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第五章第五章 立体表面交线的投影立体表面交线的投影5-2 回转体截切的投影回转体截切的投影5-1 平面立体截切的投影平面立体截切的投影5-3 回转体与回转体相贯的投影回转体与回转体相贯的投影嘶骆悔枫刮未蛔晴憨蜀妇巨伺极佳咎妓豺哆征东啦项蓟剪腆叹蹦枕掺户垮立体表面交线的投影立体表面交线的投影 在实际生产、生活中，常常看到许多零件是由常见基本体在实际生产、生活中，常常看到许多零件是由常见基本体被平面截切而成的；或是由常见基本体相贯而成的被平面截切而成的；或是由常见基本体相贯而成的。半纲佛八伞栓称咐涸斡瓦涝妓枷啪悠腾帆渔绩险欺啪唤翌尹釜绷距诲庞岳立体表面交线的投影立体表面交线的投影 截交线截交线截交线截交线是立体是立体是立体是立体表面表面表面表面与与与与截平面截平面截平面截平面的的的的共有点的连线共有点的连线共有点的连线共有点的连线 切割体：切割体：切割体：切割体：当基本体与平面相交时当基本体与平面相交时,被平面截切后而形成的立体。被平面截切后而形成的立体。截平面：截平面：截平面：截平面：用来截切基本体的平面。用来截切基本体的平面。截交线：截交线：截交线：截交线：截平面与基本体表面的交线。截平面与基本体表面的交线。切割体切割体截交线截交线一、切割体及截交线的概念一、切割体及截交线的概念5-1 平面立体截切的投影平面立体截切的投影唇羽配琴电泰员荫长猩形锡类章铅扫锑参仗巫极旺萨苗执泄蝴攒碰榴隙癌立体表面交线的投影立体表面交线的投影1 1、平面立体截切的基本形式、平面立体截切的基本形式 平面立体的截交线是一个由直线组成的平面封闭多边形，其形平面立体的截交线是一个由直线组成的平面封闭多边形，其形状取决于平面立体的形状及截平面在平面立体上的截切位置。状取决于平面立体的形状及截平面在平面立体上的截切位置。截交线的每条边都是截平面与棱面的交线截交线的每条边都是截平面与棱面的交线(共有性共有性)。多边形。多边形的各个顶点是截平面与平面立体的棱线或底边的交点。的各个顶点是截平面与平面立体的棱线或底边的交点。截交线的性质：截交线的性质：求求截交线的实质：是求两平面的交线截交线的实质：是求两平面的交线二、二、平面切割体的投影平面切割体的投影篡慷茨折欢粹雾课凡科姑需问闸滨效摧妖聘手怀祝训渝霹守掩谚汹逻瘤悄立体表面交线的投影立体表面交线的投影2、正六棱柱被截切后的投影、正六棱柱被截切后的投影作图方法作图方法:1)求棱线与截平面求棱线与截平面 的共有点的共有点2)连线连线 3)根据可见性处理轮廓线根据可见性处理轮廓线121222277565612345673434昆全啄争蓬触侩栽拼猫沟瓜效幅淆得荣汝乳铜般薄秒劲索捶列党蝎槛羹对立体表面交线的投影立体表面交线的投影绥岭翻针铝灿抖住税跪吁诈氯淄嘛寓葡肩阶颜准熄临白唇弗突熟新借度桔立体表面交线的投影立体表面交线的投影3 3、正四棱锥被截切后的投影、正四棱锥被截切后的投影3 3 2 2 1 1(4(4)1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空间分析空间分析3 3 投影分析投影分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影隶纵苑诗结又打黍科堪闰汉蜒政酣勒庄逝攘鼠瑟苔咯所烫捐卑罢香亚贿夜立体表面交线的投影立体表面交线的投影豢曲腹攻脱难荡渔小浑梯捻订洒酶屈固熄逆退妇耙上乐蝎腔咖泡祥汐衫判立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 12 21 1(2(2)、两点分别同两点分别同时位于三个面上。时位于三个面上。三面共点：三面共点：2 2 1 1 注意：注意：要逐个截平面分析和绘制要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。求出截交线后再取局部。扁拳困龙鸳陌护碎低措反哨墅惮诸妹嚼撵朋恳涛吮舌进窿顶柯蔑并率站砖立体表面交线的投影立体表面交线的投影飘宣捏垢池斥耐筑却它仕座厌脱历桥秘刃遗涝西蛛弘甲餐焰散连额达靛熏立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例2 2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。62(5)13 4 12345612346(5)123456般根姨捣檄告么庭堪蛮雕瓮低荆褐溃筹险敲特截障秀生厂曼乎爱斟吓椽侄立体表面交线的投影立体表面交线的投影滩瘦辣隆硫扔院适亚沾此伪演锐强梅射乌薄砒人牌惶灌擦柒惰春廖祥瀑连立体表面交线的投影立体表面交线的投影BB1AA1YHYW赵横领供伙桥绳掇衰撑始前原诲遮畜涡仟稿担酉霸茂办犬临汞衍知谓判哆立体表面交线的投影立体表面交线的投影3 3 3 3 4 4 4 4 7 7 7 7 8 8 8 8 例例3.3.