2022年全国甲卷高考理科数学试卷及答案解析.pdf

2022年 全 国 甲 卷 高 考 理 科 数 学 试 卷 一、选 择 题：本 题 共 1 2小 题，每 小 题 5 分，共 6 0分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.（5 分）若 z=-l+百 八 则-=5=（）ZZ-1A.-1+扬 B.-1-0 C.-D.-A-2 Z lj-3 3 3 32.（5 分）某 社 区 通 过 公 益 讲 座 以 普 及 社 区 居 民 的 垃 圾 分 类 知 识.为 了 解 讲 座 效 果，随 机 抽 取 10位 社 区 居 民，让 他 们 在 讲 座 前 和 讲 座 后 各 回 答 一 份 垃 圾 分 类 知 识 问 卷，这 10位 社 区 居 民 在 讲 座 前 和 讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 如 图：则（）A.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 小 于 70%B.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 大 于 85%C.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标 准 差 小 于 讲 座 后 正 确 率 的 标 准 差 D.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 大 于 讲 座 前 正 确 率 的 极 差 3.（5 分）设 全 集 U=-2,-1,0,1,2,3,集 合/=-1,2,8=x/-4x+3=0,贝 U C u（/U 8）=（）A.1,3 B.0,3 C.-2,1 D.-2,04.（5 分）如 图，网 格 纸 上 绘 制 的 是 一 个 多 面 体 的 三 视 图，网 格 小 正 方 形 的 边 长 为 1,则 该 多 面 体 的 体 积 为（)第 1 页 共 2 6 页A.8 B.12 C.16 D.205.（5 分）函 数 y=（3、-3一、）cosx在 区 间-2 L,2 L 的 图 像 大 致 为（）2 2第 2 页 共 2 6 页6.（5分）当 x=l 时，函 数/（x）=。什 旦 取 得 最 大 值-2,则，（2）-（）XA.-1 B.-A C.A D.12 27.（5 分）在 长 方 体”C-/i8iCiOi中，已 知 81。与 平 面/BCD和 平 面 44向 8 所 成 的 角 均 为 30,则（）A.AB=2ADB.力 8 与 平 面/Bi。所 成 的 角 为 30C.ACCBD.囱。与 平 面 881cle所 成 的 角 为 458.（5 分）沈 括 的 梦 溪 笔 谈 是 中 国 古 代 科 技 史 上 的 杰 作，其 中 收 录 了 计 算 圆 弧 长 度 的“会 圆 术”.如 图，窟 是 以。为 圆 心，0 4 为 半 径 的 圆 弧，C 是 Z 8 的 中 点，。在 窟 上，CD,48.“会 圆 术”给 出 澈 勺 弧 长 的 近 似 值 s的 计 算 公 式：s=”+型 一.当 勿=2,ZAOB0A9.（5 分）甲、乙 两 个 圆 锥 的 母 线 长 相 等，侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 之 和 为 2 m 侧 面 积 分 别 为 SS田 V田 甲 和 S 乙，体 积 分 别 为 人 和 匕.若 _=2,则=（）S乙 V乙 A.遥 B.2V2 C.710 D.0.2 210.（5 分）椭 圆 C：三 _+2_=1（。60）的 左 顶 点 为/，点 P,。均 在 C 上，且 关 于 y轴 对 称.若 直 线 4P,/。的 斜 率 之 积 为 工，则 C 的 离 心 率 为（）4A.近 B.亚 C.A D.A2 2 2 3第 3 页 共 2 6 页11.（5 分）设 函 数/（x）=sin（3X+等）在 区 间（0,n）恰 有 三 个 极 值 点、两 个 零 点，则 3 的 取 值 范 围 是（）A.芭 迫）B.芭 玛 C.（里，当 D.（生，里 3 6 3 6 6 3 6 6二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分。13.（5 分）设 向 量 之，芯 的 夹 角 的 余 弦 值 为 工，且 由=1,值=3,则（2+b）*b=.3214.（5 分）若 双 曲 线/-三-=1（%0）的 渐 近 线 与 圆-4 3=0 相 切，则?