2022届福建省闽侯高三第一次模拟考试数学试卷含解析.pdf

2021-2022高 考 数 学 模 拟 试 卷 注 意 事 项：1.答 题 前，考 生 先 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 码 填 写 清 楚，将 条 形 码 准 确 粘 贴 在 条 形 码 区 域 内。2.答 题 时 请 按 要 求 用 笔。3,请 按 照 题 号 顺 序 在 答 题 卡 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答，超 出 答 题 区 域 书 写 的 答 案 无 效；在 草 稿 纸、试 卷 上 答 题 无 效。4.作 图 可 先 使 用 铅 笔 画 出，确 定 后 必 须 用 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 描 黑。5.保 持 卡 面 清 洁，不 要 折 暴、不 要 弄 破、弄 皱，不 准 使 用 涂 改 液、修 正 带、刮 纸 刀。一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中，NC=C,C 4=2正，。为 AB的 中 点，将 它 沿 CD翻 折，使 点 A与 点 B间 的 距 离 2为 2 6，此 时 四 面 体 A8CD的 外 接 球 的 表 面 积 为（）.A.5兀 B.迎 叵%C.12兀 D.20 32.在 AA6C中，co sA sin 3 网（）A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 3.给 出 5（）个 数 1,2,4,7,1 1,，其 规 律 是：第 1个 数 是 1,第 2个 数 比 第 1个 数 大 1,第 3个 数 比 第 2个 数 大 2,第 4个 数 比 第 3个 数 大 3,以 此 类 推，要 计 算 这 50个 数 的 和.现 已 给 出 了 该 问 题 算 法 的 程 序 框 图 如 图，请 在 图 中 判 断 框 中 的 处 和 执 行 框 中 的 处 填 上 合 适 的 语 句，使 之 能 完 成 该 题 算 法 功 能（）A.i 5 0；p=p+i B.i 5 0；p=p+iC.i 5 0；p=p+l D.i 0/0）的 左 焦 点 F 作 直 线 交 双 曲 线 的 两 天 渐 近 线 于 A,8 两 点，若 B为 线 段 必 的 中 点，且。（。为 坐 标 原 点），则 双 曲 线 的 离 心 率 为（）A.72 B.V3 C.2 D.75x+y-l05.已 知 实 数 x，N满 足 不 等 式 组 2x y+4 2 0,则|3x+4y|的 最 小 值 为()4x+y-4 2,8.若 实 数 x，y满 足 不 等 式 组 卜 x-y6,则 3x+），的 最 小 值 等 于（）x-y0,A.4 B.5 C.6 D.7/20+3/9.若 z,则，的 虚 部 是（）1+zA.i B.2z C.-1 D.110.已 知 集 合 M=x|-2x6,N-x-3x log235,则 A/n N=（）A.x|-2xlog235）B.x|-3xlog235C.x|-3x6 D.x|log235cx 且/BE=-6,则 向 量 而 在 而 上 的 投 影 为()A.23232C.12.已 知/(x)为 定 义 在 R 上 的 偶 函 数，当 xe(-l,O)时,4/(x)=3v+-,则/()A.-2 B.3 C.-3 D.2二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5分，共 20分。1*2 X 3 V13.设 P(x,y)为 椭 圆+2-=1在 第 一 象 限 上 的 点，则:;一+7 二 的 最 小 值 为 _.16 12 4 一 九 6-y14.易 经 是 中 国 传 统 文 化 中 的 精 髓，如 图 是 易 经 八 卦(含 乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑 八 卦)，每 一 卦 由 三 根 线 组 成(“一,”表 示 一 根 阳 线，表 示 一 根 阴 线)，从 八 卦 中 任 取 两 卦，这 两 卦 的 六 根 线 中 恰 有 两 根 阳 线，四 根 阴 线 的 概 率 为.15.函 数,f(x)=sin3x+3coS2x xe 一 的 值 域 为.16.如 图，棱 长 为 2 的 正 方 体 ABC。