2022届北京高三下学期联考数学试题含解析.pdf

2021-2022高 考 数 学 模 拟 试 卷 注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号、考 场 号 和 座 位 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上。用 2B铅 笔 将 试 卷 类 型（B）填 涂 在 答 题 卡 相 应 位 置 上。将 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 右 上 角 条 形 码 粘 贴 处 o2.作 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 2B铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 选 项 的 答 案 信 息 点 涂 黑；如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案。答 案 不 能 答 在 试 题 卷 上。3.非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 指 定 区 域 内 相 应 位 置 上；如 需 改 动，先 划 掉 原 来 的 答 案，然 后 再 写 上 新 答 案；不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液。不 按 以 上 要 求 作 答 无 效。4.考 生 必 须 保 证 答 题 卡 的 整 洁。考 试 结 束 后，请 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.已 知 圆 锥 的 高 为 3,底 面 半 径 为 石，若 该 圆 锥 的 顶 点 与 底 面 的 圆 周 都 在 同 一 个 球 面 上，则 这 个 球 的 体 积 与 圆 锥 的 体 积 的 比 值 为（）5343A.B.32925D.92.用 电 脑 每 次 可 以 从 区 间（0,3）内 自 动 生 成 一 个 实 数，且 每 次 生 成 每 个 实 数 都 是 等 可 能 性 的.若 用 该 电 脑 连 续 生 成 3 个 实 数，则 这 3 个 实 数 都 小 于 1的 概 率 为（）3.在 复 平 面 内，复 数 z=a+初（。，对 应 向 量 应（O 为 坐 标 原 点），设 卜 乙 以 射 线 Ox为 始 边，OZ为 终 边 旋 转 的 角 为 凡 则 z=r（cose+isin8）,法 国 数 学 家 棣 莫 弗 发 现 了 棣 莫 弗 定 理：4=（cosq+isin6J,z2=5(cosq+isinq),则=4与 cos(4+6)2)+zsin(6+ft),由 棣 莫 弗 定 理 可 以 导 出 复 数 乘 方 公 式:r(cos0+isin);=rn(cosn0+isinn0),已 知 z=(指+i),则 忖=()A.2 G B.4 C.8有 D.164.已 知 a=5,0=logq逐/=logs 2，则 a，c 的 大 小 关 系 为()A.abc B.a c b C.b a c D.c ba5.已 知 耳，工 分 别 为 双 曲 线 C：x2 y2=l（a 0/0）的 左、右 焦 点，过 月 的 直 线/与 双 曲 线 C 的 左、右 两 支 分 别.18 Al 4交 于 A,8 两 点，若 48 BF?=。，,二=1，|A引 5则 双 曲 线 C 的 离 心 率 为（)A.V13 B.4i _ i6.设 z=：；r+2i,贝!J|z|=1+1C.2D.61 LA.0 B.-C.1 D.V22x+2y27.已 知 实 数 x,y 满 足 约 束 条 件 y xKl，若 z=2 x-y 的 最 大 值 为 2,则 实 数 的 值 为（）y+lkx5 7A.1 B.-C.2 D.-3 38.已 知 向 量=（1,0）,B=（l,百），则 与 2ZB 共 线 的 单 位 向 量 为（）9.一 小 商 贩 准 备 用 5（）元 钱 在 一 批 发 市 场 购 买 甲、乙 两 种 小 商 品，甲 每 件 进 价 4 元，乙 每 件 进 价 7元，甲 商 品 每 卖 出 去 1件 可 赚 1元，乙 商 品 每 卖 出 去 1件 可 赚 1.8元.