2022年中考数学函数类综合问题.pdf

【中 考 命 题 猜 想 8】函 数 类 综 合 问 题【命 题 趋 势】首 先 告 诉 各 位 同 学 二 次 函 数 是 中 考 必 考 内 容 之 一，往 往 也 是 中 考 数 学 的 压 轴 大 戏.涉 及 题 目 数 量 一 般 3-4题，其 中 有 1-2道 大 题.所 占 分 值 大 约 25分 左 右.二 次 函 数 在 中 考 数 学 中 常 常 作 为 压 轴 题，而 在 压 轴 题 中，一 般 都 设 计 成 三 至 四 小 问，其 中 第 一、二 小 问 比 较 简 单，最 后 一 至 两 问 难 度 很 大.二 次 函 数 在 考 查 时，往 往 会 与 一 次 函 数、反 比 例 函 数、圆、三 角 形、四 边 形 相 结 合，综 合 性 很 强，技 巧 性 也 很 强，同 时 计 算 量 一 般 很 大，加 上 二 次 函 数 本 身 就 比 较 抽 象，这 就 导 致 了 题 目 得 分 率 非 常 低.其 实 我 们 只 要 能 熟 练 掌 握 二 次 函 数 的 基 本 知 识，同 时 掌 握 一 些 常 见 的 题 型，提 高 对 于 二 次 函 数 的 得 分，不 是 什 么 难 事，多 多 练 习，多 多 总 结.【满 分 技 巧】1.通 过 思 维 导 图 整 体 把 握 二 次 函 数 所 有 考 点 1）图 象 与 性 质：（函 数 的 三 种 表 达 式、开 口 问 题、顶 点 坐 标、对 称 轴、最 值、增 减 性、图 象 的 平 移 等）；2）与 一 元 二 次 方 程（不 等 式）结 合（交 点 坐 标 与 方 程 的 根 的 关 系）；3）与 实 际 生 活 结 合（用 二 次 函 数 解 决 生 活 中 的 最 值（范 围）问 题）2.二 次 函 数 的 压 轴 题 主 要 考 向 1）存 在 性 问 题（全 等 与 相 似、特 殊 三 角 形（直 角、等 腰、等 边）、平 行 四 边 形（含 特 殊 平 行 四 边 形）等）。2）最 值 问 题（线 段、周 长、面 积）3.熟 练 掌 握 各 种 常 见 有 关 二 次 函 数 的 题 型 和 应 对 策 略 1）线 段 最 值（周 长）问 题 斜 化 直 策 略 2）三 角 形 或 多 边 形 面 积 问 题 铅 垂 高、水 平 宽 策 略 3）线 段 和 最 小 值 问 题 胡 不 归+阿 氏 圆 策 略 问 题 4）线 段 差 三 角 形 三 边 关 系 或 函 数 5）相 似 三 角 形 存 在 性 问 题 根 据 相 等 角 分 类 讨 论 6）平 行 四 边 形 存 在 性 问 题 中 点 公 式+平 移 法 例 1.已 知 二 次 函 数 y=-2f+3x+2 与 x 轴 交 于 4 8 两 点，与 y 轴 交 于 点 C.下 列 说 法 正 确 的 是（）线 段 A C 的 长 度 为 姮；抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=尸 是 此 抛 物 线 的 对 称 轴 上 的 一 个 动 点，当 P2 4点 坐 标 为 弓 卜 寸，|%-尸。的 值 最 大；若 M 是 X 轴 上 的 一 个 动 点，N 是 此 抛 物 线 上 的 一 个 动 点，如 果以 4 C,M,N 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形，满 足 条 件 的 历 点 有 4 个.【答 案】C【解 析】【分 析】求 出 抛 物 线 与 坐 标 轴 的 交 点 A,C 的 坐 标，利 用 两 点 间 距 离 求 出 AC；根 据 抛 物 线 对 称 轴 的 求 法 即 可 求 3出 对 称 轴：延 长 A C,与 直 线 x 交 于 点 P,求 出 A C的 表 达 式，可 得 点 P坐 标；结 合 图 像 画 出 符 合 条 4件 的 平 行 四 边 形，从 而 判 断 点 P的 个 数.【详 解】解：在 y=-2/+3x+2 中,令 x=0,则 y=2,令 y=0,则-2/+3 彳+2=0,解 得 x=-；或 2,.4.A(-L 0),C(0,2),22AAC=-0I+(0-2)2=W，正 确;23 3-2 x(-2)-4 13.抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 户“正 确;延 长 A C,与 对 称 轴 交 于 点 P,此 时 的 值 最 大，VA(-；,0),C(0,2),设 直 线 AC 的 表 达 式 为：y=mx+n,0=-m+n,j 机=4则 2，解 得：。，70 直 线 A C的 表 达 式 为 产 4x+2,3令 工 二 则 y=5,4.当 点 P 的 坐 标 为（Q,5）时，|R4-P C|的 值 最 大，错 误；如 图，若 以 A,C,M,N 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形，当 A C为 边 时，有 ACMIN I,ACM2N2,ACM 3N3,共 3 个 平 行 四 边 形,当 A C为 对 角 线 时，有 A M C N i,共 1个 平 行 四 边 形，.符 合 条 件 的 点 M 有 4 个，正 确，故 选 C.【点 睛】本 题 考 查 了 二 次 函 数 的 图 像 和 性 质，平 行 四 边 形 的 性 质，最 短 路 径 问 题，知 识 点 较 多，综 合 性 较 强，解 题 的 关 键 是 从 图 像 出 发，利 用 数 形 结 合 的 思 想 解 决 问 题.例 2-如 图，抛 物 线 旷=如 2-5+4 与 直 线 y=g x+b经 过 点 A（2,0）,且 相 交 于 另 一 点 8,抛 物 线 与 丫 轴 交 于 点 C,与 x 轴 交 于 另 一 点 E,过 点 N 的 直 线 交 抛 物 线 于 点 且“N y 轴，连 接 8M,8C,AC,当 点 N 在 线 段 4 B上 移 动 时（不 与 A、B重 合），下 列 结 论 正 确 的 是（）A.M N+B N A B B.ZBAC=ZBAE71C.Z A C B-Z A N M=-N A B C D.四 边 形 A C 8W的 最 大 面 积 为 132【答 案】C【解 析】【分 析】25 5(1)当 M N过 对 称 轴 的 直 线 时，解 得：BN=,I T ij M N=-,BN+MN=5=AB；6 6(2)由 BC/7x$li(B,C 两 点 y 坐 标 相 同)推 知 N B A E=N C B A,而 A A B C 是 等 腰 三 角 形，N C B A*/B C A,故 NBAC=NBAE 错 误；(3)如 上 图，过 点 A 作 A D L B C、B E JL A C,由 A B C是 等 腰 三 角 形 得 到：E B是 N A B C的 平 分 线，ZACB-Z A N M=Z C A D=|ZA B C；9(4)S 四 边 形 ACBM=S Z ABC+S Z A B M,其 最 大 值 为 二.4【详 解】10 4解：将 点 A(2,0)代 入 抛 物 线 尸 ax?-1 X+4与 直 线 产 x+b0 X解 得：a=f b=-,2 in 4 Q设：M 点 横 坐 标 为 m,则 M(m,-m2-m+4)、N(m,m-),3 3 3 3其 它 点 坐 标 为 A(2,0)、B(5,4)、C(0,4),则 A B=B C=5,则 NCAB=NACB,.A B C是 等 腰 三 角 形.5 1 5 2A、当 M N过 对 称 轴 的 直 线 时，此 时 点 M、N 的 坐 标 分 别 为(-,-),(y,由 勾 股 定 理 得：25 5B N=3，而 M N=9，6 6BN+MN=5=AB,故 本 选 项 错 误：B、8(2*轴(B、C 两 点 y 坐 标 相 同)，/.Z B A E=Z C B A,而 ZkABC是 等 腰 三 角 形 不 是 等 边 三 角 形，ZCBA ZBCA,ZBAC=ZBAE 不 成 立，故 本 选 项 错 误:72C、如 上 图，过 点 A 作 ADJ_BC、BE1A C,A B C是 等 腰 三 角 形，A E B是 N A B C的 平 分 线，易 证：Z C A D=Z A B E=|ZABC,T f ij Z A C B-Z A N