-中，点 M,分 别 为 棱 A A，A B A D 的 中 点，以 A 为 圆 心，1为 半 径，分 别 在 面 453同 和 面 A B C D 内 作 弧 M N 和 N E,并 将 两 弧 各 五 等 分，分 点 依 次 为 M、鸟、/、N以 及 N、0、0、。3、04、E.一 只 蚂 蚁 欲 从 点 出 发，沿 正 方 体 的 表 面 爬 行 至 0，则 其 爬 行 的 最 短 距 离 为.参 考 数 据：cos 90=0.9877；cos 18=0.9511；cos270=0.8910)三、解 答 题：共 7 0分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.（1 2分）若 关 于 x 的 方 程 V+（m-2）x+5-机=0 的 两 根 都 大 于 2,求 实 数 机 的 取 值 范 围.18.（1 2分）百 年 大 计，教 育 为 本.某 校 积 极 响 应 教 育 部 号 召，不 断 加 大 拔 尖 人 才 的 培 养 力 度，为 清 华、北 大 等 排 名 前 十 的 名 校 输 送 更 多 的 人 才.该 校 成 立 特 长 班 进 行 专 项 培 训.据 统 计 有 如 下 表 格.（其 中 x 表 示 通 过 自 主 招 生 获 得 降 分 资 格 的 学 生 人 数，）表 示 被 清 华、北 大 等 名 校 录 取 的 学 生 人 数）年 份（届）2014 2015 2016 2017 2018X41 49 55 57 63y 82 96 108 106 123（I）通 过 画 散 点 图 发 现 X与 y 之 间 具 有 线 性 相 关 关 系，求）关 于 X的 线 性 回 归 方 程；（保 留 两 位 有 效 数 字）（2）若 已 知 该 校 2019年 通 过 自 主 招 生 获 得 降 分 资 格 的 学 生 人 数 为 6 1人，预 测 2019年 高 考 该 校 考 人 名 校 的 人 数；（3）若 从 2014年 和 2018年 考 人 名 校 的 学 生 中 采 用 分 层 抽 样 的 方 式 抽 取 出 5 个 人 回 校 宣 传，在 选 取 的 5 个 人 中 再 选 取 2 人 进 行 演 讲，求 进 行 演 讲 的 两 人 是 2018年 毕 业 的 人 数 x 的 分 布 列 和 期 望.Y i-n x-y参 考 公 式：5=旦;-,=亍 一 菽 2-22_ixi-n x/=15 5参 考 数 据：x=5 3，y=103,Z 芭 y=2 7 7 9 7,=14325i=l i=l19.（12 分）AABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知（a+2 c）cos 8+6 co s A=0.（1）求 B；（2）若 h=4,求 AABC的 面 积 的 最 大 值.20.（1 2分）已 知 椭 圆 C：I+=l（a/?0）的 离 心 率 为 走，椭 圆 C 的 长 轴 长 为 4.a-b-2（1）求 椭 圆 C 的 方 程;（2）已 知 直 线/:y=履-6 与 椭 圆 C 交 于 A B 两 点，是 否 存 在 实 数 A 使 得 以 线 段 A 3 为 直 径 的 圆 恰 好 经 过 坐 标 原 点 0?若 存 在，求 出 k的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.21.（12分）已 知 直 线/的 参 数 方 程：一。为 参 数）和 圆。的 极 坐 标 方 程：Q=2sin。y=i+2t（1）将 直 线/的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程，圆 C 的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程；（2）已 知 点 M（l,3）,直 线/与 圆 C 相 交 于 A、B两 点,求+的 值.22.（10分）如 图，在 四 棱 锥 P A B C D 中，底 面 A B C D 是 矩 形，M 是 Q 4 的 中 点，PO_L平 面 A B C。，且 PD=CD=4,AD=2.（1）求 A P 与 平 面 C M B 所 成 角 的 正 弦.（2）求 二 面 角 M C B-P 的 余 弦 值.参 考 答 案 一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.D【解 析】如 图，将 四 面 体 A B C。