2023年高考数学总复习第八章立体几何初步第六节空间向量及其运算.pdf

第六节 空间向量及其运算 最新考纲，1 .了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2 .掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3 .掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4 .理解直线的方向向量与平面的法向量.5.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.6 .能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.考向预测考情分析：本节主要考查空间向量的线性运算、数量积及其坐标运算，利用空间向量证明空间中的平行与垂直关系，多出现在解答题中的第一小问.学科素养：通过空间向量的运算及数量积运算考查逻辑推理、数学运算的核心素养.积 累 必 备 知 识 基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1.空间向量及其有关概念语言描述共线向量（平行向量）表示空间向量的有向线段所在的直线互相_ _ _ _ _ _ _ _共面向量平行于_ _ _ _ _ _ _ _ 的向量共线向量定理对空间任意两个向量a,b S W O）,存在4GR,使_ _ _ _ _ _ _ _ _共面向量定理若两个向量a,力不共线，则向量p与 向 量 共 面=存 在唯一的有序实数对（x,y）,使。=_ _ _ _ _ _ _ _空间向量基本定理定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在 有 序 实 数 组 y,z 使得p=_ _ _ _ _ _ _ _推论：设 0、4、B、C是不共面的四点，则对平面AB C内任一点P都存在唯一的三个有序实数X,Z,使 丽=赤+），丽+z 前且x+y+z=2.数量积及坐标运算（1）两个向量的数量积：a 仍=|a|b|c o s a,b.akb（a,b为非零向量）.a2a2,|a|=y/x2+y2+z2.（2）向量的坐标运算：a =（i，他，3），b=（bi，历，Z?3）向量和a+b=_向量差a-b=_数量积a b _共线a )=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(2 R,bWO)垂直a_Lbo_夹角公式c o s a,b)_3.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线I_ _ _ _ _ _ _ _ 或,则称此向量a为直线/的方向向量.(2)平面的法向量：直线L a,取直线/的 向量a,则向量a叫做平面a的法向量.二、必明3 个常用结论1 .向量法判断空间中平行与垂直(1)平行关系线线平行：I/ma/ba kb,*R；线面平行：/a Q a _ L Q r =O；面面平行：a P 0 u=k u,kWR.(2)垂直关系线线垂直：/J _ w Q a _ L b e =O；线面垂直：/J _ a a Q a=k ,%G R；面面垂直：a _ L u _ L o=W=0.2 .证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,8可通过证明下列结论成立来证明三点共线.(1)P A=2 P B(A e R)；对空间任一点O,O P=O A+r A B(z R)；(3)对空间任一点 O,O P=x O A+y O B(x+y=l).3 .证明空间四点共面的方法对空间四点P,M,A,B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面.(l)M P=x M A+y M B；(2)对空间任一点 O,O P=O M+x M A+y M B；(3)对空间任一点 O,O P=A：O M+O A+z O B(x+y+z=l)；(4)而 丽(或画而或而前).三、必练3 类基础题(一)判断正误1 .判断下列说法是否正确(请在括号中打“J ”或“X”).(1)空间中任意两非零向量a,万 共面.()(2)对于向量a,b,若 a b=O,则一定有a=0或 =0.()若“2-A1B|G|中，M 为 4 G 与B Q i的交点.若屈=a,R=b,A A i=c,则下列向量中与的相等的向量是()A.-a+-Z+c B.-a+-Z+c2 2 2 2C.-a-Z+c D.-a-Z+c2 2 2 2(三)易错易混4.(二面角的范囹出错)已知两个平面的法向量分别为，”=(0,1,0),n=(0,1,1),则这 两 个 平 面 所 成 的 二 面 角 的 大 小 为.5.(线面角的范同出错)已知向量加，分别是直线/的方向向量和平面a 的法向量，若cos/n,n=一 右 则/与 a 所成的角为.提 升关键能力考点突破掌握类题通法考 点 一 空间向量的线性运算 基础性1.在空间四边形A8CD中，若 熊=(-3,5,2),而=(-7,-1,-4),点 E,尸分别为线段BC,AO的中点，则弹的坐标为()A.(2,3,3)B.(2,3,3)C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)2.如图所示，在长方体ABCD-A|8iG。中，。为 AC的中点.用屈，AD,就 表 示 函 则 碣=.3.在三棱锥O-ABC中，M,N 分别是OA,8 c 的中点，G 是A B C 的重心，用基向量加,OB,OC表示(1)MG；(2)OG.