】【分析】利用Sn=2n-1可得an+1=Sn+1-Sn=2n，结合a1=S1=1，可知an=2n-1，进而可得an2=4n-1，根据等比数列的求和公式计算即可【详解】Sn=2n-1，Sn+1=2n+1-1，an+1=Sn+1-Sn=2n+1-1-2n-1=2n，又a1=S1=2-1=1，数列an的通项公式为：an=2n-1，an2=2n-12=4n-1，所求值为1-4101-4=13410-1，故选：C【点睛】本题考查数列的递推公式，等比数列的通项公式、求和公式，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，属于中档题5D【解析】【分析】根据正方体的结构特征，可知点M在平面BCC1B1上的正投影是CC1的中点，再结合点B、C1的投影特征，即可得到图象.【详解】由题意知，点M在平面BCC1B1上的正投影是CC1的中点，点B和点C1的投影是本身，连接三个投影点.故选D.【点睛】本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查面面垂直的性质，考查正方体的结构特征，属于基础题.6B【解析】因为an+an+1=12，所以an+1+an+2=12an+2=an. 因此an=2(n为偶数),an=-32(n为奇数)，S21=10×12+(-32)=72 ，选B. 点睛：本题采用分组转化法求和， 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如an=n,n为奇数2n,n为偶数 ）及符号型（如an=(-1)nn2 ），周期型（如an=sinn3 ）7C【解析】【分析】利用三角形面积公式和余弦定理化简整理，即可得解.【详解】ABC中，S=12absinC，a2+b2-c2=2abcosC，且S=a2+b2-c24，12absinC=12abcosC，即tanC=1，则C=45°故选C【点睛】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键8D【解析】试题分析：f(x)=3sinx+cosx=2sin(x+6)，其图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为2的等差数列，所以其周期为,=2，f(x)=2sin(2x+6).把函数f(x)的图象沿x轴向左平移6个单位，得到函数g(x)=2sin2(x+6)+6=2cos2x，使g(x)=2cos2x3，即cos2x32，所以0,上，02x6或1162x2，即0x12或1112x，所以事件“g(x)3”发生的概率为12+-1112=16，故选D考点：1、几何概型；2、三角函数的图象和性质；3、三角函数的图象变换【名师点晴】本题综合性较强关键在于首先确定函数f(x)，g(x)的解析式，以便于确定得到不等式g(x)3，解不等式时一定要借助于三角函数的图象，并注意2x的范围是0,2，否则很容易出现错误9A【解析】函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）单调递减，数列an是等差数列，且a30，a2+a4=2a30，a1+a5=2a30，x0，f（x）单调递减，所以在R上，f（x）都单调递减，因为f（0）=0，所以x0时，f（x）0，x0时，f（x）0，f（a3）0f（a1）+f（a5）0，f（a2）+f（a4）0故选A10B【解析】试题分析：G是三角形ABC的重心，GA+GB+GC=0，则GA=-GB-GC，代入sinAGA+sinBGB+sinCGC=0得，（sinB-sinA）GB+（sinC-sinA）GC=0，GB，GC不共线，sinB-sinA=0，sinC-sinA=0，则sinB=sinA=sinC，根据正弦定理知：b=a=c，三角形是等边三角形，则角B=60°故选B考点：本题主要考查三角形的重心，平面向量的线性运算及向量共线的条件，正弦定理。点评：中档题，利用三角形重心对应的向量条件的应用，把几何问题转化为向量问题，根据条件和正弦定理判断出三角形的形状。