M=Z C A D=|ZABC,故 本 选 项 正 确；D、S ACBM=S A ABC+SA A B M,S ABC=10,1 9S A ABM=7 M N*(XB-X A)=-nr-7m-10,其 最 大 值 为 了，2 49故 S 四 边 形 ACBM 的 最 大 值 为 10+;=12.25,故 本 选 项 错 误.4故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 的 是 二 次 函 数 综 合 题，涉 及 到 一 次 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征，二 次 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征，抛 物 线 与 X 轴 的 交 点，以 及 等 腰 三 角 形、平 行 线 等 几 何 知 识，是 一 道 难 度 较 大 的 题 目.例 3 直 线 4：y=H+2 与 V 轴 交 于 点 力,直 线 4绕 点“逆 时 针 旋 转 45。得 到 直 线 4,若 直 线 4 与 抛 物 线 y=Y+3 x+2 有 唯 一 的 公 共 点，则 左=.【答 案】1或 3【解 析】【分 析】根 据 题 意 可 知 4，都 经 过 点(0,2),分 别 讨 论 直 线 4 与 y 轴 重 合 或 与 抛 物 线 相 切 两 种 情 况，通 过 添 加 辅 助 线 构 造 全 等 三 角 形 可 求 出 直 线 产 fcr+2上 的 点 坐 标，进 而 求 解.【详 解】解：由 题 意，点 工 的 坐 标 为(。，2),由 图 可 知，过 点 4 的 直 线 中，显 然 平 行 于 抛 物 线 对 称 轴 的 y 轴 与 抛 物 线 73只 有 一 个 公 共 点.设 直 线 4：y=e+2 也 与 抛 物 线 有 唯 一 公 共 点，将 直 线 方 程 y=，nr+2代 入 抛 物 线 方 程 y=/+3x+2,得 x2+(3-/n)x=0,:A=(3-W)2=0,m=3即 宜 线 y=3X+2和 直 线 J,轴 都 与 抛 物 线 有 唯 一 公 共 点，依 题 意 将 直 线 y=3x+2 和 直 线)，轴 绕 点 4(0,2)顺 时 针 旋 转 45即 可 得 到 直 线 4:y=近+2.;ZABF=NEBD，y轴 绕 点 40,2)顺 时 针 旋 转 45即 得 直 线 4：y=x+2,故 此 时*=1；下 面 求 直 线 4：y=3x+2绕 点 4(0,2)顺 时 针 旋 转 45。得：y=履+2：如 图，在 直 线，2：=3X+2 第 一 象 限 图 象 上 任 选 一 个 点 B(a,3a+2),y 轴 和 直 线 乙 分 别 交 于 点 尸，C,过。作 8,8 尸 于 点).3/,.ZABC=ZCDB=ZAFB=90,:.NCBD+NEBD=90,ZBAF+ZABF=90,过 点 8 分 别 作 y 轴 和 直 线 4 的 垂 线，与 74:./B A F=/C B D,vZa4C=45,.ABC是 等 腰 直 角 三 角 形.AB=BC,.AFBg ABDC(AAS),：.BF=CD=a,AF=BD=3a+2-2=3a,点 的 横 坐 标 为 5/+BD=+3a=，纵 坐 标 为 3。+2。=2。+2,点。的 坐 标 为(4凡 2+2),代 入 直 线 4：y=+2,得 2a+2=4ak+2，解 得：k=3,综 上 所 述，=1或 A=1.【点 睛】本 题 考 查 二 次 函 数 与 一 次 函 数 交 点 问 题，解 题 关 键 是 掌 握 函 数 与 方 程 的 关 系，通 过 添 加 辅 助 线 分 类 讨 论 求 解.例 4 如 图，已 知 点 A(3,0),8(1,0),两 点 C(-3,9),。(2,4)在 抛 物 线 y=f 上，向 左 或 向 右 平 移 抛 物 线 后，C,。的 对 应 点 分 别 为 C,以，当 四 边 形 的 周 长 最 小 时，抛 物 线 的 解 析 式 为.