放 到 直 三 棱 柱 中，求 四 面 体 的 外 接 球 的 半 径 转 化 为 求 三 棱 柱 外 接 球 的 半 径，然 后 确 定 球 心 在 上 下 底 面 外 接 圆 圆 心 连 线 中 点，这 样 根 据 几 何 关 系，求 外 接 球 的 半 径.【详 解】ABC 中，易 知 AB=4,CD=AD=BD=2翻 折 后 4B=2 5cos Z A D B=22+22-(2V3)22x2x2 2.ZADB=12(),设 AAZM外 接 圆 的 半 径 为 广,盖 _=2r=4 7=2 如 图：易 得 C D,平 面 4 犯，将 四 面 体 4BCD放 到 直 三 棱 柱 中，则 球 心 在 上 下 底 面 外 接 圆 圆 心 连 线 中 点，设 几 何 体 外 接 球 的 半 径 为 R,於=/+F=2?+=5,四 面 体 ABC。的 外 接 球 的 表 面 积 为 S=4万 R2=20.故 选：D【点 睛】本 题 考 查 几 何 体 的 外 接 球 的 表 面 积，意 在 考 查 空 间 想 象 能 力，和 计 算 能 力，属 于 中 档 题 型，求 几 何 体 的 外 接 球 的 半 径 时，一 般 可 以 用 补 形 法，因 正 方 体，长 方 体 的 外 接 球 半 径 容 易 求，可 以 将 一 些 特 殊 的 几 何 体 补 形 为 正 方 体 或 长 方 体,比 如 三 条 侧 棱 两 两 垂 直 的 三 棱 锥，或 是 构 造 直 角 三 角 形 法，确 定 球 心 的 位 置，构 造 关 于 外 接 球 半 径 的 方 程 求 解.2.C【解 析】由 余 弦 函 数 的 单 调 性 找 出 cosA vcosB的 等 价 条 件 为 4 3,再 利 用 大 角 对 大 边，结 合 正 弦 定 理 可 判 断 出 cos A sin B”的 充 分 必 要 条 件.【详 解】.余 弦 函 数 y=cosx在 区 间（0,%）上 单 调 递 减，且 0 A（乃，0B B,:.a b,由 正 弦 定 理 可 得 sinAsin3.因 此，“cos A sin 3”的 充 分 必 要 条 件.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 充 分 必 要 条 件 的 判 定，同 时 也 考 查 了 余 弦 函 数 的 单 调 性、大 角 对 大 边 以 及 正 弦 定 理 的 应 用，考 查 推 理 能 力，属 于 中 等 题.3.A【解 析】要 计 算 这 5（）个 数 的 和，这 就 需 要 循 环 50次，这 样 可 以 确 定 判 断 语 句，根 据 累 加 最 的 变 化 规 律 可 以 确 定 语 句.【详 解】因 为 计 算 这 50个 数 的 和，循 环 变 量 i的 初 值 为 1,所 以 步 长 应 该 为 1,故 判 断 语 句 应 为 i=i+l,第 1个 数 是 1,第 2个 数 比 第 1个 数 大 1,第 3个 数 比 第 2 个 数 大 2,第 4 个 数 比 第 3个 数 大 3,这 样 可 以 确 定 语 句 为。=，+,故 本 题 选 A.【点 睛】本 题 考 查 了 补 充 循 环 结 构，正 确 读 懂 题 意 是 解 本 题 的 关 键.4.C【解 析】b由 题 意 可 得 双 曲 线 的 渐 近 线 的 方 程 为 y=-x.a3为 线 段 E 4 的 中 点，O B L E 4：.OA=O F=c,则 A A O F 为 等 腰 三 角 形.：.Z B O F=Z B O A由 双 曲 线 的 的 渐 近 线 的 性 质 可 得 A B O F=ZxOAZ B O F=/B O A=ZxOA=60.2=tan600=百，即/=3/.a双 曲 线 的 离 心 率 为 e=-=丝=2a a a故 选 c.点 睛：本 题 考 查 了 椭 圆 和 双 曲 线 的 定 义 和 性 质，考 查 了 离 心 率 的 求 解，同 时 涉 及 到 椭 圆 的 定 义 和 双 曲 线 的 定 义 及 三 角形 的 三 边 的 关 系 应 用，对 于 求 解 曲 线 的 离 心 率（或 离 心 率 的 取 值 范 围），常 见 有 两 种 方 法：求 出 a，c，代 入 公 式 0=；a 只 需 要 根 据 一 个 条 件 得 到 关 于 c 的 齐 次 式，转 化 为 c 的 齐 次 式，然 后 转 化 为 关 于 e的 方 程（不 等 式），解 方 程（不 等 式），即 可 得 e（e的 取 值 范 围）.5.B【解 析】3作 出 约 束 条 件 的 可 行 域，在 可 行 域 内 求 z=3x+4y的 最 小 值 即 为|3x+4），|的 最 小 值，作=-j x,平 移 直 线 即 可 求 解.