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第第第第二二二二章章章章 量子量子量子量子通信通信通信通信一、量子一、量子态态的不可克隆定理的不可克隆定理(Non-Cloning theorem)由于量子力学的由于量子力学的态态叠加原理，量子系叠加原理，量子系统统的任意未知量的任意未知量子子态态，不可能在不遭破坏的前提下，以确定成功的概率被，不可能在不遭破坏的前提下，以确定成功的概率被克隆到另一量子体系上。克隆到另一量子体系上。证证明明1 假定存在理想克隆机，它的幺正变换为U。克隆机的初态为1.量子量子态态的不可克隆定理的不可克隆定理假定存在某两个纯态 ，那么取这两个方程的内积，得由此可得或者这就是说，要么被拷贝的态 相同，这对拷贝来说是平庸的；要么被拷贝的态 相互正交。于是，一架以幺正变换的方式，即概率守恒的、也即以不含测量环节的方式运行的克隆机，只能克隆相互正交的量子态。肯定成功、肯定成功、绝对绝对准确并概率守恒的任意准确并概率守恒的任意态态克隆机克隆机是不存在的是不存在的!对对量子量子态态运算的运算的线线性要求和概率守恒要求，性要求和概率守恒要求，导导致了不可致了不可克隆。克隆。证证明明2 对两能级两体AB系统的任意态，态的理想克隆应为，总有特别地，对两个基矢态 而言，应当有对对克隆克隆过过程有两种理解：程有两种理解：1)按态叠加原理有(1)2)若任意态可克隆，有(2)如果 不同，(1)右边出来的应是混态；假如相同，将是纯态 。与此对照，(2)右边出来的总是个纯态。且(2)中 是(1)中所没有的。此外，(1)和(2)两种结果对原先态中系数 和 的依赖关系分别为线性的和非线性的，也不相同。量子量子态态的不可的不可删删除定理：除定理：由于量子态的线性性质，不容许人们理想地、真正地删除任意量子态的副本。证证明明 想删掉一个未知量子态，理想的实现办法是去定义一个和标准量子态做交换的交换操作。而理想的量子删除机应当是这种采用交换操作来实现删除的线性量子变换：当两个相同任意态输入时，留下一个而让另一个转为标准（“置零”）态。一方面，对任意信息态 和它的副本，总有2.量子量子态态的不可的不可删删除定理除定理(no-deleting principle)另一方面，如果两个输入态不相同，删除机就让它们通过。于是，删除机的工作变换为假定任意输入态-信息态为删除过程有两种理解：1)2)这两式完全不同。其一，对 态的依赖关系不同；其二，系数 是任意的，但现在关于它们的依赖关系也不同。3.普适量子克隆普适量子克隆Buzek 和 Hillery于 1996 年发表的文章中指出对于任意量子任意量子态态的确定性近似克隆是可以的确定性近似克隆是可以实现实现的的，并且建立了普适量子普适量子复制机复制机。普适量子复制机不依赖于输入态，并能以一定的保真度实现对任意未知量子态的复制。Buzek 和 Hillery给出的1 2普适量子克隆机，具体演化形式如下其中 是辅助量子位，是任意选择的参考态对于任意的输入态 ，可得其中从上式可以看出对于任意的输入态 都进行了非完美的复制，最后得到的克隆态为其保真度这样就实现了对任意未知量子态的克隆。4.概率量子克隆概率量子克隆量子演化的线性决定了两个非正交的量子态不可以克隆。在量子力学中，并不是所有的过程都能用幺正算符来表示，比如测量，测测量量是一个典型的非幺正演化过程。1998 年，段路明和郭光灿提出了概率克隆方案。他们把幺正幺正演化和演化和测测量量结结合起来合起来，使非正交态可以通过一个幺正塌缩过程来精确克隆。概率克隆定理概率克隆定理：从已知的态集合 中随机选择态 ，如果此态集合中这些态之间线性无关。那么 能够以一定的概率被精确克隆。文献证明了存在幺正演化矩阵U 满足演化完成以后对探针位P 进行von Neumann测量，如果探测到 态则克隆成功，那么就会得到两个与输入态完全相同的拷贝。如果探测到 态则克隆失败，得到的态 ，应该丢弃。是概率克隆机成功是概率克隆机成功产产生初生初态态拷拷贝贝的成功率，将的成功率，将 定定义为义为克隆系数。