原子物理学杨福家1-6章_课后习题答案.pdf

原 子 物 理 学 课 后 前 六 章 答 案（第 四 版）杨 福 家 著（高等教育出版社）第一章：原子的位形：卢瑟福模型第二章：原子的量子态：波尔模型第三章：量子力学导论第四章：原子的精细结构：电子的自旋第五章：多电子原子：泡利原理第六章：X射线第 一 章 习 题 1、2 解1.1 速度为v 的非相对论的a 粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：a 粒子的最大偏离角约为10-4rad.要点分析：碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变.并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞（靶核不动）.注意这里电子要动.证明：设 a 粒子的质量为M a,碰撞前速度为V,沿 X 方向入射；碰撞后，速度为V ,沿。方向散射。电子质量用me表示，碰撞前静止在坐标原点0 处，碰撞后以速度v 沿中方向反冲。a 粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒，有：LMaV2=-MaV,22 a 2 a 2,M N -M Vr cos0+mycoscpoc e x,e T（2）0=MaVf sin 0-mevsm（p（3）(4)再将（4）、（5 ）二式与（1）式 联 立，消 去V(5)与V ,MaV2=MaV2s i n%s i n2(+)I%疝2。me s i n l d +e)化简上式，得。c M Cs i n (e +0)=s i n e +-s i n-0me(6)二若记M a,可 将（6）式改写为s i n 2(e +0)=/s i n2 +s i n2 0(7)视。为0的 函 数9（）,对（7）式 求e的极值，有ded(p s i n 2 e-/s i n(e +e)=-s i n 2 +s i n 2(e +e)令组=0d(p则 s i n 2 (0 +0)-s i n 2 0 =0若 s i n 9=0,则9=0 (极小)(2)若 c o s(6+2中)=0 ，则 6=9 0 9 -2 Q即 2 c o s (9+2 )s i n 0=O(8)(9)将（9）式 代 入（7）式，有 s i n 2 (9 0 0 一 )=s i n 2 夕 +s i n 2 8由此可得s i n 夕=me14 x 1 8 3 68=1 0-4弧 度（极大）此题得证。1.2 （1）动能为5.O O M e V的a粒子被金核以9 0 散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大？（2）如果金箔厚1.0 u m,则 入 射a粒子束以大于9 0 散 射（称为背散射）的粒子数是全部入射粒子的百分之几？要点分析：第二问是9 0 1 8 0 范围的积分.关键要知道n,注意推导出n值.二 N总分子数二 mol NA=1（切双 =P_Ny y v A八A,其他值从书中参考列表中找.解：（1）依a 0cotZ.Z2e2a 三-和 4您0EU金的原子序数Z2=79b 二2 2,1 2Z-e2 e 79x1,44 上,“十 小 匕/、b=-cot =-cot45=22.752x 10（m）2 4您（）E 2 5.00答：散射角为90。所对所对应的瞄准距离为2 2.8fm.（2）解：第二问解的要点是注意将大于90 的散射全部积分出来.（问题不知道n A,但可从密度与原子量关系找出）从书后物质密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=1 97,p Au=1.888 X 1 0 4 k g/m 3dN=ntN -2TI sin 0dO16 sin 一依：2dN：a2 2TI sin O dO=nt-N 16sin4220 0 0 0 0sin 例 夕=2sin cos2J()=2sin 2 90 1/2习题1-7、8解步,2sin Oddsin 一补：求积分式 2 的积分结果解：积分式的积分结果4 2-sin 3d0sinsin OdOsin4-22 s in c o s%。4sinc o?,-d e23sine21-7 单 能 的 窄a粒子束垂直地射到质量厚度为2.0mg/cm2的锂箔上，这时以散射角0 020散射的相对粒子数（散射粒子数与入射数之比）为4.0X10-3.试计算：散4。