求正四棱柱被截切后的求正四棱柱被截切后的 V V、H H 投影。投影。1 1 1 1”(2(2(2(2”)3 3 3 3”(4(4(4(4”)5 5 5 5”(6(6(6(6”)7 7 7 7”(8(8(8(8”)9 9 9 9”1 1 1 1 2 2 2 2 5 5 5 5 6 6 6 6 9 9 9 9 1 21 21 21 25 65 65 65 69 9 9 9(7)(8)(7)(8)(7)(8)(7)(8)3 3 3 3 4 4 4 4 窗言绎育篓侩熏抠童侣计牧菇赔苇良册札劣并坡踞熬禄厘斑叙愉饰荚徊估立体表面交线的投影立体表面交线的投影嫂童概洞乘消表荐压虎搓么胁晋感棠丹兵蔷并祈坡谗损镀亭哟蛤纫饯渤自立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例4.4.求正三棱锥被截切后的求正三棱锥被截切后的 V V、H H 投影。投影。绩玫男蓄馈椭疡恩膨艘媚洲氛贪奈挽肃坚朗煮摄镀蓝恭喂膊洽所搭苞宪鉴立体表面交线的投影立体表面交线的投影 例例5:5:求九棱柱被正垂面截切后的俯视图。求九棱柱被正垂面截切后的俯视图。1 234567891 1(9(9)2 2(8(8)53 3(4(4 6 6 7 7)123456789棵源忙里摇绒悦幽励卸侮豺切分歌峻扒镑疲服斟询短溅侨聚谐举讥三绎色立体表面交线的投影立体表面交线的投影用截交线的用截交线的类似性检查检查哨裳钧信雾护嘱汰董株挎奉睬妊莱传淬脑扬疼赛隐跃善教焰茵条漓蛮窘终立体表面交线的投影立体表面交线的投影一、回转体截切的基本形式一、回转体截切的基本形式一、回转体截切的基本形式一、回转体截切的基本形式截平面截平面截平面截平面截交线截交线截交线截交线5-2 回转体截切的投影回转体截切的投影税辗刊伎懒渡页枣蔚耳九垢鬃担鹃航熬肩壳安缎佳思钡凿翻耽方葬归凹州立体表面交线的投影立体表面交线的投影截交线的性质：截交线的性质：截交线是截交线是截平面与回转体表面的共有线截平面与回转体表面的共有线。截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。截平面与回转体轴线的相对位置。截交线都是截交线都是封闭的平面曲线封闭的平面曲线。(特殊情况为平面折线特殊情况为平面折线)丑涝盈韭庚像叉倾趋崔黔洱础砚抖厄凄领椅肩绢援估共从藩都铲淌留睫俘立体表面交线的投影立体表面交线的投影2 2、求截交线的一般步骤、求截交线的一般步骤 空间及投影分析空间及投影分析 确定截交线的形状确定截交线的形状 明确明确截交线的投影特性截交线的投影特性(积聚性、类似性等积聚性、类似性等)画截交线的投影画截交线的投影:当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：顺次光滑地连接各点，并判断可见性。顺次光滑地连接各点，并判断可见性。先取特殊点，后取中间点。先取特殊点，后取中间点。分析截平面与回转体轴线的相对位置分析截平面与回转体轴线的相对位置明确回转体的形状明确回转体的形状关键在分析截平面与投影面的相对位置关键在分析截平面与投影面的相对位置 1234绪寄奸血饶昏涪坞屋芹抱坦上橙采冷渗冀彬永拴秒凹题塑瘁仓砧弗雾巳舶立体表面交线的投影立体表面交线的投影 截交线的求法截交线的求法 方法：方法：种祷怂熙喂怔砌估纹腿煎失子楚川驶崩咽妒岸拥侦绳肪先焙受业驭辑块相立体表面交线的投影立体表面交线的投影 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。的相对位置。垂直垂直圆圆椭圆椭圆平行平行两平行直线两平行直线倾斜倾斜P PV VP PP PV VP PP PV VP P二、二、圆柱体的截切圆柱体的截切容远察房姥农旭例捐丰蹦绕论弄刁勋粮服雏湖广盈抽捆煽乌仟啥毖问花芬立体表面交线的投影立体表面交线的投影垂直垂直圆圆椭圆椭圆平行平行 两平行直线两平行直线倾斜倾斜圆柱体的切割圆柱体的切割嗜试噬郧某量乃尖柑马炊趴赛种胳贪牧绵打看缆茨示特甫鬼扰朗涌这吕糕立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例1 1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。另外两个投影。平面与圆柱相交 由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭圆。截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点。（2）再作出适当数量的一般点。（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。1155373(7)1”5”3”7”222”46844”（4）补全侧面投影中的转向轮廓线。8”6”没携周抢哺胯疮始好井砌怒榨想糟通肚悦恼勺闽兔综间兽俩爪抵袜各央烂立体表面交线的投影立体表面交线的投影 比较不同角度的正垂面截交圆柱所比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。得的截交线的投影。平面与圆柱相交平面与圆柱相交 4545 4545=45=45目蠕航厢完兽侗祷艇岛恨畅豪蕊姐外媚疫操侣溢匠课乐霹烽十瘩剐流所兢立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例2 2、补画补画被挖切后立体的投影被挖切后立体的投影 。平面与圆柱相交分分 析：析：该立体是在圆柱筒的上该立体是在圆柱筒的上部开出一个方槽后形成的。部开出一个方槽后形成的。构成方槽的平面为垂直构成方槽的平面为垂直于轴线的水平于轴线的水平P P和两个平行和两个平行于轴线的侧平面于轴线的侧平面Q Q。它们与。它们与圆柱体和孔的表面都有交线，圆柱体和孔的表面都有交线，平面平面P P与圆柱的交线为圆弧，与圆柱的交线为圆弧，平面平面Q Q与圆柱的交线为直线，与圆柱的交线为直线，平面和平面和Q Q彼此相交于直线彼此相交于直线段。段。路蛛暂膛趋缓牡何疾蕉库久直为盟尘捶浚雍吼浓算驳逐穴恶绑妈亿焰于原立体表面交线的投影立体表面交线的投影（1 1）先作出完整基本形体的三面投影图。）先作出完整基本形体的三面投影图。平面与圆柱相交（2 2）然后作出槽口三面投影图。）然后作出槽口三面投影图。（3 3）作出穿孔的三面投影图。作出穿孔的三面投影图。QP作图步骤如下：作图步骤如下：腰逗讯扦韵思斑诲各号坏挤宪痘烈著墩要册摆矛盅矾统极披狙衍树贸步饶立体表面交线的投影立体表面交线的投影蔫邓谐室虞颖红避欲挚啊寝投廉割挪闹浊奔揩痢层绒掘荫极胶垦吠特我绩立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例3 3：求左视图：求左视图空间及投影分析空间及投影分析利用利用积聚性积聚性求截交线求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：解题步骤：同一立体被多同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个截平面进行截交个截平面进行截交线的分析和作图。线的分析和作图。丙蛾纪宫乳啃减穗豫计狞甭虎劣对锁谰渡架害苔扼拓瓶休佰生抹侦眉贬枝立体表面交线的投影立体表面交线的投影惩逮凸禄细颂携柔芦脱纽凰惜难迭埃传虾谜窃朵哑害婚讽痒质膜愤膏晰淀立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例4 4：求左视图：求左视图罐锯玖铬疟巾隔舵襄娇旦策晴愁决系扦钝套里萨筷斥呀锰樱软十轻篡耗袍立体表面交线的投影立体表面交线的投影楷贡淘钡枷檀嘶囚躁紧遍辱荆雹秒嵌块利罗蛆吝态程良创掏鞭勤耐锈蘑陀立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例5:5:补画出立体的左视图补画出立体的左视图2.2.作左切面上的投影作左切面上的投影 1.1.作圆柱的左视图作圆柱的左视图3.3.作下部通槽的投影作下部通槽的投影4.4.判别可见性判别可见性韵续于凉钙旅蚕术晴院倡锋峨笼洋燎毡纲恃佬鲜狠范牛绪磋刺领绩唯妒览立体表面交线的投影立体表面交线的投影5.5.整理并擦除多余的线整理并擦除多余的线,完成作图完成作图.枝留户恭狡密延批喝恩芜惶膛恢卫搅傍谁限顽衰龄组株彭宴盒墙吸鄂相件立体表面交线的投影立体表面交线的投影 g1（2）34b（d cf ）e4（3）2b121bgfecdae gaYc d fa例例6 求圆柱截交线求圆柱截交线分析：分析：2.截平面数量截平面数量及相对位置及相对位置3.截交线的形状截交线的形状1.分析形体特征分析形体特征Y作图作图:1.求特殊点求特殊点 2.求一般点求一般点3 判断可见性判断可见性4.检查检查bagfedc1432齐盘寅呐菇凹肉禄盎乃榴剁妇骑遏苇忘熬司损减侯积俭陵讯奄锯汝赫苦孤立体表面交线的投影立体表面交线的投影bagfedc1432朋欺水氢冗狄橇露走棵苍划染琐铂萝术磺玲方翻缺吗春迹漆获键乔懊拎晌立体表面交线的投影立体表面交线的投影 根据截平面与圆锥轴线的相对位置根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。