反 思 感 悟 用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.考 点 二 共 线、共面向量定理的应用 综合性 例 1 如图所示，已知斜三棱柱48C-4BiG，点 M,N 分别在A G 和 8 c 上，且满足前=kAC7，BN=JlBC(OA:MB对空间任一点 0,OP=xOA+(l-x)OB对空间任一点 0,OP=xOM+?O A+(l-x-y)OB【对 点 训 练】1 .若 41,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线，则?+=.2 .已知A,8,C三点不共线，对平面A B C外的任一点0,若点M满 足 而 三(嬴+0 B+0 C).(1)判断逐，MB,嬴 三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面A B C内.考 点 三 空间向量的数量积及应用 综合性 例 2 如图所示，已知空间四边形A BCD 的每条边和对角线长都等于1,点 E,F,G分别是A B,AD,CQ 的中点.求 乐 B A；(2)求 前 B D.听课笔记：一题多变1 .(变 问题)若例2中条件不变，求证：EGAB.2 .(变问题)若例2中条件不变，求 EG的长.3.(变问题)若例2中条件不变，求异面直线AG和 CE所成角的余弦值.反思感悟1.空间向量数量积的计算方法(1)定义法:设向量a,b的夹角为仇 则 a b=|a|步|c o s 9.(2)坐标法：设 a=(x i,%,zi),b=(x2,yz,Z2),则 a历=x i X 2+y i)，2+zi Z2.2.空间 向量数量积的3 个应用求夹角设向量a,力夹角为仇则c o s。=熟，进而可求两异面直线所成的角|a|b|求长度(距离)利用公式2=a a 可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用U b Q 0 b=O(a W O,后 0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题【对点训练】1 .在棱长为1 的正四面体A B C Q 中，E是 BC的中点，则 靠 屈=()A.0 B.-22 .已知空间中三点 A(2,0,2),8(1,1,2),C(-3,0,4),设向量 a=丽，bAC,(1)若|c|=3,且 c 前，求向量c；(2)求向量a 与向量8的夹角的余弦值；若%+5与履一2 力互相垂直，求实数k的值.考点四 利用空间向量证明平行或垂直 综合性例3如图，在四棱锥P-ABCDP,底面A B C D是边长为a的正方形，侧面以。，底面ABCD,且 必=P Z)=。，设 E,F 分别为PC,8。的中点.(1)求证：EF平面办力；(2)求证：平面B4B_L平面PDC听课笔记：反思感悟1.用向量法证平行问题的类型及常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示面面平行证明两平面的法向量平行(即为共线向量)转化为线面平行、线线平行问题2.利用向量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直【对 点 训 练】已知直三棱柱ABCA B C 中，AABC为等腰直角三角形，NBAC=90。，且 AB=AAj,D,E,F 分别为BN，GC,BC的中点.(1)求证：OE平面ABC.(2)求证：B iF,平面AEF.第六节空间向量及其运算积累必备知识1.平 行 或 重 合 同 一 平 面a=2b xa+yb xa+yb+zc2.(1)4协=0(2)(。1 +仇，做+岳，的+优)31-仇，。2一岳，的 一 加)1 5 1+。2岳+3岳。1=7仇，=劝2，的=幺岳 仍 1+。2岳+。3b3=0。1如+。2?+吧3 J a：+a/码J*+b升尺3.平行 重 合(2)方向*.、I .答案：(1)J(2)X(3)X(4)X(5)V(6)J(7)J2.解析：因为 c=(4,6,2)2 a,所以 ac,又。3=0,故 Q_ L Z .答案：C3.解析：前=瓯+市=踞+*而 A 5)=c+；S-a)=-p+/+c.答案：A4.解析：cos n)=詈 4=，即m,=4 5 ,其补角为135,所以这|m|n|lxV 2 2两个平面所成的二面角的大小为45。或 135.答案：45。或 135。5.解析：.cos m,n)=一 号 且 m,n)G 0,T T(m,n=120即直线/和平面a 的法向量所在直线的夹角为180。-120。=60。.则/与 a 所成的角为90。-60=30.答案：30提升关键能力考点一1.解析：因为点E,F 分别为线段2C,A Q 的中点，设。为坐标原点，所以乐=而 一 丽，OF=|(OA+OD),OE=i(OB+OC).所以说(嬴+0D)-i(0B +0C)=1(BA+CD)=1(3,-5,-2)+(7,-1,-4)=(-%-6,-6)=(2,3,3).答案：B2.解析：V0C=iAC=|(AB+AD),0C1=0C+CC1=：(AB+AD)+AA1=：AB+；AD+AA1.答案：|AB+|AD+AA73.解析：(1)标=加+前=-0A +-AN=iOA+-(ON-OA)2 3 2 3、=OA+|1(OB+OC)-OA=-i0 A +i0 B+i0 C.6 3 3(2)0G=0M+MG=i0 A-i0 A+i0 B +i0C2 6 3 3=-0A 4 OB H OC.3 3 3考点二例 1 解析：(1)因 为 前=函 前，所以丽=加+品+就=C A+A B+)t B C=(C A+B C)+A B=k(序+)+A B=/：B7A+A B=A B -k A B =A B -k(A A +A B)=(l-k)A B-k A A .