22e22射 角6=60角相对应的微分散射截面要点分析：重点考虑质量厚度与n t关系。解：p m=2.0mg/cm2 NATa=181 ZTa=736=605N，.。=2.0 x 1 0-2d(j _ a2 1而二百K依微分截面公式 2 知该题重点要求出a2/16由公式=x 6.022x 1023 x x f80 女 怨 誓=4.3x10-3in4g 181 16 J-sifl4f2 2 X6.022x1023x x p 2兀 卫 誓=6.65xl02 lx181 16 J2 s in 42=43x10-326.65 x IO?1*懵(-4)x(-22.13)=4.3 x 10-3所以a29 =2.33x10-26z-16da后1a2 1T?.4 sin 一2=2.33x10-2 6 X=1.456x10-27.4 O Us in 21-8(1)质量为m l的入射粒子被质量为m2(m2 ml)的静止靶核弹性散射，试证明:入射粒子在实验室坐标系中的最大可能偏转角6 由下式决定.sin6=%(2)假如粒子在原来静止的氢核上散射，试问：它在实验室坐标系中最大的散射南为多大？证明：1 m y1/2=1 m2V+一帆2y(Dm y =m yf cos 0+cos(p0=仍 Vsin 8一 小sin cp作运算：(2)X s i n S(3)X c o s。，得(3)17singm2v=m y-sin(e+0)(4)班 丫 *就而(5)再将（4）、（5 ）二 式 与（1）式 联 立，消 去 V 与v,得“2 TZ2 S i说 mJ _2 s i 2 阳s 广2+0)利 s ine+o)化简上式，得sin2(+(p)=sin2夕 十 叫sin2。mx(6)M=若记 班,可 将（6）式改写为sinX e+e)=/sin2 e +sin2 8(7)视 e 为 的 函 数 e（中），对 式 求 e的极值，有df）sin 20 一 sin（6+0）=一sin 2（p+sin 2（6+夕）d（p令若K=0d(p,则 s i n 2 (0 +(j)-s i n 2 (p =0s i n 0 =0,则 0 =0 (极小)若 c o s (8+2 Q)=0,则 0 =90-2 Q2 c o s (0 +2 )s i n 0 =0(8)(9)将 式 代 入 式，有sin2(9Q(p)=/sin2+sin2()sin。=色由此可得町若m 2=m 1则有s i n e =i,e =9 0。州此题得证。第一章 习题1-9、1 0题解1-9动 能 为1.0 Me v的窄质子束垂直地射到质量厚度(p t)为1.5 m g/c m 2的金箔上，若金箔中含有百分之三十的银，试求散射南大于3 0 的相对质子数为多少？要点分析：此题靶为一个复合材料靶，关键找出靶的厚度t.然后计算出金原子数和银原子数，即可积分计算，从书后表可知：ZAu=79,AAu=1 97,p Au=1.888X1 0 4 k g/m 3;ZAg=4 7,AAg=1 0 8,p Ag=1.0 5 X1 0 4 k g/m 3.解：先求金箔的厚度 t p t=(0.7 p Au+0.3 p Ag)t =1.5 m g/c m 21.5 x 1 0-20.7 4“+0.3%1.5 x 1 0-20.7 x l.8 8 8 x l04+0.3 x l.05 x l04m =0.9 1 6 p.m这种金箔中所含金原子数与银原子数分别为再计算质子被金原子与银原子散射到6 3 0 范围内的相对数目。被金原子散射的相对数目为：A u=J/A s/。品2-,1 8 0 1 13 0 d M uN2 s/2式中，N为入射质子总数，d NAu 为被金原子散射到9 3 0 范围内的质子数。同理可得质子被银原子散射的相对数目为:1 8 0 1 8 0 物;Z；1.4 4 2 加3 0 1 6sin1 12.10sin 一23 0 a2 2然 由 闵64。22被散射的相对质子总数为nPAJ 川 0 0=603 e9 0=60的值。021 80 一5.719x1()9 x1sin-2=5.719x1()9 x1sin 一25.719X109X3=1.7151X1060,解：3 由于0 的值为无穷大，无法计算，所以将作以变换.仍然像上式一样积分,积分区间为10 780,然后用总数减去所积值，即 0 =，2机月An A 二PhZ=入i 3-2设光子和电子的波长均为0.4 n m,试问：（1）光子的动量与电子的动量之比是多少？（2）光子的动能与电子的动能之比是多少？