该 商 贩 若 想 获 取 最 大 收 益，则 购 买 甲、乙 两 种 商 品 的 件 数 应 分 别 为（）A.甲 7件，乙 3件 B.甲 9件，乙 2 件 C.甲 4 件，乙 5 件 D.甲 2 件，乙 6件 10.已 知 斜 率 为 A 的 直 线/与 抛 物 线 交 于 A,B 两 点,线 段 A 8 的 中 点 为（加 0）,则 斜 率 A 的 取 值 范 围 是（）A.B.C.（1,+）D.1,+）11.中 国 古 代 数 学 著 作 算 法 统 宗 中 有 这 样 一 个 问 题；“三 百 七 十 八 里 关，初 行 健 步 不 为 难，次 后 脚 痛 递 减 半，六 朝 才 得 到 其 关，要 见 每 朝 行 里 数，请 公 仔 细 算 相 还 其 意 思 为：“有 一 个 人 走 了 378里 路，第 一 天 健 步 走 行，从 第 二 天 起 脚 痛 每 天 走 的 路 程 是 前 一 天 的 一 半，走 了 6 天 后 到 达 目 的 地，求 该 人 每 天 走 的 路 程.”由 这 个 描 述 请 算 出 这 人 第 四 天 走 的 路 程 为（）A.6 里 B.12 里 C.24 里 D.48 里 12.若 干 年 前，某 教 师 刚 退 休 的 月 退 休 金 为 6000元，月 退 休 金 各 种 用 途 占 比 统 计 图 如 下 面 的 条 形 图.该 教 师 退 休 后 加 强 了 体 育 锻 炼，目 前 月 退 休 金 的 各 种 用 途 占 比 统 计 图 如 下 面 的 折 线 图.已 知 目 前 的 月 就 医 费 比 刚 退 休 时 少 100元，则 目 前 该 教 师 的 月 退 休 金 为（）.二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。13.能 说 明“若/(x+l)l 时，g(x)0；(HI)确 定 a 的 所 有 可 能 取 值，使 得 f(x)g(x)在 区 间(1,+oo)内 恒 成 立.18.(12 分)已 知 二，二 C 二，设 函 数 二(二)=二 二 一 二 二 一 二、/二；+/若 二=。，求 二 U)的 单 调 区 间：()当 二 C 0,+为 时，二(二)的 最 小 值 为 0,求 二+、3二 的 最 大 值.注：二=2,N828为 自 然 对 数 的 底 数.19.(12分)如 图 为 某 大 江 的 一 段 支 流，岸 线 与 4 近 似 满 足 4 4,宽 度 为 7 k m.圆。为 江 中 的 一 个 半 径 为 2初?的 小 岛，小 镇 A 位 于 岸 线 4上，且 满 足 岸 线 4,O A,O A=3 k m.现 计 划 建 造 一 条 自 小 镇 A 经 小 岛。至 对 岸 的 水 上 通 道 A B C(图 中 粗 线 部 分 折 线 段，8 在 A 右 侧)，为 保 护 小 岛，3 c 段 设 计 成 与 圆。相 切.设 A A B C=7i-eQe.(1)试 将 通 道 A B C 的 长 L 表 示 成。的 函 数，并 指 出 定 义 域；(2)若 建 造 通 道 的 费 用 是 每 公 里 100万 元，则 建 造 此 通 道 最 少 需 要 多 少 万 元？20.(12分)在 国 家“大 众 创 业，万 众 创 新”战 略 下，某 企 业 决 定 加 大 对 某 种 产 品 的 研 发 投 入.为 了 对 新 研 发 的 产 品 进 行 合 理 定 价，将 该 产 品 按 事 先 拟 定 的 价 格 试 销，得 到 一 组 检 测 数 据 如 表 所 示:试 销 价 格 X 阮)4 5 6 7 8 9产 品 销 量 y(件)89 83 82 79 74 67已 知 变 量 X，y 且 有 线 性 负 相 关 关 系，现 有 甲、乙、丙 三 位 同 学 通 过 计 算 求 得 回 归 直 线 方 程 分 别 为:甲 y=4x+53；乙=Tx+105；丙 y=-4.6x+104,其 中 有 且 仅 有 一 位 同 学 的 计 算 结 果 是 正 确 的.(1)试 判 断 谁 的 计 算 结 果 正 确？