2023年高考数学总复习第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算.pdf

第 三 章 导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算最新考纲1 .了解导数慨念的实际背景.2 .通过函数图象直观理解导数的几何意义.3 .能根据导数定义求函数y=C（C为常数），y=x,y=f,了=必，y=,y=4的导数.4 .能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.考向预测考情分析：本节主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义.常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.学科素养：通过导数的几何意义考查数学抽象的核心素养，导数的四则运算考查数学运算的核心素养.积 累 必 备 知 识 基础落实赢得良好开端一、必记5 个知识点I .平均变化率及瞬时变化率（1 巾）从制到 X 2 的平均变化率是：普=.（2 求X）在 X=x o 处的瞬时变化率是：l i m 字=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.AX TO AX 提醒/（松）代表函数/W在 x=x o 处的导数值；（/（x o）是 函 数 值 的 导 数，而函数值/（X 0）是一个常量，其导数一定为0,即（/（x o）=O.2 .导数的概念（1 求X）在 x=&处的导数就是以）在处的，记作y x=xo或7（X 0）,即/（x o）=l i m .坞 包 瓦）.AX TO AX（2）当把上式中的x o 看作变量x时，/。）即为40 的导函数，简称导数，即 y=x）=3 .导数的几何意义函数段）在X=xo处的导数就是,即曲线y=y（x）在 点 p（x o,兀6）处的切线的斜率k=f（x Q,切线方程为.提醒 求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条,而后者包括了前者.4 .基本初等函数的导数公式原函数导函数./U）=c（c 为常数）/（X）=_J(x)=xXnQ，)f w=_r)=sin x/(x)=_f(x)=cosx/(x)=_/(x)=_fix)=ef(x)=_J(X)-logaXf(x)=_/(x)=lnxf(x)=_5.导数的运算法则（1 ）灰）土 g（x）=:（2）Axg（x）r=;磊 =-（g（x）#D二、必明2 个常用结论1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.2.函数），=%）的导数/（x）反映了函数兀v）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小I/V）I反映了变化的快慢，I/V）I越大，曲线在这点处的切线越“陡”.三、必练4 类基础题（一）判断正误1.判断下列说法是否正确（请在括号中打“J”或 X”）.（1 （xo）是函数y=/（x）在 x=x0附近的平均变化率.（）（2）求/（项）时，可先求“to）,再求（xo）.（）（3）曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.（）（4）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.（）（5）曲线），=/（x）在点P（x o,加）处的切线与过点P（x o,州）的切线相同.（）（二）教材改编2.选修2-2P18T5改编 已知函数7U）=x（19+lnx）,若了（必）=2 0,则次等于（）A.e2 B.1C.ln 2 D.e3 .选 修 2 2 Pl9T2 改编 曲 线 y=-5 ev+3 在 点（0,2）处的切线方程为（三）易错易混4.（混淆了（知）与/（&），的区别）已知犬x）=f+3 4（2）,则12）=.5.（混 淆“在”与“过”的区别）已知函数|x）=V+x 1 6,若直线/为曲线y=Wx）的切线，且经过原点，则直线/的方程为.（四）走进高考6.2021 全国甲卷 曲线），=第 在 点（一1,一3）处的切线方程为.提 升 关 键 能 力 考点突破掌握类题通法考 点 一 导 数 的 概 念 及 其 运 算 基础性i.函数/(幻=再注的导函数/a)=()C D cos2 x sin2 x2.2022四川省南充市测试 已知函数4 x)=2 V(e)+ln x,则4 e)=()A.e B.eC.-1 D.13.2022华中师范大学第一附中模拟 设函数式x)的导数为/(x),且贝工户炉+卜0%2-x,则/(1)=.4.2022山东省实验中学考试 设/(x)=ae，+6 In x,且了(l)=e,/(-1)=%则 a+b=5.