解：（1）由九二人可知光子的动量等于电子的动量,p即P光子：P电子二1 ：1（2）由光子动能与波长的对应的关系1.24/孑-nm忆 E光子(K eV)电子动能与波长的关系九电子1.226=.nm0 电 子 一_/（L;2 26）、2n m入电子则知_1.24X1Q3X0.4E 电子 1.2262=329.96E电子E光子3-3若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：（1）该电子的速度为多大？（2）其相应的德布罗意波长是多少？解：（1）依题意，相对论给出的运动物体的动能表达式是：E=m e2 E=Ek+m0c22 2me=2 m0c m=2mQ所以v=0.866c（2）根据电子波长的计算公式：2=6tlm=J226nm=0 0 0 1 7 1 5 n m屿剑）V511xl03eV3-4 把热中子窄束射到晶体上，由布喇格衍射图样可以求得热中子的能量.若晶体的两相邻布喇格面间距为0.1 8 n m,一级布喇格掠射角（入射束与布喇格面之间的夹角）为30。，试求这些热中子的能量.解：根据布喇格衍射公式 n A-ds i n 6人二/i n 8=0.1 8 X si n 30 n m=0.0 9n mo 1.226nmz 二-店(eV)Ek=(1.226nm2)2=13.622?eV=185.56eV3-5 电子显微镜中所用加速电压一般都很高，电子被加速后的速度很大，因而必须考虑相对论修 正.试 证 明：电子的德布罗意波长与加速电压的关系应为：,1.226z=式 中K=K 1+O.978X 10-6V),称为相对论修正电压，其中电子加速电压，的单位是伏特.分 析：考虑德布罗意波长，考虑相对论情况质量能量修正，联系德布罗意关系式和相对论能量关系式，求出相对论下P即可解.证明：根据相对论质量公式 m=n=将其平方整理 乘02,得其能量动量关系式7 7 22fl-()2c2=m02c2c2 2 2 2 2 2m c-p c =m0 cE1=p2c2+m02c4|E=Ek+mcE k=E-E。P=1崔2喏/=,J(纥+)2 _%02c4=(Ek+2/户2)A_h_ he _ he 在 加/2 _ 1.2 2 6P 式/.+2?J 2一/2 在（+2加/2）但四+2 m再V 2mec2_ 1.2 2 6 _ _ _ _ _ _ _ _L2 2 6 _ _ _ _ _ _ _ _ 1.2 2 6，（门）”（1 +0.9 7 8 5 x 1。，&V 2mec2题意得证.3-6 （1）试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于式中和 分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量.（康普顿波长人。二力/%0%为粒子静止质量，其意义在第六章中讨论）当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普顿波长？证 明：根据相对论能量公式；了将其平方整理乘c2）2 c2=m02c2cm 2c2-p2c2=m02c2E2=p2 c 2+恤 2 c 4 E =Ek+mc 4=E-E。P=-JE2-m c4=，（+一（，）2 in02c4=-J Ek（Ek+2moc2）c c cp =JyE2-mc4=:yl（Ek+mnc2）2-mc4=g也（1 +2-/）=|（E-EJ（E+EJ（1）相对立下粒子的德东罗意波长*:h he he/t =P/E-E)(E+E)巧粒子的康普顿波长为.h he he/t =-=-=-c 2 厂moc mc 0he _4c _ E()_ 小(E-E。)_ EJ(.2 _ E 2 0)(2)若粒子的德布罗意波长等于它的康顿波长即=1(与)2=2,E=6E。EE=42E0=亚 x 511=722.55K eV纥=石-综=722.55-511=21L55(K eV)则电子的动能为2 1 1.5 5 Ke V.则电子的动能为2 1 1.5 5 Ke V注意变换：1.A Q转化为A 4表示；2.A E转化为A v表示；3-7 一原子的激发态发射波长为60 0 n m的光谱线，测得波长的精度为孚=1。，试问该原子态的寿命为多长？解：依 N E t h 求AtC 九E=hv=h AE=he-YAZAf 2机入 X X 600 xlO-9xlO72AE 2/zcAZ 4兀c 入 4x3.14 x3 x 103-8 一个电子被禁闭在线度为1 0 fm的区域中，这正是原子核线度的数量级，试计算它的最小动能.