2023年安徽省高考文科数学压轴题总复习（附答案解析）.pdf

2023年安徽省高考文科数学压轴题总复习1.已知椭圆C：苴+=1（。匕0）的四个顶点围成的四边形的面积为2 m，原点到直x y V 3 0线一+5=1的距离为 一.（1）求椭圆C的方程；（2）已知定点尸（0,2）,是否存在过P的直线/,使/与椭圆C交于4,B 两 点,且以|力目为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.第 1 页 共 1 0 3 页2.已知函数/(x)=lnx-ajr+ax,(1)当。0 时，求函数/(x)的单调区间；(2)若对任意x 2 1,有/(x)W 0恒成立，求实数。的取值范围.第2页 共103页3.已知函数/(x)=-lnx(m,n G /?).(I )若函数/(x)在(1,/(1)处的切线与直线x-y=O 平行，求实数的值;(I I )若=1时，函数/(X)恰有两个零点X I，X2(0 X l 2.第3页 共103页4.已知函数(x)=ax+lnx+.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)对任意的x 0,不等式/(x)W/恒成立，求实数。的取值范围.第4页 共103页5.在平面直角坐标系中，A,8分别为椭圆：万+y2 =i的上、下顶点，若动直线/过点尸(0,b)且与椭圆r 相交于C、。两个不同点(直线/与y 轴不重合，且 C、。两点在y 轴右侧，C在。的上方)，直线/O与 8c相交于点。.(1)设 的两焦点为尸1、尸 2,求/尸”尸 2 的值；(2)若 6=3,且P O =*P C,求点。的横坐标；(3)是否存在这样的点P,使得点0的纵坐标恒为?若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.第5页 共103页7 F c.6.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为（0,1）,离心率e=等，过椭圆的右焦点尸的直线/与坐标轴不垂直，且交椭圆于4 B两点（1）求椭圆的标准方程；1（II）当直线/的斜率为5时，求弦长|4 8|的值.（III）设M （机，0）是线段OF（O为坐标原点）上一个动点，且（而+病）1m，求机的取值范围.第 6 页 共 1 0 3 页7.已 知 项 数 为(znCN*,m 2 2)的数列“”满足如下条件：(T)an G N*(n 1,2,w)；aia2-a,n.若数列 为 满足b；=(ai+azqMam)e N*,其中=1,2,m,则称 篇 为 a”的“心灵契合数列”.(1)数 列 1,5,9,11,15是否存在 心灵契合数列”，若存在，写出其“心灵契合数列“；若不存在，请说明理由；(2)若 为 即 的“心灵契合数列”,判断数列也”的单调性,并予以证明；(3)己知数列 斯 存 在“心灵契合数列”如，且G=1,劭,=1025,求机的最大值.第7页 共1 0 3页8.设数列4：a,“2,，(2 3)的各项均为正整数，且a i W a zW W a”.若对任意在 3,4,”,存在正整数3 /(1 W i W/V k)使 得 四=。汁华 则称数列/具有性质7.(I )判断数列4：1,2,4,7与数列血：1,2,3,6是否具有性质丁；(只需写出结论)(I I )若数列4具有性质T,且m =l,图=2,。=2 0 0,求的最小值；(III)若集合 5=1,2,3,，2 0 1 9,2 0 2 0 =S U S 2 U S 3 U S 4U S 5U S 6，且 SC5=0(任意3/6 1,2,6,i壬/).求证：存在$,使得从S中可以选取若干元素(可重复选取)组成一个具有性质7的数列.第8页 共103页9.已知函数/(x)=g(x)=2l n x+2a(a R).(1)求/(x)的单调区间；(2)证明：存在(0,1),使得方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.第9页 共103页1 0.已知函数/(x)=x2-2bx-Inx.(I )讨论/(x)的单调性；(H)设 6 2 0,若/(元)在xo处有极值，求证：f (xo)方 0）的长轴长是焦距的2倍，且过点（一1,（1）求椭圆C的方程；（2）设 尸（x,y）为椭圆C上的动点，F为椭圆C的右焦点，/、8分别为椭圆C的左、右顶点，点尸 满足PP=（4-x,0）.证明：为 定 值；|PF|设。是直线/：x=4 上的动点，直线A Q、B Q分别另交椭圆C于 A f、N两点，求|四用+|询的最小值.