2023年高考数学第一轮复习精品精品讲义第一章 集合与常用逻辑用语.pdf

精品教案集合与简易逻辑 一、本章知识结构：二、考点回顾 1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。三、经典例题剖析 考点 1、集合的概念 1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集；按元素特征分；数集，点集。如数集y|y=x2，表示非负实数集，点集(x，y)|y=x2表示开口向上，以 y 轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如 N+=0，1，2，3，；描述法。2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用或表示；（2）集合与集合的关系，用，=表示，当 AB时，称 A是 B的子集；当 AB时，称 A是 B的真子集。3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合x|xP,要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题 4、注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有 A=或 A两种可能，此时应分类讨论 例 1、下面四个命题正确的是（A）10 以内的质数集合是1，3，5，7 （B）方程 x24x40 的解集是2，2（C）0 与0 表示同一个集合（D）由 1，2，3 组成的集合可表示为1，2，3或3，2，1 解：选（D），最小的质数是 2，不是 1，故（A）错；由集合的定义可知（B）（C）都错。例 2、已知集合 A1，3，2m1，集合 B3，2m 若 BA，则实数m 解：由 BA，且2m不可能等于1，可知2m2m1，解得：m1。考点 2、集合的运算 1、交，并，补，定义：AB=x|x A且 xB，AB=x|x A，或 xB，CUA=x|x U，且 xA，集合 U表示全集；2、运算律，如 A（BC）=（AB）（AC），CU（AB）=（CUA）（CUB），CU（AB）=（CUA）（CUB）等。3、学会画 Venn图，并会用 Venn图来解决问题。例 3、设集合 Ax|2x 13，Bx|3x2，则 AB等于（）(A)x|3x1(B)x|1x2 (C)x|x 3 (D)x|x 1 解：集合 Ax|2x 13x|x 1，集合 A和集合 B 在数轴上表示如图 1 所示，AB是指集合 A和集合 B的公共部分，故选（A）。例 4、经统计知，某村有电话的家庭有 35 家,有农用三轮车的家庭有 65 家,既有电话又有农用三轮车的家庭有 20 家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 ()A.60 B.70 C.80 D.90 解：画出 Venn图，如图 2，画图可得到有一种物品的家庭数为：15+20+45=80.故选（C）。例 5、（2008 广东卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若集合 A=参加北京奥运会比赛的运动员，集合 B=参加北京奥运会比赛的男运动员。集合 C=参加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是（）A.AB B.BC C.AB=C D.BC=A 解：由题意可知，应选（D）。考点 3、逻辑联结词与四种命题 1、命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；图 1 图 2 2、复合命题的形式：p 且 q，p 或 q，非 p；3、复合命题的真假：对 p 且 q 而言，当 q、p 为真时，其为真；当 p、q 中有一个为假时，其为假。对 p 或 q 而言，当 p、q 均为假时，其为假；当 p、q 中有一个为真时，其为真；当p 为真时，非 p 为假；当 p 为假时，非 p 为真。4、四种命题：记“若 q 则 p”为原命题，则否命题为“若非 p 则非 q”，逆命题为“若 q则 p“，逆否命题为”若非 q 则非 p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。例 6、（2008 广东高考）命题“若函数()log(0,1)af xx aa在其定义域内是减函数，则log 20a”的逆否命题是（）A、若log 20a，则函数()log(0,1)af xx aa在其定义域内不是减函数 B、若log 20a，则函数()log(0,1)af xx aa在其定义域内不是减函数 C、若log 20a，则函数()log(0,1)af xx aa在其定义域内是减函数 D、若log 20a，则函数()log(0,1)af xx aa在其定义域内是减函数 解：逆否命题是将原命题的结论的否定作为条件，原命题的条件的否定作为结论，故应选（A）。例7、已 知 命 题:p方 程210 xmx 有 两 个 不 相 等 的 负 数 根；:q方 程244(2)10 xmx 无实根若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围 解：240:0mpm ，2m 22:16(2)1616(43)0qmmm，13m p或q为真，p且q为假，p真，q假或p假，q真 213mmm，或 ，或213mm ，故3m或12m 考点 4、全称量词与存在量词 1全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“”表示。（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“”表示。2全称命题与特称命题（1）全称命题：含有 全称量词的命题。“对xM，有 p（x）成立”简记成“xM，p（x）”。（2）特称命题：含有 存在量词的命题。“xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”。3 同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，供参考。命题 全称命题xM，p（x）特称命题xM，p（x）表述 方法 所有的xM，使p（x）成立 存在xM，使p（x）成立 对一切xM，使p（x）成立 至少有一个xM，使p（x）成立 对每一个xM，使p（x）成立 对有些xM，使p（x）成立 任给一个xM，使p（x）成立 对某个xM，使p（x）成立 若xM，则p（x）成立 有一个xM，使p（x）成立 4常见词语的否定如下表所示：词语 是 一定是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 词语的否定 或 一个也没有 至多有n-1 个 至少有两个 存在一个x不成立 例 8、（2007 山东）命题“对任意的01,23xxRx”的否定是（）A.不存在01,23xxRx B.存在01,23xxRx C.存在01,23xxRx D.对任意的01,23xxRx 解：命题的否定与否命题不同，命题的否定是将全称量词改为特称量词，或将特称量词改为全称量词，再否定结论即可，故选（C）。例 9、命题“0 x，有20 x”的否定是 解：将“存在”改为“任意”，再否定结论，注意存在与任意的数学符号表示法，答案：200 xx，有 考点 5、充分条件与必要条件 1、定义：对命题“若 p 则 q”而言，当它是真命题时，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件，当它的逆命题为真时，q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件，两种命题均为真时，称p 是 q 的充要条件；2、在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件 p 的所有对象组成集合 A，满足条件 q 的所有对象组成集合 q，则当 AB时，p 是 q 的充分条件。BA时，p 是 q 的充分条件。A=B时，p是 q 的充要条件；3、当 p 和 q 互为充要时，体现了命题等价转换的思想。4、.要理解“充分条件”“必要条件”的概念，当“若 p 则 q”形式的命题为真时，就记作 pq，称 p 是 q 的充分条件，同时称 q 是 p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假 5、要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“，反之也真”等 6、.数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质7、从集合观点看，若 AB，则 A是 B 的充分条件，B 是 A的必要条件；若 A=B，则 A、B互为充要条件 8、证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).例 10、（2008 安徽卷）0a 是方程2210axx 至少有一个负数根的（）A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：当0422a，得 a1 时方程有根。a0 时，0121axx，方程有负根，又 a=1时，方程根为1x，所以选（B）。例 11、（2008 湖北卷）若集合RxxxQP,50,4,3,2,1,则：（）A.Rx是Qx的充分条件，不是Qx的必要条件 B.Rx不是Qx的充分条件，是Qx的必要条件 CRx是Qx的充分条件，又是Qx的必要条件.D.Rx既不是Qx的充分条件，又不是Qx的必要条件 解：xPxQ 反之不然故选 A 四、方法总结与 2010 年高考预测（一）思想方法总结 1.数形结合 2.分类讨论（二）2010 年高考预测 1集合是每年高考必考的知识点之一。题型一般是选择和填空的形式，主要考查集合的运算和求有限集合的子集及其个数 2简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题 3集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现 五、复习建议 1在复习中首先把握基础性知识，深刻理解本单元的基本知识点、基本数学思想和基本数学方法重点掌握集合、充分条件与必要条件的概念和运算方法要真正掌握数形结合思想用文氏图解题 2涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型(如集合与映射，集合与自然数集，集合与不等式，集合与方程等，充分条件与必要条件与三角、立几、解几中的知识点的结合等)映射的概念以选择题型出现，难度不大。就可以了 3活用“定义法”解题。定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点。利用定义，可直接判断所给的对应是否满足映射或函数的条件，证明或判断函数的单调性与奇偶性并写出函数的单调区间等。4重视“数形结合”渗透。“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议便是：画个图!利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题。5实施“定义域优先”原则。函数的定义域是函数最基本的组成部分，任何对函数性质的研究都离不开函数的定义域。例如，求函数的单调区间，必须在定义域范围内；通过求出反函数的定义域，可得到原函数的值域；定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要条件。为此，应熟练掌握求函数定义域的原则与方法，并贯彻到解题中去。6 强化“分类思想”应用。指数函数与对数函数的性质均与其底数是否大于 1 有关；对于根式的意义及其性质的讨论要分清 n 是奇数还是偶数等。