【答 案】尸 卜 司【解 析】【分 析】先 通 过 平 移 和 轴 对 称 得 到 当 5、E、C 三 点 共 线 时，B C+B E的 值 最 小，再 通 过 设 直 线 3 C 的 解 析 式 并 将 三 点 坐 标 代 入，当。力 4时，求 出。的 值，最 后 将 四 边 形 周 长 与。=4时 的 周 长 进 行 比 较，确 定。75的 最 终 取 值，即 可 得 到 平 移 后 的 抛 物 线 的 解 析 式.【详 解】解：v A(3,0),C(-3,9),0(2,4),/.AB=3-l-2,C=J(_ 3 _ 2)2+(9-4)2=5五,由 平 移 的 性 质 可 知：CD=CD=5y/2,，四 边 形 的 周 长 为 AB+BC+CZy+OA=2+BC+5V+O A；要 使 其 周 长 最 小，则 应 使 BC+ZTA的 值 最 小；设 抛 物 线 平 移 了。个 单 位，当。0 时，抛 物 线 向 右 平 移，当。0 时，抛 物 线 向 左 平 移;A C(-3+a,9),D(2+a,4),将。向 左 平 移 2 个 单 位 得 到。”(4 4),则 由 平 移 的 性 质 可 知：B D”=AD,将 D(a,4)关 于 x轴 的 对 称 点 记 为 点 E,则 E(a,T),由 轴 对 称 性 质 可 知，B D”=BE,：.BC+DA=BC+BE,当 8、E、C 三 点 共 线 时，3C+B E的 值 最 小，设 宜 线 BC的 解 析 式 为：y=kx+b(k0),.(-3+a)k+6=9Ik+b=076当。工 4 时,/.y=x+a 4 4-a9将 E 点 坐 标 代 入 解 析 式 可 得：-4=3。+-4 4-67解 得：,此 时 BC,+BE=CE=J(-3+a-a,+(9+4=,此 时 四 边 形 A8C。的 周 长 为 43+8。,+。，+。乂=2+5&+71衣；当=4 时，C(l,9),(6,4),4(3,0),以 1,0),此 时 四 边 形 A8C。的 周 长 为：AB+BC+CZ)+DA=2+(9-0)+5V2+A/(6-3)2+(4-0)2=16+5-72;2+5/2+/i7816+5/2,.当。=三 25时，其 周 长 最 小，所 以 抛 物 线 向 右 平 移 了 25个 单 位，所 以 其 解 析 式 为：丫=-1|;故 答 案 为：y=(x-.【点 睛】本 题 综 合 考 查 了 平 移、轴 对 称、一 次 函 数 的 应 用、勾 股 定 理、抛 物 线 的 解 析 式 等 内 容，解 决 本 题 的 关 键 是 理 解 并 确 定 什 么 情 况 下 该 四 边 形 的 周 长 最 短，本 题 所 需 综 合 性 思 维 较 强，对 学 生 的 综 合 分 析 和 计 算 能 力 要 求 都 较 高，本 题 蕴 含 了 数 形 结 合 与 分 类 讨 论 的 思 想 方 法 等.例 5.如 图 1，在 直 角 坐 标 系 中，。是 坐 标 原 点，抛 物 线 y=-骼 d 一 当+8 6 与 X 轴 正 半 轴 交 于 点 4与 V 轴 交 于 点 2，连 接 力 以 点 M,N 分 别 是 04,的 中 点，R t A C D E R t A A B O,且 CDE始 终 保 持 边 E D 经 过 点、M,边 C D 经 过 点、N,边 Q E 与 y 轴 交 于 点，边 8 与 y 轴 交 于 点 G.。杖 BNH图 3（1）填 空：0 4 的 长 是.,ZAB。的 度 数 是,.度;(2)如 图 2,当 DE/AB,连 接 HN.求 证：四 边 形 是 平 行 四 边 形;判 断 点 D 是 否 在 该 抛 物 线 的 对 称 轴 上，并 说 明 理 由;（3）如 图 3,当 边 C D 经 过 点。时，（此 时 点。与 点 G 重 合），过 点。作。Q OB,交 的 延 长 线 于 点。,延 长 E D 到 点 K,使 D K=D N,过 点 K 作 K/OB,在 K/上 取 一 点 P,使 得 NPK=45”（点 尸，。在 直 线 坛）的 同 侧），连 接 尸 0,请 直 接 写 出 尸 0 的 长.【答 案】（1）8；30（2）见 解 析；点 D 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上，理 由 见 解 析;(3)1273【解 析】【分 析】（1）先 求 抛 物 线 与 两 坐 标 轴 的 交 点 坐 标，表 示。