解：1皿弓 粒子被束缚在线度为，的范围内,即 A x 二 r那么粒子的动量必定有一个不确定度，它至少 APx=屈八一瓦瓦=0（P*）2平 均=7（/）平均 电子的最小平均动能为3方2EKk =-Q-=2.848 xl08eV23-9 已知粒子波函数”=N ex p-手-试 求：（1）归 一 化 常 数 小（2）粒 子 的 x坐标在0到 a之间的几率；（3）粒 子 的 p 坐 标 和 z坐标分别在-6T +6 和-+c.之间的几率.解：（1）因粒子在整个空间出现的几率必定是一，所以归一化条件是：J：M|d v二1AA|y|Mf f f4-oo.7 c p+oo-2-f4-oc 2-p+oo 2即：J J j e 2adx e 2bdy e 2cdz所 以 小 看78abe(2)粒 子 的X坐 标 在0.a区域内几率91 -2区 r+8-2应 广+8-2且为：Nje 2a比4e 2匕办e 2cdz=解 4斓 _ (1 1)=g (1 i)(3)粒子的 y (b,b),z e (-c,c)区域内的几率为：2 r+8 _2民 f+b _ 2 4 r+c _2且 2 1 2 1,N Jf-oo e 2adx e 2bdy e 2cdz=N-8abc(-1)-=(1)-j-b j-c g e3 1 0 若 一 个体系由 一 个质子和 一个电子组成，设它的归一化空间波函数为(X,y i,Zi;%2,必，z2),其中足标1,2分别代表质子和电子，试写出：(1)在同一时刻发现质子处于(1,0,0)处，电子处于(0,1,1)处的几率密度；(2)发现电子处于(0,0,0),而不管质子在何处的几率密度；发现两粒子都处于半径为1、中心在坐标原点的球内的几率大小3-1 1 对于在阱宽为d的一维无限深阱中运动的粒子，计算在任意本征态中的平均值了及(X-H),并证明：当时，上述结果与经典结果相一 致.3-1 2 求氢原子1 s态和2户态径向电荷密度的最大位置.第三章习题1 3,1 43-1 3基态,设氢原子处在波函数为 5丫,仇9)=1 e ad兀 兀 a的a为第一玻尔半径，试求势能U(r)=!-的平均值.4点 r3-1 4证明下列对易关系:y,P=ihx,py=Ox,Lx=O瓦 y =i力z X,X =。E，Zy =i正第三章习题1 5解3-1 5设 质 量 为m的粒子在半壁无限高的一维方阱中运动，此方阱的表达式为：c o x 00 0 x a试求：(1)粒子能级表达式；(2)证明在此阱内至少存在一个束缚态的条件是，阱深匕和阱宽a之间满足关系式：解：在x 0时，由薛定谤方程可得：卜方.cb2 +心I 7 片 助L因为 V(x)=o o 所 以 笔(幻 二0(Do x a,v(x)=v0 薛定谤方程为：2 m dx(4)整理后得：生修 皿)令 =作砥匕-)/力dx 力：则：生-k M=0 方 程 的 解 为:%=a*dx(5)式 中A,B为待定系数，根据标准化条件的连续性，有 w 式 a)材3(a)将(3),(5)式代人得：k ct gak =k,(6)：证 明：令 u=k a v k a 则(6)式 可 改为：uct gu=-v (7)同时，U和V还必须满足下列关系式：u2+v2=(k2+k 2)a2=2 m votz2/h2(8)联 立(7)(8)可得粒子的能级的值.用图解法求解:在以1/为纵轴为横轴的直角坐标 系 中(7)(8)两式分别表示超越曲线和圆，其交点即为解.因A*都不是负数，故 和1/不能取负值，因此只能取第一象限.由图可知(7)(8)两式至少有一解得条件为：即匕。2 2力232m4-1 一束电子进入1.2 T的均匀磁场时，试问电子自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量差为多大？分析要点：m=V2,g=2;解：已知：电子自旋磁矩在磁场方向的投影4z=4B依磁矩与磁场的作用能量E-ja B-/jBcosd自旋与磁场平行时E=艮-B=从 BcosO=JJBB自旋与磁场反平行时E2-&B-4 5 c o s 1 80%B贝IAE=E?-E=2於=2 x 1.2 x 0.5788 x 10,V=1.389 x 10,V4-2试计算原子处于2%2状态的磁矩及投影z的可能值.解:则已知：户3/2,2 -1 =2 s=1/2,/=23,3 1 .J-I、_3 1 .4_ OA_47 2 2 j 2 2 15 7 54依据磁矩计算公式勺二-而而-丁丹依 据 磁 矩 投 影 公 式凡=一机那小3,2,6,2,64-3 试证实：原子在厩/2状态的磁矩等于零,并根据原子矢量模型对这一事实作出解释.