(2)若 由 线 性 回 归 方 程 得 到 的 估 计 数 据 与 检 测 数 据 的 误 差 不 超 过 1,则 称 该 检 测 数 据 是“理 想 数 据”，现 从 检 测 数 据 中 随 机 抽 取 3个，求“理 想 数 据”的 个 数 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.21.(12 分)设 函 数/(x)=|x+3,g(x)=|2x-l|.(1)解 不 等 式/(x)以+4对 任 意 的 实 数“恒 成 立，求。的 取 值 范 围.22.(10 分)函 数/(x)=or-ln(x+l),g(x)=sinx,且/(x).O恒 成 立.(1)求 实 数。的 集 合(2)当 a e M 时，判 断 了。)图 象 与 g(x)图 象 的 交 点 个 数，并 证 明.(参 考 数 据：In2 ao.69,L.77)参 考 答 案 一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.B【解 析】计 算 求 半 径 为 R=2,再 计 算 球 体 积 和 圆 锥 体 积，计 算 得 到 答 案.【详 解】如 图 所 示：设 球 半 径 为 R,则 R 2=(3 R)2+J,解 得 R=2.4,32 1 厂 2 X 32故 求 体 积 为：*=/穴=丁,圆 锥 的 体 积：匕=乃 6 x3=3万，故/=故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 了 圆 锥，球 体 积，圆 锥 的 外 接 球 问 题，意 在 考 查 学 生 的 计 算 能 力 和 空 间 想 象 能 力.2.C【解 析】由 几 何 概 型 的 概 率 计 算，知 每 次 生 成 一 个 实 数 小 于 1 的 概 率 为:，结 合 独 立 事 件 发 生 的 概 率 计 算 即 可.【详 解】i/1 y 1 每 次 生 成 一 个 实 数 小 于 1的 概 率 为-.这 3个 实 数 都 小 于 1的 概 率 为-=.3 27故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率，考 查 学 生 基 本 的 计 算 能 力，是 一 道 容 易 题.3.D【解 析】根 据 复 数 乘 方 公 式：r(cose+isine)=r(cosne+isin e),直 接 求 解 即 可.【详 解】二 16 cos+zsin I 6 6)=16 cos4x+zsin4x=-8+8/3z,不 卜 八 卜 可=16.故 选：D【点 睛】本 题 考 查 了 复 数 的 新 定 义 题 目、同 时 考 查 了 复 数 模 的 求 法，解 题 的 关 键 是 理 解 棣 莫 弗 定 理，将 复 数 化 为 棣 莫 弗 定 理 形 式，属 于 基 础 题.4.A【解 析】根 据 指 数 函 数 的 单 调 性，可 得 再 利 用 对 数 函 数 的 单 调 性，将 c 与 I,1对 比，即 可 求 出 结 论.【详 解】1 7-1由 题 知 a=55 5=l,lZ?=log4V5 log42=-,c=log,2 bc.故 选:A.【点 睛】本 题 考 查 利 用 函 数 性 质 比 较 大 小，注 意 与 特 殊 数 的 对 比，属 于 基 础 题.5.A【解 析】由 已 知 得 忸|=4 x,由 已 知 比 值 得|伤|=5x,|AB|=3x,再 利 用 双 曲 线 的 定 义 可 用”表 示 出|A制，AF2,用 勾 股 定 理 得 出 a，c 的 等 式，从 而 得 离 心 率.【详 解】.忸 用 4 AB BF2Q,ABO,BF2 0,.-.ZABF2=90.又 r-e r=-I|5.一.可 令 忸 闾=4 x,则|A勾=5乂 谡|=3儿 设|A/j|=r,得=怛 用-忸 闾=2 a,即 5x-7=（3x+r）-4x=2a,解 得/=3a,x=a,：.BF2=4a,BFi=AB+Al=6a,由 忸 E+忸 闾 2=忻 6 得（6a）2+（4a）2=Qc）2,c2=1 3 a2,c=J由，该 双 曲 线 的 离 心 率 6=:屈.故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 求 双 曲 线 的 离 心 率，解 题 关 键 是 由 向 量 数 量 积 为 0 得 出 垂 直 关 系，利 用 双 曲 线 的 定 义 把 双 曲 线 上 的 点 A B 到 焦 点 的 距 离 都 用。