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人教版数学九年级上册第二十一章全部课件21.1 一元二次方程人教版 数学 九年级 上册 要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？【思考】上述所列的方程与我们以前学习的方程一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？ABC2m设雕像下部高x m，依题意得方程x2=2(2-x)整理，得 x2+2x-4=0导入新知3.理解一元二次方程解（根）的概念，并能解决相关问题.1.理解一元二次方程的概念，根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题.素养目标 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?一元二次方程的概念知识点 1探究新知100cm50cm 3600cm2【分析】设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm.根据方盒的底面积为3600cm2,得整理，得（100-2x）（50-2x）=3600 x2-75x+350=0 x100cm50cm3600cm2探究新知要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【分析】设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部比赛x（x-1）场。可列方程整理，得 x2-x=56探究新知【思考】x2-75x+350=0和x2-x-56=0这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？区别特点（1）这两个方程的两边都是整式；（2）都只含一个未知数x；（3）它们的未知数的最高次数都是2次的.未知数最高次数为2探究新知 像上述两个方程式这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程（必须满足三个特征）.一元二次方程的概念 探究新知【想一想】是一元二次方程吗？答：不是。等号左边含有分式；化简整理后，未知数的最高次数为3次。探究新知 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数整理x2-3x+2=0a0A.B.3x2-5xy+y2=0C.（x-1）（x-2）=0D.ax2+bx+c=0素养考点 1 一元二次方程的识别探究新知方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断三个条件：方程两边都是整式；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2.必须同时满足，缺一不可1.判断下列方程是否为一元二次方程？(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0(1)x2+x=36(4)(6)(7)(8)巩固练习 例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2-x=2x2(2)(a1)x|a|+12x7=0.解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,当a-20，即a2时，原方程是一元二次方程；(2)由a+1=2，且a-10知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.利用一元二次方程的定义求字母的值素养考点 2探究新知方法总结：根据未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值 2.方程(2a-4)x22bx+a=0.（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？解：（1）当 2a-40，即a 2 时是一元二次方程.（2）当a=2 且 b 0 时是一元一次方程.巩固练习 一般地,任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都可以化为ax2+bx+c=0的形式,我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.探究新知 一元二次方程的一般形式知识点 2一元二次方程的一般形式 a x 2+b x+c=0(a 0)二次项系数一次项系数常数项二次项一次项探究新知【思考】为什么要限制a0，b,c可以为零吗？【结论】只要满足a0，a,b,c可以为任意实数.探究新知当a=0时，ax2+bx+c=0当a0，b=0时，ax2+bx+c=0当a0，c=0时，ax2+bx+c=0当a0，b=0,c=0时，ax2+bx+c=0一元二次方程bx+c=0（一元一次方程）ax2+c=0ax2+bx=0ax2=0一元一次方程 一元二次方程一般式相同点不同点【思考】一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？Ax+b=0(a0)ax2+bx+c=0(a0)整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是1 未知数最高次数是2探究新知 例3将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.一元二次方程一般形式的有关概念 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10 整理，得 3x2-8x-10=0 其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10.二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.素养考点 3探究新知 方法点拨（1）一元二次方程的一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数.（2）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的.（3）指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符号.探究新知3.将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）5x2-1=4x;(2)4 x2=81 解：(1)把5x2-1=4x化为一般形式5x2-4x-1=0，二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1.(2)把4 x2=81化为一般形式4x2-81=0，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81巩固练习（3）4x(x+2)=25(4)(3x-2)(x+1)=8x-3 解：(3)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0，二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式3x2-7x+1=0，二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1巩固练习 一元二次方程解的概念 知识点 3 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.探究新知 例4 已知关于x的一元二次方程(m-1)x23x-5m4=0有一个根为2，求m.分析:一个根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程.解：依题意把x2代入原方程，得 4（m-1）+6-5m+4=0,整理，得-m+6=0,解，得 m=6.素养考点 4 利用一元二次方程的解确定字母的值探究新知方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.4.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：依题意把x=3代入原方程，得32+3a+a=09+4a=0，巩固练习整理，即1.已知一元二次方程x2+k-3=0有一个根为1，则k的值为（）A2 B2 C4 D4巩固练习连 接 中 考B2.宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元则有（）解析：设房价定为x元。依题意，得A.