第1 2页 共103页1 3.正整数数列“”的前N项和为S”前项积7,e N*(/=!,2,H),贝|J称数列*为“Z 数列”.(I)判断下列数列是否是Z 数列，并说明理由；2,2,4,8；8,24,40,56.(H)若数列 斯 是 Z 数列，且 公=2.求 S3和乃;(I ll)是否存在等差数列是Z 数列？请阐述理由.第1 3页 共103页1 4.函数f(x)满足：对任意a,P G R,都有/(耶)=a/-(p)+0/(a),且(2)=2,数列 斯 满足 a*=/(2)(n N+).Q”(1)证明数列 关 为等差数列，并求数列“的通项公式；(2)记数列仍“前项和为S”且 加=迎 地，问是否存在正整数机，使 得(5+1)(S”-4)+1 9 篇0 成立，若存在，求 m 的最小值；若不存在，请说明理由.第1 4页 共103页11 5.已知函数/(x)=-x+al n x.(I)求/(x)在(1,/(I)处的切线方程(用含。的式子表示)(II)讨论/(x)的单调性;(III)若 x)存 在 两 个 极 值 点.证 明：然詈勺一 2.第1 5页 共103页1 6.已知函数f (x)=lnx-ax(a E R)的最大值为-1(I)求函数/(x)的解析式;(II)若方程/(X)=2-x/有两个实根 XI，X2，且 求证：Xl+X2 1 .第1 6页 共103页X 2 y21 7.已知椭圆E：熊 +3=l(a b 0)的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线x+y-2=0 相切.(I)求椭圆的标准方程；()A,B,C 为椭圆E 上不同的三点，。为坐标原点，若&+办+辰=3,试问:N8C的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.第1 7页 共103页X y V 21 8.已知椭圆C：-7 +7 7 =1 C ab0）的离心率为二长轴长为4&.（I ）求椭圆C的标准方程；（I I ）设点尸是椭圆C上的任意一点，若点尸到点（2,0）的距离与点P到定直线（r 0）的距离之比为定值入，求人与f的值；（I I I）若直线/：y k x+m*#0）与椭圆C交于不同的两点，N,且线段MN的垂直平分线过定点（1,0）,求实数4的取值范围.第1 8页 共103页1 9.设S”为首项不为零等差数列 a”的前项和，已知a 4 a 5=3。9,55=20.(1)求数列 a“的通项公式；设7，为数列 人 的前项和求 公 的 最 大 值 第1 9页 共103页20.设数列 斯,bn 已知 a i=4,61=6,a +i=，b”+i=0n(C N*),(1)求数列 瓦-a 的通项公式;(2)设S”为数列 加 的前项和，对任意 N*,若夕(S“-4)G l,3恒成立，求实数p的取值范围.第2 0页 共103页21.己知函数/(x)=2l n(x+1)+s i n x+l.(1)求曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程;(2)证明：x +l n x；(3)证明：/(x)W(x+1)2叫第 2 1 页 共 103页1 322.已知函数/(x)=+a x (a R),g(x)=ex+x.(1)当a=-4时;求函数/(x)的极值；(2)定义：对于函数/(x),若存在x o,使/(x o)=x o成立，则称x o为函数的不动点,如果函数尸(x)=/(x)-g (x)存在不动点，求实数a的取值范围.第2 2页 共103页/y223.已知椭圆/+记=1(a 6 0)的右焦点到右准线的距离为1,过椭圆的右焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段长为夜.(1)求椭圆的标准方程；(2)若。为坐标原点，直线/与椭圆交于P,。两点，且直线/与。0：/+/=|相切，证明：O P _ L O。.第2 3页 共1 0 3页X y o2 4.已知椭圆C：葭+6=1（。方0）的左、右焦点分别为Fl，F2,M（l,分为椭圆上一点，且|X|+|加 2尸 4.（1）求椭圆C的方程；（2）过点/作互相垂直的两条直线分别交椭圆C于另一点4 B,求证：直线N8 过定点，并求出定点的坐标.第2 4页 共103页25.斯 是等比数列，公比大于。，其 前 项 和 为&（叫 N*）,瓦 是等差数列.已知田=1,。3=。2+2,44=63+65，45=04+266.