克隆系数。代表了克隆机的克隆效率。代表了克隆机的克隆效率。越接近越接近 1 表示效率越高。表示效率越高。希望设计这样一个克隆机，使得它具有最大的克隆效率，并且该效率与具体的输入态无关，这样的克隆机叫最佳最佳量子概率克隆机量子概率克隆机。如果输入态只有两个态 ，可以证明量子概率克隆机的最佳效率与输入态之间有如下的关系：可以看出只有对于输入态是正交的情况，其效率才能达到 1，这也保证了传送两个非正交态的量子密码体系的安全性。特例二、量子隐形传态二、量子隐形传态(quantum teleportation)1.单单量子比特量子比特态态量子量子隐隐形形传态传态粒子2、3构成Bell基，它是A、B之间的量子通道粒子1处于信息态于是三个粒子所组成的系统的总状态为 送收信双方共同拥有量子纠缠态，通过无噪声经典信道确保能够无误地传送2个经典信息，实现正确无误地传送1个qubit的量子状态的过程，该过程称之为量子量子隐隐形形传态传态。用四个Bell基对粒子1、2的状态进行测量，得到原则性操作：1)A 对粒子1、2做 Bell 基测量；2)A 用经典办法广播所得的测量结果；3)B 根据 A 广播，决定对粒子3做相应的幺正变换，实现考虑粒子1和2的四个Bell基3)A测得 ，B对粒子3施以 变换即得待传态4)A测得 ，B对粒子3施以 变换即得待传态具体操作：2)A测得 ，B需要对粒子3施以 变换即得待传态1)A 测得 ，B不必做任何操作即可获得待传态；利用Hadamard操作和Cnot操作重写teleportation过程。第二第二题题作作业业！说说明明:1)此过程不违背不可克隆定理。A 处粒子1在测量后已不处于原来状态。过程只是待传态转移(从1到3)，不是待传态的复制。2)不存在信息的瞬间传递。B必须等候收听A测量的结果，所以没有违背狭义相对论原理。3)也可以通过这样的方式来完成隐形传态：即送信者A 先对自己的两个qubit进行Cnot操作，随后对载有待传态的qubit进行Hadamard门操作。中的中的 qubit 2例：设送信者A希望通过隐形传态的方式将状态 传送给收信者。CnotH-gate解：紧接着送信者A 将自己拥有的2个qubit用2 qubit态矢空间的基底 进行测量。4)量子隐形传态与量子高密度编码的比较一、1997年，奥地利蔡林格小组在室内首次完成了量子态隐形传输的原理性原理性实验验证实验验证。三、2004年，中国科大潘建伟、彭承志等研究人员开始探索在自由空间实现更远距离的量子通信。在自由空间，环境对光量子态的干扰效应极小，而光子一旦穿透大气层进入外层空间，其损耗更是接近于零，这使得自由空间信道比光纤信道在远距离传输方面更具优势。这个小组2005年在合肥创造了13公里的自由空公里的自由空间间双向量子双向量子纠缠纠缠分分发发世界世界纪录纪录，同时验证了在外层空间与地球之间分发纠缠光子的可行性。四、2007年开始，中国科大清华大学联合小组在北京八达岭与河北怀来之间架设长长达达16公里的自由空公里的自由空间间量子信道量子信道，并取得了一系列关键技术突破，最终在2009年成功年成功实现实现了世了世界上最界上最远远距离的量子距离的量子态隐态隐形形传输传输，证实了量子态隐形传输穿越大气层的可行性，为未来卫星中继的全球化量子通信网络奠定了可靠基础。二、2004年，这个小组利用多瑙河底的光纤信道，成功地将量子态隐形传输距离提高到600米米。但由于光纤信道中的损耗和环境的干扰，量子态隐形传输的距离难以大幅度提高。国内最新进展中科大和清华大学的联合研究小组实现16公里的自由空自由空间间量子隐形传态北京八达岭到河北张家口市怀来县2.量子纠缠的超空间制造量子纠缠的超空间制造(quantum swapping)设送信者A在具备量子隐形传态的基础上希望把某一状态表示的信息传送给收信者B，但 A 与B 之间并没有直接共同拥有Bell状态。如果此时在A与备制中心C之间，及B与备制中心C之间已分别共同拥有相同的Bell状态。这种情况下使得A与B之间间接地共同拥有Bell状态，称之为纠缠纠缠状状态态交交换换。