解：因为 2 s 1=6 Q5/2J=3/2/=47 7 7 =3/2,1/2,-1/2,-3/2n 彳 +1 -4(4+1)gj/77尸 0这是一个多电子耦合系统，相互作用产生的总效果为零.说明多电子作用有互相抵消的情况.4-4 在史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场，并射到屏上，磁极的纵向范围 片10cm,磁极中心到屏的距离 庐 25 cm.如果银原子的速率为400m/s,线束在屏上的分裂间距为2.0mm,试问磁场强度的梯度值应为多大？银原子的基态为2s l i 2,质量为107.87u.解：原子束在屏上偏离中心的距离可用下式表示：对原子态 2S/2=0 Q1/2 1/2 故 除土，2朗德g因子为：交2对于上屏边缘的线束取M=-J,对于下屏边缘的线束取M二J所 以A z =c2 J,g B-dBz -d-D-=-dB-7 =-Z-E-K.(乙1)、B dz 2EK dz JGpiBDd.AZ=2X103W J=；交2 4 =0.5788 x lO U e V T1 9-m V2=50MeV2/=25xl01 2m d=10 x10 2代入上式得：=1.2 4 x l O2T/m4-5在史特恩-盖拉赫实验中(图1 9.1),不均匀QB _.=5()/C JT I横向磁场梯度为S z,磁极的纵向范围6 A 1 0 cm,磁极中心到屏的距离 场3 0 cm,使用的原子束是处于基态/2的 锐 原 子，原子的动能E=5 0 M eV.试求屏上线束边缘成分之间的距离.解：对 于 多 个 电 子 2 5 4-1=4 43/223/23 1.+(则1 5 _1 9=旱(。=2产 2 2 1 5 5J3 1 1 3J 2 2 2 2依公式r dB dDz二 一 八 花 而又3 7 W =0.1 eVzdB dD益.诟土 工-。等 二 。和r dB dDZ=一%g，A.谢1 2 u c 10 x30 s -x x5.0 x-=0.1736cm2 5 50即：Z3/2=2Z2(3/2)=2X0.52092=1.42cmZ1/2=2 Z2（I/2）=2X0.1736=0.347cm4-6.在史特恩-盖拉赫实验中，原子态的氢从温度 为400 K的炉中射出，在屏上接受到两条氢束线，间距为0.60cm.若把氢原子换成氯原子（基态为之月），其它实验条件不变，那么，在屏上可以接受到几条氯束线？其相邻两束的间距为多少？解：已知 Z=0.30cm 仁400K 34 左3X8.617X10-5X400eV=0.103eVd /2 g=2 nijgF 1Z由dB dD-m,g,iR-dz 3kT%殂.也=0.3B dz 3kT当换为氯原子时，因 其 基 态 为28/2,/3/2,2-72与2 272?-2）-3+1”一）.4）一5+5（廿 一343 1 1 3加7，=+7；+二;一 不；一 二2 2 2 23 42=-x x 0.3=O.6cm2 31 4z=x x 0.3=0.2cm2 3共 有 2户仁4 条，相 邻 两 条 间 距 为|Z-Z 1=0.4cm。4-7线，试 问 波 数 差 为29.6crrT的赖曼系主线双重属于何种类氢离子？解:Av=r -x5.84CT n z=彳/(/+1)Av=29.6cm-1Avn3Z(Z+l)5.84cm-1以 为 是 赖 曼 系 主 线 上2 二1 代 入 上 式 得，z=3 所以是L i原子又因为其为类氢离子 所以为+4-8 试估计作用在氢原子2户态电子上的磁场强度.解.B=4=又由(21-13)式，口 =4.53 X 10-5eVB -=4,53x10 5-,0.4T2x5.788x104-9 试用经典物理方法导出正常塞曼效应.4-10 Z=30锌原子光谱中的一条谱线CST%)在 8 为 1.00T的磁场中发生塞曼分裂，试问：从垂直于磁场方向观察，原谱线分裂为几条？相邻两谱线的波数差等于多少？是否属于正常塞曼效应？并请画出相应的能级跃迁图.解：已知：对于激发态=0,J=1,5M.加 氏 0,1,在外磁场作用下，可以分裂为三条。3 1 L、3 2-0,g=-+-()=-+()=22 2 J 2 2对于基态=1,0,5=1 他=0,在外磁场作用下，并不分裂。3 1 z52-L 3,2-0、3E-E=E-E)+(m g 一 m g)RBB2、E-E+0/LIBB1 2)ehM =1/+0-B4勿%k?z 7(-2-2eBvf-v=0-=0 xl4B(T)GHz4 勿7 1“v-vw=-c0eB471mc6 2)0 x 0.467B(T)cm-=(0.934,0,-0.934)cm1所以原谱线在外加磁场中分裂为三条，垂直磁场可以看到三条谱线。