力 和 0 8 的 长，利 用 正 切 值 可 得/力 8。=30。；（2）根 据 三 角 形 的 中 位 线 定 理 证 明 N 力，由 两 组 对 边 分 别 平 行 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 得 结 论;如 图 1,作 垂 线 段 O R，根 据 直 角 三 角 形 30度 角 的 性 质 求 Z）R=2,可 知：点。的 横 坐 标 为-2,由 抛 物 线 的 解 析 式 可 计 算 对 称 轴 是 直 线：一 小-2,所 以 点。在 该 抛 物 线 的 对 称 轴 上;（3）连 接 P。，作。R_LPK于 凡 在 D R 上 取 一 点 T,使 得 P r=D T,由 等 边 三 角 形 的 性 质，勾 股 定 理，相 似 三 角 形 的 性 质 等 方 法 求 出 P,。的 坐 标 即 可 解 决 问 题;解：当 x=0 时，y=8 G，：.B（0,86）,78：.0 B=8,当 y=0 时，y=一 立 x2 B x+8 6=。,12 3+4工-96=0,(x-8)(x+12)=0,x/=8,X2=-12,：.A(8,0),:.0 4=8,在 欣 力 0 8 中，八。4 8 6tan N 力 BO=，OB 8V3 3 ZABO=309故 答 案 为：8,30；(2)证 明：,:DE/AB,.OM OH 而 一 曲 9：OM=AM,：,OH=BH,:BN=AN,：.HN为,的 中 位 线，H N/JA/,/.四 边 形 AMHN是 平 行 四 边 形；点 D在 该 抛 物 线 的 对 称 轴 上，理 由 是：如 图 1,过 点。作 轴 于 79：HN OA,：.N N H B=/A O B=9 0。,:DE AB,：./D H B=/O B A=3 G。,:Ri CDE t RiAABO,：./H D G=/O B A=3 0。,：.ZH G N=2 ZH D G=60,/H N G=9 0。-NH G N=90。-60=30,，/H D N=/H N D,：.D H=H N=-O A=412:,R SD H R 中,DR;D H=L X4=2,2 2.点。的 横 坐 标 为 2,x=,抛 物 线 的 对 称 轴 是 直 线:2x_V33_百 I 12 J 点 D 在 该 抛 物 线 的 对 称 轴 上;(3)如 图 3 中，连 接 尸。，作 DR上 P K于 R,在。R 上 取 一 点 T,使 得 P T=D T.设 PR=a.K图 380：A(8,0),8(0,8 6),二 加=-G X+8 6,T N是 4 8 的 中 点，,:N(4,4/3)，.yO N=x,由(2)可 得 点。的 横 坐 标 为-2,且 点。在 直 线 ON上，。卜 2,-2,；DQ/OB,XQ=XD=-2,将-2代 入 直 线 的 解 析 式 可 得。卜 2,1 0 6)，DK=DN=击 2+(6同=12,.OH x轴，:.NKDR=NOMD=30。:RK=gDK=6,D R=6 BT NPDK=45。,：.ZTD P=ZTP D=5f：./P T R=/TD P+/TPD=30。,：.TP=TD=2af TR=C a,y/3a+2a=6j3，：,a=n 4 i-18,可 得。(-2-6 石，10 y/3 1 8),p g=7(6/3)2+182=12/3.【点 睛】本 题 考 查 二 次 函 数 综 合 题、平 行 四 边 形 的 判 定 和 性 质、锐 角 三 角 函 数、30度 角 的 直 角 三 角 形 的 性 质、等 边 三 角 形 的 判 定 和 性 质、勾 股 定 理、平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 等 知 识，解 题 的 关 键 是 灵 活 运 用 所 学 知 识 解 决 81问 题，学 会 添 加 常 用 辅 助 线，构 造 宜 角 三 角 形 解 决 问 题，学 会 利 用 参 数 构 建 方 程 解 决 问 题，属 于 中 考 压 轴 题.