(I)求 “和 加 的通项公式;(II)设 5=(an+D Q+i+l)数列 Cn 的前项 和 为Tn，求Tn的值.(III)设dn=b n，.其中 kN*,求di(nN*).bnClog2bn+l),n=2k 1-1第2 5页 共1 0 3页26.已知函数/(x)的定义域为。，若存在实常数入及a (a W O),对任意在。，当x+托。且x-a ED时，都有/(x+a)+/(x-a)=A/(x)成立，则称函数/(x)具有性质M (人,a),集 合=(入，a)叫做函数/(X)的性质集.(1)判断函数/(x)=/是否具有性质(入，a),并说明理由；(2)若函数g (x)=s i n 2r+s i n x具有性质M (入，a),求g (x)的A/性质集；(3)已知函数尸(x)不存在零点，且当x w R时具有性质M(t +4 1)(其中40,rHI),若a=h()(6N*),求证：数列%为等比数列的充要条件是&=t或上=Q 1 01 t第2 6页 共103页27.已知函数/(x)=a/+c o s x -3的图象在点(0,/(0)处的切线与直线x+=0垂直.(1)判断/(X)的零点的个数，并说明理由；(2)证明：/(x)/对 x (0,+8)恒成立.第2 7页 共103页2 8.已知函数/(x)=(x-a-1)-+(x0).(1)讨论/(x)的单调性；(2)当aW2时，若/(x)无最小值，求实数a的取值范围.第2 8页 共103页/y22 9.已知椭圆C：葭+金=1 (心 6 0)的左焦点F(-0),椭圆的两顶点分别为Z(-a,0),B(a,0),M 为椭圆上除4 8之外的任意一点，直线用4 的斜率之积为一宗(I)求椭圆C的标准方程；(I I )若 P 为椭圆C短轴的上顶点，斜率为k的直线/不经过P点且与椭圆C交于E,F两点，设直线尸E,P尸的 斜 率 分 别 为 上，且左1+依=-1,试问直线/是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.第2 9页 共1 0 3页3 0.己知椭圆C：务哙=l（a b 0）的离心率为:，过焦点且垂直于长轴的弦长为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点（1,0）的直线/交确圆C 于 4,8 两点，在 x 轴上是否存在定点P,使得日1 而为定值？若存在，求出点p 的坐标和届丽 的值：若不存在，请说明理由.第3 0页 共103页3 1.已知各项均为正数的数列“的前”项和为S”，且4 5.=必+2册.(I )求数列 利 的前项和为(II)求证：中何+“+后+第3 1页 共103页3 2.已知等差数列 “和等比数列 瓦 的各项均为整数，它们的前项和分别为S”Tn,且b=2a=2,6 2 s3=5 4,。2+乃=1 1.（1）求数列 即,出 的通项公式；（2）求 跖?=。1 加+。2 b2+0 3 6 3+瓦 I；（3）是否存在正整数加，使得 笔 铲 恰好是数列 斯 或也”中的项？若存在，求出所有满足条件的机的值；若不存在，说明理由.第 3 2 页 共 1 0 3 页3 3.已知函数/(X)=历-x+Q有两个不同零点XI，X 2(X1X2).(1)求。的取值范围；11(2)证明：当0用工工时，X2X2 b 0),它的上，下顶点分别为4,B,左，右焦点分别为F i，Fi,若四边形/18丘2为正方形，且面积为2.(I )求椭圆E的标准方程；(I I)设存在斜率不为零且平行的两条直线/I,/2,它们与椭圆E分别交于点C,D,M,N,且四边形C D M N是菱形，求出该菱形周长的最大值.第3 5页 共103页3 6.已知椭圆C：2+2 =1（a 6 0）的离心率为万，且经过点（三，2）（I ）求椭圆C的标准方程；（I I ）若直线/与椭圆C交于V、N两点，8为椭圆C的上顶点，那么椭圆C的右焦点尸是否可以成为 8M N的垂心？若可以，求出直线/的方程；若不可以，请说明理由.（注:垂心是三角形三条高线的交点）第3 6页 共103页3 7.已知人是非零实数，数列。”的前项和为S”满足S”=l+入 斯+i，且 6=-2.(1)求。|、。3,并 判 断 4 2,。3 能否依次成等差数列，并说明理由；(2)写出数列 斯 的通项公式，并求出数列 斯 是等比数列时入的值；(3)是否存在入，使得对于任意的C N*,都 有 为 常 数)恒 成 立？若存在，则求人的取值范围，并对每个人的值写出相应的的最小值加(入)；若不存在，请说明理由.第3 7页 共103页3 8.