【详 解】尤+y-12 0作 出 实 数 x，）满 足 不 等 式 组，2x-y+4 Z 0 的 可 行 域，如 图（阴 影 部 分）4x+y-404x+y-4=05 Z令 z=3x+4y,贝（jy=一 二 x+一，4 43作 出 y=-x,平 移 直 线，当 直 线 经 过 点 A。,。）时，截 距 最 小，4故 Zmin=3xl+0=3，即|3x+4y|的 最 小 值 为 3.故 选：B【点 睛】本 题 考 查 了 简 单 的 线 性 规 划 问 题，解 题 的 关 键 是 作 出 可 行 域、理 解 目 标 函 数 的 意 义，属 于 基 础 题.6.B【解 析】设 正 四 面 体 的 棱 长 为 2,建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 各 点 的 坐 标，求 出 面 8C E的 法 向 量，设 P 的 坐 标，求 出 向 量 而,7 T求 出 线 面 所 成 角 的 正 弦 值，再 由 角。的 范 围 0,-,结 合。为 定 值，得 出 sin。为 定 值，且 P 的 轨 迹 为 一 段 抛 物 线，所 以 求 出 坐 标 的 关 系，进 而 求 出 正 切 值.【详 解】由 题 意 设 四 面 体 ABCD的 棱 长 为 2,设。为 8 c 的 中 点，以。为 坐 标 原 点，以。4为 x轴，以 0 8 为 了 轴，过。垂 直 于 面 A3C的 直 线 为 z轴，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 O-x y z,则 可 得 OB=OC=1,OA=x 2=2,取。4的 三 等 分 点 G、尸 如 图,则 OG=L QA=且，AG=。尸=2。4=拽，DG=A D-A G2 EF=-D G=，3 3 3 3 3 2 3所 以 B(O,I,O)、c(o,-i,o),A(6,O,O)、DI 3 3 J由 题 意 设 P（x,y,0）,.ABD和 AAC。都 是 等 边 三 角 形，E 为 AD的 中 点，.BEL4D,C E A D,BECCE=E.A D,平 面 BCE,为 平 面 BCE的 一 个 法 向 量,7 t因 为 力 P与 平 面 BCE所 成 角 为 定 值 8,则 Ow 0,-由 题 意 可 得sin=cos _,I彷 明(x+V3)23X2+3/-2 A/3X+9x?+2Jx+33 f+3 y 2-2 怎+9因 为 P 的 轨 迹 为 一 段 抛 物 线 且 tan。为 定 值，贝!I sin 6 也 为 定 值,二 道 片=”得 3丁=&怎,此 时 加 考,则 cos。邛,t a n 翳=故 选：B.【点 睛】考 查 线 面 所 成 的 角 的 求 法，及 正 切 值 为 定 值 时 的 情 况，属 于 中 等 题.7.C【解 析】以 D 为 原 点，DA,DC,DDi 分 别 为 X，y,z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，由 向 量 法 求 出 直 线 E F 与 平 面 AAiDiD所 成 角 的 正 弦 值.【详 解】以 D 为 原 点，D A 为 x 轴，D C 为 y 轴，DDi为 z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 正 方 体 ABCD-AiBiCiDi的 棱 长 为 2,则 E（2,l,0）,*1,0,2）,而=（*L2）,取 平 面 的 法 向 量 为 为=（0,1,0）,设 直 线 E F 与 平 面 AAiDiD所 成 角 为 0,则 sin0=|COsER司=|同 市 j|=,直 线 E R 与 平 面 A4,R。所 成 角 的 正 弦 值 为 逅.故 选 C.z【点 睛】本 题 考 查 了 线 面 角 的 正 弦 值 的 求 法，也 考 查 数 形 结 合 思 想 和 向 量 法 的 应 用，属 于 中 档 题.8.A【解 析】首 先 画 出 可 行 域，利 用 目 标 函 数 的 几 何 意 义 求 z的 最 小 值.【详 解】x+y 2解：作 出 实 数%,）满 足 不 等 式 组,3 x-y 0由 上 截 距 最 小，所 以 Z,“K=3 X 1+1=4.故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 了 简 单 线 性 规 划 问 题，求 目 标 函 数 的 最 值 先 画 出 可 行 域，利 用 几 何 意 义 求 值，属 于 中 档 题.9.D【解 析】通 过 复 数 的 乘 除 运 算 法 则 化 简 求 解 复 数 为：a+瓦 的 形 式，即 可 得 到 复 数 的 虚 部.