表 示 出 来，从 而 再 由 勾 股 定 理 建 立 名。的 关 系.6.C【解 析】分 析：利 用 复 数 的 除 法 运 算 法 则：分 子、分 母 同 乘 以 分 母 的 共 扼 复 数，化 简 复 数 二，然 后 求 解 复 数 的 模.详 解:z=+2i1+i（匕 i）（匕 i）+2i（j）（l+i）=-i+2i=i,则|z|=l,故 选 C.点 睛：复 数 是 高 考 中 的 必 考 知 识，主 要 考 查 复 数 的 概 念 及 复 数 的 运 算.要 注 意 对 实 部、虚 部 的 理 解，掌 握 纯 虚 数、共 钝 复 数 这 些 重 要 概 念，复 数 的 运 算 主 要 考 查 除 法 运 算，通 过 分 母 实 数 化 转 化 为 复 数 的 乘 法，运 算 时 特 别 要 注 意 多 项 式 相 乘 后 的 化 简，防 止 简 单 问 题 出 错，造 成 不 必 要 的 失 分.7.B【解 析】画 出 约 束 条 件 的 可 行 域，利 用 目 标 函 数 的 几 何 意 义，求 出 最 优 解，转 化 求 解 Z 即 可.【详 解】。（A。心 1、+1 L C X?二 7，要 使 得 z 能 取 到 最 大 值，贝 必 1，当 1 左 4 2k l k-）+1 2 k+）时，x 在 点 8 处 取 得 最 大 值，即 2（1 一（1+1）=2,得 k=；当 攵 2时，z在 点 C 处 取 得 最 大 值，即 相 故 选:B.【点 睛】本 题 考 查 由 目 标 函 数 最 值 求 解 参 数 值,数 形 结 合 思 想，分 类 讨 论 是 解 题 的 关 键,属 于 中 档 题.8.D【解 析】根 据 题 意 得，2-坂=（1,-百）设 与 2-五 共 线 的 单 位 向 量 为（乂 丁），利 用 向 量 共 线 和 单 位 向 量 模 为 L 列 式 求 出 X，）即 可 得 出 答 案.【详 解】因 为。=(1,0),b=(1,3)9 则 2万=(2,。)，所 以 2 力=（1,用,设 与 y-B共 线 的 单 位 向 量 为（x,y）,则-3 x-y=02 2 ix+y=ix=2解 得 或 ix=2石所 以 与 2力 共 线 的 单 位 向 量 为 自-雪 或 故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 向 量 的 坐 标 运 算 以 及 共 线 定 理 和 单 位 向 量 的 定 义.9.D【解 析】由 题 意 列 出 约 束 条 件 和 目 标 函 数，数 形 结 合 即 可 解 决.【详 解】4%+7y 利 润 为 z元，由 题 意,z=x+l.Sy,.x,y e N,画 出 可 行 域 如 图 所 示，【点 睛】本 题 考 查 线 性 目 标 函 数 的 线 性 规 划 问 题，解 决 此 类 问 题 要 注 意 判 断 x,)是 否 是 整 数，是 否 是 非 负 数，并 准 确 的 画 出 可 行 域，本 题 是 一 道 基 础 题.10.C【解 析】设 4 N，%),8(，y2),设 直 线/的 方 程 为：y=kx+b,与 抛 物 线 方 程 联 立，由 A 0 得 初 1,利 用 韦 达 定 理 结 合 已 知 条 件 得=2-二 A-2，根=2：,代 入 上 式 即 可 求 出 的 取 值 范 围.k k【详 解】设 直 线/的 方 程 为：y=kx+h,A（x,%）,B（X2,必），v-kx+b联 立 方 程，消 去)得：k2x2+(2kb-4)x+h2=0,y=4x/.=(2妨 一 4 一 4父/0,:.kb 0 9.Z 0,把 人=马 上 代 入 kb l,得 2公 1,k二.左 2 1,；.左 1,故 选：C【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系，考 查 了 韦 达 定 理 的 应 用，属 于 中 档 题.11.C【解 析】1%（1一 不）设 第 一 天 走 田 里，则 4 是 以 外 为 首 项，以 不 为 公 比 的 等 比 数 列，由 题 意 得$6=-%=3 7 8,求 出 4=192（里 21-12）,由 此 能 求 出 该 人 第 四 天 走 的 路 程.