某种汽车购买时费用为16.9 万元，每年应交付保险费、汽油费共0.9 万元，汽车的维修保养费为：第一年0.2 万元，第二年0.4 万元，第三年0.6 万元，依等差数列逐年递增.（1）求该车使用了 3年的总费用（包括购车费用）为多少万元？（2）设该车使用年的总费用（包括购车费用）为/（），试写出/（）的表达式；（3）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.第3 8页 共103页3 9.若方程/(x)=苫有实数根xo,则称xo为函数/(x)的一个不动点.已知函数/(X)=小+(a+1)x-alnx(e为自然对数的底数)aER.(1)当 时 是 否 存 在 不 动 点？并证明你的结论；(2)若a=-e,求证/(x)有唯一不动点.第3 9页 共103页4 0.已知函数/(x)(I )求/(x)的单调区间：(I I)过点P(1,0)存在几条直线与曲线y=/(x)相切，并说明理由;(I I I)若/(x)G -1)对任意x CR恒成立，求实数的取值范围.第4 0页 共103页%2/y24 1.在平面直角坐标系x Q y 中，已知椭圆。：+)=1 C2：+=1 设直线/与椭圆。切于点M,交椭圆C2于点/，B,设直线/1平行于/,且与椭圆C2切于点N.(1)求证：直 线 恒 过 原 点。；(2)若点”为线段ON上一点，求四边形。/N 8 的面积.第4 1页 共103页4 2.已知/8 C的三边长B C、A C,48成等差数列，且 8、C 的坐标分别为力(-3,0)、C(3,0).(1)求顶点8的轨迹的方程；(2)求曲线E的内接矩形的面积的最大值.第4 2页 共103页4 3.已知首项相等的两个数列 斯,垢(与H 0,n 6 N*)满足anbnu -an+ybn+2bn+bn 0.(I )求证：数列 普 是等差数列；Jn(I I)若与=2 f 求 斯 的前 项和S；(I I I)在(H)的条件下，数列 S”是否存在不同三项构成等比数列？如果存在，请你求出所有符合题意的项；若不存在，请说明理由.第 4 3 页 共 103页4 4.已知等比数列 a 前项和为SJ,T=m=2,数列 6 的各项为正，且满足S3+3 a3bn+2-b/=至 塔 a1=aib.（1）求数列 和 瓦 的通项公式；1 1 1 6 V3 1（2）若 5=硒（2+诟短前）求证：WFW5+C2+C3+Cn0 时，f(x)g (x)恒成立，求。的最大值.第 4 5 页 共 103页4 6.已知函数/(x)=al n x(a W O)与y =/好的图象在它们的交点p(5,t)处具有相同的切线.(1)求/(x)的解析式；(2)若函数g(x)=(x-1)2+m f(x)有两个极值点x i，X 2，且 x i b 0)过 点(1,万)，离心率为万，A,8分别是椭圆 C 的左，右顶点，过右焦点尸且斜率为A(A 0)的直线/与椭圆相交于，N两点.(7)求椭圆C 的标准方程；(2)记 8 FN 的面积分别为S i，S 2，若 自，求女的值；(3)记直线/M、8N的斜率分别为k”k i,求1 的值.第4 7页 共103页4 8.已知椭圆C：+2=1(6 0)经过点(一 1,空)，且短轴长为2.(I )求椭圆C 的标准方程；(I I )若直线/与椭圆C 交于尸，0 两点，且 0 P，。，求 A OP0 面积的取值范围.第4 8页 共103页4 9.我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分 到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组 100,110),第二组 110,1 2 0),第五组 140,150,得到频率分布直方图.(1)若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；(2)若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男生的个数为已 求孑 的分布列及期望.第4 9页 共103页5 0.已知函数/(x)=-l n x+x -a.(1)若/(x)20,求 a 的取值范围；(2)证明：若/(X)有两个零点X I，X 2，则 X 1 X 2 1.第 5 0 页 共 103页2023年安徽省高考文科数学压轴题总复习参考答案与试题解析1.