=.m15.（5 分）从 正 方 体 的 8 个 顶 点 中 任 选 4 个，则 这 4 个 点 在 同 一 个 平 面 的 概 率 为.16.（5 分）己 知/BC 中，点。在 边 8C 上，/。8=120，/0=2,C D=2 B D.当 星 AB得 最 小 值 时，B D=.三、解 答 题：共 7 0分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 17 2 1题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、2 3题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题:共 6 0分。2S17.（12分）记 S”为 数 列 a”的 前 项 和.已 知 巴+=2即+1.n（1）证 明：斯 是 等 差 数 列；（2）若 44，7，49成 等 比 数 列，求 S 的 最 小 值.第 4 页 共 2 6 页18.（12 分）在 四 棱 锥 尸-NBCO 中，W 底 面 4BCQ,CD/AB,AD=DC=CB=1,AB=2,D P=M.(1)证 明：BDLPA-,(2)求 与 平 面 以 8 所 成 的 角 的 正 弦 值.第 5 页 共 2 6 页19.（12分）甲、乙 两 个 学 校 进 行 体 育 比 赛，比 赛 共 设 三 个 项 目，每 个 项 目 胜 方 得 10分，负 方 得 0 分，没 有 平 局.三 个 项 目 比 赛 结 束 后，总 得 分 高 的 学 校 获 得 冠 军.已 知 甲 学 校 在 三 个 项 目 中 获 胜 的 概 率 分 别 为 0.5,0.4,0.8,各 项 目 的 比 赛 结 果 相 互 独 立.（1）求 甲 学 校 获 得 冠 军 的 概 率；（2）用 X 表 示 乙 学 校 的 总 得 分，求 X 的 分 布 列 与 期 望.第 6 页 共 2 6 页20.(12分)设 抛 物 线 C：y2=2px(p0)的 焦 点 为 凡 点。(p,0),过 尸 的 直 线 交 C 于 M,N 两 点.当 直 线 垂 直 于 x 轴 时，MF=3.(1)求 C 的 方 程：(2)设 直 线 A/,N与 C 的 另 一 个 交 点 分 别 为/,B,记 直 线 MN,的 倾 斜 角 分 别 为 a,p.当 a-0取 得 最 大 值 时，求 直 线 4 8 的 方 程.第 7 页 共 2 6 页21.(12 分)已 知 函 数/(x)lnx+x-a.x(1)若/(x)N O,求。的 取 值 范 围；(2)证 明：若/(X)有 两 个 零 点 XI,X2，则 X1X21.第 8 页 共 2 6 页（二）选 考 题：共 10分。请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（10分）=2+t22.（10分）在 直 角 坐 标 系 式。v 中，曲 线 Ci的 参 数 方 程 为（x=6（f为 参 数），曲 线,y=Vt=2+sC2的 参 数 方 程 为 X 一 打（S为 参 数）.Ly=-V s（1）写 出 Ci的 普 通 方 程；（2）以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 C3的 极 坐 标 方 程 为 2cos。-sin0=0,求 C3与 Ci交 点 的 直 角 坐 标，及 C3与 C2交 点 的 直 角 坐 标.第 9 页 共 2 6 页 选 修 4-5：不 等 式 选 讲（10分）23.已 知 a,b,c 均 为 正 数，且/+必+42=3,证 明:(1)a+b+2cW3；(2)若 b=2c,则 工+工 2 3.a c第 1 0 页 共 2 6 页2022年 全 国 甲 卷 高 考 理 科 数 学 试 卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分,共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.(5 分)若 2=-1+旧 3 则 一=(z z-1A.-1+V3Z B.-1-我 i)C.-D.-A-2Zlj-3 3 3 3【解 答】解：.；=7+后，A z-=|z|2=(V(-1)2+(V3)2)2=4则 二 二&.j K l pzz-1 4-1 3 3故 选：C.2.（5 分）某 社 区 通 过 公 益 讲 座 以 普 及 社 区 居 民 的 垃 圾 分 类 知 识.为 了 解 讲 座 效 果，随 机 抽 取 10位 社 区 居 民，让 他 们 在 讲 座 前 和 讲 座 后 各 回 答 一 份 垃 圾 分 类 知 识 问 卷，这 10位 社 则（）A.