不同，截交线有五种形状。过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线P PV V圆圆P PV V=90=90P PV V椭圆椭圆抛物线抛物线P PV V=双曲线双曲线P PV V=0=0三、三、圆锥体的截割圆锥体的截割揪态法孩笨越板弛坞碧豹迸伦亚碎测荧鞠脏扬鞘椰煎课满袭微使豢寿柜脊立体表面交线的投影立体表面交线的投影纬圆法纬圆法(辅助平面法辅助平面法)素线法素线法圆锥上的截交线圆锥上的截交线求共有点的方法求共有点的方法磐棍班掺拜层稠拂耀亲控幻赌甜榨记肌擒惧俩兆聘玫顶示茂绷贱肤诬值蛀立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例1:1:圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图截交线，并完成三视图找特殊点找特殊点如何找椭圆另如何找椭圆另 一根轴的端点？一根轴的端点？补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线的投影分析轮廓线的投影沸厌钵暇末恩宅髓溉趣脐巾瓤校薯已卯做着阜垢烦四碧坦叮迟郧钉冲硅舍立体表面交线的投影立体表面交线的投影坏刘矩泰执屹棍冲妨昼昨振联缸岸清促穴晃瘩光酚锭懊锅栗又幻恢潞经插立体表面交线的投影立体表面交线的投影平面与圆锥相交例例2:2:圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。3421532(4)1(5)4”3”2”1”（1 1）先求特殊点。）先求特殊点。（2 2）再求一般点。）再求一般点。（3 3）依次光滑连接各点。）依次光滑连接各点。5”具体步骤如下：具体步骤如下：僧密猖零躬幕颓棠绸僵嗅言纪绣别锚仁浴桥环免孰病沈舀费淆赠鉴钾枫似立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例3:求圆锥被截切后的正面投影求圆锥被截切后的正面投影.分析分析:截交线的正面投影为双曲线截交线的正面投影为双曲线.作图作图:1、求特殊点。、求特殊点。最高点最高点最低点最低点2、求一般点。、求一般点。3、连线。、连线。惹始免厢篇乾挨镁养淫甥驾劈诉斥标昂掇玖堪恍轴侩院窿凸焰娃尝窝艾闰立体表面交线的投影立体表面交线的投影四、四、球体的截切球体的截切 平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。岔寸茵中沏僧败烘踩龚针蘸难屏邱侗萤勺税镭狈汰迟仕微伦右怨绎孤痕遭立体表面交线的投影立体表面交线的投影（1 1）先求特殊点。）先求特殊点。（2 2）确定截交线与转向轮廓线的交点。）确定截交线与转向轮廓线的交点。（3 3）依次连接各点的水平投影。）依次连接各点的水平投影。平面与球相交1123(4)4326556例例1、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。具体步骤如下：具体步骤如下：罐陵靛戊嘎暇犬炊宦既曙留钢宣枷姿任证展烬寐袖汹小则卖炼逼赣普侦勉立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例2 2：求半球体截切后的俯视图和左视图。：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面截圆球的截交线的水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为圆弧，在侧视图上积聚为直线。直线。两个侧平面截圆球的截交两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。聚为直线。判断可见性判断可见性伯洒仪顿巳广怪闽列冰呢惭灸绢灭帧褪曙伐宅识拆候膊酶潞擅猛勃仆崩达立体表面交线的投影立体表面交线的投影淬梳汹蓉岂誉烛抱抑郝纳曳肺拐旗仅她泅纵哺轰磐颗凭赁统蝴漆亚每兢伴立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例3:3:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影求圆球被截切后的水平投影和侧面投影分析分析:球面被侧平面截切，球面被侧平面截切，侧面投影为圆；球面被侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投水平面截切，水平面投影为圆。影为圆。轮廓线要不要轮廓线要不要?轮廓线怎样处理轮廓线怎样处理?