已知椭圆C：盘+,=l(a b 0)的四个顶点围成的四边形的面积为2g,原点到直线土 +=1的距离为 厚.a b 4(1)求椭圆C的方程；(2)已知定点P(0,2),是否存在过P的直线/,使/与椭圆C交于4 8两点，且以为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.X V解：(1)直线1+石=1的一般方程为bx+ay-ab=O.2ab=2 V1 522依题意=与，解得卜=，故椭圆C的方程式为5+1.展 银 4 l b=6 5 30,得 k e(-8,一洛)u(络，+o o).记8的坐标分别为(x i，y),(工 2,丁 2),则X l+、2=-豆 引&逐2=率 而歹1”=(f cn+2)(k x i+2)=k1x x 2+2k(x i+x?)+4.要使以|在|为直径的圆过椭圆C的左顶点0(一遮，0),则 办 法=0,即为丫2 +(%i +V5)(X2+V5)=(k2+1)%1%2+(2 k +V5)(%!+x2)4-9 =0,所 以 啰+1)备一3 +向藕+9=。，整理解得卜=竽或k =等，所以存在过P的直线/,使/与椭圆C交于4,8两点，且以M 阴为直径的圆过椭圆C的左顶点，直线/的方程为y =x +2或y =x +2.2.已知函数/(x)=l n x -a+ax.第 5 1 页 共 103页(1)当。0时，求函数/(x)的单调区间；(2)若对任意x e l,有/(x)W0恒成立，求实数。的取值范围.解：的定义域是(0,+8),/(x)=1-2ax+a=-2-2 当a 0时，方 程-2“、2+依+1=()有 2个不相等的实数根，不妨设为 X I，X2,则 X 1=U a j8a,X 2=J +业:吗 且 xi 0 0,则 0 xV X 2,/(X)在(O,X 2)递增，令/(X)X 2，f(x)在(X2,+)上递减，1 J a 2+8-1 J 2+8,故当4 0 时，f(X)在(0,+-)递增，在(二+-，+)上递减；4 4a 4 4a(2)由(1)知：/(x)=-2号办+1,当 a=0 时，/(X)=n x,xl 时，有/(x)0,与 f (x)W 0 矛盾，舍，当 a 0,即/(x)0,故/(x)在 1,+8)递增，此吐/(x)与(1)=0,与/(x)W0 矛盾，舍，当 0 0,得乙一五三近 4 V 4+也 江 运，4 4a 4 4ar+t 工-1 口 1 1 次+8.1 JQ2+8Q,1 JQ2+8Q由于且W一 1 4 +故 i W x V a +Tf-,故/(x)在 1,/(1)=0,与/(x)W0 矛盾，舍,当时，对于二次函数(x)=-2 办2+a x+l,其图象开口向下，对称轴是直线x=,故/?(X)在 1,+8)上单调递减，故 时，A (x)W/z(1)=-2。+。+1 =1 -W 0,即/(x)W 0,故/(x)在 1,+8)上单调递减，此时/(x)W/(l)=0,符合题意，综上：实数”的取值范围是 1,+8).3.已知函数/(x)=mXx n-l n x(j n,n E R).(I )若函数/(x)在(1,/(l)处的切线与直线x-y=0 平行，求实数的值；(II)若 =1 时，函 数/(X)恰有两个零点X I,X2(0 X l 2.解：(I)因为/7乃=表一条且切线与直线x-y=o 平行，第 5 2 页 共 1 0 3 页可 得/（1）n -1 =1,所以=2；（II）证明：当=1 时，/（x）=m-l n x,m-由题意知,m x-lnxi=。i 一 仇=0 x2一得：孙-刖=然，i2 _t即/zr 工=-.，（3）%2令t =，则 X 2 =a i，且 Z 1,X1又因为xi+x2=xi+/xi=（1+力 xi，由知：In t =所 以 看=晨（1）要证 XI+X22,只需证(1+t)丽2,口 产一1即证-2l n tft即 y 2 In t0,令九(。=则h(t)=0,所以人(0 在(1,+8)上单调递增且力(1)=0,所以当正(1,+8)时，h(/)0,即 X l+x2 2.4.已知函数/(x)=ax+l n x+.(1)讨论函数/G)的单调性；(2)对任意的x 0,不等式/C O 恒成立，求实数的取值范围.解：(1)定义域为(0,+8),/(x)=a +=3,若 a20,则/(x)0,f(x)在(0,+8)递增，若 a 0,则/0,f(x)在(0,+8)递增，第 5 3 页 共 1 0 3 页 a 0,h,t%)=x ex 4-0.所以(x)在(0,+8)单调递增，而(1)=0,所以工 (0,1)时，h(x)0,即 g，(x)0,即 g G)0,y=g(x)单调递增.所以在x=l处y=g (x)取得最小值g (1)=e-,所以1,即实数a的取值范围是 a|a W e -1).5.在平面直角坐标系中，/、8分别为椭圆r：+y2 =i 的上、下顶点，若动直线/过点尸(0,b)且与椭圆r相交于C、。