历届高考试题汇编―集合与函数.pdf

第一章集合与函数考试内容：集合子集、交集、并集、补集.映射.函数(函数的记号、定义域、值域).事函数.函数的单调性.函数的奇偶性.反函数.互为反函数的函数图象间的关系.指数函数.对数函数.换底公式.简单的指数方程和对数方程.二次函数.考试要求：(1)理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.(2)了解映射的概念，在此基础匕理解函数及其有关的概念掌握互为反函数的函数图象间的关系.(3)理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象.(4)掌握幕函数、指数函数、对数函数及二次函数的概念及其图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程.一、选择题1 .在下面给出的函数中，哪一个既是区间(0,，上的增函数，又是以 为周期的偶函数(8 5(3)3 分)A.y=xBB.y=sinxC.y=cos2xD.y=esin2x2 .函数y=(0.2)一“+1 的反函数是(8 6 3 分)A.y=logsx+lC3.在下列各图中,B.y lox5 1C.y=log5（x 1）D.y=logsx1y=ax：+bx与y=a x+b 的图象只可能是(8 6 (9)3分)BS 0 且 a W l)D y=/o g/(q 0 且 W 1)D9 .已知/(%)=8+2 x x ，如果 g(x)=/(2 x2),那么 g(x)(8 9(1 1)3 分)4 在区间(一1,0)上是减函数C 在区间(一2,0)上是增函数8.在区间(0,1)上是减函数D 在区间(0,2)I二是增函数A1 0 .方程2 即的解是(9 0(1)3分)41J 3厂A.X=Q C.x=yj D.x=9A1 1.设全集/=(达 y)x,yR ,M=(x,V)I =1 ，N=(x,y)W x+l ,则初U W=(9 0 3 分)A.OBB.(2,3)C.(2,3)D.(x,y)|y=x+l 1 2.如果实数x,y满足等式(x 2 尸+丁=3,那么!的最大值是(9 0(1 0)3 分)14-2V33氏CV32DD1 3.函数*x)和 g(x)的定义域为R,/(x)和 g(x)均为奇函数”是 /U)与 g(x)的积为偶函数”的(9 0 上海)A.必要条件但非充分条件C.充分必要条件B.充分条件但非必要条件D.非充分条件也非必要条件B1 4 .如果/o g a 2 /o g b2 0，那么(9 0 广东)A.l a b B.K b a C.0 a h D.0 b a lA1 5 .函数y=(x+4)2 在某区间上是减函数，这区间可以是(9 0 年广东)4(8,4 B.4,+0)C.4,+)D.(00,4A1 6 .如果奇函数/(x)在区间 3,7 上是增函数且最小值为5,那么/在区间 7,3 上是(9 1(1 3)3 分)A.增函数且最小值为一5 B.增函数且最大值为一5C.减函数且最小值为一5 D.减函数且最大值为一5B1 7 .设全集为 H,/(x)=s 油;，g(x)=cosx,M=x|/(x)0),N=x|g(x)W 0 ,那么集合x|/(x)g(x)=0 等于(9 1年3 分)A.MC N B.MUND1 8.誓 1 等于(9 2 (1)3 分)lOg262J -B.1C.MUND.A/U ND.23C.A1 9.图中曲线是幕函数y=x 在第一象限的图象，已知取2,四个值，则相应于曲线a,次是(9 2 (6)3 分)1B.2,-15，21-22,-2,-1亍Dc2-2,1-2C-8x-X2 0.函数了=得乙的反函数(9 2(1 6)3 分)4 是奇函数，它1 1A.-2,-2y1-2在(0,+8)上是减函数 8.是偶函数，它在(0,+8)上是减函数C.是奇函数，它在(0,+8)上是增函数 D 是偶函数，它在(0,+8)上是增函数C2 1.如果函数/(x)=f+b x+c 对任意实数t都有/(2+。=/(2一/),那么(92(17)3分)A./(2)/(1)/(4)5./U)7(2)/(4)C./(2)/(4)/(l)AD/(4)S/2,N=l ogx7l og i7,那么 MC I=(92 年三南)A.x|x _2)8.x|x 2 或 x 23 C.x|x 23 D.x|2 x 0 (x R)/(x)W0(x 7?)C.f M f(-x)W O(x eR)D/(x)/(x)0(x e/?)C225 .F(x)=l+-/(x),(x W O)是偶函数，且/(x)不恒等于 0,则/(x)(93(8)3 分)4 是奇函数C.