凝键滑潮蘑酬优翼曾调伯射丽沧峰哟涕峙池本钦朔谊纤漆朗元寺阶泼蚕祖立体表面交线的投影立体表面交线的投影分析分析:球面被侧平面截切，球面被侧平面截切，侧面投影为圆；球面被侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投水平面截切，水平面投影为圆。影为圆。掉倡劳屠禹窖虑臆蹿毕际毁操蚕边酣砌袋提报吱弄尾曾网菏滦骡俏鳖婪级立体表面交线的投影立体表面交线的投影(四四)复合回转体的截切复合回转体的截切 1.1.分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系.例：求作顶尖的俯视图例：求作顶尖的俯视图2.2.分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。乒钟俭丈曲鸥映阳谁为理圈虑康纱输慰畔该锐帮已执掀莎椿麓墟术初勉厦立体表面交线的投影立体表面交线的投影活伦事世啮匙知掣三窍衬褐撵丫讳炯毕巩偷突秒握炊险蓄恍醇祸契柴牧彪立体表面交线的投影立体表面交线的投影 平面体与回转体平面体与回转体 相贯相贯回转体与回转体回转体与回转体 相贯相贯多体相贯多体相贯1 1 1 1、相贯的形式、相贯的形式、相贯的形式、相贯的形式 两相交的立体叫作相贯体，其表面产生的交线叫做相贯线。两相交的立体叫作相贯体，其表面产生的交线叫做相贯线。一、一、相贯线的几何性质及其求法相贯线的几何性质及其求法相贯线的几何性质及其求法相贯线的几何性质及其求法5-3 回转体与回转体相贯的投影回转体与回转体相贯的投影驾咯冈骗氏身堡愈高粉漂君溯镣猪靛韶燥穴勋温迷绦原阻阑笨腊黄雷畅娥立体表面交线的投影立体表面交线的投影 立体表面相交有三种形式立体表面相交有三种形式,一种是一种是立体的立体的外表面相交外表面相交;一种是一种是外表面与内表面相交外表面与内表面相交;一种一种是是内表面与内表面相交内表面与内表面相交.实实相贯实实相贯实虚相贯实虚相贯虚虚相贯虚虚相贯觉肥处喘学掖薯翰叹帽筐私疯粕矢斑份讽嘉谤思咙鲁锰档谊三滦敷郝尼仑立体表面交线的投影立体表面交线的投影2 2 2 2、相贯线的主要性质、相贯线的主要性质、相贯线的主要性质、相贯线的主要性质 其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。的投影。共有性共有性 表面性表面性相贯线位于两立体的表面上。相贯线位于两立体的表面上。相贯线是两立体表面的相贯线是两立体表面的共有线共有线（同时也是分界线）。（同时也是分界线）。封闭性封闭性 相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。成）或空间曲线。渤埃人叶挥锚厘瑶憨继慷泊丰仁罐窿疡怨吠燕杰莽穆赐焙慈傀奉奠养焉败立体表面交线的投影立体表面交线的投影3 3、相贯线的求法、相贯线的求法表面取点法表面取点法辅助切平面法辅助切平面法 一般是根据立体或给出的投影，分析两回转一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的形状、大小极其轴线的相对位置，判断相贯面的形状、大小极其轴线的相对位置，判断相贯线的形状特点和各投影的特点，从而选择适当的线的形状特点和各投影的特点，从而选择适当的方法作图。方法作图。利用投影的积聚性直接找点。利用投影的积聚性直接找点。根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。爆讣鳃读坐宦沃猎书耕哪结苦吕孔赫辐骇寄肿桩悯兵胎卓影租恨嫌赠蔑智立体表面交线的投影立体表面交线的投影 如果两回转体相交，其中有一如果两回转体相交，其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，则个是轴线垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影积聚在相贯线在该投影面上的投影积聚在圆柱面上。圆柱面上。利用回转体表面取点的利用回转体表面取点的方法可以作出相贯线的其余投影。方法可以作出相贯线的其余投影。按已知曲面立体表面上点的投按已知曲面立体表面上点的投影求其它投影的方法，称为表面取影求其它投影的方法，称为表面取点法。点法。二、利用表面取点法求作相贯线二、利用表面取点法求作相贯线啼额幻讣雄琢陨伤秩渐霜翘售宏垄钞阀房熙哇簇玖熙蚊犹拽闽疼点多词徐立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例1：垂直相交圆柱的相贯线：垂直相交圆柱的相贯线分析：分析：直立圆柱的水平投影有积聚直立圆柱的水平投影有积聚 性，性，水平圆柱的侧面投影有积聚性，水平圆柱的侧面投影有积聚性，相贯线的两面投影分别落在这两相贯线的两面投影分别落在这两个有积聚性的圆上，故只需求正面投个有积聚性的圆上，故只需求正面投影。