【详 解】设 第 一 天 走 为 里，则 4 是 以 4 为 首 项，以;为 公 比 的 等 比 数 列,由 题 意 得：56=-4=378,1 2解 得 4=192（里），4=4 x（g）3=192x（=24（里）.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 等 比 数 列 的 某 一 项 的 求 法，考 查 等 比 数 列 等 基 础 知 识，考 查 推 理 论 证 能 力、运 算 求 解 能 力，考 查 化 归 与 转 化 思 想、函 数 与 方 程 思 想，是 基 础 题.12.D【解 析】设 目 前 该 教 师 的 退 休 金 为 x 元，利 用 条 形 图 和 折 线 图 列 出 方 程，求 出 结 果 即 可.【详 解】设 目 前 该 教 师 的 退 休 金 为 X 元，则 由 题 意 得：6000 x15%-XX1O%=1.解 得 x=2.故 选 D.【点 睛】本 题 考 查 由 条 形 图 和 折 线 图 等 基 础 知 识 解 决 实 际 问 题，属 于 基 础 题.二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5分，共 20分。13.答 案 不 唯 一，如），=一 卜：一；）【解 析】根 据 对 基 本 函 数 的 理 解 可 得 到 满 足 条 件 的 函 数.【详 解】由 题 意，不 妨 设=,(1 Y(|Y 1则/(%+1)-/(幻=一 x+1+x=-2x 0 在(0,+8)都 成 立,4J I 4J 2但 是.f（x）在 0,是 单 调 递 增 的，在（；,+8 是 单 调 递 减 的,说 明 原 命 题 是 假 命 题.所 以 本 题 答 案 为 y=-，答 案 不 唯 一，符 合 条 件 即 可.【点 睛】本 题 考 查 对 基 本 初 等 函 数 的 图 像 和 性 质 的 理 解，关 键 是 假 设 出 一 个 在（0,+）上 不 是 单 调 递 减 的 函 数，再 检 验 是 否 满 足 命 题 中 的 条 件，属 基 础 题.414.-5【解 析】基 本 事 件 总 数=盘=10,这 3个 点 共 线 的 情 况 有 两 种 A O C 和 80。，由 此 能 求 出 这 3 个 点 不 共 线 的 概 率.【详 解】解：。为 矩 形 A B C D 的 对 角 线 的 交 点，现 从 A，B,C,D,。这 5个 点 中 任 选 3个 点，基 本 事 件 总 数=10,这 3 个 点 共 线 的 情 况 有 两 种 A O C 和 B O D,2 4这 3 个 点 不 共 线 的 概 率 为 p=l-=|.4故 答 案 为：y.【点 睛】本 题 考 查 概 率 的 求 法，考 查 对 立 事 件 概 率 计 算 公 式 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，属 于 基 础 题.15.15【解 析】13（q+小）结 合 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式，可 得，=孕=生，求 解 即 可.场 13瓦 13（v y 几【详 解】由 题 意,几=13（q 十%）=13%，几=13伯+九）=13%2 2S因 为 有 3+5%_ 13%_%_ 3x13+5 _ 11“+7，所 以 百 一 西 一 刀-13+7 一.故 答 案 为:费.【点 睛】本 题 考 查 了 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 及 等 差 中 项 的 应 用，考 查 了 学 生 的 计 算 求 解 能 力,属 于 基 础 题.16.V2【解 析】根 据 题 意，利 用 余 弦 定 理 求 得 c=2,再 运 用 三 角 形 的 面 积 公 式 即 可 求 得 结 果.【详 解】解：由 于 a=sin A=b=底，3a b,A cos A=3由 余 弦 定 理 得 逅=一+十 一/，解 得 c=2,3 2bc C:.AA S C的 面 积 S=x2x V6 x V2.2 3故 答 案 为：血.【点 睛】本 题 考 查 余 弦 定 理 的 应 用 和 三 角 形 的 面 积 公 式，考 查 计 算 能 力.