【数学】江苏省南通第一中学2019-2020第一学期第一次阶段考试数学试卷.pdf

江苏省南通第一中学 2020-2021 第一学期第一次阶段考试 数学试卷 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分）1.等差数列 na中，38a=，1029a=，则6a=（）A14 B17 C20 D23 2.两数21+与21的等比中项是（）A1 B1 C1 D12 3.已知集合 Ax|x2x2，则42aa 6朱载堉（1536-1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以乐律全书最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子。他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”。“十二平均律”是指一个八度有 13 个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的 2 倍，设第二个音的频率为2f，第八个音频率为8f，则28ff等于（）A.2 B.32 C.42 D.62 7已知数列 na：1 12,2 33+，123444+，12345555+，又1114nnnba a+=，则数列 nb的前 n 项的和nS为（）A14 11n+B11421n+C111n+D1121n+8.已知数列 na的各项均为正数，12a=，114nnnnaaaa+=+，若数列11nnaa+的前 n 项和为5，则(n=)A119 B121 C120 D1222 二、不定项选择（每小题 5 分，少选得 3 分，选错不得分，共 20 分）9 在公比q为整数的等比数列na中，nS是数列na的前n项和，若1418aa+=，2312aa+=，则下列说法正确的是（）A2q=B数列2nS+是等比数列 C8510S=D数列lgna是公差为 2 的等差数列 10已知等差数列 na的首项为 1，公差4d=，前 n 项和为nS，则下列结论成立的有()A数列nSn的前 10 项和为 100 B若1,a3,ama成等比数列，则21m=C若111625niiia a=+，则 n 的最小值为 6 D若210mnaaaa+=+，则116mn+的最小值为2512 11下列说法正确的是 （）A.若,0 x y，满足2xy+=，则22xy+的最大值为4；B.若12x，满足3xyxy+=，则xy+的最小值为2 D.函数2214sincosyxx=+的最小值为9 12.设d，nS分别为等差数列 na的公差与前n项和，若1020SS=，则下列论断中正确的有（）A当15n=时，nS取最大值 B当30n=时，0nS=C当0d 时，10220aa+D当0d 三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.已知数列 na的前 n 项和nS=n2+1，则 an=_ 14.已知0a，0b，a，b的等比中项是 1，且1mba=+，1nab=+，则mn+的最小值是_.15.在关于 x 的不等式 x2(a1)xa0 的解集中至多包含 1 个整数，则 a 的取值范围是 。16.如图，一粒子在区域（x，y）|x0，y0上运动，在第一秒内它从原点运动到点 B1（0，1），接着按图中箭头所示方向在 x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度，设粒子从原点到达点 An、Bn、n时，所经过的时间分别为 an、bn、cn，请你尝试求出bn的通项公式 bn_ 四、解答题（第 17 题 10 分，其它每题 12 分，共 70 分）17.已知数列 na满是1310aa+=，245aa+=（1）若数列 na为等比数列，求通项公式na；（2）若数列 na为等差数列，且其前 n 项和为nS，求7S的值 18设函数2()2f xmxmx=（1）若对于一切实数()0f x +恒成立，求m的取值范围.19.设数列 na的前n项和为22nSn，nb为等比数列，且11ab，2211()b aab（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）设nnnacb=，求数列 nc的前n项和nT 20.南通某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用()04xx万元满足131mx=+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？21.已 知 数 列na满 足：1na，)1(2)1(3221nnaa=+，记数列，)(*221Nnaacnnn=+.（1）证明数列nb是等比数列；（2）求数列nc的通项公式；（3）是否存在数列nc的不同项)(,kjiccckji使之称为等差数列？若存在，请求出这样的不同项)(,kjiccckji；若不存在，请说明理由.22正项数列 na的前项和nS满足：242nnnSaa=+，()*nN，（1）求数列 na的通项公式；，211=a21nnab=（2）令()2212nnnbna+=+，数列 nb的前n项和为nT，证明：对于任意的*nN都有564nT 江苏省南通第一中学 2020-2021 第一学期第一次阶段考试 数学答卷 一、单项选择题 1.等差数列 na中，38a=，1029a=，则6a=（）A14 B17 C20 D23【答案】B 2.两数21+与21的等比中项是（）A1 B1 C1 D12【答案】C 3.已知集合 Ax|x2x2，则42aa【答案】B 6朱载堉（1536-1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以乐律全书最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子。他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”。“十二平均律”是指一个八度有 13 个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的 2 倍，设第二个音的频率为2f，第八个音频率为8f，则28ff等于（）A.2 B.32 C.42 D.62【答案】A 7已知数列 na：1 12,2 33+，123444+，12345555+，又1114nnnba a+=，则数列 nb的前 n 项的和nS为（）A14 11n+B11421n+C111n+D1121n+【答案】C 8.