11B【解析】【分析】根据题意可得函数f(x)在区间(，2)内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间(，2)为单调区间的子集得到关于的不等式组，解不等式组可得所求【详解】函数y=sinx的单调区间为k+2，k+32，kZ，由k+2x+6k+32，kZ，得k+3xk+43，kZ函数f(x)=sin(x+6) (>0)在区间(，2)内没有最值，函数f(x) 在区间(，2)内单调，2k+3，k+43，kZ，k+3k+432，kZ，解得k+13k2+23，kZ由k+13<k2+23，得k<23当k=0时，得1323；当k=-1时，得-2316，又>0，故0<16综上得的取值范围是(0，1613，23故选B【点睛】解答本题的关键有两个：一是对“函数f(x)在区间(，2)内没有最值”的理解，由此可得函数在该区间内单调；二是求出函数f(x)的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理，并将问题再转化为不等式组求解，根据集合的包含关系得到不等式组时要注意不等号中要含有等号12A【解析】【分析】由题意得令gx=lnx+1x3，即gx 与y=a恰有3个交点，由gx=lnx+1x3=-lnx-1x3,x0,1elnx+1x3,x1e,+，利用导数得到函数的单调性即可得解.【详解】y=fx-ax2恰有3个零点，则lnx+1x3=a恰有3个根，令gx=lnx+1x3，即gx 与y=a恰有3个交点，gx=lnx+1x3=-lnx-1x3,x0,1elnx+1x3,x1e,+，当x0,1e时，g'x=3lnx+2x4<0，所以gx在0,1e上是减函数；当x1e,+时，g'x=-3lnx+2x4，当xe-1,e-23时，g'x>0，当xe-23,+时，g'x<0，所以gx在e-1,e-23时增函数，在e-23,+时减函数，且fe-23=e23，f1e=0所以a(0,e23)故选A【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等13105【解析】【分析】直接利用模的运算性质求解即可【详解】z=1-i2+i，|z|=|1-i|2+i|=12+(-1)222+12=105故答案为105【点睛】本题考查复数的模的运算性质，属于基础题1492【解析】【分析】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可【详解】x=-2时，y=loga1-1=-1，函数y=loga(x+3)-1（a0，a1）的图象恒过定点（-2，-1）即A（-2，-1），点A在直线mx+ny+2=0上，-2m-n+2=0，即2m+n=2，mn0，m0，n0，2m+1n=12（2m+n）（2m+1n）=12（5+2nm+2mn）12（5+4）=922m+1n的最小值为92故答案为92【点睛】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容1512,712【解析】【分析】由题若对于任意的nN*都有an>an+1，可得12-a0，a5a6，0a1 解出即可得出【详解】an=12-an+1,n<6an-5,n6，若对任意nN*都有an>an+1，12-a0，a5a6，0a112-a0，(12-a)×5+1a，0a1 ，解得12a712 故答案为12,712【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题169【解析】试题分析：由数量积的几何意义知，当AN在AM上的投影最大时，AM·AN最大.从图可以看出，当N点在点C处，AN在AM上的投影最大，所以AM·AN的最大值为：AM·AC=(AD+12AB)·(AB+AD)=9.考点：向量的数量积及其几何意义.17(1)12(2)3【解析】【分析】（1）化简f(x)=2sin(2x-6) ，根据函数的最小正周期T=22=2即可求出的值2）由（1）知，f(x)=2sin(x-6).由f(B)=2sin(B-6)=2，求得B=23，再根据ABC的面积SS=334，解得c=3，最后由余弦定理可求出b.【详解】（1）f(x)=23sinxcosx-cos2x+sin2x =3sin2x-cos2x =2sin(2x-6) 故函数的最小正周期T=22=2，解得=12. （2）由（1）知，f(x)=2sin(x-6).由f(B)=2sin(B-6)=2，得B-6=2k+2（kZ）.所以B=2k+23（kZ）.又B(0,)，所以B=23.ABC的面积S=12acsinB=12×3×c×sin23=334，解得c=3.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB =(3)2+(3)2-2×3×3cos23 =9，所以b=3.【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题18（1）an=4nnN*；（2）见解析【解析】【分析】（1）运用数列的递推式，令n=1求得首项，再由n2时，an=Sn-Sn-1，结合等比数列定义和通项公式可得所求；（2）由（1）有bnlog2anlog24n2n，可得1bn-1bn+1=1212n-1-12n+1，由裂项相消法求和，化简整理，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证【详解】（1）当n=1时，有a1=s1=43a1-1，解得a1=4.