可能是奇函数也可能是偶函数B.是偶函数D 不是奇函数也不是偶函数A26 .设a,b,c 都是正数,且3a=心=6 ,那么（93（16）3 分）2 2 1B q F1 1 ,1A.一=一+工c a b1 2.2C-c=a+bB27.函数与y=/o g 的图象可能是（93年上海）28.集合 M=x|x=,+,kZ,N=x|x=牛kZ,则(93 年三南)A.M=NCB.N u MC.M3 D.M C N=929.设全集/=0,1,2,3,4 ,集合 4=0,1,2,3 ,集合 8=2,3,4 ,则才 U 5=(94(l)4 分)A.0 B.0,1 C.0,1,4 D.0,1,2,3,4C30.设函数/(x)=1-V W (-1 WxWO),则函数(x)的图象是(94(12)5 分)31.定义在R上的任意函数/(x)都可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数(x)之和，如果/(x)=/g(10v+l),xWR,那么(94(15)5 分)4 g(x)=x,依)=恁(1。、+10.、+1)B.g(x)g*D+x,C.g(x)=$h(x)=/g(10v+l)D g(x)=一参(x)=/W33.设/是全集，集合P,。满足P u Q,则下面结论中错误的是(94年上海)4PUQ=0 B.K U Q=I C.P C=(p D.P Q Q PD34.如果0 V a (1q)2 B.l og(i-a)(1+a)0 C.(1a)3 (1+7)-D.(1 d)1 1A35.已知/为全集，集合M N u l,若 MC N=N,则(95 4 分)A.M N B.M N C.而仁耳 D.M NC36.函数y=一 士 的 图 象 是(95(2)4分)J x+1A.yB.yC.yD.yO 1X-iox O1X-1oB37.已知y=/o g(2一妆)在 0,1 上是上的减函数，则。的取值范围是(95(11)5 分)A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.2,+8)B38.如果 P=x(x-l)(2x 5)V 0,Q=x 0 x/og b30,那么a、b间的关系为(96 上海)A.0 a b l B.l a bB4 3.在下列图像中，二次函数歹=衣2+公与A4 4 .设集合=x 0W x 卜4 x|0W x V l B.U|0 x 2)BC.O b a l D.h a指数函数y=g)、的图像只可能是(96 上海)r?/X?一以一3V O ,集合 M A0,给出下列不等式：l f(b)g(a)g(b)f a)g(b)g(a)其中成立的是(97(13)5 分)A.与 B.与+8)的奇函数/(X)为增函数；偶函数g(x)在区间 0,+8)的图象与/(X)重合.设f(b)g(a)g(b)f(a)-f(-b)g(b)g(a)C.与 D.与4 7.三个 数 6 ,0.7,/o g.的大小关系为(97上海)A.O.7f i/o g o.r6 60 7C./o g o,76 60 7 1)的图像是(98(2)4 分)B.0.76 60 7/o g0,76D.l og 076Vo.76 )=(99(3)4 分)A.a B,a 1 C.h D.b 1A5 4 .设集合2 和 8 都是自然数集合N,映射f 8 把集合Z 中的元素映射到集合8 中的元素2十，则在映射/下，象 20 的原象是(2000(1)5 分)A.2 8.3 C.4 D.5C5 5 .中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过80 0 元的部分不必纳税，超 过 80 0元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分别累进计算.某人一月份应交纳此项税款2 6.78元，则他的当月工资、薪金所得介于(2 0 0 0 5 分)A.80 0-90 0 元 B.90 0 1 2 0 0 元 C.1 2 0 0 1 50 0 元 D.1 50 0 2 80 0 元C全月应纳税所得额税率不超过50 0 元的部分5%超过50 0 元至2 0 0 0 元的部分1 0%超过2 0 0 0 元至50 0 0 元的部分1 5%56.设 全 集/=仿,b,c,d,e,集合 M=a,c,d,N=h,d,e,那么而C R是(2 0 0 0 春京、皖(2)4 分)A.0B.4 C.a,cD.b,eA57.已知/(父)=l og 4,那么/(8)等于(2 0 0 0 春京、皖)41B.8 C.1 8D.