2023年高考数学总复习第九章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题第2课时圆锥曲线中的证明、定值及定点问题.pdf

第2课时 圆锥曲线中的证明、定值及定点问题提 升 关 键 能 力 考点突破掌握类题通法考 点 一 证 明 问 题 综合性 例 1 已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0,1),B(0,-1),焦距为2 8.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线y=m与椭圆C有两个不同的交点M,N,设 D为直线A N上一点，且直线 B D,BM的斜率的积为一；，证明：点 D在 x轴上.4听课笔记：反思感悟 圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题.【对点训练】2 0 2 2 郑州市质量预测 已知椭圆E：、+2=l(a b 0)的离心率为圣且过点C(l,0).(1)求椭圆E的方程；(2)若过点0)的任意直线与柳圆E相交于A,B两点，线 段 A B的中点为M,求证：恒有|AB|=2|C M|.考 点 二 定 值 问 题 综合性例2 2 0 2 2 河南高三月考旧知椭圆C：盘+真=l(a b 0)的左焦点为F,离心率为当，过 F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点A(2,0),过 P(2,-4)的直线1 交椭圆C于 M,N两点，证明：直线A M的斜率与直线A N的斜率之和为定值.听课笔记：反思感悟圆锥曲线中定值问题的两大解法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)引进变量法：其解题流程为变量选 择 适 当 的 动 点 坐 标 或 动 线 中 系 数 为 变量函数把 要 证 明 为 定 值 的 量 表 示 成 上 述 变 量 的函数定值卜f 把 得 到 的 函 数 化 简，消去变量得到定值【对点训练】2 0 2 2 湖北襄阳五中高三月考 已知双曲线C：?-?=1的左、右顶点分别为A,B,过右焦点F的直线1 与双曲线C的右支交于P,Q两点(点P 在 x轴上方).若评=3 而，求直线1 的方程；(2)设直线AP,BQ的斜率分别为k”k 2,证明：空为定值.K2考点三 定 点 问 题 综合性 例 3 2 0 2 2 贵州贵阳一中高三月考 已知椭圆C i：+2=l(a b 0)的离心率为冬且过椭圆的右焦点F有且仅有一条直线与圆C2：x2+y2=2相切.(1)求椭圆C i 的标准方程；(2)设圆C 2 与 y轴的正半轴交于点P.已知直线1 斜率存在且不为0,与椭圆C,交于A,B两点，满足/B P O=/A P O(O 为坐标原点)，证明：直线1 过定点.听课笔记：反 思 感 悟 求解定点问题常用的方法(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明.(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标.(3)求证直线过定点(x o,y o),常利用直线的点斜式方程y y o=k(x x o)来证明.【对点训练】在平面直角坐标系x O y 中，已知动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x=|的距离之比为学.记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过 点 F 作两条互相垂直的直线1”b.h交曲线C于 A,B两点，L交曲线C于 S,T两点，线段AB的中点为M,线段S T 的中点为N.证明：直线M N过定点，并求出该定点坐标.第 2 课时 圆锥曲线中的证明、定值及定点问题提升关键能力考点一例 1 解析：(1)由题意，得 b=l,V 3,所以 a2=b2+c2=4,即 a=2.故椭圆C的方程为?+V=l.(2)证明：设 M(x i,用)，则 N(X i,m)，x iW O,所以直线8M 的斜率 为 叱 导=吧.X i-0 X i因为直线B。，3M 的斜率的积为一;，所以直线5。的斜率为 一 泊 工44(m+l)直线NN的斜率为上巴，所以直线4N的方程为y=+l.X1X1直线B D的方程为y=-J：1.y =+1,联立得 Xxt 1(y =-Dx-1 解得点。的纵坐标为”=一4-1因为点M 在椭圆C上，所以去+/=1,则w=0.所以点。在x轴上.对点训练解析：由题意知6=1,：=冬又/=6 2 +。2,所以 a=&.所以椭圆E 的方程为?+x 2=l.(2)证明：当直线的斜率为0时，易知A/为坐标原点，则MB|=2|C M恒成立.当直线的斜率不存在或存在且不为0时，设过点(一，0)的直线为x=ty-,A(x,yx),(x =t y -：,B(X2,yi),由L 得(9+1 8 户)炉一 1 2 W-1 6=0,且/0,3+X2=L则 y I+);2 g +1gt2 y，2 -9+1 8 t2又五=(乃一1,y),C B=(%2 L 竺)，所以E C B=(X 1-1)(X 2-1)+2=8-9(卬2-9+了 必（1+尸必一/（pi+及）+向=(1+尸 =竺 *三+竺=0,所以以_L而.7 9+18t2 3 9+18t2 9因 为 线 段 的 中 点 为 M,所以|/8|=2|C M.综上，恒有0 8|=2|C M.