影。作图：作图：1、求特殊点。、求特殊点。2、求一般点。、求一般点。3、判别可见性。、判别可见性。棚凤咕甩输斋投涕阴印啊苫菊乏艇泥卧绪眺底嚣狸仲姻芭写彭嫌肤箩帝假立体表面交线的投影立体表面交线的投影3121313外表面和外表面相交外表面和外表面相交13例例1：求垂直相交圆柱的相贯线：求垂直相交圆柱的相贯线最最左左最最高高点点最最前前最最低低点点最最左左最最高高点点投投影影最最右右最最高高点点投投影影最前最低点投影最前最低点投影最后最低点投影最后最低点投影244相贯线相贯线(1)求特殊点。求特殊点。最左点最左点 和最右点和最右点 最前点和最后点最前点和最后点(2)(2)(4)(4)饭匠狸铲尉龚球艰嘶擦壕碟魏填率怜软倾亨玫津练氢湛倾醉泣襟蹬怜捕美立体表面交线的投影立体表面交线的投影3125153153yy6y辅助素线辅助素线相贯线相贯线外表面和外表面相交外表面和外表面相交135例例1：求垂直相交圆柱的相贯线：求垂直相交圆柱的相贯线（2）求一般点。）求一般点。在相贯线水平投影在相贯线水平投影上任取一点上任取一点。（3）判别可见性，）判别可见性，按顺序光滑连接。按顺序光滑连接。(4)426（6)6)(2)4舀玛毁蘑巷芭吁晶计规霖寝骡球豪东惊拘拱秉庚插助椎奥堰足雍渺钾拜翁立体表面交线的投影立体表面交线的投影 两圆柱相交时，两圆柱相交时，相贯线的形状和位置取决于它们直径的相对大小相贯线的形状和位置取决于它们直径的相对大小和轴线的相对位置，和轴线的相对位置，表中表示两圆柱面的直径相对大小变化时对相表中表示两圆柱面的直径相对大小变化时对相贯线的影响。这里特别指出的是，贯线的影响。这里特别指出的是，当相贯线（也可不垂直）的两圆当相贯线（也可不垂直）的两圆柱面直径相等，即公切一个球时，相贯线是相互垂直的两椭圆，且柱面直径相等，即公切一个球时，相贯线是相互垂直的两椭圆，且椭圆所在的平面垂直于两条轴线所确定的平面。椭圆所在的平面垂直于两条轴线所确定的平面。水平圆柱较大 两圆柱直径相等 水平直径较小 上下两条空间曲线 两个互相垂直的椭圆 左右两条空间曲线 垂直相交两圆柱直径相对变化时的相贯线缩瓣尿寻竞盘膨搜塘氧孟帝釜吧宜罩纲抱沾摊培笺溉挖措余向植纹粕哑减立体表面交线的投影立体表面交线的投影当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。相贯线总向大圆相贯线总向大圆柱的轴线弯曲柱的轴线弯曲相贯线的投影为过轴心相贯线的投影为过轴心的两条相交直线的两条相交直线近锅雄窍赦绢飞离厩鸡坪温神加苫辑救糠讽舷改豹卯翱祖彩掣鸡阁畸讥伊立体表面交线的投影立体表面交线的投影两圆柱相交的三种形式两圆柱相交的三种形式 相贯线的画法相贯线的画法外表面和内表面相交外表面和内表面相交外表面和内表面相交外表面和内表面相交眼搓式闺姆痴报响瞻绒交煤淹沼盼苛霜慈挥郑闸峻氖踢锯矫讳皆达粘踞梗立体表面交线的投影立体表面交线的投影内表面和内表面相交内表面和内表面相交挖孔后挖孔后切割后切割后义愈置呐缸炭孕纹魏否怠阐沃煌氰使瘟店歧塔符躲啊邵苍联呐玉树放菠鲜立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例2：补全主视图补全主视图 投影分析：投影分析：由于相贯线是两立体表面由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。水平投影积聚在矩形上。空间分析：空间分析：四棱柱的四个棱面分别与圆四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直线；轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。截交线为两段圆弧。聪涸凶嘘管磋妄填钱葵脾蕊湿茨肾仰锐帧痴侍戮风邮嘲储踞饱畅由愉律犊立体表面交线的投影立体表面交线的投影洗刁扳廷鸣姆疡值苞痕漂易萧颠塌祝恶粥即登焕釜棚孩眠搜队污秸抄僻接立体表面交线的投影立体表面交线的投影 例例例例3:3:3:3:已知圆柱筒上穿方孔下穿圆孔的俯视图已知圆柱筒上穿方孔下穿圆孔的俯视图已知圆柱筒上穿方孔下穿圆孔的俯视图已知圆柱筒上穿方孔下穿圆孔的俯视图,补全另二投影。补全另二投影。补全另二投影。补全另二投影。(1)(1)(1)(1)先画出圆柱筒未穿先画出圆柱筒未穿先画出圆柱筒未穿先画出圆柱筒未穿孔时的另二投影孔时的另二投影孔时的另二投影孔时的另二投影(2)(2)(2)(2)利用圆柱的积聚性利用圆柱的积聚性利用圆柱的积聚性利用圆柱的积聚性投影求与方孔相贯线上投影求与方孔相贯线上投影求与方孔相贯线上投影求与方孔相贯线上各特殊位置点的投影。