【详 解】Z2020+3Z由 题 可 知 2=；1+Z1+3/(l+3z)(l-z)l+2/-3z21+z-(l+/)(l-z)-1-z2所 以 z的 虚 部 是 1.故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 复 数 的 代 数 形 式 的 混 合 运 算，复 数 的 基 本 概 念，属 于 基 础 题.10.A【解 析】根 据 对 数 性 质 可 知 5 log,35 6,再 根 据 集 合 的 交 集 运 算 即 可 求 解.【详 解】v5log2356,集 合 M=%|-2 x 6,由 交 集 运 算 可 得 M c N=x|-2xlog235.故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 由 对 数 的 性 质 比 较 大 小，集 合 交 集 的 简 单 运 算，属 于 基 础 题.11.C【解 析】_ _ _ _ _ AD AB将 A E 3 E 用 向 量 而 和 A 分 表 示，代 入 A 尸.3无=一 6 可 求 出=6，再 利 用 投 影 公 式|通|【详 解】解：A F-BE=(JD+DF)BA+AE_ _ _ _ 2 _ 1 _ _ 1 _ 2 _=AD AB+AD-A D 一 一 AB AB+-A B-A D3 2 2 3可 得 答 案.=-A Z)A B+-X32-X42=6,3 3 2得 AD-AB-6，AD-AB 6 3则 向 量 而 在 丽 上 的 投 影 为 币 故 选：c.【点 睛】本 题 考 查 向 量 的 几 何 意 义，考 查 向 量 的 线 性 运 算，将 衣，而 用 向 量 而 和 通 表 示 是 关 键，是 基 础 题.12.D【解 析】判 断-1 log3-0,利 用 函 数 的 奇 偶 性 代 入 计 算 得 到 答 案.【详 解】/-l l o g3|0,-./(lo g31 P(-l o g3|)=/(l o g3|)=|4=2故 选：D【点 睛】本 题 考 查 了 利 用 函 数 的 奇 偶 性 求 值，意 在 考 查 学 生 对 于 函 数 性 质 的 灵 活 运 用.二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5分，共 20分。13.4【解 析】利 用 椭 圆 的 参 数 方 程，将 所 求 代 数 式 的 最 值 问 题 转 化 为 求 三 角 函 数 最 值 问 题,质，以 及 求 导 数、单 调 性 和 极 值，即 可 得 到 所 求 最 小 值.【详 解】解：设 点 尸(4cosc,2 G s i n a),其 中 0 a 匹，2x 3y,x 3 y、x-4+4 3(y 6)+18、-+=-(-+=-(-+_ 7)4-x 6-y x-4 y-6 x-4 y-6,4 1 8、/4 18=-4-(-+-)=-4+-+-,x-4 y-6 4-x 6-y由 x=4cosa,y=2/3sincr,0 a,_、4 18 4 18可 设 Z=+=+广 4-x 6-y 4-4 co sa 6-23sin a利 用 两 角 和 的 正 弦 公 式 和 三 角 函 数 的 性1 3丛 1-c o s a e-s in a导 数 为 z=sin a(1-c o sa)23/3cosa(6-s i n a f由 z，=0,可 得 3 G cos a-6/3 cos2 a+3 6 cos3 a _ 3 sin a-sin*a+26 sin2 a=(石 cos a-sin a)(3-6cos a-2 G sin a+3cos2 a+sin2 a+2/Jsin a cos a)=0,可 得 6 cos a-s i n a=()或 3-6 cos a 一 2 G sin a+3 cos2 cr+sin?a+2 G sin a cos a=0，=3-4/3sin(cr 4-)+4sin2(tz+)=(2sin(a+)-V3)2 0,(0 cr),3 3 3 2可 得 函 数 z递 增,+%=8可 得 75cosa-sin cr=0,即 tan a=6，可 得 由 0 a 2 可 得 函 数 二 递 减；由 工 a 工，3 3 2乃-L可 得 二=时，函 数 二 取 得 最 小 值，且 为 13 1 J 2则 x一 十 六 3y一 的 最 小 值 为 L4-x o-y故 答 案 为：L【点 睛】本 题 考 查 椭 圆 参 数 方 程 的 应 用，利 用 三 角 函 数 的 恒 等 变 换 和 导 数 法 求 函 数 最 值 的 方 法，考 查 化 简 变 形 能 力 和 运 算 能 力,属 于 难 题.14.A14【解 析】观 察 八 卦 中 阴 线 和 阳 线 的 情 况 为 3 线 全 为 阳 线 或 全 为 阴 线 各 一 个，还 有 6 个 是 1 阴 2 阳 和 1 阳 2 阴 各 3 个。