理理论论方案：方案：开始粒子1、2处于纠缠态 ；粒子3、4处于另一纠缠态 。其中粒子2、3位于C处，1、4分别位于A、B处。整个系统处于量子态C 对粒子2、3做Bell测量，产生相应纠缠分解和塌缩，这相当于用四个Bell基对这四个粒子系统上述态重新做等价地分解1)这里1和4粒子之间并没有直接的相互作用，而是当 C 对粒子2和3做Bell测量时，通过2和3两粒子纠缠，以间接方式纠缠起来的。注意：注意：4)1998年，量子交换实验-量子纠缠的超空间转移实验首次实现。2)Entanglement swapping也可以通过这样的方式实现：C对粒子2和3进行Cnot操作，再做Hadamard门操作。3)利用利用纠缠纠缠状状态态交交换换原理能原理能够够构成关于构成关于qubit的交的交换换机。机。3.多目标共享量子隐形传态多目标共享量子隐形传态设粒子1处于未知的信息态而粒子2、3、4和5事先制备在GHZ态上Alice对粒子1和2做Bell基测量根据测量结果，对粒子3、4和5进行幺正操作，可以将粒子3、4和5转换成从而完成开目标的隐形传态注意：注意：这这是量子理是量子理论论空空间间非定域性明非定域性明显显体体现现。信息 含在三个粒子3、4和5的态上。就是说，以非定域的方式联合储存在三个不同的空间位置上。4.可控的量子隐形传态可控的量子隐形传态 可控量子可控量子隐隐形形传态过传态过程就是允程就是允许许Alice和和Bob之之间进间进行一行一个未知量子个未知量子态态的的传传送，在送，在这这个方案中除了个方案中除了Alice和和Bob，还还有有第三个控制方第三个控制方Charlie。为了实现可控隐形传态，Alice、Bob和Charlie之间必须事先共同分享一个纠缠的量子通道，即GHZ态，如果没有三者都同意，是无法进行量子隐形传态的。假设要传送的量子态为Alice、Bob和Charlie共享的三粒子GHZ态作为量子通道：系统所处的量子态为：具体步具体步骤骤：a)Alice首先采用能识别Bell态的装置对粒子A和D进行Bell态测量；假设测量的结果为b)测量之后，Alice通过经典通道告诉Bob测量结果；粒子B 和C 将塌缩到量子态Bob和Charlie共享一个纠缠态，如果没得到Charlie的同意，不管Bob对自己的粒子做什么幺正变换都不可能完全获得Alice希望传送的量子态。因此合作方因此合作方Charlie起到控制的作用！起到控制的作用！c)假设Charlie同意Bob获得信息，她可对自己的粒子C作一个幺正变换，即对自己的粒子作一个Hadamard门变换。d)接着Charlie对粒子C作正交测量，并把结果告诉Bob。当结果为 时，Bob手中的量子态为至此，完成了可控的量子隐形传态！5.概率量子隐形传态概率量子隐形传态 在Bennett 等人提出的标准量子隐形传态方案中，采用最大纠缠态作为量子通道来传送未知量子态，隐形传态的成功率必定会达到100%。但是在实际中由于量子态和周围环境的耦合是不可避免的。所以，作为量子通道的这些最大纠缠态在制备过程中会受到上述及其它因素的影响而很难得到，最终粒子对处于部分纠缠或非最大纠缠态。因此，运用部分纠缠态作为量子通道就具有很大的实际意义。假设Alice和Bob拥有的两个粒子被制备为部分纠缠态：粒子2属于Alice，粒子3属于Bob。设要被传送的粒子1处于未知量子态，她要将这个量子态传送个Bob这三个粒子体系的复合波函数，即量子态可表示为具体具体过过程：程：a)Alice对粒子1和2实施Bell态测量，那么Bob所拥有的粒子3就会塌缩到如下之一的量子态b)Alice将她所测量的结果通知Bob，Bob就会得到相应的粒子3的塌缩态。比如，Alice测得的结果为 ，则对应的粒子3的量子态为c)为了得到Alice希望传送的量子态，Bob必须引进一个辅助粒子，其初始态为 。在 下，粒子3和辅助粒子构成的量子态为对粒子3和辅助粒子共同进行幺正变换粒子3和辅助粒子的量子态演化为d)对辅助粒子进行von-Neumann测量。如果辅助粒子处于 ，则量子隐形传态过程成功；反之，则失败，没有获得粒子1的任何量子信息。