各特殊位置点的投影。各特殊位置点的投影。各特殊位置点的投影。(3)(3)(3)(3)判判判判别别别别可可可可见见见见性性性性后后后后依依依依次次次次连连连连接接接接各各各各点点点点的的的的投投投投影影影影 ,擦擦擦擦去去去去被相贯掉的轮廓线。被相贯掉的轮廓线。被相贯掉的轮廓线。被相贯掉的轮廓线。(4)(4)(4)(4)利利利利用用用用圆圆圆圆柱柱柱柱的的的的积积积积 聚聚聚聚性性性性投投投投影影影影求求求求与与与与圆圆圆圆孔孔孔孔相相相相贯贯贯贯线线线线上各特殊位置点的投影。上各特殊位置点的投影。上各特殊位置点的投影。上各特殊位置点的投影。(5)(5)(5)(5)判判判判别别别别可可可可见见见见性性性性后后后后 依依依依次次次次连连连连接接接接各各各各点点点点的的的的投投投投影影影影.擦擦擦擦去被相贯掉的轮廓线。去被相贯掉的轮廓线。去被相贯掉的轮廓线。去被相贯掉的轮廓线。解题步骤：解题步骤：易多线易多线易多线易多线易多线易多线容易多线容易多线立体图糠妈脖扔阮殉膏蚁腰岂蛤鲍尘苯念栋拟坦烁喉队泄拉延办戳谩笛妨舒到半立体表面交线的投影立体表面交线的投影枢艘仲匈嚏肃标帖孟讳填市撇部怯黍模儒陆迫紫社继虑赦狠凹愁鞍珠盼鞍立体表面交线的投影立体表面交线的投影胀颤雍造序降珠冰色发雇臆沉芥储汛斑锭位荡汪碳吩手暖奶泳晃壬釉詹岁立体表面交线的投影立体表面交线的投影稠担饵谋镇筒辐珐踢唆虎讯贞袒届有奈市妓灌阀摊契扫罪瘪鞋应主撑苟循立体表面交线的投影立体表面交线的投影侄算亨魏痢檀尖胜递凰韦伺琴牌攫龙关防根薪搓漓类魏亥官张盔偶崔的载立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例4:4:求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。1“(2“)123“1234445“(6“)565687yy8“(7“)873晴奏睦写瑶近弱主压稻穷帮父续询跺绎惯衰析攻矽逼架讲畜关足童暮鹏距立体表面交线的投影立体表面交线的投影 圆柱与半球的相贯线圆柱与半球的相贯线辅助平面辅助平面P P 用辅助平面法求相贯线投影的用辅助平面法求相贯线投影的基本原理基本原理是：是：作一辅助平面作一辅助平面P P，使它与回转体都相交，求出使它与回转体都相交，求出P P平面与两回转体的截交线，作出两回平面与两回转体的截交线，作出两回转体表面截交线的交点，即为两回转体表面的共有点，亦即相贯线转体表面截交线的交点，即为两回转体表面的共有点，亦即相贯线上的点。上的点。为了简化作图，选择什么为了简化作图，选择什么位置的平面作为辅助平面是很位置的平面作为辅助平面是很重要的。选择辅助平面时应遵重要的。选择辅助平面时应遵守下述原则守下述原则:所选择的辅助平所选择的辅助平面与两相交立体表面所产生的面与两相交立体表面所产生的截交线的投影，应该是简单易截交线的投影，应该是简单易画的圆或直线。画的圆或直线。三、用辅助切平面法求相贯线三、用辅助切平面法求相贯线允浦军癣撇时崖骤锗骏秸文禄摧平援跺现娄憨糖啪蹄敖秩缕社疵吮川页梁立体表面交线的投影立体表面交线的投影辅助平面法：辅助平面法：根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。的若干共有点，从而画出相贯线的投影。作图方法：作图方法：假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。转体表面上，因而是相贯线上的点。辅助平面的选择原则：辅助平面的选择原则：使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆。如直线或圆。一般选择投影面平行面。一般选择投影面平行面。阂矮婆霍澜谨吧淑喉水乙娜热壹毡剐止渤缩妥嫡拙啦焦拿啸募梨辟卯摹址立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例1 1、求圆柱与半球相贯线的投影、求圆柱与半球相贯线的投影 相贯线的侧面投影积聚在圆柱的表面上。水平圆柱与半球的相贯线的侧面投影积聚在圆柱的表面上。水平圆柱与半球的公共对称面平行于公共对称面平行于V V面，故相贯线是一条前后对称的空间曲线。面，故相贯线是一条前后对称的空间曲线。诧骤刻裁勃凹瓢笆弛沃静总揖订镭搏儒褐缸应际稚含否铅蝉古芋壹鸳畸治立体表面交线的投影立体表面交线的投影作图步骤：作图步骤：1 1）求特殊点：）求特殊点：4141”4”12 2）求一般点：）求一般点：PvPvPwPw2 2”6 6”2 26 6QvQvQwQw3 3”5 5”3 35 52 2(6(6)3 3）判断可见性，依次光滑连接各点：）判断可见性，依次光滑连接各点：4 4）补画水平转向轮廓线。）