-D58.函数y=/g|x|(2 0 0 0 春京、皖(7)4 分)4 是偶函数，在区间(一8,0)上单调递增8.是偶函数，在区间(一8,0)上单调递减C 是奇函数，在区间(0,+8)上单调递增。.是奇函数，在区间(0,+8)上单调递减B59.已知函数/t O n a f+b f+c x+d 的图象如右图，则(2 0 0 0 春京、皖(1 4)5分)A.b e(-8,o)B.b(0,1)C.be(1,2)D.(2,+=)A60 .若集合 S=y|y=3,x R,T=y y=x2-l,x G R ,则 S CI 7 是(2 0 0 0 上海(1 5)4 分)A.S B.T C.0 D.有限集A61 .已知集合=1,2,3,4 ,那么N 的真子集的个数是(2 0 0 0 广东)A.1 5 B.1 6 C.3).4A62 .设集合4和 8 都是坐标平面上的点集(x,j)x R,ye/?),映射8 把集合Z 中的元素(x,y)映射成集合 8 中的元素(x+y,xy),则在映射/下，象(2,1)的原象是(2 0 0 0 年江西、天津(1)5分)3 1 3 1A.(3,1)B,C.(-,5)D(1,3)乙 乙 乙 乙B63.集合M=1,2,3,4,5 的子集个数是(2 0 0 1 年春京、皖、蒙(1)5分)A.32 B.31AC.1 6 D.1 564.函数/(x)=/(a 0 且 a W l)对于任意的实数x、y 都有(2 0 0 1 春京、皖、蒙(2)5分)4/(盯)=/(x)/(y)C./(x+y)=/(x)/(y)CB.f x y)=/(x)+f y)D.f(x+y)=/(x)+/(y)65.函数夕=一后彳的反函数是(2 0 0 1 春京、皖、蒙(4)5分)A.y=x1(l x O)C y=l f (xW O)CD y=l T(0 W x W l)66.已知/(f)=/ogM,那么/(8)等于(2 0 0 1 春京、皖、蒙(7)5分)4A.-B.8oD1C.1 8 D.67.若定义在区间(-1,0)内的函数八公二上空式丫+口满足/。，则。的取值范围是(2 0 0 1 年(4)5 分)A.(1,+)B.(0,CC.(0,1)D.(0,+8)68.设/(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：(2 0 0 1 年(1 0)5 分)若/(x)单调递增，g(x)单调递增，若/W单调递增，g(X)单调递减，若/(X)单调递减，g(x)单调递增，若/W单调递减，g(x)单调递减，其中，正确的命题是A.(2 X3)B.则/(x)g(x)单调递增；则/(x)-g(x)单调递增；则/(x)-g(x)单调递减；贝 U/(x)g 6)单调递减；C.D.A69.满足条件M U 1 =1,2,3 的集合M 的个数是（2 0 0 2 年北京（1）5 分）A.1 5.2 C.3 D.4B70 .下列四个函数中，以兀为最小正周期，且在区间（手兀）上为减函数的是（2 0 0 2 年北京（3）5 分）A.ycos2x B.y2 si nx C.y=（3 D.ycotxB71 .如图所示，f（x）（i=l,2,3,4）是定义在 0,1 上的四个函数，其中满足性质：“对 0,1 中任意的M和X2,任意入 G 0,1 ,_/U xi+（l九）X2 Wy（）+（l九）/（&）恒成立”的只有（2 0 0 2 年北京（1 2）5 分）72 .一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（C）有一定的关系，用图（1）表示某年1 2个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年1 2个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（2002年上海（1 6）4分）B.后D 当气温小于某-值时，用电量随气温降低而增加Ct 1 k 17 3 .集合 x|x=5+a，a ez ,N kZ,贝 U (2002 年全国(5)、广东(5)、天津(6)5 分)A.M=N B.M cz N C.N u M D.M C N=9B7 4 .函数/(x)x x+a +b是奇函数的充要条件是(2002年广东(7)5分)A.ab=OB.a+b=QC.a=bD.a+b1D7 5.函数y=l 一 占 (2002年广东(9)5分)4 在(-1,+8)内单调递增 8.在(-1,+8)内单调递减C.在(1,+8)内单调递增。.在(1,+8)内单调递减C7 6 .