2023年高考数学总复习第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程.pdf
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程,最新考纲，1 .在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2 .理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3 .掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.考向预测考情分析：直线方程单独考查较少，与圆的方程、圆锥曲线方程结合考查是高考的热点，各种题型都有.学科素养：通过直线的倾斜角、斜率、方程的求解考查数学运算的核心素养；通过直线方程的综合应用考查直观想象的核心素养.积 累 必 备 知 识 基础落实赢得良好开端一、必记4个知识点1.直线的倾斜角(1)定义两种情况(2)范围：直线的倾斜角a的取值范围是：.2.直线的斜率条件公式直线的倾斜角仇 且。之9 0。k=_直线过点&为，y),8(X 2，丁2)且k=_直线 Ax+B)，+C=O(B W O)k=_3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含直线x=x0斜截式不含垂直于X轴的直线两点式y-y i _ x-x!y z-y i X2-X1不含直线X=X|(X|#X 2)和直线y=y i(y i W 2)截距式ifAl q+X 1 E不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式_平_面_内_所_有直线都适用 提醒“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.4.线段的中点坐标公式若 点P,P 2 的坐标分别为（X I，%），（X 2,yi）线 段 P 1 P 2 的 中 点M的坐标为（x,y）则-此公式为线段P|P 2 的中点坐标公式.二、必明2个常用结论1 .直线倾斜角和斜率的关系（1）直线都有倾斜角，但不一定都有斜率.（2）不是倾斜角越大，斜率上就越大，因为A=t a n a,当 ae,时，a越大，斜率上就越大，同样aG（5,n）时也是如此，但当aC O,n）且 a 六与时就不是了.2 .特殊直线的方程（1）直线过点P 1 3，%）,垂直于x轴的方程为x=x i；（2）直线过点P i（x”）,垂直于），轴的方程为），=；（3），轴的方程为x=0；（4）x 轴的方程为y=0.三、必练3类基础题（一）判断正误1 .判断下列说法是否正确（请在括号中打“J ”或 X ”）.（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.（）（2）过点M（a,b）,N（b,的直线的倾斜角是4 5。.（）（3）直线的倾斜角越大，斜率%就越大.（）（4）经过点P（m，州）的直线都可以用方程y y o=Nx-x o）表示.（）（5）经过任意两个不同的点P|（X|,%）,P2（X 2,）的直线都可以用方程。，一乃）（及一M）=（x一为）。2 y i）表 示.（）（二）教材改编2 .必修2 丑95 习题T 2 改编 直线/：x s i n 3（r+y co s 1 5 0。+=0的斜率为（）A.Y B.遮C.-V 3 D.-y3 .必修2 P96 例 4改编 已知aA B C 的三个顶点坐标为A（l,2）,B（3,6）,C（5,2）,M为 A 8的中点，N 为 4c 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为（）A.2 x+y-1 2=0 B.2 x-1 2=0C.2 x+j-8=0 D.2 r-+8=0（三）易错易混4 .（遇淆倾斜角与斜率的关东）若直线x=2的倾斜角为a,则 a的值为（）A.0 B.-4C.三 D.不存在5.（忽视斜率与截距对直线的影响）如果A C 0,且 8C =依+3,则 直 线 过 定 点；(2)若直线方程为y=f c r+3 Z,则 直 线 过 定 点；(3)若直线方程为x=0+3,则 直 线 过 定 点.听课笔记：反思感悟1 .直线过定点问题，可以根据方程的结构特征，得出直线过的定点坐标.2.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.角度2 与直线方程有关的多边形面积的最值问题 例 3 过点尸(4,1)作直线/分别交x轴，y轴正半轴于A,B两点.(1)当 A O B 的面积最小时，求直线/的方程；(2)当|。4|+|0 用取最小值时，求直线/的方程.听课笔记：一题多变(变问题)若例3 中条件不变，求当|万|而|取得最小值时直线/的方程.反 思 感 悟 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.(3)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【对点训练】已知直线/：fcty+l+2A=O0lWR).(1)证明：直线/过定点；(2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线/交x 轴负半轴于点A,交 y 轴正半轴于点B,AAOB的面积为S(。为坐标原点)，求 S 的最小值并求此时直线/的方程.第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程积累必备知识1.(2)0,7 T)应 一423.y-yo=4(x-xo)4 小+Q 丁1+及y=kx+b A x+3y+C=0,A2+B20-Z2.、1.答案：(1)义(2)X(3)X(4)X(5)J2.解析：cos 150。=一 争 sin 30。=：,所以=一 少 会 凸 广 今答 案:A3.解析：由中点坐标公式得M(2,4),M3,2),则 就 加=甘=-2,所在直线的32方程为：y2=-2(x3),即 2x+y8=0.答 案:C4.解析：因为直线x=2 垂直于x 轴，所以倾斜角Q 为1.答案：C5.解析：将 A r+3y+C=0 化为 y=-&一 ,J B BA CVA C0,BC 0.B B直线过一、二、四象限，不过第三象限.答案：三6.解析：当直线过原点时，方程为y=：x.即 x4y=0.当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=h 把点4(4,1)代入直线的方程可得出=5,故直线方程是x+y5=0.答案：x-4 y=0 或 x+y-5=0提升关键能力考点一1.解析：由1：x+W y+l=0 可得y=一 争 一 今 所 以 直 线 1的斜率为1 0,b 0),因为直线/经过点尸(4,1),所以&+：=a b a b所以H216,当且仅当a=8,6=2时等号成立，所以当”=8,人=2时，Z VlO B 的面积最小，此时直线/的方程为三+丫=1,即x+4 y8=0.8 2(2)因为：+(=1,a0,b 0,所以|O A|+|O B|=+b=(a+勿 C+J=5+:+m 2 9,当且仅当a=6,/=3 时等号成立，所以当|O A|+|O B|取最小值时，直线/的方程为x+2y6=0.一题多变解析：设 A(a,0),8(0,b),则”0,b 0,直线/的方程为？+1=1,所以 +;=1.a b a b|PA|PB|=-P A PB=-(a4,-l)-(-4,b1)=4(a-4)+b-1 =4 4+%1 7=(4 a+碇+17=1 6+?+也+1-1 7 2 2 X 4=8b a当且仅当a=b=5时取等号，此时直线I的方程为x+y-5=0.对点训练解析：(1)证明：直线/的方程可化为K v+2)+(l-y)=0,令卜+2 =0,解得卜=一2,I 1-y =o I y=1,无论k 取何值，直线总经过定点(-2,1).（2）由方程知，当k W O 时，直线在x 轴上的截距为 一 臂，在 y 轴上的截距为1+2 A,要（l+2 k-?使直线不经过第四象限，则必须有一 乙，解得4 0；I 1 +2 k 1当k=0时，直线为y=l,符合题意，故 A的取值范围是 0,+）.解析：（3）由题意可知Z#0,再由/的方程，得 A（耍，0）,8（0,1+2%）.Z _ 1 2 k 0.（1 +2 k 0.S=?O A H O B|=/|啜 卜|1+2 4=/等三代+；+4）耳 X（2 X 2+4）=4,“=”成立的条件是左 0且 4 k=：,即k 2，Smi n=4,此时直线/的方程为x-2 y+4=0.