所以由共面向量定理知向 量 而 与向量熊，矶共面.(2)当上=0时，点 M,A 重合，点N,8重合，在平面4 8 B N 1 内，当0 4W1 时，M N不在平面4 8 8 1Al内，又由(1)知 所 与 魂，海 共 面，所以MN 平面ABBiAi.对点训练1.解析：V A B =(3,-1,1),AC=(/n+l,n2,2),且 4,B,C 三点共线，存在实数九 使得配=2 通.即(加+1,n2,2)=z(3,1,1)=(3 九 -A,2),m 4-1=3 A,n 2=A,解得 2=2,m=7t=4.-2=A,-3.答案：一32.解析：(1)由已知得6 X+而+玩=3 而，所 以 质-OM=(O M -O B)+(O M -O C),即 加=筋 +前=一 而-前所以 两，MB,前 共面.(2)由(1)知 血，MB,就 共 面且过同一点所以M,A,B,C 四点共面，从而点”在平面A B C 内.考点三例 2解析：设 品=a,AC=b,AD=c,则同=|b|=|c|=L(。，b)=(b,c)=(%a)=6 0.(l)E F=-BD=-c-a,B A=a,E F BA=f-c-aY(a)=-a2-前 BD=(E A+AD+DG)(AD-AB)=(-|AB+A D +A G-A D)(AD-AB)=(-|AB+|AC+|AD)(AD-AB)=(一；a+：b+(c-a)=i(-i x i x i+i x i x i+l +l-i x i x i-l X I X i)=i2、2 2 2 2，2一题多变1.证明：由本例知前=X 前+前 一 源)=：(b+c-a),所以 E G AB=|(a 6+a ca2)=-(l X 1 x i+1 X 1 xi-1)=0.2 k 2 2)故而J_靠，即EGAB.2.解 析:由本例知E G=一3+，+*,|E G|2-6 r2+Z 2+c2，.办+c 则|E G|=四，即 EG的长为四.223.解析：由本例知前=/+3，CE=CA+A E =-i+1a,得 c o s 温 源=器=-1.由于异面直线所成角的范围是(0,1,所以异面直线A G与 C E所成角的余弦值为|.对点训练1.解析：AE CD=|(AB+AC)(AD-AC)=1(AB AD+AC AD-AB-AC-AC AC)=答案：D2.解析：(l)；c前，BC=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),c=fnBC=m(2,1,2)=(2加，加，2tn).于是|c|=J(_2m)2+(-m)2+(2m)2=3 依|=3,即 m=土1.故 c=(2,1,2)或 c=(2,19 2).(2)V a=(L 1,0),)=(1,0,2),：.ab=(l9 1,0)*(-1,0,2)=-1,又a=V 12 4-l2 4-02=V 2,|ft|=V(-l)2+02+22=V 5,.cos /a,bL)=ab=-_1=V10,|a|b|A/10 10即向量a 与向量6的夹角的余弦值为一噜.解 析:(3)方法一 ：ka+b(k-l,k,2),ka2 b=(攵+2,k,-4),且k a+b与ka2b互相垂直，:(k-1,k,2)(4+2,k,-4)=(攵-1)(女+2)+3 8 0.解之，可得=2 或 k=一|.故当k a+b与 总一2b互相垂直时,实数上的值为2 或一|.方 法 二：由（2）知|a|=&,b=V5,a b=-,：（ka+b（ka2b）=3/kab2b2=2必+%10=0,从而可解得=2 或&=一|.考点四例 3证明：（1）如图，取 A。的中点0,连接OP,0F.因为巩=P Q,所以P 0 L 4 D 因为侧面布。，底面A8CD,平面抬。C 平面ABCD=AD,POu平面 PAD,所以尸0_L平面ABCD.又 0,尸分别为AO,的中点，所以。尸A8.又 ABCQ是正方形，所以OFLAD因为双=尸。=争。，所以出_LPD,OP=OA=l，以。为原点，OA,OF,O P所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A 6，0,0）,F（0,0）,（-：,0,0）,P（0,0,0,8（|,a,0）,C（-p a,0）.因为E 为 P C 的中点，所以E（/p?）.易知平面外力的一个法向量而=（0,|,0）,因为EF=（：,0,：），且 而.弗=（0,p 0）-g,0,-?=0，又因为7过平面B 4 O,所以EF平面B4D（2）因 为 证=（|,0,-0 ,CD=（O,-a,0）,所以PX 而=（|,0,-1）.（0,-a,0）=0,所以证_LE,所 以 出_LCD又 以 _LPQ,PDr CD=,PD,C C u 平面尸c,所以以 1.平面PDC.又 雨 u平 面 所 以 平 面 B43_L平面POC对点训练证明：以A为原点，AB,AC,A4i所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,令 A B=A 4|=4,则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),场(4,0,4),D(2,0,2),4(0,0,4),(l)DE=(-2,4,0),平面 ABC 的法向量 为 斌=(0,0,4),DE-AA=0,OEQ 平面 ABC,E平面 ABC.(2)帝=(2,2,-4),EF=(2,-2,-2),BT?-EF=(-2)X 2+2X(-2)+(-4)X(-2)=0,.BiFIEF,ByFLEF,又 用 萍=(-2)X 2+2X 2+(4)X0=0,.B7FAF,：.BFVAF.AFC EF=E 平面 AEF.