函 数=/+人+。(6 0,+8)是单调函数的充要条件是(2002年全国(9)、天津(8)5分)4b2 0 B.bWQ C.b0 D.b0 D.y|y 20Cx-18 0.若/(x),则方程/()=x的根是(2003 年春北京(2)5 分)14 _ 2/1-2&-2C2-8 1 .关于函数/G)=(s 加 X)-(令、+1,有下面四个结论:(l)/(x)是奇函数(2)当 x 2003 时，/(x)恒成立31心)的最大值是楙(4)/(x)的最小值是一5其中正确结论的个数为(2003 年春上海(1 6)4 分)4 1 个 8.2 个 C 3 个 D 4个A二、填空题1 .设函数/(%)的定义域是 0,1 ，则函数/(?)的定义域为.(8 5(1 0)4分)答：-1,1 2.已知圆的方程为一+32)2=9,用平行于x轴的直线把圆分成上下两个半圆，则以上半圆(包括端点)为图像的函数表达式为(8 5广东)答：尸 2+如 彳3 .方程 2 5*m =:的解是.(8 6(1 1)4 分)4 .方程 9 r 2-3-，=27 的解是.(8 8(1 7)4 分)答：x=-2ex-l5.函 数 的 反 函 数 的 定 义 域 是 .(8 9(1 5)4 分)答：(-1,1)6 .函数。=、卜一4 9 的值域为(8 9 广东)答：7 .函数的定义域是(9 0上海)答：4,一2)U(2,+8)8 .设函数y=/(x)的图象关于直线x=l 对称，若当xWl时，y=f+l,则当x l时，y=(9 1 年上海)答：(X-2)2+19 .设函数/(x)=f+x+T 的定义域是 ，+1 (是自然数)，那么在/(x)的值域中共有 个整数(9 1 年三南)答:2n+21 3”1 0.方 程 中 7=3 的解是.(9 2(1 9)3 分)答：x=-11 1 .设 含 有 10 个元 素 的 集 合 的 全 部 子 集 数 为 S,其 中 由 3 个元 素 组 成 的 子 集 数 为T,则5 的值为.(9 2(21)3 分)1 2.已知函数y=/(x)的反函数为r(x)=而 一 l(x 2O),那么函数/(x)的定义域为(9 2上海)答：x2 一11 3 .设/(x)=4A-2r+1(x NO),f (0)=.(9 3 (23)3 分)答：1注:原题中无条件x，0,此时/(x)不存在反函数.1 4 .函数y=f 2 x+3 的最小值是(9 3 年上海)答：21 5 .在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到外，久，外,共个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”。是这样一个量:与其它近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从，G,。“推出的。=.(9 4(2 0)4 分)次、q i+a2 d-1 6 .函 数 尸/切 1 0 2 的定义域是(9 5 上海)答：(值 2,+8)1 7 .1 9 9 2 年底世界人口达到5 4.8亿，若人口的年平均增长率为牖，2 0 0 0 年底世界人口数为近亿)，那么y与 x的关系式为(9 6 上海)答:y=54.8(l+x%)s1 8 .方程/ogiO -5)=/og2(3*2)+2 的解是 x=(9 6 匕 海)答：11 9 .函数y=-/)的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(9 6 上海)logo,a (.2X)答：(1,2)2 0 ./g 20+/o g i o o 25=(9 8 上海)答：22 1 .函数/(x)=，(a 0,。#1)在区间 1,2 上的最大值比最小值大导 则。=(9 8 上海)答：万 或5 2 x+3 (x W O)2 2 .函数y=*+3(0 l)答：49 r 12 3 .函数y=/og2 .的定义域为o X(2 0 0 0 上海(2)4 分)答：6 3)2 4 .已知/(x)=2 +b 的反函数为y=1 (x),若y=(x)的图像经过点0(5,2),则 6=(2000上海(5)4分)答：12 5 .根据上海市人大H 一届三次会议上的市政府工作报告，1 9 9 9 年上海市完成G O P(G D P 是值国内生产总值)4 0 3 5亿元，2 0 0 0 年上海市G。尸预期增长9%,市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.0 8%,若G D P与人口均按这样的速度增长，则要使本市人均G D P达到或超过1 9 9 9 年 的 2倍，至少需要年(2 0 0 0 上海4分)(按：1 9 9 9 年本市常住人口总数约1 3 0 0 万)答：92 8.