抽 取 的 两 卦 中 共 2 阳 4 阴 的 所 有 可 能 情 况 是 一 卦 全 阴、另 一 卦 2 阳 1 阴，或 两 卦 全 是 1 阳 2 阴。【详 解】八 卦 中 阴 线 和 阳 线 的 情 况 为 3 线 全 为 阳 线 的 一 个，全 为 阴 线 的 一 个，1 阴 2 阳 的 3 个，1 阳 2 阴 的 3 个。抽 取 的 两 卦 中 共 2 阳 4 阴 的 所 有 可 能 情 况 是 一 卦 全 阴、另 一 卦 2 阳 1 阴，或 两 卦 全 是 1 阳 2 阴。.从 8 个 卦 中 任 取 2 圭 卜，共 有 C；=2 8种 可 能，两 卦 中 共 2 阳 4 阴 的 情 况 有 C+C；=6,所 求 概 率 为 p=3。3故 答 案 为：o14【点 睛】本 题 考 查 古 典 概 型，解 题 关 键 是 确 定 基 本 事 件 的 个 数。本 题 不 能 受 八 卦 影 响，我 们 关 心 的 是 八 卦 中 阴 线 和 阳 线 的 条 数,这 样 才 能 正 确 地 确 定 基 本 事 件 的 个 数。H I T,；8【解 析】利 用 换 元 法，得 到 g(t)=t3-3t2+3,te,利 用 导 数 求 得 函 数 g(t)的 单 调 性 和 最 值，即 可 得 到 函 数 的 值 域,得 到 答 案.【详 解】由 题 意，可 得 f(x)=sin3x+3cos2x=sin3x-3sin2x+3,x 一 全，4,t=sinx,t G,即 g(t)=t3-3t?+3,t e-,1则 或 t)=3t2_6t=3t(t-2),当 4 t o,当 0t0,即 y=g(t)在 一#,0 为 增 函 数，在 0,1 为 减 函 数，又 g-y-百,g(0)=3,g(l)=l,故 函 数 的 值 域 为：-y-,3.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 三 角 函 数 的 最 值，以 及 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 与 最 值，其 中 解 答 中 合 理 利 用 换 元 法 得 到 函 数 g9),再 利 用 导 数 求 解 函 数 的 单 调 性 与 最 值 是 解 答 的 关 键，着 重 考 查 了 推 理 与 预 算 能 力，属 于 基 础 题.16.1.7820【解 析】根 据 空 间 位 置 关 系，将 平 面 旋 转 后 使 得 各 点 在 同 一 平 面 内，结 合 角 的 关 系 即 可 求 得 两 点 间 距 离 的 三 角 函 数 表 达 式.根 据所 给 参 考 数 据 即 可 得 解.【详 解】棱 长 为 2 的 正 方 体 ABC。A 4 G 2 中，点,分 别 为 棱 4 4,4 5,4。的 中 点，以 A为 圆 心，1为 半 径，分 别 在 面 A BqA和 面 ABCD内 作 弧 MN和 N E.将 平 面 A B C D 绕 A B 旋 转 至 与 平 面 A 8 A 4共 面 的 位 置，如 下 图 所 示：1 0则/片 4。4=-p-x 8=144 所 以 出&|=2sin72。；将 平 面 ABC。绕 AD旋 转 至 与 平 面 A O R 4共 面 的 位 置，将 458同 绕 A 4旋 转 至 与 平 面 AORA共 面 的 位 置，如 下 因 为 sin63 sin 72，且 由 诱 导 公 式 可 得 sin 63=cos27，所 以 最 短 距 离 为 力 Q j=2sin63=2 x 0.8910=1.7820,故 答 案 为：1.7820.【点 睛】本 题 考 查 了 空 间 几 何 体 中 最 短 距 离 的 求 法，注 意 将 空 间 几 何 体 展 开 至 同 一 平 面 内 求 解 的 方 法，三 角 函 数 诱 导 公 式 的 应 用，综 合 性 强，属 于 难 题.