分别对应于n,a+,。一三条谱线。虽然谱线一分为三，但彼此间间隔值为2 JBB,并 不 是 UBB,并非激发态和基态的S=0,因 S#=0所以它不是正常的塞曼效应。对应的能级跃迁图4-11 试计算在8为2.5T的磁场中，钠原子的。双线所引起的塞曼分裂.解：A.对于2s态，用3 1g f+5T,将 s=1/2,/=0;/1/2代入，即可算出g=2；由于 户1/2,因 而 斫 土5,于是仞 尸土1。B.对 于P态，相 应 的/=1,因 而 户/土 s,s=1/2,户1/2,3/2,有两个原子态2 凡2,2P 3/2。分别对应于gi/2=2/3,migi=1/3g3/2=4/3,m 2g2 二 2/3,6/3依vz-v =(m2g2 h=m2g2-mg)LV-v=(m2g2-m1g)L=(|-l)Z =为四条线。_3.4 L 分裂v；-v =(m；,g；-m1(g1)L=(g-1)L=-、3?+八-3+1 一3 分裂为17六条线。4-12 注：此题 有两种理解（不同习题集不同做法,建议用第二种方法）.钾原子的价电子从第一激发态向基态跃迁时，产生两条精细结构谱线，其波长分别为766.4nm和769.9nm,现将该原子置于磁场B中（设为弱场），使与此两精细结构谱线有关的能级进一步分裂.试计算能级分裂大小，并绘出分裂后的能级图.如欲使分裂后的最高能级与最低能级间的差距A E 等于原能级差 的 1.5倍，所加磁场8应为多大？要点分析:钾原子的价电子从第一激发态向基态的跃迁类似于钠的精细结构。其能级图同上题。解：(1)先计算朗德因子和阿名A.对于 2S/2 态，用 *=5+八 丁),将 s=1/2,/=0；户1/2代入，即可算出g j=2；由 于7=1/2,因 而 析 于 是 仞g；二 1。B.对 于P态，相 应 的/=1,因 而 户/土 s,S=1/2,j=1/2,3/2,有两个原子态 2为2,2P 3”分别对应于2 P1/2 对应有 m二1/2,g i/2=2/3,m i g i=1/32P3/2 对应有 磔 二 1/2,g3/2=4/3,m2g2二 2/3 ,6/3能级分裂大小：P3/2能级分裂大小：m2g2从+6/3 T+2/3为4/3 近Pi/2能级分裂大小：m2g2从+1/3 T-1/3为2/33S o能级分裂大小：mg从+1 T-1为2UBB(2)解：有两种认为：(2)第一种认为：与教材计算结果一致.分裂后的最高能级2P3/2,/=3/2与最低能级差ZPi/2,ffk=-1 /26 7A&=鹤+2g2-码gJ%B=蜴+q -(-,)碑=蜴+阳若使 A E=1.5 A=1.5(-；)即 E+7/3 e i.5 A；即 7/3 B3=Q.5 A；=0.5 (-)/=0.5 -)-(-)=0.5 1 j i,r C Rjj 7 D=_ 6n.5cx h,-C-hC3 I 4B瑞x 0.5 x(h-c-h 、4%2/3 (1=x0.5 xl 9 7 x6.2 8 -7 (7 6 6.41 1 1-x-76”9 力Q 0.5 7 8 8 x1 0-4=2 7.1 7(T)B=2 7.1 7 T(3)第二种认为：=(E-6)与教材结果相差甚远分裂后的最高能级2 P”2,f f h=3/2与最低能级差2 s 2,加=一1 /26A E2=+(m2 g2 一 町 g i)4B8=A g +-(-r)j L i8B=A E 1+3/BB若使 A E=1.5 A ；即 A ；+3 代1.5 A E即 3 4=0.5 A ；=0.5 3-6)=0.5h 4?C、3LIRB 0.5 x h I 4 J1cB=x0.5 x h 3见 A)1 (1二x0.5 xl 9 7 x6.2 8 -x3 (7 6 6.4)0.5 7 8 8*1 0一4二4 6 4 8.3(T)B=4 6 4 8.3 T4-1 3假如原子所处的外磁场8大于该原子的内磁场，那么，原 子 的Z.S耦合将解脱，总轨道角动量L和总自旋角动 量S将分别独立地绕8旋进.(1)写出此时原子总磁矩的表示式；(2)写出原子在此磁场B中 的 取 向 能 的表示式；(3)如 置 于8磁场中的原子是钠，试计算其第一激发态和基态的能级分裂，绘出分裂后的能级图，并标出选择定则(%=(),在二0,1)所允许的跃迁.4-14 4-14 在居 B=4T 的外磁场中，忽略自旋一轨道相互作用，试求氢原子 的2 a l s跃迁(入二121 nm)所产生的谱线的波长.