关于x的函数/(x)=s i(x+9)有以下命题：(2 0 0 1 年春上海(1 1)4 分)的 图 像 为 如分)海 4分)(1)对任意的3,7(x)都是非奇非偶函数；(2)不 存 在 外 使/(x)既是奇函数，又是偶函数；(3)存在夕，使/U)是奇函数；(4)对任意的a/G)都不是偶函数。其中一个假命 题 的 序 号 是。因为当旷 时，该命题的结论不成立。答：(1),奴 G t ez)；，余 既 G Z)；(4),1+k M k w Z)等。(两个空格全填对时才能得分，其中k 也可以写成任何整数)2 9 .方程历 g 式12-3、)=2 r+1 的解x=.(2 002 年上海(3)4分)答：T3 0.已知函数y=/(x)(定义域为，值域为有反函数了=尸()，则方程/(x)=0 有解x=q,且/(x)x(x G。)的充要条件是满足(2 002 年上海(1 2)4分)答：/(0)=。且,(x)0,使得函数/(x)满足f(p x)=f(p x 与(x GR),则/(%)的 一 个 正 周 期 为.(2 003 年春北京(1 6)4分)答：会填5 的任何,个正整数倍均可)3 5 .已知函数/(x)=W+l，则/(3)=.(2 003 年春上海(1)4 分)答：43 6 .已知集合2=仕|x|W 2,x G/?,8=以以廿且“讨，则实数。的取值范围是.(2 003 年春上海 4 分)答：(一8,-2)3 7 .若函数y=x 2+(a+2)x+3,x d 切的图象关于直线x=1 对称，则 6=,(2 003 年春上海(1 1)4分)答：6三、解答题1 .解方程/o g i(3 x)+/o g o.2 5(3+x)=l og 1x)+/o g o.2 5(2 x+l).(8 5(1 1)7 分)解：由原对数方程有意义，可得x的取值范围是一0.5%12二点 P 到原点的距离|PO|=ya+h d 12,即 a2+62144.而成立要求，+yw i44.由此可知，同时满足的,6 不存在.解法二:如果存在实数a,b 能同时满足，同解法一，由成立知，存在整数使得 a+b=3/+1 5,即 6=3/a+15,(*)由成立得4+6W 144将(*)式代入上式，并按a 整理得关于a 的二次不等式(1+w)a-2 n (3/+15)a+(3M2+15)21440它的判别式=4 2(3+15),4(1+-)(3+15)144=36(-3)V eZ,/.n-3 0,于是 0,故这个关于a 的不等式不可能有实数解即是说不存在实数a，b,使得同时成立.解法三:如果存在实数a,6 能同时满足，同解法一,3 一 a n-(b-15)=0于是它的判别式应非负，即=4+1 2 6 18020由此得12b1802一a由成立知，+/W 144,由成立知，存在整数使得(*)(*)(*)即一4*一144因此有1261 8 0)/一 144即(6一6)2近0只有b=6将 6=6 代入判别式(*)得出，2108但将6=6 代入(*)式得出W108于是只有。=1 0 8,此时从(*)式解出=合=小 2所以不存在实数a,b,使得同时成立.3.已知集合Z 和集合8 各含有12个元素，4 r1 8 含 有 4 个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数:C u 4 U 8,且 C 中含有3 个元素，C n/W 0(0 表示空集)(86(20)10分)解法一：以为4 8 各含有12个元素，4 C 8 含有4 个元素，因此4 U B 的元素个数是12+124=20个，所以满足条件的集合个数是C；。，在上面集合中，还满足Z C C=。的集合C 的个数是C；,因此所求集合C 的个数为 q 0-C；=1084.解法二：由题目条件可知，属于8 而不属于4 的元素个数是124=8,因此，在/U B 中 只 含/中 1个元素的所求集合C 的个数为Che；同理，含/中 2 个元素和3 个元素的集合C 的 个 数 分 别 为 和 C 总数为C；C +C 2 +&=1O84.4.给定实数a,a W O 且 a W l,设函数(x d 及且x W、),证明：经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴；这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形.