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 小 于 70%B.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 大 于 85%C.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标 准 差 小 于 讲 座 后 正 确 率 的 标 准 差 D.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 大 于 讲 座 前 正 确 率 的 极 差【解 答】解：对 于 4 讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 从 小 到 大 为：第 1 1 页 共 2 6 页60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 为：(70%+75%)=72.5%,故/错 误：对 于 8,讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 为：工(80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%)=89.5%85%,故 8 正 10确；对 于 C,由 图 形 知 讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 相 对 分 散，讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 相 对 集 中，讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标 准 差 大 于 讲 座 后 正 确 率 的 标 准 差，故 D 错 误；对 于。，讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 为：100%-80%=20%,讲 座 前 正 确 率 的 极 差 为：95%-60%=35%,讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 小 于 讲 座 前 正 确 率 的 极 差，故。错 误.故 选：B.3.(5 分)设 全 集。=-2,-1,0,1,2,3,集 合 Z=-1,2,B=xx2-4x+3=0,则 Cu(4U8)=()A.1,3 B.0,3 C.-2,1 D.-2,0【解 答】解：:B=X|X2-4 X+3=0=1,3,A=-I,2,：.AUB=-1,1,2,3,又 U=-2,-1,0,1,2,3,ACu(/U8)=-2,0.故 选：D.4.(5分)如 图，网 格 纸 上 绘 制 的 是 一 个 多 面 体 的 三 视 图，网 格 小 正 方 形 的 边 长 为 1,则 该 多 面 体 的 体 积 为()第 1 2 页 共 2 6 页【解 答】解：由 多 面 体 的 三 视 图 得 该 多 面 体 是 一 正 四 棱 柱 4 8 8-m BiCiOi，四 棱 柱 的 底 面 是 直 角 梯 形 N8CD,如 图，AB=4,AD=2,M=2,M _ L 平 面/8 m.该 多 面 体 的 体 积 为：=/(4+2)X 2X2=12。故 选：B.5.(5分)函 数 y=(3X-3F)cosx在 区 间-？L,工 的 图 像 大 致 为()2 2第 1 3 页 共 2 6 页可 知/(-x)=(3*-3，)cos(-x)=-(3X-3 x)cosx=-f(x),函 数 是 奇 函 数，排 除 80；当 x=l 时;/(I)=(3-3!cosl0,排 除 C故 选：A.6.(5分)当 x=l 时，函 数/(x)=H x+且 取 得 最 大 值-2,则/(2)=()XA.-1 B.-A C.A D.12 2【解 答】解：由 题 意/(I)=b=-2,则/(x)=alnx-X则/co=9 _ 山 2,YA x 2 x2.当 X=1 时 函 数 取 得 最 值，可 得 X=1 也 是 函 数 的 一 个 极 值 点，(1)=a+2=0,即 a=-2.易 得 函 数 在（0,1）上 单 调 递 增，在（1,+8）上 单 调 递 减，故 x=l 处，函 数 取 得 极 大 值，也 是 最 大 值，则/（2）=，X/2.=.22 2故 选：B.7.