解：.hvf=hv+(m2g2-ml忽略自旋与轨道相互作用，即引起帕那-巴克效应。此时，昆 肃3+向昌B=0IPIS-1/2+1/2-1/2+1/21/2+1/2m+1/21/2强磁场破坏L,S耦合作用后跃迁条件 除=0,A m i=0,1或者u=2m(2 SZ+4)=ehB2m(2ms+m,)选择规则变为/7 7 s=0,初二0,1对 应 于1 S态，九 二1/2,/尸0.因此类比（1）式给出双分裂.对 应 于1户态，私 二1/2,加 尸0,1.因此给出六分裂.依据跃迁定则可能的跃迁如图.产生六种跃迁，三种波长。由（1）式看来，三种波长必然差t=*一=0.467 cm-1 x4=1.877imec11=+、0，1七入=121nmjA=1 2 1-0.0 0 2 741 2 1J 2 1 +0.0 0 2 74nm7第四章 原子的精细结构：电子的自旋4-1)解：鼠a=2 即/mc=A U =2BB=2 x 0.5788x 1 0%.广、1.2 7=1.3 9乂1 0%丫4-2)A/2状态，s=g，/=2 =m；g =*=+=其大小：=J|(|+l)=L 55p44二=机3 1 1 3m=,2 2 2 2z6 2 2 6、考 一 厂 办4-3)解：6 G 3 态：2S+1 =6=S=1,/=4,J =T；该原子态的 L a n d e g 因子：g=g +L%(2+：4 +D=02 2%(%+】)原子处于该态时的磁矩：出=gylj PJ之间三角形关系可求出 二30 c o s=-4-2V7由 已 知 的 cos、s、L 可求出=B 以及=120所以-二90 。即 矢 量 与 P j垂直、在 P j方向的投 影 为0 o或：根据原子矢量模型：总磁矩等于,A,分量相加，即:/2 +J?_ o2/2 C2 _ /2 =M c o s(Z,J)+氏 c o s(S,7)=-g 串 B-)+(-g s4 -)可以证明：内 c o s(Z,J)=-/us c o s区 J)回与区在7上投影等值而反向，所以合成后，=0A-A M.SB.dD _ 阴 dD4 4）用牛 z2=/2B-f-ydz mv oz mvA z2=2.0 x 1=1 0 x l 0-2m;D =2 5x 1 0-2mv =4 0 0 m.5-1;.m =x =0.93 xNo 6.02x10-23 将所有数据代入解得：落m4-5）解：4%2态，=3,分 裂 为 必+1=4 （束）2dB.dD 阴 dD马=-叫/言嬴=-摩41r有3 1 1 3 2m2,2，2，2,85对于边缘两束，=29等冬dz 2Ek2x-x-x 0.57 8 8 x l O*x 5x l O2x 0 3。3=1 0 xl0-2 m2 5 2X50X1()T4-6）解：2Q太 1 71 .3 3 1 1 32/+1 =4 即：屏上可以接收到4束氯线对 于H原子：%=2/四 丝=06 x 10-2祖dz 2Ek对于氯原子：3g爵黑dz 2Ek=f=（42）AZ2 2 2对 于/2态：g=3，代入得：A z：=当*0.6 0=0.4 0c mB=453 xlO_4=o 39（7）2 4 2X0.5788X10-447 0）解:S 态：2s +1=3=s =1,/=0 =l;g =2;町=1,0,-133 4态：2s +1=3=s =1,/=0;/%=0（磔）=町岛有三个值，所以原谱线分裂为三个。相 应 谱 线 与 原 谱 线 的 波 数 差：|/，-|/=-1-1-=M-l-z-X X C C=!（）/切=（2,0,2）”c he相邻谱线的波数差为：名乐he不属于正常塞曼效应（正常塞曼效应是由S=0到s二0的能级之间的跃迁）4-1 1 ）解：3?&-32sl z21,1.3 4 43 2 13/2：5=-,/=l,y=-;g=-;/n=-,-32sq2:s =g,/=0,J =g；g=2;机=土;分裂后的谱线与原谱线的波数差为：D=A(mg)Q=(-|T_；其中：Q =46.78=46.7 x 2.5m-1=116.75 m47071/A v=cA v=(j,l,)x 35GHz 322-325I/222P 1 ,.1 2,13 4,2.s=5，/=l，J =/，g=，加=2 分裂后的谱线与原谱线差：4 2 少=A(mg)p=(-,-)p其中：Q =46.7B=46.7 x 2.5m-=116.75 尸4mlec4 2AV=CAV=(-,-)X 35GHZ4 1 2)解：钾 原 子 的 766.4 n m 和769.9n m 双 线 产 生 于4 ,-425,o 这 三 个 能 级 的 g 因子分别为：g2=g l=,g0=22 2 23 3因在磁场中能级裂开的层数等于2J+1,所 以 2生 能 级 分 裂 成 四 层，2%和 2S1/2能级分裂成两层。