三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(I)当 x e(0,=)时，/W0,f(x)单 调 递 增；(II)详 见 解 析；(III)a e 1,+l),利 用 导 数 判 断 函 数(x)的 单 调 性，从 而 求 解 a 的 值.试 题 解 析：(I)fx)=2ax-=2 a x-1(x o).X X当 a KO时，/(x)在(0,+oo)内 单 调 递 减.当 a 0时，由/(x)=0有 x=后.当 x e(0,-41a)时，/(x)0,x)单 调 递 增.d 2a(n)令 s(x)=e*T-x,则 s(x)=e*T-1.当 xl 时，s(x)0,所 以 e*Tx,从 而 g(x)=，-Jr 0.x e(IH)由(II),当 xl 时，g(x)0.当 aWO,xl 时，/U)=a(x2-l)-lnx g(x)在 区 间(L+oo)内 恒 成 立 时，必 有 a 0.1 1当 1.由(I)有/(忐)0,所 以 此 时/(X)g(x)在 区 间(1,+8)内 不 恒 成 立.当 时，令(x)=f(x)-g(x)(X1).、t,r-L、C 1 1 1-x 1 1 1 x 2x+1 2x+1当 xl 时，h(x)=2ax+=-e x+r=-0.x x x x x x x因 此，(划 在 区 间(1,+8)单 调 递 增.又 因 为(1)=0,所 以 当 1 时，/?(%)=/(x)-g(x)0,即 因 x)g(x)恒 成 立.综 上，ae-,+00).2【考 点】导 数 的 计 算，利 用 导 数 求 函 数 的 单 调 性，解 决 恒 成 立 问 题【名 师 点 睛】本 题 考 查 导 数 的 计 算，利 用 导 数 求 函 数 的 单 调 性，解 决 恒 成 立 问 题，考 查 学 生 的 分 析 问 题、解 决 问 题 的 能 力 和 计 算 能 力.求 函 数 的 单 调 性，基 本 方 法 是 求/(X),解 方 程/(刈=0,再 通 过/)的 正 负 确 定 f(x)的 单 调 性;要 证 明 不 等 式/(x)g(x),一 般 证 明/(x)-g(x)的 最 小 值 大 于 0,为 此 要 研 究 函 数(x)=/(x)-g(x)的 单 调 性.本 题 中 注 意 由 于 函 数(X)的 极 小 值 没 法 确 定，因 此 要 利 用 已 经 求 得 的 结 论 缩 小 参 数 取 值 范 围.比 较 新 颖，学 生 不 易 想 到,有 一 定 的 难 度.1 8.详 见 解 析；（）八 二【解 析】求 导 得 到 二（二）=二 二 一 二 讨 论 二 M。和 二。两 种 情 况，得 到 答 案.（）二 G）=、二 v 二 一 4 二 NO,故 二+、,弓 二 三 2、二,取 二=誓，二=手，求 导 得 到 单 调 性,得 到 二（二）3=二（9=。，得 到 答 案.【详 解】（/）二（二）=二 二 一 匚 匚 二（匚）=二 二 一 二，当 二 V。时，二（：）=二 二 一 二 2 优 g成 立，函 数 单 调 递 增；当 二。时，二（：）=二 二 一 二=0,Z=I n Z,当 二 c（-K,ln 二）时，二（二）。函 数 单 调 递 减；当 二 e（In二+“）时，二（二）。函 数 单 调 递 增.综 上 所 述：二 w。时，二（二）在 二 上 单 调 递 增；二。时，二（二）在（一 七 工 二）上 单 调 递 减，在（In二+“）上 单 调 递 增.（II）二（二）=二 二-二 二 一 二 J 二；+:。在 二 6。+为 上 恒 成 立；二 Q）=二-g 二 一 二 N 0,故 二+/二 2仁，现 在 证 明 存 在 二 二 二+二=2、匕 使 二（二）的 最 小 值 为 0.取 二=写，二=手，（此 时 可 使 二 G）=0），口（匚）=e 二 一 匚 一 三（匚）=e 二 一 一 二 二=手/,故 当 二 e0,+H）上 时，（匚；+D J 二；+/,e二 2 1,故 二”（二）之 0,二（二 施 二 e 0,+幻 上 单 调 递 增，二）=0,故 二（二）在 消 上 单 调 递 减，在 9+工）上 单 调 递 增，故 二（二 焉=二 G）=0.综 上 所 述：二+二 的 最 大 值 为，二.