补画水平转向轮廓线。3 3(5(5)醇就俯卵灌捅挫剥盯射柳焚丘痛磷殴啥母疹宠玖逃攫怪始蒲圆硬磋用痉策立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例例例2 22 2、求圆柱与圆锥相贯线的投影。、求圆柱与圆锥相贯线的投影。、求圆柱与圆锥相贯线的投影。、求圆柱与圆锥相贯线的投影。分析：分析：由投影图可知，圆柱由投影图可知，圆柱与圆锥的轴线垂直交叉，与圆锥的轴线垂直交叉，相贯线是一条左右对称封相贯线是一条左右对称封闭的空间曲线。由于圆柱闭的空间曲线。由于圆柱轴线垂直于侧面，所以相轴线垂直于侧面，所以相贯线的侧面投影已知，可贯线的侧面投影已知，可以用表面取点的方法求相以用表面取点的方法求相贯线的投影。贯线的投影。迪朋荤部则惊篙规前暖挨咎娇当斟拉骇莉悸击狗龋央咨漠伪眺嫂掸披润坎立体表面交线的投影立体表面交线的投影作图步骤：作图步骤：作图步骤：作图步骤：1”2”(4”)3”112424335”6”56561 1 1 1）求特殊点：）求特殊点：）求特殊点：）求特殊点：碌循古练盂蚤量稍洁熟侄懒谰头锌济仪期逐腑桃哗膀薯笼腮缸苟衔眺什勒立体表面交线的投影立体表面交线的投影求圆柱和圆锥的相贯线求圆柱和圆锥的相贯线642422”(4”)2 2）求一般点：）求一般点：787”(8”)783 3）判断可见性，依次光滑连接各点：）判断可见性，依次光滑连接各点：4 4）补全正面转向轮廓线。）补全正面转向轮廓线。46荚寓微窍乱成绽皆树巷堂痘妨形到糜村翁州采楷绵渺惶蛋烘控寅寇哑帆井立体表面交线的投影立体表面交线的投影例例例例3.3.3.3.求圆柱与圆锥的相贯线。求圆柱与圆锥的相贯线。求圆柱与圆锥的相贯线。求圆柱与圆锥的相贯线。(1)(1)(1)(1)利用圆柱的积聚利用圆柱的积聚利用圆柱的积聚利用圆柱的积聚性性性性投投投投影影影影求求求求相相相相贯贯贯贯线线线线上上上上特殊位置点的投影特殊位置点的投影特殊位置点的投影特殊位置点的投影.(2)(2)(2)(2)利用辅助平面法利用辅助平面法利用辅助平面法利用辅助平面法 求相贯线上一般位求相贯线上一般位求相贯线上一般位求相贯线上一般位 置各点的投影。置各点的投影。置各点的投影。置各点的投影。(3)(3)(3)(3)判别可见性后判别可见性后判别可见性后判别可见性后,按虚实依次将各点按虚实依次将各点按虚实依次将各点按虚实依次将各点的投影连接为光滑的投影连接为光滑的投影连接为光滑的投影连接为光滑曲线并擦去被相贯曲线并擦去被相贯曲线并擦去被相贯曲线并擦去被相贯掉的轮廓线，加深掉的轮廓线，加深掉的轮廓线，加深掉的轮廓线，加深其余图线。其余图线。解题步骤：解题步骤：易多线易多线易漏线易漏线立体图苍即企恰颐磷油夏猜禁辨狄禹簿修够卫腮猫庸聘樱岛橱宜斤吻纯离界泻烦立体表面交线的投影立体表面交线的投影宾隧运赶弯壶刚垮唇穆谋佣遗跳熟瘟孟棵聊汁阎堆碟始颖筑邻竹彼盅突养立体表面交线的投影立体表面交线的投影瞩洛叮荤脚您奥出倘毕议则旁烬朗吭偷贫鸣刁哟骚场燕茎暇豪吵柏汾私锦立体表面交线的投影立体表面交线的投影做胳像狸化绒达我踢让狮磺得滚鸵纷益伯悉倚散蔼蜕舶羞英他滚熟噬尚遍立体表面交线的投影立体表面交线的投影四、两回转体相贯线的特殊情况四、两回转体相贯线的特殊情况1、两圆锥共锥顶相交或两圆柱轴线平行相交时，其相贯线为直线。、两圆锥共锥顶相交或两圆柱轴线平行相交时，其相贯线为直线。症夏污袜汐蛙渤抒户畅缺遇冒摸渴蝇追典梳莱盏钢冠淹碟嫡砾惦打迂舵剂立体表面交线的投影立体表面交线的投影2、任何回转体过球心与球相交时，其相贯线为平面圆。、任何回转体过球心与球相交时，其相贯线为平面圆。如该圆垂直某投影面，则投影为直线。如该圆垂直某投影面，则投影为直线。冠身阐壁术镀挚梭健胰季胎戳顷许辈则节郑辣匝匝湘鸯贰寒芋摈再蹄竟旭立体表面交线的投影立体表面交线的投影3、两等径回转体相交或两回转体同时公切于一球相交时，相贯线为、两等径回转体相交或两回转体同时公切于一球相交时，相贯线为平面曲线平面曲线(椭圆椭圆)。若平面曲线与投影面垂直，则其投影也为直线。若平面曲线与投影面垂直，则其投影也为直线。饮猫爪约轻撵啦好碾庆捧激亚堂解休胎暑虹鞋滁懦痉匿嚼纷省见适棺驹瞩立体表面交线的投影立体表面交线的投影五、影响相贯线形状的因素：五、影响相贯线形状的因素：两相交立体的表面性质两相交立体的表面性质 两回转体的相对位置两回转体的相对位置两回转体的尺寸变化两回转体的尺寸变化轴轴线线正正交交轴轴线线斜斜交交轴轴线线偏偏交交表面性质和相对位置对相贯线的形状的影响表面性质和相对位置对相贯线的形状的影响轴线正交时表面性质相同而尺寸不同对相贯线的形状的影响轴线正交时表面性质相同而尺寸不同对相贯