例 6.已 知 抛 物 线 y=+bx+c(a0)的 对 称 轴 为),轴，且 经 过 原 点。和 点(a,a).(1)求 该 抛 物 线 的 解 析 式：(2)已 知 动 直 线/：y=，nr+与 抛 物 线 丫=以 2+公+c交 于 A,B 两 点，且 使 得。4,0 8,直 线/是 否 经 过 定 点，若 经 过 定 点，求 定 点 的 坐 标，若 不 经 过 定 点，请 说 明 理 由：(3)在(2)的 条 件 下，当 点 A 为(-g,；)时，点 P 在 抛 物 线 上，且 使 得 N4BP=45。，求 点 尸 的 坐 标.【答 案】y=Y(2)直 线/经 过 定 点，(0,1)J卜 9 道 81、【解 析】【分 析】(1)根 据 二 次 函 数 的 性 质 和 待 定 系 数 法 解 答 即 可.(2)设&占，X：),B(X2,),则 A 8 的 中 点 尸 坐 标 为(安 玉，审)；再 联 立 直 线 和 抛 物 线 的 解 析 式 可 得 x2-mx-n=0,然 后 由 根 与 系 数 的 关 系 可 得*1+*2=S，%=-”,则 AB2=(X,-x2)2+(x,2-xj)2=m4+4,lm2+nr+4n,如 图：连 接。力、O B、。厂 可 得 直 角 三 角 形/08,再 根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 可 得：。尸=3 力 8,即(、(穹 生 产:/川+而 川+川+而)，解 得=1.进 而 得 到。=*+1,然 后 取 x=0即 可 解 答;(3)先 结 合(2)求 得 用 的 值，再 联 立 抛 物 线 和 直 线 的 方 程 求 得 8 点 坐 标，作 AC J _他 于 点 A,过 点 A 作 OE1平 行 X 轴，作 COJ.r)E 于。，作 比;_LE 于 点 E,证 得 AAC。合 ABAE(A4S)得 至 I4=7。=2+3=|、82AO=BE=4-5=与 可 确 定 点 C 的 坐 标，进 而 求 得 8 c 的 解 析 式，最 后 与 抛 物 线 联 立 即 可 解 答.4 4(1)解：.y=o2+/?x+c(:0)的 对 称 轴 为 V轴，且 经 过 原 点 O,抛 物 线 的 解 析 式 为 丁=。/，把(a,a)代 入 y=2,得：a=a解 得。=1，又。二 1,y=x2.(2)解：设 4%，x)2),B(X2,考)，则 A B的 中 点 尸 坐 标 为(空，4)，联 立 直 线 与 抛 物 线 得：)，y=nix+n即：x2-m x-n=0,由 根 与 系 数：%+%2=根，再=一，AB2=(芭-x2)2 4-(x；一 只/=加+4nm2 4-m2+4n,如 图：连 接 0 4、OB、OFO A LO B 4 0 6 是 直 角 三 角 形.O F=T Z 6(直 角 三 角 形 斜 边 上.的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半)，/.()2+(6+2)2 _(“+7n2+4),解 得=1,2 2 4.y=m x+,取 x=0 时，y=,7=侬+九 过 定 点(0,1).83(3)1 I 3解：由(2)得 n=l,把(-/,/代 入 丫=如+1得 机=1,联 立 直 线 与 抛 物 线 得：3，y=X+1I 2(寻 X=一,%2 2,二 3(2,4),作 过 点 A作。E 平 行 轴，作 石 于。，作 于 点 E,vZABP=45,.-.ZACB=45,.AC=A 3,/ZDAC+ZACD=90,ND4C+ZEAB=90,ZACD=/B A E,在 AACD和 M 4E U，ZD=ZE ZACD=NBAE,AC=BA.ACDBAE(AAS),AE=CD=2+-=-t AD=BE=4-=t2 2 4 4 直 线 3 C的 解 析 式 为：+84联 立 抛 物 线 和 直 线 BC得:y=x2 1 18，y=x+I 5 59解 得 x=2（舍 去）或【点 睛】本 题 属 于 二 次 函 数 的 综 合 应 用，主 要 考 查 了 运 用 待 定 系 数 法 求 解 析 式、一 元 二 次 方 程、二 次 函 数 的 性 质、根 与 系 数 的 关 系 等 知 识 点，灵 活 运 用 相 关 知 识 成 为 解 答 本 题 的 关 键.