（5 分）在 长 方 体-3 81cmi中，已 知 与 平 面 N2CZ）和 平 面 所 成 的 角 均 为 30,则（）A.AB=2ADB.N8 与 平 面 481。所 成 的 角 为 30C.ACCBD.与 平 面 831cle所 成 的 角 为 45【解 答】解：如 图 所 示，连 接 力 0，BD,不 妨 令 力 小=1,第 1 4 页 共 2 6 页在 长 方 体/8C。中，力。J_面 44/18,BBL ABCD,所 以 N 8 0 8 和/。8区 分 别 为 BD与 平 面 A B C D 和 平 面/小 5山 所 成 的 角,即/田。8=/。8=30,所 以 在 RtZ88i 中，88i=44i=l,BD=VE,BD=2在 RtZ/OBi 中，DBi=2,AD=1,AB=百，所 以 A B=H 叫=历 AC=V3故 选 项 4 C 错 误，由 图 易 知，在 平 面 力 81。上 的 射 影 在/以 上，所 以 为 A B 与 平 面 ABCD所 成 的 角，BB 1 1 x/o在 RtZX/88i 中，sin/B AB 二 二 方，1 A B!V3 3故 选 项 8 错 误，如 图，连 接 5iC,则 BiD在 平 面 881cle上 的 射 影 为 BC,所 以 NDBiC为 BD与 平 面 8 8 C C 所 成 的 角，在 RtZSOBC 中，B C=&=O C，所 以/D B IC=45,第 1 5 页 共 2 6 页所 以 选 项。正 确，故 选：D.8.（5 分）沈 括 的 梦 溪 笔 谈 是 中 国 古 代 科 技 史 上 的 杰 作，其 中 收 录 了 计 算 圆 弧 长 度 的“会 圆 术”.如 图，窟 是 以。为 圆 心，为 半 径 的 圆 弧，C是 的 中 点，。在 窟 上，CD.“会 圆 术”给 出 众 的 弧 长 的 近 似 值 s 的 计 算 公 式：s=/8+型 当。=2,ZAOB0A=60 时，s=()A 11-3 B c 9-3 D 9-4遥 2 2-2-2-【解 答】解:，；OA=OB=2,4 0 8=6 0,：.AB=2,是 Z 8 的 中 点，。在 窟 上，CD LAB,延 长。C 可 得。在。C 上，C D=O D-OC=2-V 3.4A CD2=（2-）2=,J-4a=*4 仆 OA 2 2 2故 选：B.9.（5 分）甲、乙 两 个 圆 锥 的 母 线 长 相 等，侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 之 和 为 2TT,侧 面 积 分 别 为 S甲 和 S乙，体 积 分 别 为 八，和/乙.若 里=2,则 里=（）S乙 吃 A.娓 B.272 C.VTO D.5历 4【解 答】解：如 图，第 1 6 页 共 2 6 页甲，乙 两 个 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 刚 好 拼 成 一 个 圆，设 圆 的 半 径（即 圆 锥 母 线）为 3,甲、乙 两 个 圆 锥 的 底 面 半 径 分 别 为 rI，2,高 分 别 为 加，例,贝!J 2m3=4n,2n/7=2ir,解 得/=2,r2=1,由 勾 股 定 理 可 得 h=遥，h2=2V2）1 仃 2,V甲 不 几 口 5V乙|Kr22h2=Vio-故 选：C.2 210.（5分）椭 圆 C：+2_1（a b 0）的 左 顶 点 为/，点 P,。均 在 C 上，且 关 于 ya2 b2轴 对 称.若 直 线/尸，N0 的 斜 率 之 积 为 工，则 C 的 离 心 率 为（）4A.近 B.亚 C.A D.A2 2 2 3【解 答】解：已 知 4（-。，0）,设 P（xo，yo）.则 Q(-xof yo).k A Q=-，a-x0故 kAP,kAQ=-,-y-=,x0+a a-x0 a-x；4202yb即 代 入 整 理 得：也 _=上.a2 4第 17页 共 26页1 1.（5 分）设 函 数/（x）=s i n（3 x+J）在 区 间（0,n）恰 有 三 个 极 值 点、两 个 零 点，则 3 的 取 值 范 围 是（）A.5,4 B.A,1 2）C.（迫，当 D.（乌 耳 3 6 3 6 6 3 6 6【解 答】解：当 3 0;函 数/（x）=sin（a）x+-_）在 区 间（0,7 T）恰 有 三 个 极 值 点、两 个 零 点，,7 1 _ z 7T 兀、u）x+-G（-,0）11+-），3 3 3 5兀 1 兀 v2 3求 得 U _ 3W区,6 3故 选：C.二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分。13.