(8 8(2 4)1 2 分)证法一:设M3,力)，MAX2,*)是这个函数图象上任意两个不同点，则 之检，且X 2 1 X|-1 a r/2 X 2 一办1+1(冰优2一第一公2+1)办2 1 ax l(a x 2-1)(a x i -1)(乃一X 2)(a 1)(a r?-1)(g 1)V 6 7 =1 且 X i W、2,，产一y W O从而直线M跖 的 斜 率 左=#0,因此直线M监不平行于x 轴.X 2X l1 X 1设点尸3，H)是这个函数的图象上任意一点，则为工且6=会 三 (/)易知点尸国，N)关于直线y=x的对称点乃的坐标为M，即)由 G)式得 y(a x i -1)=x i 1变形得 x (t z y i -1)=i l (z z)假 如 华 1 =0,则y W j 代 入 得=if=a=l这与已知o W l 矛盾，呐 一 40于是由()式得 箝 力 号 这说明点P(y,X)也在己知函数的图象上因此这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形.证法二:设M3,办)，跖(必 产),是这个函数图象上任意两个不同点，则MWM假如直线M胚 平行于x轴，那么 即 二 二=三 二ax ax 2 1去 分 母 整 理 得a U i X 2)=X X 2fVX i X 2,所以4=1,这与已知矛盾，因此以旅不平行于x轴.先求所给函数的反函数.由 y=-_7(x&且 x W,)J ax-1 a得 y(ax l)=x-1 即 x ay 1)y 1假如政一1=0,则y=,代入所给函数的解析式，得%即办一4 =OY 1 所以4=1,这与已知矛盾，故即一1 W0于 是 苫=导 3 4所 以 原 函 数 的 反 函 数 为 与 原 函 数 相 同.由于函数y=f（x）的 图 象 和 它 的 反 函 数（X）的图象关于y=x 对称,x 1 1所 以 函 数 夕=募 与（xdR 且x N ）的图象关于y=x 对称.证法三:任取一条与x轴平行的直线/,设其方程为y=c（c为常数）下面考虑/与所给函数的图象是否相交，以及交点个数的情况：x-1将y=c 代入y=晟整理得（c o-l）x=c-l若 c a 1=0,即 c=时，上式变为 0=c 1,即 c=l =a 1这与已知矛盾，故此时/与函数图象无交点；c 1当 C Q1 X 0 时，得工=-ac 1c 1这说明原方程只有一个解，从而直线/与函数图象只有一个交点（r，c）,综上所述，平行于x轴的直线/不可能同时经过所给函数图象上的两个不同点，因此，经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于X轴.5.已知a 0且。工1,试求使方程l og x-ah=/喈（/一 1）有解的k的取值范围.（8 9（2 2）1 2 分）解法一：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足（.x a!c）x a x-ak0 X2 0 （3）当同时成立时，显然成立，因此只须联立解即可.由得2 f c t=a（l+层）当左=0时，由。0知无解，因而原方程无解;当时,的解为尸*将代入得a(l+/)-2k-ak当*0 时得 J cl,即 Q k a)记 y i=x-a%,y2=yjx-a(x W a)则次是双曲线/一=1在双曲线上方的部分其渐近线为y=x,力是一条在x轴上截距为ak的直线，且平行于双曲线的一条渐近线，如图，当”与有公共点时原方程有解，可得ak-a 或 00 得 k -l 或 0 04 k+a-a(a+8 左)2k 1 c2 左+1 翼坟坐匹(aa+8/c)0 (/)化简得，yja(。+8左)W 2。(/7)yja(a+8k)W 2 -a (z z z)由知 a 0 或 a V-8%C：kGN,：.k0)当 a 0 时,因 2+a 2 a,故从()(位)可得 o(a+8k)W(2 一a”q(a+8攵)W(2 a)U|2-a 0HnJ(2 k+l)a W l即 b2即 忘 在当 a V-8 k 时,2+aV2-8 Y0,易知 a(a+&t)V(2+a)无解,综上所述，。应满足O VawJn，故所求集合为 必=。|0 。白 7乙 K I 1 4/C I 1解法二：由可得方程为6 2%)2 =y记丁1=公,y2=(x-2 左)2，y y2要使方程G)在人=(2 左 一1,2 4+1 上有两个相异实数解，1户是一段抛物线，顶点在(2 4,0),开口向上，如图：当”夹在x轴与/之间时满足题意，其斜率应满足O V o W y.十1故所求集合为Mk a1 0 (7 乙K I 17.