三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(-5,-41【解 析】力 2)0m 2先 令/(幻=/+(加 一 2口+5-m，根 据 题 中 条 件 得 到 J-2,求 解，即 可 得 出 结 果.A0【详 解】因 为 关 于 尤 的 方 程 f 2)x+5-根=0 的 两 根 都 大 于 2,令/(1)=12+(m-2)x+5-m/(2)=4+2m-4+5 根 0m 2所 以 有 0m-5解 得 加 工 一 2,所 以 一 5 4或 m-4【点 睛】本 题 主 要 考 查 一 元 二 次 方 程 根 的 分 布 问 题，熟 记 二 次 函 数 的 特 征 即 可，属 于 常 考 题 型.18.(1)=L79x+8.O2；(2)117 人；(3)分 布 列 见 解 析，=|【解 析】Q)首 先 求 得 最 和 5,再 代 入 公 式 即 可 列 方 程，由 此 求 得 关 于 x 的 线 性 回 归 方 程；(2)根 据 回 归 直 线 方 程 计 算 公 式，计 算 可 得 人 数；(3)和 被 选 中 的 人 数 分 别 为 2和 3,利 用 超 几 何 分 布 分 布 列 的 计 算 公 式，计 算 出 4 的 分 布 列，并 求 得 数 学 期 望.【详 解】x-n x-y(1)由 题 石 二 个-乙 S,2-n x-2i=7797-5x53x103 25114325-5 x532 140=1.79,2=103-1.792x53=8.02所 以 线 性 回 归 方 程 为 9=1.79%+8.02(若 第 一 问 求 出 6=103 1.79x53=8.13=1.79x+8.I3.)(2)当 x=61 时，y=1.79x 6 1+8.02 117所 以 预 测 2019年 高 考 该 校 考 入 名 校 的 人 数 约 为 117人(3)由 题 知 和 被 选 中 的 人 数 分 别 为 2和 3,进 行 演 讲 的 两 人 是 2018年 毕 业 的 人 数 J 的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,24 的 分 布 列 为 S 吟 4(E)=等 总 年=2)噜 440 i 2p1To35310【点 睛】本 小 题 主 要 考 查 平 均 数 有 关 计 算，考 查 回 归 直 线 方 程 的 计 算，考 查 期 望 的 计 算，考 查 超 几 何 分 布 和 数 据 处 理 能 力，属 于 中 档 题.19.(1)B=Z 兀(2)逑 3 3【解 析】(1)由 正 弦 定 理 边 化 角 化 简 已 知 条 件 可 求 得 cos 8=-4,即 可 求 得 B;2(2)由 余 弦 定 理 借 助 基 本 不 等 式 可 求 得 ac y，即 可 求 出 AABC的 面 积 的 最 大 值.【详 解】(1),/(+2c)cos B+bcos A=0,/.(sin A+2 sin C)cos B+sin B cos A=0,所 以(sin A cos B+sinB cos A)+2 sin C cos B=0,所 以 sin(A+3)+2cos8sinC=0,sin(A+B)=sinC,cosB=-,22”B 兀，：.B=-n.3(2)由 余 弦 定 理 得=/+c2-2acx(g)a2+c2+ac=i63ac，:.ac,当 且 仅 当 a=c=生 叵 时 取 等，3 3,0 _ 1.I 16 G 4 G.S ARr=cic sin B x x=-BC 2 2 3 2 3所 以 A/B C 的 面 积 的 最 大 值 为 次.3【点 睛】本 题 考 查 了 正 余 弦 定 理 在 解 三 角 形 中 的 应 用，考 查 了 三 角 形 面 积 的 最 值 问 题，难 度 较 易.20.(1)+/=1；(2)存 在，当 人=叵 时，以 线 段 A 3 为 直 径 的 圆 恰 好 经 过 坐 标 原 点。4 2【解 析】(1)设 椭 圆 的 焦 半 距 为 c,利 用 离 心 率 为 3,椭 圆。的 长 轴 长 为 1.列 出 方 程 组 求 解。，推 出 人,即 可 得 到 椭 圆 的 2方 程.(2)存 在 实 数 Z 使 得 以 线 段 A B 为 直 径 的 圆 恰 好 经 过 坐 标 原 点。.设 点 A(,%),8(占，)，将 直 线/的 方 程 y=依-百 代 入 土+丁=1,化 简，利 用 韦 达 定 理，结 合 向 量 的 数 量 积 为 0,转 化 为：玉+乂=求 解 即 可.4【详 解】a=2解：(1)设 椭 圆 的 焦 半 距 为 C,则 由 题 设，得 c _ G，解 得 a 2所 以 从=/-2=4-3=1,故 所 求 椭 圆 C 的 方 程 为 三+：/=14(2)存 在 实 数 使 得 以 线 段 A 3 为 直 径 的 圆 恰 好 经 过 坐 标 原 点 O.