（180+x-20）（50-）=10890B.（x-20）（50-）=10890C.x（50-）-5020=10890D.（x+180）（50-）-5020=10890巩固练习（x-20）（50-）=10890B连 接 中 考 1.下列哪些是一元二次方程？3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-1课堂检测基 础 巩 固 题2.填空：课堂检测方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项-2 1 313-5 4 0-53-2基 础 巩 固 题3.关于x的方程(k21)x2 2(k1)x 2k 20,当k 时，是一元一次方程当k 时，是一元二次方程11课堂检测 4.已知方程5x+mx-6=0的一个根为4，则m的值为_基 础 巩 固 题(1)如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中取3）.150cm200cm 解：设由于圆的半径为x cm，则它的面积为 3x2 cm2.整理，得 x2-2500=0课堂检测根据题意，得 200150-3x2=200150能 力 提 升 题(2)如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.整理，得 25x2+50 x-11=0.根据题意有 75（1+x）2=108课堂检测能 力 提 升 题 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)一个根为1,求a+b+c的值.解：依题意把x=1代入原方程，得 a12+b1+c=0,即 a+b+c=0.拓 广 探 索 题课堂检测【思考】1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根吗?解：a+b+c=0可转化为 a12+b1+c=0因此，方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根是1.课堂检测拓 广 探 索 题 2.若 a-b+c=0,4a+2b+c=0，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根吗?课堂检测解：a-b+c=0可转化为 a（-1）2+b（-1）+c=0因此，方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根是-1.4a+2b+c=0可转化为 a22+b2+c=0因此，方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根是2.拓 广 探 索 题课堂小结一元二次方 程概 念 是整式方程；含一个未知数；（一元）最高次数是2.（二次）一般形式ax2+bx+c=0(a0)其中(a0)是一元二次方程的必要条件；解（根）使方程左右两边相等的未知数的值.定义判断等号两边都是整式，只含一个未知数且未知数的最高次数是2的方程课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法第一课时第二课时人教版 数学 九年级 上册第一课时直接开平方法返回预备知识什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根.a(a0)的平方根记作：x2=a(a0),则根据平方根的定义知，x=导入新知如果方程转化为x2=p,该如何解呢？求出下列各式中x的值，并说说你的理由.1.x2=92.x2=5x=3x=导入新知【思考】素养目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p0)的方程.一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？直接开平方法解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程:106x2=1500，由此可得x2=25.开平方得x=5，即x1=5，x2=5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm探究新知知识点 1【试一试】解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.探究新知(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根x1=x2=0；(3)当p0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根，；利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.探究新知【归纳】例1 利用直接开平方法解下列方程:(1)x2=6；(2)x2900=0.解：（1）x2=6，直接开平方，得（2）移项，得x2=900.直接开平方，得x=30，x1=30,x2=30.利用直接开平方解形如x2=p方程素养考点 1探究新知巩固练习1.解下列方程（分析:把方程化为 x2=p 的形式）(1)(2)解：移项，得系数化为1，得即解：移项，得系数化为1，得解：把x+3看做一个整体，两边开平方得对照前面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5？于是，方程（x+3）2=5的两个根为巩固练习由方程得到，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.例2 解下列方程：（1）（x1）2=2；解析：本题中只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）x+1是2的平方根，x+1=利用直接开平方法解形如(mx+n)2=p方程素养考点 2探究新知解析：本题先将-4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.（2）（x1）24=0；即x1=3，x2=-1.解：（2）移项，得（x-1）2=4.x-1是4的平方根，x-1=2.探究新知x1=，x2=(3)12（32x）23=0.解析：本题先将3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.解：（3）移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（3-2x）=0.25.3-2x是0.25的平方根，3-2x=0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5探究新知解：移项x6=3，x6=3,方程的两根为x1=3,x1=9.解：方程的两根为解方程.巩固练习2.（1）（2）解：方程的两根为解：方程的两根为例3 解下列方程：解需要利用完全平方公式转化的一元二次方程素养考点 3探究新知（1）（2）解方程x2+6x+9=2.x1=x2=解：方程的左边是完全平方形式，这个方程可以化为：（x+3）2=2进行降次得：巩固练习3.一元二次方程x29=0的解是 解析:x29=0，x2=9，解得：x1=3，x2=3故答案为：x1=3，x2=3连 接 中 考巩固练习x1=3，x2=3C.4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=3,x1=;x2=D.(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=5,x1=1;x2=-41.下列解方程的过程中，正确的是（）A.x2=-2,解方程，得x=B.(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4D课堂检测基 础 巩 固 题(1)方程x2=0.25的根是.(2)方程2x2=18的根是.(3)方程(2x-1)2=9的根是.x1=0.5,x2=-0.5x13,x2-3x12,x212.填空:课堂检测基 础 巩 固 题3.下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.解：解：不对，从开始错，应改为课堂检测基 础 巩 固 题解方程解：方程的两根为课堂检测能 力 提 升 题直接开平方法概念步骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成 x2=p(p 0)或(x+n)2=p(p 0).一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法课堂小结第二课时配方法返回化为一般式，得 x2+6x-16=0要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，求场地的长和宽应各是多少？