两个不同点(直线/与y 轴不重合，且 C、。两点在y 轴右侧，C 在。的上方)，直线NO与 BC 相交于点0.(1)设 厂的两焦点为Q、尸 2,求NF M3 的值；t a 1(2)若 b=3,且P O =*P C,求点0 的横坐标;(3)是否存在这样的点P,使得点。的纵坐标恒为彳 若存在，求出点尸的坐标，若不.1 4/2=9 0 ；1,0),尸 2(L 0),A(0,1),则/0 力 尸 2=4 5 ,(2)若 6=3,设 C、。的两点坐标为C(x i，y i),D(m,;PTD =3 PCT,3 3 3二(2,72-3)=2(X1 7 1-3).即 全=2%1，丫 2=2 丫 1 一第 5 4 页 共 1 0 3 页J 2)，329x2而 C（x i，y i）,D（工2,yi）均在万+y?=i 俨 F +2yl2=2代入电内=2,解得月=4：.y2=-1,分别代入解得，%1=1 2=g，直 线 的 方 程 为y=2x-1,直线力。的方程为=7+1,联 立 忧W E，解得x j2点的横坐标为不（3）假设存在这样的点P,设直线/的方程为y=A x+b （左 1）,点 C,。的坐标为 C（xi,川），D（X 2.7 2）.Cv-k x +b联立匕一 C?C，得（2标+1）+4妨x+2/2-2=0,由=16后庐-8 （2+1）（f t2-1）+2yz=2 0,得k2写i,（,4k bX1 +x2=一 2k2+i I_A2由 1 2 b2_2，可得 kX l%2=f-（X i+犯），lX 1X 2=2fcl直线B C的方程为y =4口x-1,直线X。的方程为y =fx +1,X1x2（y i+l iy=x1而 x yi k x X2 bx ,X2y =k x X2 bx i，联 立 l,因此，存在点尸（0,3）,使得点0的纵坐标恒为16.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为（0,1）,离心率e =竽，过椭圆的右焦点尸的直线/与坐标轴不垂直，且交椭圆于4 8两点（I）求椭圆的标准方程；1（I I）当直线/的斜率为5时，求弦长|4?|的值.（I I I）设M （w,0）是 线 段（O为坐标原点）上一个动点，且（而+诂）1 6，求机的取值范围.解：（I ）由题意可得6=1,e=（=等，2=W,第5 5页 共103页解得：a2=5,x2所以椭圆的标准方程为：+6=1;(I I)由(I )可得：右焦点尸(2,0),由题意设直线/的方程：y=(x -2),即x=2尸*2,设/Cx i,yi),B(X 2，”)，(x =2y+2 n 1联立直线与椭圆的方程：x2 2 J整理可得：9 y?+8 y-1=0,y+y2=q y y=q H+y =i 9 9所以弦长|/8|=71+22+y 2)2-4 y l y 2=府 J 4+为=当，10V 5即弦长必用的值不 一；(I I I)由(I )的右焦点尸(2,0),由题意可得0 加 y yi=5 2*x i+x 2=r(刈+”)+4=5 2-x i-m=5 -)T M A +M B=(x i-y)+(%2-m,”)=(x i+%2-2m,y i抄2)，A B=(X 2 x i，及-/)，因为(MA +MB)_ L A 8,所 以(X I+X2-2?)(X 2-x i)+(y i-2)(y2 yi)=0,整理可得：(玄 j-2机)”一e=0,，W 0,所以可得P=3 5 0,解得：m l，所以可得：0 7 2)的数列 斯 满足如下条件：0n W N*(=1,2,加);a a i -am.若数列 为 满足b”=笔 言 网 汇 色 e N*,其中=1,2,，m,则称 为 为 即 的“心灵契合数列”.(1)数 列 1,5,9,11,15 是否存在“心灵契合数列”，若存在，写出其“心灵契合数列”；若不存在，请说明理由；(2)若 a 为 呢 的“心灵契合数列”，判断数列 5 的单调性，并予以证明；第5 6页 共1 0 3页（3）已知数列“”存 在“心灵契合数列”协 ,且 凶=1,而=3 2 5,求 机的最大值.解：（1）数 列 1,5,9,11,15不存在“心灵契合数列”，：1+5+9+11+15=41.4=整=10,i,41-5 门八 4 1-9。.41-11 15八产勿=百 丁=9,63=可 牙=8,64=丁 丁 =*-数 列 1,5,9,11,15不存在“心灵契合数列”.（2）数列 加 为单调递减数列.“+1-d=咋竽，机-1,6 N*.