设/(x)=/g 1 +2”+:(仁D十 2,其 中。是实数，是任意给定的自然数，且2 2.如果/(x)当x e(-8,1 时有意义，求。的取值范围；如果0 C (0,1 ,证 明 然 x)0 (8,1 即。一 (1 /+(2/2+(、n1)%(8,1 (/)因 为 一(，G=l,2,3,，1)在(-8,1 上都是增函数，1 9 n所以一(二尸+(；)2+(下 力 在(-8,1 上也都是增函数，n n n1 2 Y!1 M 1从而它在x=i 时取得最大值，为一)、+(；/+(5 rr =_ 2 -n 1因此式等价于。一 勺.V I 1也就是的取值范围为a a.证法一：2/(x)/(2 x)e(0,1 ,xWO,即1+2+3+(1尸+%2 1+2 +3、+(/?-1 产+a (0,1 ,x#0,现在用数学归纳法证明该不等式：4 当=2 时，若 O V a V l,x WO,则(1+2%)2=1+2 2%+2%W2(1 +22v)2(1+2 为)若 a=l,x0,因 为 1 W 2”,所以(1+2V)2=1+2 2*+2“W 2(l+2 力 2(1 +2*)因而当=2时，原不等式成立.8 假设=人(左2 2)时，不等式成立，即有1+2X+3X+(1 尸+*。了)(+1)%+G+1产1=k(l+22x+32x+.+%为+2 1+1)%+2 2也+1)%+.+2,/(A+1)%+(4+1)Vk(1+2*+3&+药 +1 +(4+1)刀 +2+G+1)V +.+在 +(A+l)2a+(左+1)2%-=(%+1)1+2纵+321+卢+(什1产力)1+2功+3a+步+(什1)%即是说=斤+1时，原不等式也成立.综合4 8可知，对任何22(G N),都有2/to f(2x)aS(0,1L x#0.证法二:只须证明当”N 2时l+2r+3x+(1)*+2 1 +2*+3如+(-1)ae(0,1,x#0,因为(的+磁+.=(q/+a/+.+,/)+2(018+4103+.+a“-%)W.+a)+(aJ+aj)+面+4)+.+面+a；)+(a+d)+(a/+a：)+.+(a/+2,；)+.+(7-|2+(/-)=(g2+02+.+4).式中等号当且仅当0=。2=.=0 时成立.利用上面结果知，当ad(0,1,x#0时 因1#2 s所以有:若。=1,1+2、+3、+(-1尸+/2 1+2&+3&十+(-1 产+六若aG(O,1),则/a,所以1+2X+3X+(-1)+2 1+2纵+3女+(-1+2笈+3a+(-1)*+2%即有(x)/(2x)a&(0,1,xWO.8.已知/(x)=/gl+2；+4%,其中。右上 且0VaWl(90广东)求证：当xWO时，有 然x)/(2x)；如果/(x)当x e(8,1时有意义，求。的取值范围本题为90年全国高考试题的一个特例，其解法完全类似，此处略9.根据函数单调性的定义，证明函数/(公=一+1在/?上是减函数.(91(24)10分)证法一:在(一 8,十8)上任取羽，&,且X1X2,则/(X 2)/(X 1)=X 一工2、=(X i X 2)(XI2+X IX 2+%22)*/X1X2/.X i-%2O法 1 ：当 XlX20；当工而2。时，Vxi,X 2不同时为 0,/.xi2+X1X2-X2 0.法2：一+工武2+/=(乃+学旺华0.(hl,X2不同时为0).法 3：X+XX2+X22=BX/+X2+(Xl+x2)2 0.(Vxi,X 2 不同时为 0).法 4:XI2+XIX2+X222 1xix2|+xix2 戊21 2 0.(当且仅当 xi=x2=0 时取等号)由于x1X2,故xi与用不同时为0,故只有X+XM+X20././(X 2)/(XI)0,即/&)X20,/.X2xi0*.g(xi)g(x2)0,即 gG)冷证：(1)设为、足仁/?且则 加)-很)=1 12X,+12（2打-2,）（2打 +1）（29+1）由指数函数的性质有(2*+1)(2*+1)0，2-21 0所以/(x2)0于是/(X)在(-8,+8)上是增函数证法一：要证明/()3)2X1 n只需证明：邛、化简得：2”-1 2 下面用数学归纳法证明：2”-l 2 (GN,23)1。当=3时，左边=7,右边=6,左边右边，不等式成立2 设=M W N,后2 3)时不等式成立，即2*12。当=1+1 时,2*+-l=2X2无 一1=2(2无 一1)+1222左+1=2G+1)+2左一12仇+1)即 当 =%+1 时不等式也成立由 1。2 得，对任意不小于3 的自然数，都有2 一 12即/()(&N,2 3)成立.