x(x+6)=16导入新知解：设场地宽为xm，则长为（x 6）m，根据长方形面积为16m2，列方程得 怎样解这个方程？能不能用直接开平方法？2.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.素养目标1.了解配方的概念，掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接开平方法来解吗?1.用直接开平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p(p0)的形式，再利用开平方来解.配方法的定义探究新知知识点 1 你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b探究新知填一填（根据）配方时,等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.56你发现了什么规律？二次项系数都为1.探究新知【思考】怎样解方程:x2+6x+4=0（1）（1）方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.探究新知（2）为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？提示：不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.探究新知 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法.配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.配方法的定义探究新知例1 解方程：解：（1）移项，得x28x=1,配方，得x28x+42=1+42,(x4)2=15由此可得素养考点 1探究新知解二次项系数是1的一元二次方程1.解方程x2+8x-4=0解：移项，得x2+8x4配方，得x2+8x+4=4+4，整理，得(x+4)2=20，由此可得x+4=，x1，x2.巩固练习解二次项系数不是1的一元二次方程配方，得由此可得二次项系数化为1，得解：移项，得2x23x=1,例2解方程素养考点 2探究新知（1）移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根解：移项，得二次项系数化为1，得为什么方程两边都加12？即探究新知（2）思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号.移项，二次项系数化为1；左边配成完全平方式；左边写成完全平方形式；降次；解一次方程.探究新知一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p.当p0时,则,方程的两个根为当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n.当p0时,则方程(x+n)2=p无实数根.方法点拨探究新知2.解下列方程：巩固练习解:移项，得配方，得由此可得二次项系数化为1，得整理，得3x2+6x=4x2+2x=x2+2x+12=+12(x+1)2=即 x+1=x1=，x2=（1）巩固练习解:移项，得配方，得由此可得二次项系数化为1，得整理，得x1=，x2=4x2-6x=3x2-x=（2）巩固练习解：移项，得x取任何实数，上式都不成立，即原方程无实数根 对任何实数x都有(x+1)2 0配方，得 x2+2x+1=-2+1整理，得x2+2x=-2(x+1)2=-1（3）巩固练习解：去括号，得x2+4x=8x+12移项，得配方，得由此可得x-2=4整理，得x2-4x=12(x-2)2=16x1=6,x2=-2x2-4x+2=12+2因此（4）例3试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k24k5的值必定大于零.解：k24k5=k24k41=（k2）21因为（k2）20，所以（k2）211.所以k24k5的值必定大于零.利用配方法确定多项式或字母的值（或取值范围）素养考点 3探究新知方法点拨：证明代数式的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化成几个非负数的和,利用非负数的性质说明代数式的值恒为正数.例例4 若a,b,c为ABC的三边长，且试判断ABC的形状.解：对原式配方，得 根据非负数的性质得 根据勾股定理的逆定理可知，ABC为直角三角形.探究新知由此可得 即 巩固练习1.方程2x2-3m-x+m2+2=0有一个根为x=0，则m的值为（）A.1B.1C.1或2D.1或-22.应用配方法求最大值或最小值.(1)求2x2-4x+5的最小值(2)-3x2+12x-16的最大值.C解：原式=2(x-1)2+3因为2(x-1)20，所以2(x-1)2+33因此当x=1时，原式有最小值3.解：原式=-3(x-2)2-4 因为(x-2)2 0，即-3(x-2)2 0，所以-3(x-2)2-4-4因此当x=2时，原式有最大值-4.类别解题策略1.求最值或证明代数式的值恒为正（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2n的形式后，由于x无论取任何实数都有(x+m)20，n为常数，当a0时，可知其有最小值；当a0时，可知其有最大值.2.完全平方式中的配方如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.3.利用配方构成非负数和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是通过配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0,即a=0，b=2.配方法的应用探究新知巩固练习1.一元二次方程y2y=0配方后可化为（）A.(y+)2=1B.(y-)2=1C.(y+)2=D.(y-)2=连 接 中 考B课堂检测1.解方程：4x2-8x-4=0.解：移项，得4x2-8x=4，基 础 巩 固 题二次项系数化为1，得x2-2x=1，配方，得 x2-2x+1=1+1整理，得（x-1）2=2课堂检测2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式x2x1的值总是负数，并求出它的最大值.基 础 巩 固 题课堂检测3.若，求(xy)z的值.解：对原式配方，得 由非负数的性质可知 基 础 巩 固 题4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？解：设道路的宽为xm,根据题意得（35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.答：道路的宽为1m.课堂检测基 础 巩 固 题已知a,b,c为ABC的三边长，且试判断ABC的形状.解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，ABC为等边三角形.课堂检测能 力 提 升 题配方法定 义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.步 骤一移常数项；二配方配上；三写成（x+n)2=p(p 0);四直接开平方法解方程.特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.应 用求代数式的最值或证明.课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法人教版 数学 九年级 上册解：移项，得 配方由此可得利用配方法解一元二次方程导入新知 化：把原方程化成x2pxq=0的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如x2px=q.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.用配方法解一元二次方程的步骤方程右边是非负数x2px()2=q()2(x+)2=q()2【思考】如何用配方法解方程ax2bxc0(a0)呢？导入新知3.会熟练应用公式法解一元二次方程.1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.灵活应用=b 4ac 的值识别一元二次方程根的情况.素养目标ax2bxc=0(a0)公式法的概念 公式法的概念探究新知知识点 1一元二次方程的一般形式是什么？【思考】如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？用配方法解一般形式的一元二次方程 方程两边都除以a，得 解:移项，得配方，得即探究新知一元二次方程的求根公式当探究新知