又 m bz.bm.A bi-bj&C,hi-bj=-GN*,/.Z）i-hm=1 2：=N*，:bn-1 -bn=an-an-J m-1 m-1 m-1 m-1-1.又 dm a（am-Q I-1）+（am-1 -Clm-2y+.+（。2 一）+1 2 （加-1）+（？-1 ）+.+（7 7?-1 ）=（加-1 ）2.0 口 1024*:.（？-1）2 4 1 0 2 4,即机 5 0,32 6 2 5,1 6 12.5,8 。4 6.2 5,4 3.1 2 5:数列各项均为正整数，二。3=4,.数列前三项为1,2,4.:数 列/具 有 性 质T,0 4 只可能为4,5,6,8之一，而又；8 4。4 6.2 5,工。4=8,同理，有 0 5 1 6,7 6 32,“7=6 4,然=1 2 8,此时数列为 1,2,4,8,1 6,32,6 4,1 2 8,2 0 0.但 数 列 中 存 在j 9,使得2 0 0=。汁药，,该数列不具有性质T,二 1 0.当=1 0 时，取 力：1,2,4,8,1 6,32,36,6 4,1 0 0,2 0 0 (构造数列不唯一)，A：1,2,4,8,1 6,32,36,6 4,1 0 0,2 0 0,经验证，此数列具有性质7,的最小值为1 0.(I I I)假设结论不成立，即对任意S (i=l,2,，6)都有：若正整数 a,beSi，a b-a时，b-a,a,b是一个具有性质T的数列；当 a =6 ”时，a,a,b是一个具有性质T的函数.(/)由题意可知，这 6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337 个，不妨设此集合为5 1,从 5 1 中 取 出 3 3 7 个数，记 为a,。2，。337 且 a i a 2 4 337，令集合 M=337 -阂i=l，2,，336 U S.由假设,对任意 i=l,2,336,a337 -ai i S,(n)在 S 2,S 3,54.S 5，S 6 中至少有一个集合包含N中的至少68个元素，不妨设这个集合为Si,从 S 2 rI N i 中 取 出 6 8个数，记 为b,bi,加8，且b bi-s,令集合 M=b 6 8-师=1，2,67 QS.由假设昧-bi C Si,对任意 k=l,2,6 8,存在 5A-G1,2,336)使得 bk=a337-aSk，二对任意 i =1,2,6 7,%s -灰=(。337 -a s 6 8)一(由37 一 a%)=a s：一。$6 8，由假设 a s t 0 S 6 8 至 S i，/.Z 6 8 -bi Si,Z 6 8 -bi Si U&第 5 8 页 共 1 0 3 页N2GS3US4US5US6.(位)在 S3,S4,S5,S 6 中至少有一个集合包含N 1 中的至少1 7 个元素，不妨设这个集合为S 3,从 S3AN2中 取 出 1 7 个数，记为 c,C2，C17，且 CC29C7f令集合 3=。17-琲=1,2,16CS,由假设Ci7-Cigs3,对任意 仁 1,2,1 7,存在1,2,，67使得*=/8-%，工对任意 i=1/2,，16,C17 G=(坛8 瓦17)一(匕 68 瓦)=%一 仇17，同样，由假设可得瓦j 一%7 C Si U$2，二。”-CiW Sl US2US3，/.7V3CS4US5US6.(K)同样，在 S5,5 6 中至少有一个集合包含N 4 中的至少3 个元素，不妨设这个集合为S5，从 S5GN4中取出3 个数，记 为 ei，C2,63，且 eie2V63，同理可得 M=e3-ei,e3-e2S6.(修)由假设可得e i-e =(劣-。1)-(C3-C2)g 6,同上可知，e2-ei0SiUS2US3US4US5，而又,；e2-eiWS,.,02-C1ES6，矛盾.假设不成立，原命题得证.9.已知函数/(x)=行 为，g(x)=2lnx+2a(aR).(1)求/G)的单调区间：(2)证明：存在花(0,1),使得方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.解：(1)由/(x)=崇，得八x)=(第 L 廿-a).4*y=x2+2ax-a,则由=4/+4 a W 0,得-IWaWO,/G)2 0 在(-8,-q)U(-a,+8)上恒成立，当 a 0 时，由 /+2QR-a 0,得久 一Q+7心+a或 V a Va2 4-a,由 /+2QX-4V 0,得-Q Va2 4-a x -a+Va2 4-a,当-IWaWO时，/(x)的单调递增区间为(-8,-a),(-Q,+8)；当 a 0 时，/(x)的单调递增区间为(-8,-a-y/a2-4-a),(-a+Va2+a,4-00),单调递减区间为(一 a-/a?