例 7.如 图，抛 物 线 y=:x 2-3 x+4与 X轴 交 于 Z、8 两 点。点 在 8 点 的 左 侧)，交 y 轴 于 点 C.一 ZIo图 1(1)/点 坐 标 为 _,3 点 坐 标 为 _L U1 X X7图 2C 点 坐 标 为 _；(2)如 图 1,。为 8 点 右 侧 抛 物 线 上 一 点，连 接 4 9,若 t a n/C/Z)=2,求。点 坐 标；(3语、F 是 对 称 轴 右 侧 第 一 象 限 抛 物 线 上 的 两 动 点，直 线 4E、/尸 分 别 交 y 轴 于 M、N.若 OM ON=2,求 证 直 线 所 过 某 定 点 尸，并 求 出 定 点 P 点 的 坐 标.85【答 案】(I)(2,0),(4,0),(0,4)(2)。点 的 坐 标 为(g,?)(3)尸 点 的 坐 标 为(4,-1)【解 析】【分 析】(1)令 y=g f-3 x+4=0,解 一 元 二 次 方 程 求 出 点 力 和 点 8 的 坐 标，令 x=0,求 出 点 C的 坐 标：(2)过 点 C作 于 点 E,则 ta n/C 4=2,先 证 RtAAOCnRtM C(4AS),再 求 出 所 在 直 线 的 解 析 式，与 抛 物 线 的 解 析 式 联 立 即 可 求 出 点。的 坐 标；(3)设 以=%/+白，yAl.=k2x+b2,由 已 知 条 件 可 推 出 女 生=；，分 别 求 出 点 E 和 点 尸 的 坐 标，表 示 出 EF所 在 直 线 的 解 析 式 为 y=A+Dx-勺+4k2+5)=&+k2+l)x-4 g+&+1)-1,直 线 跖 经 过 的 定 点 即 为 尸 点.(1)解：令 y=g x2-3 x+4=0,解 得 弓=2,X2=4,A 点 坐 标 为(2,0),B 点 坐 标 为(4,0)；令 x=0,则 了=4,二 C点 坐 标 为(0,4),故 答 案 为：。)，(4,0),(0,4).(2)86过 点 C作 C _LA于 点，则 tan N C/H=2,/点 坐 标 为(2,0),C 点 坐 标 为(0,4),/.OA=2 OC=4,OC tan ZCAO=2,OA/.ZCAO=Z C A H,在 RtAAOC 和 RtAAHC 中，ZCAO=/C A H NAHC=NAOC=90。，AC=AC二 RtAAOC 二 RtAA/7C(A4S),.CH=OC=4,AH=OA=2；设,则 4?=/n2+(n-4)2,22=(m-2)2+n2,16 8解 得 zn=y,n=-,设 力。所 在 宜 线 的 解 析 式 为 丫=区+将 点 A(2,0),喈,令 代 入 可 得，2k+b=0 16,8.k+b=-15 54 8解 得=；，b=,3 34 8 A D 所 在 直 线 的 解 析 式 为 y=x-，A Q 1将 y=丁 一 与 y=5%2 _ 3 x+4联 立,20解 得=2,=,当 X=g 时，y x（型.3X型+4=些 2 3 3 9。点 的 坐 标 为（g,学）.87 解:设 加=3+4,yAF=k2X+b2 r将 A点 的 坐 标 为(2,0)代 入 可 得，a=-2 勺，b2=-2k21二 力=kX_2k,yAF=k2x-2k2,:.OM=2&,ON=2k2,:O M O N=2,2kl 2攵 2=2,将/所 在 直 线 的 解 析 式 与 抛 物 线 的 解 析 式 联 立，可 得 x2 3x+4=kX-2k,解 得=2,%=4+2勺，当 x=4+2尤 时，y=2k：+2k,顼 4+2占,2+2尢)，同 理 可 得 F(4+2&,2修+2&),设 产 所 在 直 线 的 解 析 式 为 丫=%/+4，将 点 3 4+2加 2婷+2匕),F(4+2月,2与 2+2内)代 入 可 得，f(4+2k、丸+打=2%：+2kl(4+2k2)k3+/=2k；+2k2解 得&3=K+&+1，4=-4尢 4k2 5,.E/所 在 宜 线 的 解 析 式 为：y=(kt+k2+l)x-(4 尢+4k2+5)=4+&+l)x-4&+自+1)-1,尸 所 在 直 线 过 定 点(4,-D,此 点 到 原 点 的 距 离 为 定 值,定 点 P 的 坐 标 为(4,-1).