2023年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数第五节指数与指数函数.pdf

第五节指数与指数函数,最新考纲，1 .了解指数函数模型的实际背景.2 .理解有理指数森的含义，了解实数指数赛的意义，掌握森的运算.3 .理解指数函数的概念及单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,1 0,京勺指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函数模型.考向预测考情分析：指数函数中比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主.学科素养：通过指数氟的化简求值，考查数学运算的核心素养，通过指数函数图象及性质的应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养.积 累 必 备 知 识 基础落实赢得良好开端一、必记4个知识点1 .根式的概念及性质(1)概念：式 子 病叫做，这里 叫做根指数，a叫做被开方数.(2)没有偶次方根.0的任何次方根都是0,记 作 砺=.(V a)H=(GN*,且 1).府=a(为大于1的奇数).府=|3=1-a-0,(n为大于1的偶数).I _ _ _ _ _,a 0,m,n e N*,且n 1)；正数的负分数指数幕的意义是ad=3 0,如”W N*,且 1)；0的正分数指数嘉等于0；0的 负 分 数 指 数 幕.3 .指数募的运算性质实数指数暴的运算性质：;(/=;()=,其中a 0,/?0,r,s R.4 .指数函数及其性质(1)概念：函数y=(a 0,且a?l)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a0 6 T 0 时，_ _ _ _ _ _ _ _；当x 0 时,_ _ _ _ _ _ _ _当x 0 时,_ _ _ _ _ _ _ _在（一8,+8）上是_ _ _ _ _ _ _ _在（一 8,+8）上是_ _ _ _ _ _ _ _y =与 y=G）X 的图象关于丫轴对称1 .画指数函数丫=优（0,且 a W l）的图象，应抓住三个关键点：（1,a）,（0,1）,（-1,：）.2 .指数函数y=（a 0,且“W 1）的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a与 0 a 0,且 a W l）的图象越高，底数越大.三、必练4 类基础题（一）判断正误1 .判断下列说法是否正确（请在括号中打“J ”或“X ”）.（1）V（7T-4）4=7t 4.（）（2）（1）=（1）2=V 1.（）（3）函数了=二，3 0 且是R上的增函数.（）（4）函数y=/（a 0 且 a W l）与 x轴有且只有一个交点.（）（5）若则 mn.（）（6）函数y=与=一4 0,且 a W l）的图象关于y 轴 对 称.（）（二）教材改编2 .必 修 LP 5 4 练习T 2 改编 化简3 16 x 8 y 4 a o,且 a W l）的图象经过点尸（2,1）,则五一1）（三）易错易混4.（忽视底数的讨论改错）函数y=a?a 0,且 的 图 象 可 能 是（）ABCD5.(忽视底数的讨论致错)若函数加)=d 在 1，1 上的最大值为2,贝 lja=(四)走进高考6.2020天津卷 设。=3。匕 6=($F8,c=logo,70.8,则 a,b,c 的大小关系为()A.abc B.b a cC.bca D.ca0,。0)=_.4(0.1)-1-(a3d-3)24.已知常数a 0,函 数 段)=益 短的图象经过点P(p,I),Q(q,J.若”+。=36”?,则 a=.反思感悟有拓号留宪算蒋号亘马，无后号药先算指数运算先乘嗪商而藏；贫指薮案花康正招薮案所倒数指数赛运算的一般原则底 驳 是 贫 薮，兔 欣 定 件 号；宸 薮 是 小 缴，免;化 成 分 数；底数是带分数的.先化成假分数若 是 粮 式，应 花 药 务 薮 霜 薮 粟.息 可 能 用赛 的 形式表示,运用指数器的运算性质来解答 注意 运算结果不能同时含有根号和分数指数基，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.考 点 二 指 数 函 数 的 图 象 及 应 用 综合性 例 1 (1)2022洛阳市高三模拟 已知式x)=(x-a)(x-b)(ab)的大致图象如图所示，则函数g(x)=+匕 的 大 致 图 象 是()（2）若曲线|），|=2，+1 与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是听课笔记：一题多变1 .（支条件）若将例1（2）中“|），|=2 计 1 改 为“y=|2-1|，且与直线y=b有两个公共点，求 6的取值范围.2 .（变条件，变问题）若 将 例 1（2）改为：函数=|2 1|在（-8,川上单调递减，则 4的取值范围是什么？3 .（3条 件,变 问题）若将例1（2）改为：直线y=2 a 与函数y=魂一l|（o X）且 的 图 象有两个公共点，则 4的取值范围是什么？反思感悟（1）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【对 点 训 练】I.不论“为何值，函数y=(a 1)2*g 恒过定点，则这个定点的坐标是()A.(1,-i)B.(1,1)C.(一1,-1)D.(-1,|)2.定义运算人=9 a，”则函数式制=1 2,的 图 象 是()l b,a b,考 点 三 指 数 函 数 的 性 质 及 应 用 综合性角 度 1 比较指数累的大小 例 2 (1)2 02 2 唐山模拟 设 y i=4 s,y2M,”=G)飞，则()A.yyy2 B.y2yy3C.yyiy3 D.yy3yi_ i i(2)已知於)=2 2,a=(p，%=(沪 则&)，加)的大小关系是听课笔记：反 思 感 悟 比较指数幕大小的常用方法(1)单调性法：不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化为同底数的尽可能化为同底数的.