（5 分）设 向 量 之，E的 夹 角 的 余 弦 值 为 二 且 有=1,市=3,贝 i j（2 a+b）b=_ U _.3【解 答】解：由 题 意 可 得 Z Z=1 X 3 X 上=1,萨=9，3则（2 1+b）b=2 a b+b2=2+9=ll-故 答 案 为：11.14.（5 分）若 双 曲 线 y2-=1（加 0）的 渐 近 线 与 圆/+炉-4y+3=0 相 切，则 m 32【解 答】解：双 曲 线 y2-2 k=1（加 0）的 渐 近 线：x=my9m圆/+y2 _ 4y+3=0 的 圆 心（0,2）与 半 径 1,2双 曲 线/=1（加 0）的 渐 近 线 与 圆/旷-4 3=0 相 切，m/2m=i,解 得 加=爽 _,7=-工 3 舍 去.G 3 3第 1 8 页 共 2 6 页故 答 案 为：近.315.（5 分）从 正 方 体 的 8 个 顶 点 中 任 选 4 个，则 这 4 个 点 在 同 一 个 平 面 的 概 率 为 35【解 答】解：根 据 题 意，从 正 方 体 的 8 个 顶 点 中 任 选 4 个，有 0 4=7 0种 取 法，8若 这 4 个 点 在 同 一 个 平 面，有 侧 面 6 个、对 棱 面 6 个，一 共 有 6+6=12种 情 况，则 这 4 个 点 在 同 一 个 平 面 的 概 率 尸=丝=&；70 35故 答 案 为：_ L.3516.（5 分）己 知/B C 中，点。在 边 上，/。8=120,Z O=2,C D=2 B D.当 毁 取 AB得 最 小 值 时，B D=_【解 答】解：设 CD=2x,在 三 角 形/C D 中，62=4+4-2 2x 2 cos60,可 得：庐=4-4x+4,在 三 角 形 4 8。中，C2=X2+4-2*xe2ecosl20,可 得：c2=x2+2x+4,要 使 得 1 最 小，即 正 最 小，AB c2b2 _ 4 x2-4 X+4 12c2 X2+2X+4 x+1+2 x+1其 中 x+l+2，此 时 号，击 之 点，x+1 1当 且 仅 当 x+l=E 时，即 x八 行-1 时 取 等 号，故 答 案 为：V 3-1.三、解 答 题：共 7 0分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 17 2 1题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、2 3题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题:共 6 0分。2S17.（12分）记 S”为 数 列 的 前”项 和.已 知 一 2+=2板+1.n（1）证 明：斯 是 等 差 数 列；（2）若 0 4,。7,“9成 等 比 数 列，求 S,的 最 小 值.【解 答】解：（I）证 明：由 已 知 有：2 S n+n 2=2 n a n+n，把“换 成+1,2Sn+（n+l）2=2（n+l）a1 1 H+n+,第 1 9 页 共 2 6 页-可 得：2即+1=2(+1)an+-2nan-2，整 理 得：斯+1=斯+1,由 等 差 数 列 定 义 有 即 为 等 差 数 列；(2)由 己 知 有 会 2=a，设 等 差 数 列 斯 的 首 项 为 心 由(1)有 其 公 差 为 1,0 7 口 4 9故(x+6)2=(r+3)(x+8),解 得 x=-1 2,故 a i=-12,所 以 aa=-12+(-1)X 1 n-13,故 可 得：0,故 S”在=12或 者=13时 取 最 小 值，S 2=$13=Qi；)*凡-7 8，故 S,的 最 小 值 为-78.18.(12 分)在 四 棱 锥 P-Z 8 c。中，尸。_ 1 _底 面/8CQ,CD/AB,A D=D C=C B=,AB=2,DP=43.(1)证 明：BDPAi(2)求 与 平 面 为 8 所 成 的 角 的 正 弦 值.【解 答】解：(1)证 明：尸。_ 1底 面 Z8C),BDu面 4BCD,J.PDVBD,取 Z8 中 点 E,连 接。E,则。E=垓 四=1,则 CZ)8,且 C)=8E,四 边 形 B C D E 为 平 行 四 边 形，；.DE=CB=l,皿=暴,.48。为 直 角 三 角 形，且 4 8 为 斜 边，：BDLAD,又 PDCAD=D,PD cffi PAD,4)u面 H Q,第 2 0 页 共 2 6 页.*.8。_1面 PAD,又/Mu面 以。，:.BDLPA；(2)由(1)知，PD,AD,8。