求下列函数的导数:(l)y=fsin x；(2)y=x s in(2x+c o s(2x+1)；/c、COSX 尸 k反思感悟 提醒 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.考点二 导数的几何意义及其应用 综合性角 度 1 求切线方程 例 1 (1)1 2 02 2 山西临汾市高三一模 曲 线 =*+2 在点(0,犬0)处的切线方程为()A.x+2 y+2=0 B.2 x+y+2=0C.x-2 y+2=0 D.2 x y+2=0(2)设函数兀 二 +支则曲线y=/(x)过 P(2,4)的 切 线 方 程 为.听课笔记：反思感悟 求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P ),y o)是切点时，切线方程为y 一班=1(%0)(一x o);(2)当点P(n,州)不是切点时，可分以下几步完成：第一步:设出切点坐标尸3,Xx i);第二步：写出过点P (尤 1,7 U D)的切线方程y f(x i)=/3)(x x i)：第三步：将点尸的坐标(沏，州)代入切线方程求出XI；第四步：将 M的值代入方程y/(x i)=/(x i)(x x i)可 得 过 点 加)的 切 线 方 程.角度2 求切点坐标|例 2|2 02 2 广东广州测试 已知点P(x o,州)是曲线C：y=V，+1上的点，曲 线C在点尸处的切线与直线y=8 x-1 1 平行，则()4A.XQ=2 B.%o=一C.沏=2 或 x()=D.XQ=-2 或 x()=,听课笔记：反 思 感 悟 求 切 点坐标的思路(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标，列出切线方程，将切点代入曲线方程，已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标.角度3求参数的值或范围 例 3 (1)2021.广东省七校联考 已知函数y(x)=x ln x+a 的图象在点(1,火1)处的切线经过原点，则实数=()A.1 B.0C.i D.-1(2)2022湖北九师质检 已知函数式x)=/+x In x 的图象在点(1,式1)处的切线与直线x一缈-1=0平行，则实数。=.听课笔记：反思感悟利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围.提醒I(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.【对点训练】1.2022黄冈模拟 已知曲线兀1)=炉一x+3 在点P处的切线与直线x+2y-l=0 垂直，则 P 点的坐标为()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(一1,3)D.(1,-3)2.2021 湖北省荆州市高三质检 函数y=e1 -Z t 在点(1)处的切线方程为3.2021西安五校联考 已知函数负x)=ae*+仇a,6GR)的图象在点(0,10)处的切线方程为 y=2 x+1,则 ab=.4.2022辽宁葫芦岛模拟 若一直线与曲线y=ln x 和曲线/二分侬。)相切于同一点 P,则a的值为.微专题23,导数与其他知识的交汇交汇创新 例 对正整数”，设曲线y=(2x)/在 x=3 处的切线与y 轴交点的纵坐标为小，则数 歹 的 前 n 项和等于.解析：因为y=(2x)炉的导数为y，=一亡+(2一1)炉 厂 1则 y%=3=-3一3一|=-3一】(+3),所以切线方程为)，+3=-3 5+3)(工 一 3),令 x=0,切线与y 轴交点的纵坐标为%=(+2 3,所 以 黑=3 ,则数列 言 的前项和丛二三三裂二对了.名师点评破解曲线的切线与数列相交汇问题的关键(1)会求切线方程，利用导数的几何意义求曲线的切线方程；(2)会求数列的通项公式，一般可根据题意寻找其转化桥梁，如本题，求出切线与y 轴交点的纵坐标，即可求出数列的通项公式；(3)活用公式，若可判断出数列为等差(比)数列，则直接利用其前”项和公式得出结论.提醒 导数还可以与不等式、向量、三角函数、解析几何等交汇.变式训练 定义方程段)=/(%)的实数根xo叫作函数段)的“新驻点”，如果函数g(x)x,hx n x,0(x)=cosx(W x W 7 T)的 新驻点 分别为 a,夕，y,那么 a,B,y 的大小 关 系 是()A.cCPyC.B.pyaD.ypa第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算积累必备知识、j f(X2)T G l)X z-X i(2)lim 映 x)匚以Ax-0 AX2.(1)瞬时变化率(2)lim 但 蚣 t 至A xf O A x3.曲线y=/(x)在点尸(xo,r o)处的切线的斜率y j o=/(xo)(xxo)4.0 nxn l cosx-sin x ax In a ex x-l7n a-x-5.(1 土 g(x)(2)f(x)g(x)+f(x)gf(x)G、f(x)g(x)-f(x)g，(x).