【点 睛】本 题 考 查 了 函 数 单 调 性，函 数 的 最 值 问 题，意 在 考 查 学 生 的 计 算 能 力 和 综 合 应 用 能 力.,、八、9-3 co s。1 9.(1)L(e)=-sine,定 义 域 是 4,(2)6 0 百 万【解 析】(1)以 A为 原 点，直 线 4为 x轴 建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系，设 AB=a(a 0),利 用 直 线 与 圆 相 切 得 到 2 _3 cos八-，八 一,再 代 入 L=AB+3 C这 一 关 系 中，即 可 得 答 案;sm夕(2)利 用 导 数 求 函 数 的 最 小 值，即 可 得 答 案；【详 解】以 A为 原 点，直 线 4为 x轴 建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系.设 A8=a(a 0),则 8(。,0),0(0,3),/2:y=7.因 为 NABC=z u OO 0 9所 以 直 线 B C 的 方 程 为 y=tan 6(x-,即 x-tan 0-y-a tan 8=0,|一 3 _ Q tan 8 1 0因 为 圆。与 5 c 相 切，所 以 0 方=2,即 3cos 6+asine 2cos。cos。，从 而 得。=在 直 线 8 C 的 方 程 中，令 y=7,得 z=2-3cos 夕 sin。7所 以 B C=A/1+tan2|xft-xc|=1C l H-tan。7 cosB7cos=a 4-sin。7-9cos0 sin。sin。所 以 L=AB+BC=a H-sin。9-3cos6sin。2 2 7i当 a=0 时，cos6=,设 锐 角 4 满 足 cos4=,则 4 6,9 3cos 0所 以 乙 关 于 6 的 函 数 是。）=sin夕,定 义 域 是（2）要 使 建 造 此 通 道 费 用 最 少，只 要 通 道 的 长 度 即 入 最 小.1(。)3sin2。-(9-3cos6)cose _ 3-9cosfsin?。s i n*1 八 n0 2令 L（6）=0,得 cos6=；,设 锐 角 4,满 足 cosq=；g,得&列 表：0（%，a）4（。）0+L(0)减 极 小 值 增 一/八 1 y J COS（7.所 以 6=4 时，L（e）mm=-,所 以 建 造 此 通 道 的 最 少 费 用 至 少 为 6 0 百 万 元.sin（?1 27，3【点 睛】本 题 考 查 三 角 函 数 模 型 的 实 际 应 用、利 用 导 数 求 函 数 的 最 小 值，考 查 函 数 与 方 程 思 想、转 化 与 化 归 思 想，考 查 逻 辑 推 理 能 力、运 算 求 解 能 力.20.（1）乙 同 学 正 确 3（2）分 布 列 见 解 析，（%）=-【解 析】（1）由 已 知 可 得 甲 不 正 确，求 出 样 本 中 心 点 丘,亍）代 入 验 证，即 可 得 出 结 论；（2）根 据（1）中 得 到 的 回 归 方 程，求 出 估 值，得 到“理 想 数 据”的 个 数，确 定“理 想 数 据”的 个 数 X 的 可 能 值，并 求 出 概 率，得 到 分 布 列，即 可 求 解.【详 解】(i)已 知 变 量 匕)具 有 线 性 负 相 关 关 系，故 甲 不 正 确,.=6.5,5=79,代 入 两 个 回 归 方 程，验 证 乙 同 学 正 确,故 回 归 方 程 为：y=-4x+105(2)由(1)得 到 的 回 归 方 程，计 算 估 计 数 据 如 下 表：X4 5 6 7 8 9y 89 83 82 79 74 67y89 85 81 77 73 69“理 想 数 据”有 3 个，故“理 想 数 据”的 个 数 X 的 取 值 为：0,1,2,3.尸(x=0)=等=卷，尸=1)=等 P（X=2）=i=N,P（X=1）=）C；20 C；120于 是“理 想 数 据”的 个 数 X 的 分 布 列 X 0 1 2 3P1209209201201 a a 1 Q,1.E（X）=0 x+lx+2x+3x=-,20 20 20 20 2【点 睛】本 题 考 查 样 本 回 归 中 心 点 与 线 性 回 归 直 线 方 程 关 系，以 及 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 和 期 望，意 在 考 查 逻 辑 推 理、数 学 计 算 能 力，属 于 中 档 题.2，21.