考点二(c V2a 2 9空=2,a2=b2+c2,解得=：所以椭圆。的方程为芍+1=Llb =V 2,4 2解析：（2）由题意知直线/斜率存在，设其方程为产=丘+必发#0）,M（xy,V）,N（X2,yz）,Iy =k x +m,x 2 y 2代入消元并整理得：（2 庐+1）/+46x+2 6 2 4=0,+=1，/=（4 痴）2 4 X（23+1）（2 加 之 一 4）=3 2 左 2 8 加?+1 6 0,则 X+X24km 2m2-42k2+1 2k2+l左417+自 N=、+-T,x】_2 X2-2将巾=履+加，/=京 2 +加 代入，整理得：._(kx1+m)(x2-2)+(kx2+m)(x1-2)_ 2kx1x2+(m-2k)(x1+x2)-4m自 M 十自 N 7 TT7，77；.(X1-2)(X2-2)X1X2-2(X1+X2)+4将韦达定理代入化简得：1 黑+2.2(2k+m)2因为直线/过点P(2,-4),所以2 4+机=-4,代入手M+%.4N=2：1 j：黑，得 自N=:对点训练解析:设点尸(X I,m,0(X 2,及),由方=3 旗，F(3,0)可得：(3-xi,一川)=3(必一3,y2),即I Y1$丫2将尸(1 2-3x2,3y2),0(X2,)代入双曲线c 方程得(12-3上)2 _ (-3%)2 _ 4 5 一 _ y L=1 I 4 5消去丁 2,解得：%2=J,9又点P在X 轴上方，.点。在入轴下方，歹 2=一吧也9 。（半,一 呼）,殖=2 鱼,.直线/的方程为2 V 2 x-j/-6 V 2=0.（2）证明：.过右焦点下的直线/与双曲线C的右支交于尸，。两点，尸（3,0）,，可设直线/的方程为 x=m y+3,P（my+3,y）,Q（my2+3,及）,x=m y+3x2 _ y2 _,消去 x 整理得：（5?24 1+3 0 切+2 5=0,4 5 则5mJ，#0 解 得.老 接,=9 00m2-4 x 2 5 x(5 m2-4)0 鼾5 s +yi30m _ 255m2-4，J】*5m2-4 又 4（2,0）,BQ,0）,.kAP=ki=-f kBQ=k 2=-,m yt+5 m y2+l.善=哗3=巴 生 红，又 叫 吸=牛=_如+如，k2 y2（my1+5）z z 5m2-4 6 z 7,”）+外,即号为定值_ g.k z-7（yi+yz）+5 y2 5 Kz 5考点三例 3解析：（1）因过椭圆的右焦点尸（c,0）有且仅有一条直线与圆C2：/+=2相切，则点尸（c,0）在圆C 2：/+产=2上，即，=2,而椭圆C i 的离心率e=：=M 强 解得a=y/3,则 h2=a2c2=1,所以椭圆C 1 的标准方程为9+炉=1；解析：（2）圆 C 2：/+产=2与y 轴的正半轴交于点P（o,V2）,依题意，设 直 线/的 方 程 为（&#0）,A,8两点的坐标分别为（为，州），（乃，/）,由N B P O=Z A P O知 直 线8尸斜率心户与41sp互为相反数，又自户=上士,依户=在士，Xi X2即%*2=0,化简整理得：X2（yi V2）+xi（y2V2）=0,X1 X2又yi=A xi+机，y2=kxi+m,于是得 2 A xi%2+（m-鱼）（为+工2）=0,由1 1 +言”消去 丁 得：（3 k+1）+6 M x+3/3=0,则 X 1+X 2=一兼T p XX2 3m2-33k2+1从而有2 人碧舒+（加一班）（一点三）=（）,即2 片（3加23）6 加?（加一或）=0,解得加=OK T1 JK T1/此时直线/的方程为、=米+号，所以直线/恒过定点（0,日）.对点训练解析：（1）设 P（x,y）,由题意可得：嶙2）：+严=咨卜臼 3即仃 X V（x-2）2+y2=2|x-1|两边同时平方整理可得：荒一炉=1，所以曲线C 的方程为：?一炉=1；(2)若直线八，2斜率都存在且不为0,设 八：yk(x-2),则 小y-x-2),由L 可得：(3乒I?12乃工+123+3=0,当3居一 1=0 时，即公，方程为一4 x+7=0,此时只有一解，不符合题意，当 3/T K 0 时,A=1 4 4 -4(3 -1)(12+3)=12(+1)0,由韦达定理可得：制+必=裳，所以点M的横坐标为血=轴+&)=著;，3 k2-1 2 /3k2-l代入直线/i：卜=的一2)可得：、必=左3 -2)=费y 2)=段p所 以 线 段 的 中 点 (告，含)，6用一 9替换上可得到=产k谟T_ 2=六，孙=社=言，所以线段S7的中点N(氏，言)，kz2k-2k _ c、-，Q 2 k(3-k 2)+2 k(3k J)2 k当*1时 kMN-6箕6 一点汩R蒜市二i)一赤K3k2-1 3-k2直线MN的方程为：什言=岛G-六)，I f f l -T 4 0 2 k 2 k 6 2 k 2 k 2 k r 6 ,.1 2 k整 理 可行：y -3(i-k2)X-3(1*).3-k2 -3-k2 -3(1*尸-3-k2|_3(I-k2)+1 -3(l-k2)X2 k 9-3 k2 _ 2 k、3-k2 3(l-k2)-3(l-k2rX-此时直线M N 过定点(3,0),若k=时，则 M(3,1),N(3,-1),或 M(3,-1),N G，I),直线 MV 的方程为 x=3,此时直线M N 也过点(3,0),若直线/i,/2中一个斜率不存在，一个斜率为0,不妨设人斜率为0,则 人：V=0,h-.x=2,此时直线M N 的方程为y=0,此时直线M V 也过点(3,0),综上所述：直线M N 过定点(3,0),