能量的间距等于gM，故有:峡=82即8=4%/；g2uHB=-uHB;E0=gQuBB=2uBB原 能 级 和 分 裂 后 的 能 级 图 如（a）图所示。A2=15AI有磁场（2）根据题意，分 裂 前 后 能 级 间 的 关 系 如（b）图所示，且有:钙=E2+（A 2）mJ-+（A E,）m i n =1.5A E,即 EE+（J2）m a x g2uBB-（）m i n=|o将（1 2）max=5,（4）min=-g代入上式，得：E2-E+（|X +X-|）WB5=|（2-1）经整理有：A -S =1（2-I）=1（2-O）-（I-o）=|（y-y-）=y3 L 乙 L/t j L=-x l.24 x l 03e V-w n x。的-7版 ）丽=3 678xe V2 7 6 9.9力 帆 x 7 6 6.4 nm33于是 B =x 3.6 7 8 x 10-3e V =-=:-r x 3.6 7 8 x 10 V =27.2T7 B 7 x 0.57 8 8 x l O-V V-r-14-13）解:（1）在强磁场中，忽略自旋一轨道相互作用，这时原子的总磁矩是轨道磁矩和自旋磁矩的适量和，即有：口=Us=一-L S=-(L+2S)(1)2 叫 me 2me(2)此时，体系的势能仅由总磁矩与外磁场之间的相互作用来确定,于是有：U=-B =(+2 S)B =(L+2S.)2叫 2m,-(Z)ehB/,._=-(mz+2ms)=(m1+2ms)UBB2”，(3)钠原子的基态为32加，第 一 激 发 态 为32PO;对 于3 s态：2m/=0,=p 因 此(2)式给出双分裂，分裂后的能级与原能级的能量差E、土 URB对 于3 P态，g=O,l;/=g,(2)式 理 应 给 出2x3个 分 裂，但m,=-V,ms=g与町=1;乙=-g对应的AE值相同，故实际上只给出五分裂，附加的能量差为AE2=(2,1,0,-1,-2)weB原能级与分裂后的能级如图所示根据选择规律：叫 二0,l;Ams,=0它们之间可发生六条跃迁。由于较高的各个能级之间的间距相等，只产生三个能差值(1,0,因此只能观察到三条谱线，其中一条与不加磁场时重合。这是，反常塞曼效应被帕型一巴克效应所取代。iih nn+2iih1/21/2-1/2-1/2-1/2-1/2强磁场100无磁场3S-1钠原子的3P和3s态在强磁场中的能级分裂和跃迁210-1-24-14)解：因忽略自旋一轨道相互作用，自旋、轨道角动量不再合成J,而是分别绕外磁场旋进，这说明该外磁场是强场。这时,即原谱线分裂为三条。因此，裂开后的谱线与原谱线的波数差可用下式表示:A v =(l,O-l)p式中茄=B=46.7加|广1 B=46.7x 4/n-=1.8 7x I O_ 7 n m 7i mec因4=?，故有?1 =无 八 V将ZAiH弋入上式，得：-2.74x 1 0 3n mA/l =2*-A =-(1 21 .O n m)2 x(1,0,-1)p =0,2.74x 1 0 3(1 21.0-0.00274)用 7 2A=V(kV)=1.24(m n)0.01 24(m%)1 00Z V6-2)解：v,=0.246 X1 06(Z-D2HZc _ 2.9 9 8 x 1()8I-0.068 5 x 1 0-9=4.38 x 1()1 8 法代入解得：Z=436-3）解：L吸收限指的是电离一个L电子的能量即：=3 =/吗.当4而：EKE-EKE.-EK+A 00 AL Q儿”的 Mo s e I e y 公式为：vK a=o.246x i o1 6(z-i)2而：h vK-E,EK将 Z =60;4 =0,19H m 代入解得：EK=42.0K e V6-5）解：K 层电子结合能为：Ehe _ 1.24K eV 加4 0.0141 nm=87.9K eV由K“线的能量体系，EH 得L层电子结合能为：与 二旦一 EK C（he 1 24 KeV,nm=S 1.9 K e V-=S1.9KeV-=13.6K eV0.加0167同理可得：M,N层电子结合能为：EM=3.0KeV;EN=0.6K eV由此可得Pb原 子K,L,M,N能 级 图（如下图所示）要 产 生L系谱线，必 须 使L层由空穴，所以产生L系得最小能量是将