(1)(oo,)u(4,+o)；(-1,4.【解 析】试 题 分 析：(1)将 绝 对 值 不 等 式 两 边 平 方，化 为 二 次 不 等 式 求 解.(2)将 问 题 化 为 分 段 函 数 问 题，通 过 分 类 讨 论 并 根 据 恒 成 立 问 题 的 解 法 求 解 即 可.试 题 解 析:(1)由 已 知，可 得 k+3|2x,即|x+3|2 x-l|2.整 理 得 10尤 一 8 0,解 得 尤 卜，或 x卜.故 所 求 不 等 式 的 解 集 为 1-00,W（4,+00）.4x 5,x W 3,由 已 知，设/z(x)=2/(x)+g(x)=2|x+3|+|2x-1|=*7,3 x+4恒 成 立,即 方-4%一 9,*/x 3-=-4 恒 成 乂.x x.(A 9、.。4,C I 1,当-3 x j g 时,只 需 7j a r+4恒 成 立,即 0 3 0恒 成 立.一 3。一 3 40只 需-a-3 02解 得 一 1以+4,恒 成 立,2即 ar v4x+l.1 八/x 0,2a 4,且 无 限 趋 近 于 4,X.*.4Z 4.综 上。的 取 值 范 围 是 22.(1)1；(2)2 个，证 明 见 解 析【解 析】(1)要 恒 成 立，只 要“X)的 最 小 值 大 于 或 等 于 零 即 可，所 以 只 要 讨 论 求 解 看 f(x)是 否 有 最 小 值；(2)将/(x)图 像 与 g(x)图 像 的 交 点 个 数 转 化 为 方 程 f(x)=g(x)实 数 解 的 个 数 问 题，然 后 构 造 函 数 夕(X)=/(x)-g(x),再 利 用 导 数 讨 论 此 函 数 零 点 的 个 数.【详 解】(1)/(X)的 定 义 域 为(1,+8),因 为 7(%)=a 一,x+11。当 4,0时，/()0,/()在 女(0,收)上 单 调 递 减，3xe(0,母)时，使 得/(x)/(0)=0,与 条 件 矛 盾；2。当。0 时，由/(x)0,得 x L l,所 以/(x)在 11,1 1上 单 调 递 减，a a y a)在，一 1,+8)上 单 调 递 增，即 有 篇,。)=/&一 1=1 一 a+l n a,由/(x).O恒 成 立，所 以 1a+lna.O恒 成 立,J 1 Z7令 h(a)=1 一 a+In a(a 0),hf(a)=-1+=-,a a若 0 a 0,(a)l,(a)O,(a)/l)=O；而 a=l时，/?(a)=0,要 使 l-a+lna.O恒 成 立，故”1.(2)原 问 题 转 化 为 方 程/(x)=g(x)实 根 个 数 问 题，当。=1时，f(x)图 象 与 g(x)图 象 有 且 仅 有 2 个 交 点，理 由 如 下：由/(X)=g(犬)，即 x-ln(X+l)-sin%=。,令 0(%)=%-111(1+1)-0111%,因 为。(0)=。，所 以 x=0 是。(犬)=。的 一 根；(px)=1 5-cosx,x+11。当 一 1 v x v O 时，1-j-(0,cosxO,所 以(x)0(0)=0,即(x)=0在(-1,0)上 无 实 根;2。当 0 x 0,(x+1)-则 e(x)在(0,3)上 单 调 递 递 增，又 d2-0,(0)=-10,万+2所 以 0*)=0在(0,3)上 有 唯 一 实 根 x。,e 0,且 满 足 1 一 一 I 2 J%o+1=cos xQ,当 0 匕,不 时，(px)0，(x)在(O,X(J上 单 调 递 减，此 时 00)0(0)=0,0(犬)=()在(0,%0上 无 实 根；当 x0 x()(x)在(与,3)上 单 调 递 增，=e271+1t2加;加 0,2故(p(x)=x-ln(l+x)-sin x=x-ln(I+x)-1+(1-sin%)0,所 以 0(x)=0 在 3,+)上 无 实 根.综 合 1。，2。，3。，故。(x)=0有 两 个 实 根，即/(x)图 象 与 g(x)图 象 有 且 仅 有 2个 交 点.【点 睛】此 题 考 查 不 等 式 恒 成 立 问 题、函 数 与 方 程 的 转 化 思 想，考 查 导 数 的 运 用，属 于 较 难 题.