两 两 互 相 垂 直，故 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，B D=7AB2-AD2=V 3 则 D(0,0,0),A(l,0,0),B(0,V3,0),P(0,0,弧),*-PD=(0,0,-V 3),PA=(1,0,-V 3),AB=(-1,V 3,设 平 面 口 8 的 一 个 法 向 量 为：；=(x,y,z)，则 上=x/z=,则 可 取 Ln-AB=-x+V3 y=0n=(V3,1,1)1设 与 平 面 以 8 所 成 的 角 为 仇 则 sin 8=|cos|=|2IPD I I n|5：.PD与 平 面 PAB所 成 的 角 的 正 弦 值 为 519.（12分）甲、乙 两 个 学 校 进 行 体 育 比 赛，比 赛 共 设 三 个 项 目，每 个 项 目 胜 方 得 10分,负 方 得 0 分，没 有 平 局.三 个 项 目 比 赛 结 束 后，总 得 分 高 的 学 校 获 得 冠 军.已 知 甲 学 校 在 三 个 项 目 中 获 胜 的 概 率 分 别 为 0.5,0.4,0,8,各 项 目 的 比 赛 结 果 相 互 独 立.（1）求 甲 学 校 获 得 冠 军 的 概 率；（2）用 X 表 示 乙 学 校 的 总 得 分，求 X 的 分 布 列 与 期 望.【解 答】解：（1）甲 学 校 在 三 个 项 目 中 获 胜 的 概 率 分 别 为 0.5,0.4,0.8,可 以 得 到 两 个 学 校 每 场 比 赛 获 胜 的 概 率 如 下 表：第 2 1 页 共 2 6 页第 一 场 比 赛 第 二 场 比 赛 第 三 场 比 赛 甲 学 校 获 胜 概 率 0.5 0.4 0.8乙 学 校 获 胜 概 率 0.5 0.6 0.2甲 学 校 要 获 得 冠 军，需 要 在 3 场 比 赛 中 至 少 获 胜 2 场，甲 学 校 3 场 全 胜，概 率 为：21=0.5X0.4X0.8=0.16,甲 学 校 3 场 获 胜 2 场 败 1 场，概 率 为:P2=0.5X 0,4X 0.2+0.5X 0.6X 0.8+0.5X 0.4X 0.8=0.44,所 以 甲 学 校 获 得 冠 军 的 概 率 为：P=P I+P2=0.6：(2)乙 学 校 的 总 得 分 X 的 可 能 取 值 为：0,10,20,30,其 概 率 分 别 为：P(X=0)=0.5X0.4X0.8=0.16,P(X=10)=0.5X 0.4X 0.2+0.5X 0.6X 0.8+0.5X 0.4X 0.8=0.44,P(%=20)=0.5X 0.6X0.8+0.5X0.4X0.2+0.5X0.6X 0.2=0.34,P 0r=30)=0.5X0.6X0.2=0.06,则 X 的 分 布 列 为：X 的 期 望 EX=0X0.16+10X0.44+20X 0.34+30X 0.06=13.X 0 10 20 30P 0.16 0.44 0.34 0.0620.（12分）设 抛 物 线 C：y2=2px（p 0）的 焦 点 为 尸，点。（p,0）,过 户 的 直 线 交 C 于 M,N 两 点.当 直 线 垂 直 于 x 轴 时，也 用=3.（1）求 C 的 方 程；（2）设 直 线 A/D,与 C 的 另 一 个 交 点 分 别 为/,B,记 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为 a,p.当 a-0取 得 最 大 值 时，求 直 线 的 方 程.【解 答】解：（1）由 题 意 可 知，当 x=p 时，y2=2p2,得 可 知=J 5 P,|五）|=p_2则 在 RtAA/FD 中，FD2+DA=FM2,得（艮）2+（亚 p）2=9,解 得 p=2.则 C 的 方 程 为 炉=4x；（2）设（X”y）,N（%2）”），A（孙”），B（X4，泗），第 2 2 页 共 2 6 页了 丫 2 丫 了 2 4由(1)可 知 尸(1,0),D(2,0),则 tana=kmv=-=-5-5-=-xl-x2 y j y2 y1+y2 T V又 M D、B 三 点 共 线，则 yo-0 y A-0ND=尬。，即 二 _丁=上 一，2 x 2y2-0 y4-0得 y2y4=-8,即 y4-:同 理 由 M、D、A 三 点 共 线，得”=-.则 tanP=2 n=_ l _=_ Z l I l _.X3-X4 y3+y4-2(yi+y2)由 题 意 可 知，直 线 M V 的 斜 率 不 为 0,设/M V：才=吁 1,f 2 _由,得 炉-4加 y-4=0,x=my+l歹 1 包 2=4加，yy2=-4,则 tan0=4m m-2 X 4m 21n1 _1则 tan(a-Q=tand-tanB=m 2m1+tanCltanP i 工 21nd2m m m当 m 0 时，tan(a-p)=j 1=-；当 加 VO 时，tan(a-p)无 最 大 c 2 m.1 2 _ 松 L!1 4 4值，.