已知数列 na的各项均为正数，12a=，114nnnnaaaa+=+，若数列11nnaa+的前 n 项和为5，则(n=)A119 B121 C120 D1222【答案】C 二、不定项选择 9 在公比q为整数的等比数列na中，nS是数列na的前n项和，若1418aa+=，2312aa+=，则下列说法正确的是（）A2q=B数列2nS+是等比数列 C8510S=D数列lgna是公差为 2 的等差数列【答案】ABC 10已知等差数列 na的首项为 1，公差4d=，前 n 项和为nS，则下列结论成立的有()A数列nSn的前 10 项和为 100 B若1,a3,ama成等比数列，则21m=C若111625niiia a=+，则 n 的最小值为 6 D若210mnaaaa+=+，则116mn+的最小值为2512【答案】AB 11下列说法正确的是 （）A.若,0 x y，满足2xy+=，则22xy+的最大值为4；B.若12x，满足3xyxy+=，则xy+的最小值为2 D.函数2214sincosyxx=+的最小值为9【答案】CD 12.设d，nS分别为等差数列 na的公差与前n项和，若1020SS=，则下列论断中正确的有（）A当15n=时，nS取最大值 B当30n=时，0nS=C当0d 时，10220aa+D当0d 【答案】BC 三、填空题 13.已知数列 na的前 n 项和nS=n2+1，则 an=_ 14.已知0a，0b，a，b的等比中项是 1，且1mba=+，1nab=+，则mn+的最小值是_.【答案】4 16.在关于 x 的不等式 x2(a1)xa0 的解集中至多包含 1 个整数，则 a 的取值范围是 。【答案】1,3 15.如图，一粒子在区域（x，y）|x0，y0上运动，在第一秒内它从原点运动到点 B1（0，1），接着按图中箭头所示方向在 x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度，设粒子从原点到达点 An、Bn、n时，所经过的时间分别为 an、bn、cn，请你尝试求出3c_，bn的通项公式 bn_ 【答案】n2+n+(-1)nn 三、解答题 17.已知数列 na满是1310aa+=，245aa+=（1）若数列 na为等比数列，求通项公式na；（2）若数列 na为等差数列，且其前 n 项和为nS，求7S的值【答案】（1）412nna=；（2）0 18设函数2()2f xmxmx=（1）若对于一切实数()0f x +恒成立，求m的取值范围.【解析】（1）由题意，要使不等式220mxmx恒成立，当0m=时，显然20 成立，所以0m=时，不等式220mxmx恒成立；当0m 时，只需2080mmm=+，解得80m +恒成立，只需22mxmxmx+恒成立，只需()212m xxx+，又因为22131024xxx+=+，只需221xmxx+，令222211111xyxxxxxx=+，则只需maxmy即可 因为1122xxxx+=，当且仅当1xx=，即1x=时等式成立；因为1,3x，所以max2y=，所以2m.19.设数列 na的前n项和为22nSn，nb为等比数列，且11ab，2211()b aab（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）设nnnacb=，求数列 nc的前n项和nT【答案】（1）42nan=，124nnb=；（2）65 45()nnTn/9【分析】（1）由已知利用递推公式11,1,2nnnS naSSn=，可得na，代入分别可求数列nb的首项1b，公比q，从而可求nb（2）由（1）可得()1214nncn=，利用乘“公比”错位相减法求和【解析】（1）当2n 时，22122142()nnnaSSnnn=-，当1n=时，112aS=满足上式，故 na的通项式为42nan=设 nb的公比为q，由已知条件2211()b aab=知，12b=，122112bbaa=，所以2114aqa=，111124nnnbbq=，即124nnb=（2）()114221 424nnnnnancnb=，121121 3 45 42()14nnnTcccn ，221()()41 43 45 423 421 4nnnTnn，两式相减得：123131 2 444421 465 4()()()5nnnnTnn ，(6)5 45nnTn./9 20.南通某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用()04xx万元满足131mx=+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？【解析】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8 162mm+，()8 1611628 168 168 16 35611mymmxmxxxmxx+=+=+=+=+()0,4x；（2）由()()16161656571572149111yxxxxxx=+=+，当且仅当1611xx=+，即3x=时取等号.答：该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.21.已知数列满足：记数列，21nnab=（1）证明数列nb是等比数列；（2）求数列nc的通项公式；（3）是否存在数列nc的不同项)(,kjiccckji使之称为等差数列？若存在，请求出这样的不同项)(,kjiccckji；若不存在，请说明理由.解：（1）由已知 ，所以 是 为首项，为公比的等比数列 （2），（3）假设存在 满足题意成等差数列，代入得 ，左偶右奇不可能成立。211=a，1na，na，)1(2)1(3221nnaa=+，)(*221Nnaacnnn=+所以假设不成立，这样三项不存在 22正项数列 na的前项和nS满足：242nnnSaa=+，()*nN，（1）求数列 na的通项公式；（2）令()2212nnnbna+=+，数列 nb的前n项和为nT，证明：对于任意的*nN都有564nT+，12nnaa=()2n 又12a=，所以数列 na是以 2 为首项 2 为公差的等差数列，所以2nan=（2）由于2nan=，()2212nnnbna+=+则()()2222111116422nnbnnnn+=+()()()222222222111111111111632435112nTnnnn=+()()22221111115111621626412nTnn=+=+