当n2时，有sn-1=43an-1-1，则an=sn-sn-1=43an-1-43an-1-1，整理得：anan-1=4，数列an是以q=4为公比，以a1=4为首项的等比数列所以an=4×4n-1=4nnN*，即数列an的通项公式为：an=4nnN* （2）由（1）有bn=log2an=2n，则1bn-1bn+1=1212n-1-12n+1所以Tn=11×3+13×5+15×7+12n-1×2n+1=1211-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+1 易知数列Tn为递增数列，所以13Tn<12。【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查数列不等式的证明，注意运用数列的单调性，考查化简运算能力，属于中档题19（1）见解析；（2）Sn=n+4-2+n2n-1【解析】【分析】（1）在已知的数列递推公式中分别取n=2,3，结合已知的首项即可求得a2,a3的值，再把递推式两边同时减n即可证明an-n是等比数列；（2）由an-n是等比数列求出数列an的通项公式，代入bn=an2n-1，分组后利用错位相减法求数列bn的前n项和Sn.【详解】（1）由已知an=2an-1-n+2n2,n+N*a2=4，a3=7，an-n=2an-1-2n+2，即an-n=2an-1-n-1，因为an-nan-1-n-1=2n2,nN*，所以an-n是以2为公比的等比数列（2）由（1）得an-n=a1-12n-1，即an=2n-1+n，所以bn=an2n-1=1+n2n-1，设Cn=n2n-1，且前n项和为Tn，所以Tn=120+221+322+423+n2n-1， 12Tn=121+222+323+n2n， 得12Tn=1+12+122+123+12n-1-n2n=1+121-12n-11-12-n2n=2-2+n2n所以Tn=4-2+n2n-1，Sn=n+4-2+n2n-1【点睛】该题考查的是数列的有关内容，涉及到的知识点有等比数列的证明，数列的递推公式，数列的求和方法，注意对式子的正确变形以及相应的公式，才能正确得出结果.20（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】1推导出BADEDC，DBA=DEH，从而BDEC，由PH平面ABCD，得BDPH，由此能证明BD平面PEC，从而PCBD2推导出PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F满足CF=32时，二面角B-DF-C的余弦值是1515【详解】证明：(1)AB/CD，BAD=90，EDC=BAD=90，DC=DA=2AB，E为AD的中点，AB=ED，BADEDC，DBA=DEH，DBA+ADB=90，DEH+ADB=90，BDEC，又PH平面ABCD，BD平面ABCD，BDPH，又PHEC=H，且PH，EC平面PEC，BD平面PEC，又PC平面PEC，PCBD解：(2)由(1)可知DHEDAB，由题意得BD=EC=5，AB=DE=5，DHDA=EHBA=DEDB，EH=1，HC=4，DH=2，HB=3，PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，H(0,0，0)，B(3,0，0)，C(0,4，0)，D(-2,0，0)，P(0,0，4)，假设线段PC上存在一点F满足题意，CF与CP共线，存在唯一实数，(01)，满足CF=CP，解得F(0,4-4,4)，设向量n=(x,y，z)为平面CPD的一个法向量，且CP=(0,-4,4)，CD=(-2,-4,0)，nCP=-4y+4z=0nCD=-x-2y=0，取x=2，得n=(2,-1,-1)，同理得平面CPD的一个法向量m=(0,-1)，二面角B-DF-C的余弦值是1515，|cos<n,m>|=|nm|n|m|=|-2+1|622-2+1=1515，由01，解得=34，CF=34CP，CP=42，线段PC上存在一点F，当点F满足CF=32时，二面角B-DF-C的余弦值是1515【点睛】本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（1）a2（2）见解析【解析】分析：（1）由题意可知，函数f(x)的定义域为(0,+)，f'(x)=1x+1-ax2=x2+x-ax2，因为函数f(x)在1,+)为增函数，所以f'(x)0在1,+)上恒成立，等价于a(x2+x)min，由此可求a的取值范围；（2）求出g'(x)=lnx-2ax，因为g(x)有两极值点x1,x2，所以lnx1=2ax1,lnx2=2ax2， 