、1.答案：(l)x(2)X (3)V (4)X (5)X2.解析：/(x)=19+l n x+xt=20+l n x,由了(xo)=2O,得 2O+l n xo=2O,则 l n xo=0,解得xo1.答案：B3.解析：由y=-5 e +3 得，了=-5 e 1 所以切线的斜率%=了|户0=5,所以切线方程为 y+2=-5(x-0).即 5 x+y+2=0.答案：5 x+j+2=04.解析：因为/(x)=2x+3/(2),令 x=2,得/(2)=-2,所以/(x)=f-6x,于是式 2)=一 8.答案：一85 .解析:设切点坐标为俏，泗)，则直线/的斜率为了(必)=3诏十1,所以直纵的方程为y=(3%o+l)(xx0)+xl+xQ-1 6,因为直线l过原点,历以0=(3就+1)(0%。)*琮+x()16,整理得：X o=-8,所以羽=2.所以 y o=一26,人次)=13.所以直线/的方程为y=13x.答案：y=13x6.解析：尸(言人迎十=7 7 7，所以 y|x=-i=，_,：2=5,所以切线方程为 y+3=5(x+l),即 y=5 x+2.答案：y=5x+2提升关键能力考点一1.解析：，=_*xsin2x答案：D2.解析：由题意得/(x)=4(e)+,所以/(e)=)(e)+(即/(e)=(.所以y(e)=2炉(e)+l n e=-1.答案：C3.解析：因为於)=炉+(I)卜2x,所以/(x)=3f+2 卜 卜 一1.所以/(|)=3X(|)2+2/(|)X|T.解得了 =一1所以/(x)=3f-2x-l,所以/(l)=0.答案：04.解析：f(x)ae+(f =a e 4-b =e1)=ae-1 b=-)、e解得俨=L .+Q 1.lb =0,答案：15.解析：(l)y=(x2)4i n x+x2(sinx)r=2xsin x+x2cosx.(2)V j=x sin(2x+co s Q x+)=/sin(4X+T T)1.=-x sm 4x.2 R =-gin 4 x_7X-4COS 4X=Win 4x2x cos 4x.2(3)y，=(詈)，_ (cos x),ex-cos x(e、)(e、)2_ sinx+cosx一?.考点二例 1 解析：(l)y=f+2e ，的导数为 y=2x+2e*,可得在(0,_/(0)处的切线的斜率为2,且切点为(0,2),则切线的方程为y=2x+2,即 2x-y+2=0.(2)设切点为(%o，因为/(x)=，所以/(xo)=x。，从而得到切点处的切线方程为丫一(!婢+|)=X oU-o).将(2,4)代入，化简得到就一3诏+4=0,即(xo+l)(xo2)2=0,解得%o=1 或 xo=2.当xo=-1 时，切线方程为xy+2=0；当xo=2时，切线方程为4xy4=0.答案：(1)D(2)x-y+2=0 或 4xy4=0例 2解析：由丫=炉一f+l 得 y=3 f ZG则切线斜率A=y|x=xo=3 x,-2XO,又切线平行于直线y=8x1 1,所以3x,2粉=8,所以&=2 或一，当羽=2 时，切点为(2,5),切线方程为y5=8。-2),即 8x一1 1=0,与已知直线重合，不合题意，舍去；当沏=4-3一|1),切线方程为y+H=8(x+即y=8x+驾，与已知直线平行.答案：B例 3 解析：(x)=ln x+l,，/(1)=1,.切线方程为 y=x-l+a,故 0=0 1+，解得 4=1.(2)因为兀v)=F+x ln x,所以/(x)=2 jc+ln x+l,则函数式*)=/+*In x 的图象在点(1,7(1)处的切线斜率z=了(1)=2+1=3,又该切线与直线xay1=0 平行，所以;=3,所以答案：(1)A(2)j对点训练1.解析：设切点P(沏，V 0),又直线x+2 y-l=0 的斜率为一支VUo)=3xo 1=2,/.XQ=1,.沏=1,又切点P(xo,yo)在 y=/U)上，：.yo=xl-x()+39；当必=1 时，兆=3；当 出=一 1 时，yo=3.切点尸为(1,3)或(一1,3).答案：C2.解析：由题得y(l)=e|-2=1,所以切点坐标为(1,1).由题得/(x)=e C-2,攵=/(1)=-1,所以切线方程为y+l=。-1),/.x+y=0.答案：x+j=03.解析：由题意，得/(=&则/(0)=，又式0)=。+6,所以函数 r)的图象在点(0,4。)处的切线方程为y(a+b)=a(x0),即 y=a x+a+。又该切线方程为y=2 x+l,所以1a=2，解得a=2,所以(a+b=1,(b=-1,答案：3f1 2一x=_x0,0ay o=l n&,、x o=a y。，4.解析：设切点P(xo,y o),则由y=nx,得了=工，由x2=ay,得y,=-x9则有，xa解得a=2e.答案：2e微专题。导数与其他知识的交汇变式训练解析：由题意，得 g 0,故 1夕 )=一 s i n =c os y,A c os y+s i n y=0,s i n(Y+；)=。，yep n ,.,尸 手.综上可知，ypa.答案：D