当 且 仅 当 2加=工，即 加=返 时，等 号 成 立，tan(a-p)取 最 大 值,m 2此 时 1 8 的 直 线 方 程 为 V-井=(X-X Q)，即 4x-(/上，4)尸 力 4=0,丫 3+。3又.,3+4=-=-y-7 2，,8/n=4/2 4=-16,了 1 丫 2 y j 2 V1 丫 2：.AB的 方 程 为 4x-4仿-16=0,即 x-扬-4=0.第 2 3 页 共 2 6 页21.(12 分)已 知 函 数/(x)=-lnx+x-a.x(1)若/(x)2 0,求。的 取 值 范 围；(2)证 明：若/(X)有 两 个 零 点 XI，X2,则 X1X2V1.【解 答】解：(1)X)的 定 义 域 为(0,+8),f，(x)=e x-l)一/+i=(eX+x)(x-l),X X X令，(x)0,解 得 1 1,故 函 数/(X)在(0,1)单 调 递 减，(1,+8)单 调 递 增，故 f(x)min f(1)=e+l-a,要 使 得 f(x)NO 恒 成 立，仅 需 c+1-故 QW C+1，故。的 取 值 范 围 是(-8,e+1；(2)证 明：由 已 知 有 函 数/(x)要 有 两 个 零 点，故/(I)=e+l”V 0,即 不 妨 设 0Vxi lX2，要 证 明 X1X21,即 证 明 X o j2 X1voxii,1，X1即 证 明：又 因 为 了(X)在(1,+8)单 调 递 增，2 X1即 证 明：f(X 2)f(L)2 X1 1 X1构 造 函 数 h(x)=f(x)-f 0 xXi 1(x-1)(xex+x2 ex)h，(X)=f(x)岭 f 3)=-2-，X X X1令 k(x)x+x2-A-ex,OXo,k(x)(1)=0,2 2 eX X所 以 k(x)在(0,1)上 递 增，又 因 为 x-l0,故(x)0 在(0,1)恒 成 立，故 人(x)在(0,1)单 调 递 增，又 因 为%(1)=0,故(x)h(1)=0,故 f(X1)f 即 X1X21.得 证.1 X1(二)选 考 题：共 10分。请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程|(10分)第 2 4 页 共 2 6 页=2+t22.（10分）在 直 角 坐 标 系 中，曲 线 Ci的 参 数 方 程 为（X，-,y=Vt，_2+sC2的 参 数 方 程 为 x=-F（s为 参 数）.,y=Vs（1）写 出 G 的 普 通 方 程；（,为 参 数），曲 线 联 立（2）以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 C3的 极 坐 标 方 程 为 2cos。-sin0=O,求 C3与 Cl交 点 的 直 角 坐 标，及 C3与 C2交 点 的 直 角 坐 标.，=2+t【解 答】解：（1）由 X，。为 参 数），消 去 参 数 f,y=Vt可 得 Ci的 普 通 方 程 为 炉=6x-2（y 2 0）；一 2+s（2）由-飞 一（s 为 参 数），消 去 参 数 s,.y=-Vs可 得 C2的 普 通 方 程 为 丁=-6X-2（y W O）.由 2cos6-sin0=O,得 2pcos0-psin0=O,则 曲 线 C3的 直 角 坐 标 方 程 为 2x-y=0.x 4 或，x=l,y=l ty=2 C3与 Ci交 点 的 直 角 坐 标 为（工，1）与（1,2）；2x=4 或 卜=1y=-l 孱 2.C3与 C2交 点 的 直 角 坐 标 为（，-1）与（-1,-2）.2 选 修 4-5：不 等 式 选 讲（10分）了 了,解 得,iy2=6x-2联 立，(y；2 x,解 得，y=-6x-223.已 知 a,b,c 均 为 正 数，且/+扇+4。2=3,证 明:(1)a+b+2cW3；(2)若 b=2c,则 工+工 23.a c【解 答】证 明：(1),:a,b,c 均 为 正 数，且。2+廿+42=3,由 柯 西 不 等 式 知,(修+/+启)(12+12+12)N(a+b+2c)2,即 3X3,(a+b+2c)2,：,a+b+2c3；第 2 5 页 共 2 6 页当 且 仅 当 a=b=2c,即 a=b=l,c=_l时 取 等 号；2(2)由(1)知，2c3 且 6=2c,故 0Vq+4cW3,则 a+4c 3由 权 方 和 不 等 式 可 知，工 _ 上?1 即 工+!3.a c a 4c a+4c a c第 2 6 页 共 2 6 页