理 由 如 下:2设 点 A(x”y),3(X2,%)，将 直 线/的 方 程 丁=依-G 代 入 工+产 41,并 整 理，得(1+4左 2)x2_86r+8=0.(*)*m il为+=7 7 玉”81+4/因 为 以 线 段 A B为 直 径 的 圆 恰 好 经 过 坐 标 原 点。，所 以 砺.砺=0,即%+乂=0 又 X%=炉 西 马-也 归(为+W)+3，于 是 8 4严 一 31+4女 2 I+4F=0 解 得 女=巫,2经 检 验 知：此 时(*)式 的(),符 合 题 意.所 以 当 k=巫 时，以 线 段 A B为 直 径 的 圆 恰 好 经 过 坐 标 原 点。2【点 睛】本 题 考 查 椭 圆 方 程 的 求 法，椭 圆 的 简 单 性 质，直 线 与 椭 圆 位 置 关 系 的 综 合 应 用，考 查 计 算 能 力 以 及 转 化 思 想 的 应 用,属 于 中 档 题.21.(1)/:y=2 x+l,C：x2+(y-l)2=1；(2)2后【解 析】(1)消 去 参 数/求 得 直 线/的 普 通 方 程，将。=2sin。两 边 同 乘 以，化 简 求 得 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程.(2)求 得 直 线/的 标 准 参 数 方 程，代 入 圆 的 直 角 坐 标 方 程，化 简 后 写 出 韦 达 定 理，根 据 直 线 参 数 的 几 何 意 义，求 得 的 值.【详 解】(1)消 去 参 数，得 直 线/的 普 通 方 程 为 y=2 x+l,将。=2sin6两 边 同 乘 以。得 p2=2psin。,x2+(y-l)2=l,.圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 1+(y-=1；(2)经 检 验 点 M(1,3)在 直 线/上，x=tk 1+力 可 转 化 为 x=1+Z5厂，y=3+可(/7 Y/s 将 式 代 入 圆。的 直 角 坐 标 方 程 为 x2+(y-l)2=l得 l+f+2=1,7/化 简 得 产+2 6+4=0,设 A 4 是 方 程/+26/+4=0 的 两 根，则 4+12=2石，印 2=4,./也=4 0,工 人 与，2同 号，由 t的 几 何 意 义 得|M4|+1 例 目=同+H|=,+胃=26.【点 睛】本 小 题 主 要 考 查 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程、极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程，考 查 利 用 直 线 参 数 的 几 何 意 义 求 解 距 离 问 题,属 于 中 档 题.422.(1).(2)迎 10【解 析】分 析：(1)直 接 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，然 后 求 出 面 的 法 向 量 和 已 知 线 的 向 量，再 结 合 向 量 的 夹 角 公 式 求 解 即 可；(2)先 分 别 得 出 两 个 面 的 法 向 量，然 后 根 据 向 量 交 角 公 式 求 解 即 可.详 解：(I).,ABC。是 矩 形，:.A D 1 C D,又；平 面 ABCD,A P D Y A D,P D A.C D,即 尸 O,AD,C D 两 两 垂 直，.以。为 原 点，DA,D C,。尸 分 别 为 x 轴，y 轴，z轴 建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系，由 尸 0=C)=4,A D=2,得 A(2,0,0),82,4,0),C(0,4,0),(0,0,0),尸(0,0,4),A/(1,(),2),则 Q=(2,0,4),BC=(-2,0,0),砺=(1,4,-2),设 平 面 C M B 的 一 个 法 向 量 为“=（X,y,4）,B C-MB-几=0-2xj=0玉+4y-2Z=0即,令 y=1,得=0,Z=2,:.r-(0,1,2),APru 8 454故 A P 与 平 面 C M B 所 成 角 的 正 弦 值 为 y.（2）由（1）可 得 定=（0,4,T）,设 平 面 P 8 C 的 一 个 法 向 量 为%=（x2,y2,z2）,3 C”=0一 2，即 P C 叼=0则 2X9=0/i；n，令%=1，得 z2=1 4y2-4z2=0.cos标 否=1 一 二 题,/V5.V2 10故 二 面 角 M-C B-P 的 余 弦 值 为 独。.10点