三、量子密集编码三、量子密集编码 利用量子利用量子纠缠态实现纠缠态实现量子密集量子密集编码编码，能，能够实现够实现1个个qubit传传送送 2 bit经经典信息。典信息。假设送信者A希望送2 bit 的经典信息给远处的收信者B。此时送信者A仅仅只能利用惟一的一个qubit向收信者B传送信息，那么如何才能把2 bit的信息代换成1 qubit编码进行传送呢?首先：送信者和收信者分享Bell态1.量子密集编码量子密集编码其次：送信者A 对应于自己想要发送的信息，在自己拥有的qubit上实施如下的操作。希望发送的信息对送信者拥有的qubit实施的操作什么操作也不施加施加X-gate操作施加Z-gate操作施加X-gate操作和Z-gate操作送信者A通过上述操作，这个纠缠状态由Bell态变化成下列状态希望发送的信息施加操作后的纠缠态最后：送信者A在对自己拥有的qubit实施操作以后将自己拥有的qubit传送给收信者B，此时收信者B拥有的qubit对的状态依赖于送信信息，取不同的Bell态。Bell态 构成正规直交基底，因此通过基于Bell态的测定，收信者能够正确地(即概率为1)知道qubit对的状态是4个状态中的哪一个，并能获取送信者发来的信息。注意：注意：量子密集编码的特征是：即使送信者送出的qubit被收信者以外的第三者截获，截获者也无法得到正确的信息。此此时时即使即使单单独独测测定送信者定送信者A的的qubit，也只能概率，也只能概率为为0.5地地获获得得0或概率或概率为为0.5地地获获得得1，即收信者只能即收信者只能够够等概率地等概率地获获得得0或或1，从，从这样这样的的测测定定结结果果无法判断所截取的信息，所无法判断所截取的信息，所以信息能以信息能够够被完全的保密。被完全的保密。例如，在传送2个bit为11信息的场合，施加X-gate演算和Z-gate演算Z X 后，送、收信者的qubit对状态将变成2.采用量子比特的通信界限采用量子比特的通信界限 如果送收信者之间存在一个能够传送qubit且不产生误码的信道，为了使送信者能够送出 n 个bit的信息，送收者之间需要采用几个qubit来实现送收较为妥当?定理：定理：假假设设A有有 n 个个bit的信息要的信息要传传送送给给B。如果。如果A和和B不共有不共有纠纠缠缠状状态态，且无，且无论论是从是从A到到B或是从或是从B到到A，双向都可以无，双向都可以无误误地地传传送送qubit。此。此时设时设从从A传传送到送到B的的qubit总总数数为为 ，从，从B传传送到送到A的的qubit总总数数为为 ，则则B能能够够正确地正确地获获得得A传传送的送的n个个bit的信息的信息的充分必要条件下述两式同的充分必要条件下述两式同时时成立成立从B到A不可送信的场合，即 场合，此时 。无论如何巧妙地使用纠缠状态，传送 n 个 bit 信息时至少要传送 个qubit。使用量子密集编码，用 个qubit可以传送 n 个bit信息。从 A 到 B 传送 n 个bit的信息时，使用下面的协议即可：的场合，如果把 bit 0 编码成 ，把 bit 1 编码成 并从A向B传送n 个qubit的话，则B能够获取从A传来的n个 bit 的信息。的场合：首先B做成 对的Bell状态，且把每一个Bell状态对的一半qubit传送给A，此时从B向A传送的qubit个数为 。由此可知，A和B共同拥有 对的贝尔状态，因此在执行 回量子高密度编码后，若A向B传送 个qubit，就能够传送 个bit位信息。在这之后，使用个qubit，A将剩余的 个bit送给B即可。例：如果A向B传送qubit数 等于6 bit，B向A传送qubit数 等于3 bit，此时来考虑A向B传送9个 bit 经典信息的方法。因为不等式 成立，所以B拥有进入状态的3(=9-6)对贝尔状态，并把每一个贝尔状态的一方合计为3个qubit传送给A。A方通过执行3次量子高密度编码，向B发送3个qubit就可以向B传送6位 bit 的信息。在这之后再利用3个qubit即可把剩余的3位bit的信息传送给B。解：解：