(2)取中间值法：不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，然后得出大小关系.(3)图解法：根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小.角度2 解简单的指数方程或不等式A X X 0 一 若八1 a)=/3 1),则 a的值为2a-x,x 0,(2)设函数火x)=1 G)x -7 X 若迷/0听课笔记:反 思 感 悟 解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解.要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.角度3 指数函数性质的综合应用 例4 (1)函数y=G)X(3，+l在区间-3,2 上的值域是.(2)已知定义域为R的函数 x)=-：+品，则关于t的不等式式户一2。+大2/2 1)的解集为.听课笔记：反 思 感 悟 求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决.【对 点 训 练】.2 0 2 2.郑州调研已知函数=g,。=.2。3),6=旭.2。3),。=式 1 0 g o.3 2),则 a,b,c的大小关系为()A.C.cbabcaB.bacD.ca 0,且。#1),当x 20时，求函数的值域.解析：y=a +2 a -1,令则 y=g(t)=t2+2t 1=(f+1)2-2.当 a l 时，Vx O,.,心 1,二当a l 时，y 2.当 0 a l 时，Vx O,.(Xf WLg（O）=T,g（D=2,.,.当 0。1 时，Ty W2.综上所述，当时，函数的值域是 2,+8）；当0 1 0J1 0J1 增 函 数 减 函 数三、1.答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)V-1 1112 .解析：因为 x0,y 0,所以7 1 6 x8y 4 =(1 6 x8 y 4)Z =(1 6)Z (x8)1 (y 4)Z =2 x2|_y|=一2y.答案：D3 .解析：由 题 意 知;“2,所以”=今所以於)=停)，所以l时，将 y=的图象向下平移工个单位长度得兀=炉 一工的图象,a aA、B都不符合；当 0 a =.的图象向下平移三个单位长度得式 ）=。一工的图象，a a而工大于1.故选Da方法二函数人X）的图象恒过点（一1,0）,只有D 中的图象符合.答案：D5.解析：当“1 时，7（x）=a ，在-1,1 上为增函数，.函数 段）=在 -1,1 上的最大值为2,*,-2 解得。=2；当0 4 3。7,c=l o g o,7 0.8ac.答案：D提升关键能力考点一L 解析：（就）小静产售-对 A 。答案：02.解析：.,4）=2+2-。=3.贝 2。）=22+2-2。=（2+21）2-2=32-2=7.答案：73.解析：原式=空 匹?=*1 0 a2 b-2 5答案卷4.解析：因为大 处=心=备，且其图象经过点P,Q,则 加)=亳 胃 即墨=一,.如尸 急=一 右 即 翳=-6,2 X 得1，则 J 20+4=a2p q=36p，/,所以屏=3 6,解得。=6,因为。0,所以a=6.答案：6考点二例 1 解析：由函数f(x)的大致图象可知3 a 4,l b 0,所以g(x)的图象是由y=ax(3 a 4)的图象向下平移一b(0 b l 时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；当0 a l 时，要使两个图象有两个交点，则 0 2a1.所以 f（x）=l 2X=F X-0,I 1,x 0.答案：A考点三例 2 解析：（l）yi=2L8,y2=2L44,y3=2L5,y=2x在定义域内为增函数，*yiy3y2.Ill（2）：a=（4=（丁 （J=b 0，又函数f（x）=2x2-x在 R 上为增函数，二加）次力.答案：（1）D例 3解析：当时，4|-a=2,解得。=手当al时，2-。-）=4 5|无解，故 a 的值为去 当a0时，原不等式化为则 2 1 一3,所以一3a0.当a 2 0 时,则孤1,0Wal.综上，实数。的取值范围是（一3,1）.答 案:（呜（2）（-3,1）例 4解析：因为xG 3,2 ,所以若令f=（,则 回;，8 ,故 y=-_ f+=（t-；）+*当尸:时，_ y mi n=:；当 f=8 时，），max =57.故所求函数值域为小 57.解析：（2）由题意知外）是奇函数，且在R 上为减函数,则4 产 2。+42祥 1）0,即式产一2f）1 2 P,解得 1 或 r答案：方 57（2乂-8,-0 U（1,+8）对点训练I.解析：因为 犬）=崇=2*2）,定义域为R,j-x）=2x-2x=-jx,故函数及）是奇函数，又 y=2,在定义域上单调递增，了=2七在定义域上单调递减，所以 1,0 0.2-3 1,l ogo.32bc.答案：A2.解析：？=（,是减函数，且式x）的值域是（0,1 ,/.Z=ar2+2x+3 有最小值 2,则 4 0 且 吐 兰=2,解之得4=1,4a因此1=炉+2%+3 的单调递减区间是（一8,-1 ,故火外的单调递增区间是（一8,-1 .答案：（-8,1微专题换元法求解与指数型函数有关的最值问题变式训练解析：设，=2*则 丫=4+公22=1+加 72.因为 x 2,2,所以 4.又函数=4 +%2”2 在区间-2,2 上单调递增，即 尸 p+w2 在区间方4 上单调递增,故有一 工 ,解得加2 所以加的取值范围为g,+8）.