+-a),(-a,-a+Va2+a).第 5 9页 共 103页(2)令九(%)=f(%)-g(%)=石 万 一 22nx-2a(x l),贝 I 当 花(0,1)时，Zi(x)=(x+a)zx令 h(x)=0,则 x=1+V lT a,.当 IV xV l+JT T H 时，h(x)0,:.h(x)在(1,1+A/1+a)上单调递减,在(1+71+a,+8)上单调递增,.,./i(x)min=/i(l+V T T a),又 h(1)=1-2 a,当 0 aV 时，h(x)0,即(e2)0.又(x)在(1+a,+8)上单调递增，h(x)mn=/i(l+V1+a)0,.由零点存在性定理知，h(x)在(1+VTTH,+8)上存在唯-的零点，.,.当a Z 4 时，方程A (%)=0 在(1,4-00)上有唯一解，即 存 在(0,1),方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.1 0.已知函数/(x)=x2-2bx-Inx.(I)讨论/(x)的单调性：(H)设 b 2 0,若/(x)在 xo处有极值，求证：/(x o)0,得 x -2-；由/(x)Jb2+2,+8)上单调递增.2(I I)证明：由(I)得，函数/(x)在 x=1+乎隹处取得极小值,所以当xo=处 孚 五 时，极小值为/(xo),因为，(x o)=2xl-2bx0-l ux0所以 2bxo=2xo-1,因为 xoO,所以2x1 2 0,可得xoN孝,第6 0页 共103页所以/(xo)=XQ 2bxo+lnxo=XQ (2%o 1)-lnxo=XQ-lnxo+l,令函数 g(x)=-x2-lnx+1,xE-,+8),则 g，(x)=-2 x-0,所以函数g(x)在 今，+8)上单调递减，所以 g(x)Wg(f)=4因此/(xo)中，动直线Z 3 交抛物线：/=4 x 于/,8 两点.(1)若/工。8=90,证 明 直 线 过 定 点，并求出该定点；(2)点 为 4 9 的中点，过 点 作 与 y 轴垂直的直线交抛物线：/=4 丫于。点；点N 为 Z C 的中点，过点N 作与y 轴垂直的直线交抛物线I、：/=4 x 于点尸.设/8 C 的面积Si,的面积为S2.(I)若 过 定 点(2,1),求使51取最小值时，直 线 的 方 程;(U)求答的值.解：(1)证明：由题意可设直线的方程为代入抛物线的方程/=4 x,可得产-4ty-4?=0,=16於+16加 0,即金+加 0,设 力(xi,yi),B(X2，歹 2)，贝！11+72=4/,歹 1 =-4由NZO3=90,所以。4 O B=0,即不工2+以，2=0,又工1=抓,X2=4);22 所以772p22到1”=0,w 16,故 W=-1 6,所 以-4m=-1 6,即加=4,因此直线A B 的方程为工=沙+4,该直线恒过定点(4,0)；(2)(z)因为4 8 过 定 点(2,1),所 以 由(1)可得2=/+?，即 7=2-/,=16尸+16加=16(及 一+2)0 恒成立，歹I+”=43 yyi=4w=4/-8,由题意可得M(空，中)，C(吗空中)，z z 16 L所以第6 1页 共1 0 3页所以 S=C M *y -yi =&y i -户产，因为历-yi =J(y i +为A 4 y l y 2 J l 6 t 2 -4(4 t -8)=4A/t2 t +2 2 /7,此时 t=时，等号成立.所以S=*w|32白（2 夕）3=0 Z,7V7 1 2当 S i 取得最小值一 时，=5，m=亍直线AB的方程为x=3+即 2 x -y -3=0；1 1 1（n）由题意可得S i=WM历-I，$2=引W V 尹1由（2）（i）可得|C M =跖 清（此处W-”|可以理解为4 8两点处的纵向高度差）,同理可得|P N =G仇 21）2=/-川2,由 可得$|=如 1-川3,（此 处 例-可 以 理 解 为 a B两点的纵向高度差），1 1由题意同理可得5 2=击（/卢|）3,X y Q1 2.已知椭圆C：/+记=1（。6 0）的长轴长是焦距的2倍，且过点（-1,J）.（1）求椭圆C的方程；（2）设 尸（x,y）为椭圆C上的动点，E为椭圆C的右焦点，/、8分别为椭圆C的左、第6 2页 共103页右顶点，点 P满足PP=(4-x,0).证明：为 定 值；IPFI 设 Q 是直线/：x=4 上的动点，直线AQ.BQ 分别另交椭圆C 于 M、N 两点，求|四尸