条件分布律条件分布函数条件概率密度ppt课件.ppt
条件分布律条件分布律 条件分布函数条件分布函数 条件概率密度条件概率密度第三章 随机变量及其分布3 条件分布条件分布退 出前一页后一页目 录一一、离散型随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律 设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为是二维离散型随机变量，其分布律为 (X,Y)关于关于 X 和关于和关于 Y 的边缘分布律分别为：的边缘分布律分别为：第三章 随机变量及其分布3条件分布P X=xi,Y=yj=pi j,i,j=1,2,.退 出前一页后一页目 录 由条件概率公式由条件概率公式定义：定义：设设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定是二维离散型随机变量，对于固定的的 j,为在为在Y=yj 条件下随机变量条件下随机变量 X 的条件分布律的条件分布律。第三章 随机变量及其分布若若PY=yj 0,则称则称自然地引出如下定义：自然地引出如下定义：3条件分布退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布条件分布律条件分布律具有分布律的以下具有分布律的以下特性特性：10 P X=xi|Y=yj 0；同样对于固定的同样对于固定的 i,若若PX=xi0,则称则称为在为在 X=xi 条件下随机变量条件下随机变量Y 的条件分布律的条件分布律。3条件分布即条件分布率是分布率。即条件分布率是分布率。退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布例例1 一射手进行射击，击中目标的概率为一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击射击到击中目标两次为止。设以到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击表示首次击 中目标中目标所进行的射击次数，以所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行表示总共进行 的射击次的射击次数，试求数，试求 X 和和 Y 的联合分布律以及条件分布律。的联合分布律以及条件分布律。解：解：3条件分布退 出前一页后一页目 录，的取值是的取值是L21X；，的取值是的取值是L432Y的联合分布律为的联合分布律为YX,nYmXP=，pqpqmnm =-11()pq-=1其中其中22pqn=-.1,2,1-=nmL;,3,2L=n并且并且YX 第三章 随机变量及其分布3条件分布例例1（续）（续）退 出前一页后一页目 录 =nnYmXP，的边缘分布律为的边缘分布律为X =mXP-=22nqp的边缘分布律为的边缘分布律为Y 1,2,1;,3,2,22-=-nmnpqnYmXPnLL，在在Y=n 条件下随机变量条件下随机变量 X 的条件分布律为的条件分布律为当当 n=2,3,时，时，第三章 随机变量及其分布3条件分布退 出前一页后一页目 录 1,2,1;,3,2,22-=-nmnpqnYmXPnLL，在在 X=m 条件下随机变量条件下随机变量Y 的条件分布律的条件分布律为为当当m=1,2,3,时，时，第三章 随机变量及其分布3条件分布退 出前一页后一页目 录 1,2,1;,3,2,22-=-nmnpqnYmXPnLL，L,2,1,1=-mpqmXPm第三章 随机变量及其分布例例2（1）在发车时有）在发车时有n个乘客的条件下，中途有个乘客的条件下，中途有m个人下个人下车的概率；车的概率；（2）二维随机变量（）二维随机变量（X,Y)的概率分布。的概率分布。解：解：且中途下车与否相互独立。以且中途下车与否相互独立。以 Y 表示在中途下车的人表示在中途下车的人数，求：数，求：设某班车起点站上车人数设某班车起点站上车人数 X 服从参数为服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为3条件分布退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布二、二、条件分布函数条件分布函数设设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于是二维连续型随机变量，由于 因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。3条件分布退 出前一页后一页目 录定义：定义：给定给定 y，设对于任意固定的正数设对于任意固定的正数 ，存在，存在，第三章 随机变量及其分布P y-0,若对于任意实数若对于任意实数 x，极限极限则称为在条件则称为在条件Y=y下下X的的条件分布函数条件分布函数，写成写成 P X x|Y=y，或记为或记为 FX|Y(x|y).3条件分布退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布3条件分布退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布3条件分布称为在条件称为在条件Y=y下下X的条件分布函数的条件分布函数.退 出前一页后一页目 录的条件下的的条件下的在在称为随机变量称为随机变量yYX=.条件密度函数条件密度函数()()()xfyxfxyfXXY，=的条件下的的条件下的在在称为随机变量称为随机变量xXY=.条件密度函数条件密度函数条件密度函数的性质条件密度函数的性质第三章 随机变量及其分布3条件分布退 出前一页后一页目 录，有，有对任意的对任意的性质性质x1()0 yxfYX()12=+-dxyxfYX性质性质()是密度函数是密度函数简言之，简言之，yxfYX()也有类似的性质也有类似的性质对于条件密度函数对于条件密度函数xyfXY第三章 随机变量及其分布3条件分布例例 3解：解：退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布例例 3（续）（续）3条件分布退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布例例 3（续）（续）退 出前一页后一页目 录例例 4 4第三章 随机变量及其分布3条件分布退 出前一页后一页目 录()()rNYX，222121s ss sm mm m()的联合密度函数为的联合密度函数为，则则YX()服从二元正态分布：服从二元正态分布：，设二维随机变量设二维随机变量YX第三章 随机变量及其分布3条件分布退 出前一页后一页目 录例例 5 5第三章 随机变量及其分布3条件分布退 出前一页后一页目 录()()的密度函数的密度函数机变量机变量上的均匀分布试求随上的均匀分布试求随，服从区间服从区间的条件下的条件下在在时，随机变量时，随机变量布，当布，当上的均匀分上的均匀分，服从区间服从区间设随机变量设随机变量YxxXYxX11010=()=.,0,10,1其它其它xxfX的密度函数为的密度函数为随机变量随机变量 X下的条件密函数为下的条件密函数为在条件在条件时，随机变量时，随机变量又由题设知，当又由题设知，当xXYx=10()-=.,0,1,11其它其它yxxxyfXY第三章 随机变量及其分布3条件分布例例 5 5（续）（续）得得退 出前一页后一页目 录所以，由公式所以，由公式时，时，当当10 y -=.,0,10,11其它其它yxx()()+-=dxyxfyfY，所以，所以，的密度函数为的密度函数为所以，随机变量所以，随机变量 Y()()-=.,0,10,1ln其它其它yyyfY-=ydxx011().1lny-=第三章 随机变量及其分布3条件分布 1 1 条件分布律；条件分布律；2 2 条件分布函数；条件分布函数；3 3 条件概率密度。