证法二：同证法一得2 一 12 5?3)2=C：+C；+C：+C 7+C：.21 =2C：=C；+C：+C+C：=C：+C+(C：+C，2+C；)心 3,；.C：+C；2+c：0,C：+C；=2 二 2-12(心 3)由此得:/(X)*Y(“GN,)3)11.已知关于x 的方程2aT-7aT +3=0 有一个根是2,求。的值和方程其余的根.(92三南)解：将 x=2 代入原方程，得 2 4-7。+3=0解得。=3 或当 a=3 时，原方程为2 X 3&T-7 X 3 i+3=0解得x=2 或 x=1 /侬2当时，原方程为2 广-27 (5 一+3=0解得 x=2 或 x=1 -l og 3即：当。=3 时，原方程的另一个根为x=l/og：,2当时，原方程的另一个根为x=l/咕?312.某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x 元/千克，政府补贴为f 元/千克，根据市场调查，当 8WxW14时，淡水鱼的市场日供应量尸千克与市场日需求量。千克近似地满足关系：P=1000(x+/-8)(x 2 8,，20)0=5 0 0/4 0-(x-8)2(8WxW14)当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格.将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？(95(25)12分)解：依题设有 1000(x+z-8)=5 0 0 7 4 0-(x-8)2化简得 5X2+(8/-80)x+4f-64/+280=0当判别式=80016 0 时，-r，口 4t,2M50/可得 x=8-7-5 5由()，。0,8 4 0 4,显然上式中只能取“+”号,所以 O W f W 的一 4 t ,2.5 0 T 一8 0),/=0(9 5 上海)求y=f(x)的表达式；若任意实数x都满足等式/(x)g(x)+&r+b,=x+(其中g(x)为多项式，“G N),试用f 表示和b”；设圆C”的方程为：(x 劣尸+任一儿)2 =/，圆 G,与圆C.+I 外切为=1,2,3)，%是各项都为正数的等比数列，记 S,为前个圆的面积之和，求和S,t t2设/(X)=Q(X l 5”一I，因为/(1)=0,可得夕=1所以/(x)=x2-(/+2)x+/+l(2 y(x)=(x-l)x-+1),代入已知式得(x 1)x-(/+1)g(x)+af 1x+bn=xi n将x=1 和x=t+1 代入，得bn=1(z+l)aw+6w=/(z+l),z l 1由 样 0,可得：=;(r+l)n+l-l L ”,=(1+：)1-Q+D 因 为%+6“=1,所以圆C”的圆心在直线x+y=l ,于是 I C”C”+J =an+i a”，又 C“与 G,+i 外切，故%+厂“+1=后(/+l),+l设%的公比为q,则%(l+q)=*(/+1 严小,(1+4)=出 什 1 严两 式 相 除q=l+tM t +1 产于 正 片 t+2所以 S”=%GJ+1H-r)=2 f j 质，(/+1 1 4.设二次函数/(x)=ax+bx+c(a0),方程/(x)x=0的两个根为，足满足0 x 2 V-.3I .当(0,为)时,证明 x/(x)x i；I I.设函数/(x)的图象关于直线x=x 0 对称，证明:检 0,又 a 0,得F(x)=a(x-x )(x X 2)0即 x/(x).4 而 X i f(x)=X i-x-F(X)J =X i-%+7(X-X i)(X X 2)=(X i X)1+0,1 +1 一办2 0得 x i-/(x)0即/(x)x i.7n.依题意知x o=2 a因为X i,M是方程/(x)x=0的根，即X i,M 是方程a x+(3一l)x+c=O 的根，所以 x i +x 2 -9，ab _a(x i+x 2)-1 a x i +a x 2 14=一百=2 a =2 a._.、r.L,、，a x I X l因为d x 2 V 1,所以x oV j=3/a z1 5 .解方程寸3如一2-3如+4=0(99年广东1 0 分)解:本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力。解：设#/gL 2=y,原方程化为y-y2+2=0,解得 y=1，y=2因为 731g x 2 2 0,所以y =-1 舍去。由 3/g x 2=2得 lg x=2所以 x =1 0 0经检验，x=1 0 0 为原方程的解。1 6.已知二次函数/(x)=(l g a)x2+2x+4l g a的最大值为3,