【点 睛】88本 题 考 查 二 次 函 数 图 象 及 性 质，-次 函 数 图 象 及 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 等，熟 练 应 用 待 定 系 数 法 求 函 数 解 析 式，利 用 方 程 思 想 求 函 数 图 象 交 点 是 解 题 的 关 键.例 8 如 图 1，抛 物 线 y=x2+6x+4与 x轴 交 于 4 8 两 点，与 了 轴 交 于 点 C,N3=8,8 点 横 坐 标 为 2,延 长 矩 形 OBDC的 D C 边 交 抛 物 线 于 E.(1)求 抛 物 线 的 解 析 式；(2)如 图 2,若 点 尸 是 直 线 E O 上 方 的 抛 物 线 上 的 一 个 动 点，过 点 尸 作 x轴 的 垂 线 交 直 线 EO 于 点 求 PM的 最 大 值；(3)如 图 3,如 果 点 尸 是 抛 物 线 对 称 轴/上 一 点，抛 物 线 上 是 否 存 在 点 G,使 得 以 尸,G,A,C 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形？若 存 在，求 出 所 有 满 足 条 件 的 点 G 的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.【答 案】y=-x+449(2)PM最 大 值 是 五 20 20(3)存 在，G(4,I)或(-8,一 I)或 4).【解 析】【分 析】(1)运 用 待 定 系 数 法 求 解 即 可；(2)先 根 据 二 次 函 数 的 性 质 确 定 抛 物 线 的 对 称 轴，进 而 求 得 点 C、E 的 坐 标，然 后 可 得 直 线 O E 的 解 析 式，设 点 P(m,+,M(m,-m),再 表 示 出 线 段 PM,最 后 运 用 二 次 函 数 的 性 质 求 最 值 即 可；3 3(3)分 以 R G,A,C 为 顶 点 的 平 行 四 边 形 是 目 4CGF、0JCFG.E W G W 三 种 情 况 解 答 即 可.(1)解：由 题 意 得，5(2,0),J(-6,0),二 L 山,c，解 得：:36。一 6。+4=0.4i b=389.抛 物 线 的 解 析 式 y=-g-g x+4.(2)i 4 抛 物 线 的 解 析 式 是：y=-g x+4 抛 物 线 对 称 轴 是 直 线：x=-2,C(0,4),：.E(-4,4),直 线 E O的 解 析 式 是：y=-x,1)4设 点 尸(?，m2 加+4),M()?，-t n),3 3,4 1 49:.P M=(nv m+4)-(一 加)=(加+彳)2+,3 3 3 2 12 49 当 7=-5 时，尸 最 大 值 是 五.(3)当 以 F,G,4。为 顶 点 的 平 行 四 边 形 是 I34CGF时，；点 力(-6,0),C(0,4),F(-2,),，点 G 的 横 坐 标 是:x=4,I 4 20当 x=4H寸，y=x42-x 4+4=-,3 3 3：.G(4,-竺)，3当 以 尸，G,A,C为 顶 点 的 平 行 四 边 形 I34W G时，可 得 G 点 横 坐 标 是 工=-8,当 x=-8 时，y=-x(-8)?_ x(-8)+4=,3 3 3o 203当 以 尸，G,4。为 顶 点 的 平 行 四 边 形 由 4GC尸 时，G 点 横 坐 标 是：-6-(-2)=-4,1 4当 x=-4 时，尸-丁(-4)2-x(-4)+4=4,：.G(-4,4),20 20综 上 所 述 点 G(4,)或(-8,)或(-4,4).3 3【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 求 二 次 函 数 的 解 析 式、二 次 函 数 的 性 质、二 次 函 数 与 特 殊 四 边 形 的 综 合，灵 活 运 用 平 行 四 边 形 的 性 质 成 为 解 答 本 题 的 关 键.9091