条件概率密度。小结：小结：难点：难点：求条件分布时如何确定条件分布率和条求条件分布时如何确定条件分布率和条 件密度不为零的范围。件密度不为零的范围。退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布4 随机变量的独立性随机变量的独立性随机变量的独立性随机变量的独立性离散型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性正态随机变量的独立性正态随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录一、随机变量的独立性一、随机变量的独立性第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录说说 明明第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性结论：结论：在独立的条件下有在独立的条件下有退 出前一页后一页目 录例例 1 1第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录()的联合分布函数为的联合分布函数为，设二维随机变量设二维随机变量YX()+=10arctan25arctan212yxyxFp pp pp p，()+-+-yx，是否相互独立？是否相互独立？与与试判断试判断YX的边缘分布函数为的边缘分布函数为X解：解：第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录 +=+10arctan25arctan21lim2yxyp pp pp p +=5arctan21xp pp p()=，xF()xFX的边缘分布函数为的边缘分布函数为Y()()yFyFY，=+=+10arctan25arctan21lim2yxxp pp pp p第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录 +=10arctan21yp pp p，有，有，所以，对于任意的实数所以，对于任意的实数yx()+=10arctan25arctan212yxyxFp pp pp p，+=10arctan215arctan21yxp pp pp pp p是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量与与所以所以YX二、离散型随机变量的独立性二、离散型随机变量的独立性第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录例例 2 2第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录例例 3 3第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录三、连续型随机变量的独立性三、连续型随机变量的独立性第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录说 明第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录例例 4 4第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录例例 5 5第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录例例6 6（BuffonBuffon投针问题）投针问题）第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性LMXMa退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性xDA0退 出前一页后一页目 录说 明:第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录说 明（续）第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录说 明（续）第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录例例 7 7（正态随机变量的独立性）（正态随机变量的独立性）第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录()的联合密度函数为的联合密度函数为，则则YX()()rNYX，设二维随机变量设二维随机变量222121s ss sm mm m的边缘密度函数为的边缘密度函数为又随机变量又随机变量 X第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录的边缘密度函数为的边缘密度函数为随机变量随机变量 Y，有，有，实数实数相互独立，则对任意的相互独立，则对任意的与与反之，如果随机变量反之，如果随机变量yxYX()的联合密度函数为的联合密度函数为，时，时，所以，当所以，当YXr0=第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性退 出前一页后一页目 录().0,),(222121=rYXrNYX：件为件为相互独立的充分必要条相互独立的充分必要条与与，对于对于结论：结论：s ss sm mm m由此得，由此得，0=r特别地，我们有特别地，我们有四、四、n n 维维随机变量的独立性随机变量的独立性第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性注意：若若 X,Y 独立，独立，f(x),g(y)是连续函数，是连续函数，则则 f(X),g(Y)也独立。也独立。退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性小结：小结：1 二维随机变量二维随机变量独立独立的充分必要的充分必要条件条件：联合分布等于边缘分布的乘积联合分布等于边缘分布的乘积。2退 出前一页后一页目 录().0,),(222121=rYXrNYX：件为件为相互独立的充分必要条相互独立的充分必要条与与，对于对于s ss sm mm m第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性思考题思考题：1）填空。已知）填空。已知 X,Y 独立，联合分布率与边缘分布独立，联合分布率与边缘分布率如下率如下退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性2）已知）已知 X,Y 的分布率如下的分布率如下求：（求：（1）X,Y 的联合分布率；（的联合分布率；（2）X 与与 Y 是否独立。是否独立。退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布3)退 出前一页后一页目 录