设令t=x2x1，则t>1，上式等价于要证lnt>3(t-1)1+2t，令h(t)=lnt-3(t-1)1+2t，根据函数的单调性证出即可详解：（1）由题意可知，函数f(x)的定义域为(0,+)，f'(x)=1x+1-ax2=x2+x-ax2， 因为函数f(x)在1,+)为增函数，所以f'(x)0在1,+)上恒成立，等价于x2+x-a0在1,+)上恒成立，即a(x2+x)min，因为x2+x=(x+12)2-142，所以a2，故a的取值范围为a2. （2）可知g(x)=xlnx+x2+a-(a+1)x2-x=xlnx-ax2-x+a，所以g'(x)=lnx-2ax， 因为g(x)有两极值点x1,x2，所以lnx1=2ax1,lnx2=2ax2， 欲证x1x22>e3，等价于要证：ln(x1x22)>lne3=3，即lnx1+2lnx2>3，所以ax1+2ax2>32，因为0<x1<x2，所以原式等价于要证明：a>32x1+4x2，由lnx1=2ax1,lnx2=2ax2，可得lnx2x1=2a(x2-x1)，则有a=lnx2x12（x2-x1），由原式等价于要证明：lnx2x1x2-x1>3x1+2x2，即证lnx2x1>3(x2-x1)x1+2x2=3(x2x1-1)1+2x2x1，令t=x2x1，则t>1，上式等价于要证lnt>3(t-1)1+2t， 令h(t)=lnt-3(t-1)1+2t，则h'(t)=1t-3(1+2t)-6(t-1)(1+2t)2=(t-1)(4t-1)t(1+2t)2因为t>1，所以h'(t)>0，所以h(t)在(1,+)上单调递增，因此当t>1时，h(t)>h(1)=0，即lnt>3(t-1)1+2t.所以原不等式成立，即x1x22>e3. 点睛：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用以及不等式的证明，属难题22（1）x-y-2=0，|OP|max=3（2）|EA|+|EB|=635【解析】【试题分析】(I)将C2方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得OP的长度并求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得EA+EB的值.【试题解析】（）由cos(+4)=2得(22cos-22sin)=2，即曲线C2的直角坐标方程为x-y-2=0根据题意得|OP|=9cos2+sin2=8cos2+1， 因此曲线C1上的动点P到原点O的距离|OP|的最大值为|OP|max=3 （）由（）知直线x-y-2=0与x轴交点E的坐标为2,0，曲线C2的参数方程为:x=22t+2y=22tt为参数，曲线C1的直角坐标方程为x29+y2=1 联立得5t2+22t-5=08分又|EA|+|EB|=|t1|+|t2|，所以|EA|+|EB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=63523（1）x|x>83或x<0（2）b|b<-4或b>0【解析】【分析】（1）根据零点分段法去掉函数f(x)的绝对值符号，分段化简不等式求解即可.（2）将不等式转化为x-2+x+b2，利用三角不等式得b+2>2，解不等式即可求出b的取值范围.【详解】解：（1）由题意得2x-4+x+1>5当x>2时，不等式化为2x-4+x+1>5，得x>83 当-1x2时，不等式化为4-2x+x+1>5，得-1x<0当x<-1时，不等式化为4-2x-x-1>5，得x<-1 综上所述所求解集为x|x>83或x<0 （2）不等式f(x)-2>x-2即：2x-2+x+bx-2+2可化为x-2+x+b2 因为x-2+x+bx-2-x+b=b+2 要不等式f(x)-2>x-2恒成立，只b+2>2成立即可解得b|b<-4或b>0【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和含参不等式恒成立问题的求解方法.含有绝对值不等式的解法：（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如fx<gx）；（4）图象法或数形结合法；好教育云平台 名校精编卷答案 第13页（共14页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第14页（共14页）